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数学八年级上册期末试题
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列计算正确的是( )
A.(a4)3=a7 B.3﹣2=﹣32 C.(2ab)3=6a3b3 D.﹣a5•a5=﹣a10
2.分式 的值为零，则x的值为( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.任意实数
3.某种红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 094m，用科学记数法表示这个数据为( )
A.9.4×10﹣7m B.0.94×10﹣9m C.9.4×10﹣8m D.0.94×10﹣8m
4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A.3x+3y﹣5=3(x+y)﹣5 B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.4x2+4x=4x(x+1) D.6x7=3x2•2x5
5.如果 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤2且x≠﹣3 D.x≥2且x≠3
6.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A.150° B.210° C.105° D.75°
7.计算(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)的结果中不含x2和x3的项，则m，n的值为( )
A.m=3，n=1 B.m=0，n=0 C.m=﹣3，n=﹣9 D.m=﹣3，n=8
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.(S.S.S.) B.(S.A.S.) C.(A.S.A.) D.(A.A.S.)
9.如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
10.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是( )
A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于 .
12.分解因式：x3﹣4x2y+4xy2= .
13.若分式方程：2+ = 无解，则k= .
14.已知x=2﹣ ， ，则x2﹣y2= .
15.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作 条对角线.
三、解答题(解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)
16.计算：
(1)( )﹣2﹣( )2015×( )2015+20160
(2)( + )﹣( ﹣ )
17.(1)解方程： ﹣ =﹣1
(2)先化简，再求值：( + )÷ ，其中m=9.
18.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC的形状.
19.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B.
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹.(不要求写作法)
①在射线BM上求作一点C，使AC=AB;
②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等;
(2)在(1)所作的图形中，若∠ABM=72°，则图中与BC相等的线段是 .
20.仔细阅读下面例题，解答问题.
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4，3n=m
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2﹣5x+k有一个因式是(2x﹣3)，求另一个因式以及k的值.
21.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
22.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，求出它的度数.
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，则求出它的度数.
数学八年级上册期末测试题参考答案
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列计算正确的是( )
A.(a4)3=a7 B.3﹣2=﹣32 C.(2ab)3=6a3b3 D.﹣a5•a5=﹣a10
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法;负整数指数幂.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得(a4)3=a12;根据负整数指数幂：a﹣p= (a≠0，p为正整数)可得3﹣2= ;根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得(2ab)3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10.
【解答】解：A、(a4)3=a12，故原题计算错误;
B、3﹣2= ，故原题计算错误;
C、(2ab)3=8a3b3，故原题计算错误;
D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确;
故选：D.
【点评】此题主要考查了幂的乘方、负整数指数幂、积的乘方、同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则.
2.分式 的值为零，则x的值为( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.任意实数
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零.
【解答】解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3.
故选：A.
【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
3.某种红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 094m，用科学记数法表示这个数据为( )
A.9.4×10﹣7m B.0.94×10﹣9m C.9.4×10﹣8m D.0.94×10﹣8m
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：0.000 000 094=9.4×10﹣8.
故选：C.
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A.3x+3y﹣5=3(x+y)﹣5 B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.4x2+4x=4x(x+1) D.6x7=3x2•2x5
【考点】因式分解的意义.
【分析】根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误;
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误;
C、4x2+4x=4x(x+1)，是因式分解，故本选项正确;
D、6x7=3x2•2x5，不是因式分解，故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了因式分解的意义，熟记因式分解的定义是解题的关键.
5.如果 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤2且x≠﹣3 D.x≥2且x≠3
【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.
【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可.
【解答】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得x≤﹣2且x≠﹣3.
故选C.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.
6.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A.150° B.210° C.105° D.75°
【考点】三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题).
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案.
【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°.
故选A.
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
7.计算(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)的结果中不含x2和x3的项，则m，n的值为( )
A.m=3，n=1 B.m=0，n=0 C.m=﹣3，n=﹣9 D.m=﹣3，n=8
【考点】多项式乘多项式.
【分析】本题需先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据不含x2和x3的项，即可求出答案.
【解答】解：(x2﹣3x+n)(x2+mx+8)
=x4+mx3+8x2﹣3x3﹣3mx2﹣24x+nx2+nmx+8n
=x4+(m﹣3)x3+(8﹣3m+n)x2﹣24x+8n，
∵不含x2和x3的项，
∴m﹣3=0，
∴m=3.
∴8﹣3m+n=0，
∴n=1.
故选A.
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，在解题时要根据多项式乘多项式的运算法则进行计算是本题的关键.
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.(S.S.S.) B.(S.A.S.) C.(A.S.A.) D.(A.A.S.)
【考点】全等三角形的判定.
【专题】作图题.
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得.
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D;
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′;
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′;
④过点D′作射线O′B′.
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角;
作图完毕.
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS.
故选：A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键.
9.如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
【考点】完全平方公式的几何背景.
【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论.
【解答】解：(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.
故选D.
【点评】认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键.
