我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题(注:荡杯即洗碗)。题目意思是:一位农妇在河边洗碗。邻居问:“你家里来了多少客人,要用这么多碗?”她答道:“客人每两位合用一只饭碗,每三位合用一只汤碗,每四位合用一只菜碗,共用65只碗。”她家里究竟来了多少位客人?想:若设客人是x人,可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。
解:设有x位客人,根据题意,得
x=60
答:她家来了60位客人。
此题《孙子算经》中的解法是这样记载的:“置六十五只杯,以一十二乘之,得七百八十,以一十三除之,即得。”可见《孙子算经》的作者就是用求方程解的方法解这道题的。
较为有趣的是,《孙子算经》上给出的解法,却与此完全不同:
“置六十五杯以十二乘之,得七百八十,以十三除之,即得。答曰:六十人。”
古算书解题,无法采用现今之算式,一般都采用这种文字叙述的形式,来讲解算题的解法。如果将这种解法列成今日之算式,则可以是:
65×12=780
780÷13=60(人)
这种解法的算理何在呢?《算经》上没有讲述。我们不妨这样来思考:
因为2人共用一只饭碗,3人共用一只汤碗,4人共用一只肉碗,将其排列起来,就是:
2人——1只饭碗
3人——1只汤碗
4人——1只肉碗
由此可以推出:
(注:12是2、3、4三个数的最小公倍数)
这就是说,12个客人需要占用的碗数是
6+4+3=13(只)
现在,如果假定每个客人都占用13只碗,那么总的碗数便会扩大12倍,使之变为
65×12=780(只碗)
于是,只要知道这“780只碗”中,包含了多少个“13只碗”,便知道她家里来了多少客人了。所以,她家里的客人人数就是
780÷13=60(人)
将这一思路的主要算式写在一起,就是《算经》上的解法了。
65×12=780;780÷13=60(人)
不难发现,这样的解法是合理而巧妙的。它比现在一般采用的分数解法(如前面解说中介绍的那种解法),来得更为简捷、快速和富有趣味。