10.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是( )
A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31
【考点】规律型：图形的变化类.
【专题】压轴题.
【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法.题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：(n+1)2，两个三角形数分别表示为 n(n+1)和 (n+1)(n+2)，所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值.
【解答】解：显然选项A中13不是“正方形数”;选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和.
故选：C.
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于 64 .
【考点】完全平方式.
【专题】计算题.
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值.
【解答】解：∵x2+16x+k是完全平方式，
∴k=64.
故答案为：64
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
12.分解因式：x3﹣4x2y+4xy2= x(x﹣2y)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】因式分解.
【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可.
【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2=x(x2﹣2xy+4y2)=x(x﹣2y)2.
故答案是：x(x﹣2y)2.
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底.
13.若分式方程：2+ = 无解，则k= 0 .
【考点】分式方程的解.
【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答.
【解答】解：方程两边都乘x﹣1得，2(x﹣1)+1+k=1，
∵分式方程无解，
∴x=1，
当x=1时，k=0，
故答案为k=0.
【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解;分式方程产生增根.
14.已知x=2﹣ ， ，则x2﹣y2= ﹣8 .
【考点】二次根式的化简求值;平方差公式.
【分析】求出x+y，x﹣y的值，分解因式后代入求出即可.
【解答】解：∵x=2﹣ ， ，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2 ，
∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=4×(﹣2 )=﹣8 ，
故答案为：﹣8 .
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力.
15.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作 5 条对角线.
【考点】多边形的对角线;多边形内角与外角.
【分析】利用多边形外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，再利用边数减3可得答案.
【解答】解：正多边形的边数：360÷45=8，
从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8﹣3=5，
故答案为：5.
【点评】此题主要考查了多边形的对角线和外角，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线.
三、解答题(解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)
16.计算：
(1)( )﹣2﹣( )2015×( )2015+20160
(2)( + )﹣( ﹣ )
【考点】二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂的意义和积的乘方得到原式=4﹣( × )2015+1，然后进行乘法运算后合并即可;
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可.
【解答】解：(1)原式=4﹣( × )2015+1
=4﹣1+1
=4;
(2)原式=3 +3 ﹣2 +5
=8 + .
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂和负整数指数幂.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
17.(1)解方程： ﹣ =﹣1
(2)先化简，再求值：( + )÷ ，其中m=9.
【考点】分式的化简求值;解分式方程.
【分析】(1)先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最减公分母进行检验即可;
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入代数式进行计算即可.
【解答】解：(1)去分母得，4﹣(x+1)2=﹣(x2﹣1)
去括号得，4﹣x2﹣1﹣2x=﹣x2+2x﹣1，
移项，合并同类项得，﹣4x=﹣4，
系数化为1得，x=1.
经检验，x=1是原分式方程的增根.
(2)原式= •
= •
= ，
当m=9时，原式= = = .
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
18.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC的形状.
【考点】因式分解的应用.
【分析】先把原式化为完全平方的形式，再利用非负数的性质求解.
【解答】解：∵a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，
∴a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0，
a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0，
即(a﹣b)2+(b﹣c)2=0，
∴a﹣b=0且b﹣c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c.
故△ABC是等边三角形.
【点评】此题考查因式分解的实际运用以及非负数的性质，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键.
19.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B.
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹.(不要求写作法)
①在射线BM上求作一点C，使AC=AB;
②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等;
(2)在(1)所作的图形中，若∠ABM=72°，则图中与BC相等的线段是 DC，AD .
【考点】作图—复杂作图.
【分析】(1)①以A为圆心AB长为半径画弧，进而得出C点位置;
②利用角平分线的作法得出即可;
(2)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可.
【解答】解：(1)①如图所示：AC=AB;
②D点即为所求;
(2)∵∠ABM=72°，AB=AC，
∴∠ACB=72°，
∵∠ACD=∠DCB，
∴∠A=∠ACD=∠BCD=36°，
∴图中与BC相等的线段是：DC，AD.
故答案为：DC，AD.
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题关键.
20.仔细阅读下面例题，解答问题.
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4，3n=m
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2﹣5x+k有一个因式是(2x﹣3)，求另一个因式以及k的值.
【考点】因式分解的应用.
【专题】阅读型.
【分析】所求的式子2x2﹣5x+k的二次项系数是2，因式是(2x﹣3)的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式.
【解答】解：设另一个因式为(x+a)，得
2x2﹣5x+k=(2x﹣3)(x+a)
则2x2﹣5x+k=2x2+(2a﹣3)x﹣3a，
，
解得：a=﹣1，k=3.
故另一个因式为(x﹣1)，k的值为3.
【点评】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.
21.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
【考点】分式方程的应用.
【专题】应用题.
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程.
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2× = ，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根.
答：第一批盒装花每盒的进价是30元.
【点评】本题考查了分式方程的应用.注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.
22.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，求出它的度数.
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，则求出它的度数.
【考点】等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP;
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°;
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°.
【解答】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵ ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变.
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识.
