二年级数学小报手抄报 数学手抄报数学小报

在社会的发展进程中,作为文化现象的数学,受到人们的重视,近年来,数学文化及其相关研究得到了较大发展。在确认数学是一种文化之后,应该进一步理解数学文化的内涵,在数学世界中,数学经历了三次危机,大家知道吗?

数学手抄报数学小报:第三次数学危机产生的背景

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生。十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。十九世纪末,戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

公理化方法是现代数学最重要的方法之一,对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。当时也是现代数学一些新分支兴起的时期,如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨,数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。

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数学手抄报数学小报:数理逻辑的兴起

数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪,算术因符号化促使了代数学的产生,代数使计算变得精确和方便,也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化,大大扩展了几何的领域,而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力,于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质,不过他并没有系统地发展这种思想。

现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”,其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言,其中的符号是表义的,这样就可以象数字一样进行演算,他的确将某些命题形式表达为符号形式,但他的工作只是一个开头,大部分没有发表,因此影响不大。

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真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔,他在1847年出版了《逻辑的数学分析》,给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类,1表示全类,0表示空类;xy表示x和y的共同分子所组成的类,运算是逻辑乘法;x+y表示x和y两类所合成的类,运算是逻辑加法。所以逻辑命题可以表示如下:凡x是y可以表示成x(1-y)=0;没有x是y可以表示成xy=0。它还可以表示矛盾律 x(1-x)=0;排中律x+(1-x)=1。

布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题,则x=1表示的是命题 x为真,x=0表示命题x为假,1-x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统,遵守着某些规律,这就是布尔代数。特别是它遵从德·莫尔根定律。

美国哲学家、数学家小皮尔斯推进了命题演算,他区别了命题和命题函数。一个命题总是真的或假的,而一个命题函数包含着变元,随着变元值选取的不同,它可以是真也可以是假。皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。对现代数理逻辑贡献最大的是德国耶拿大学教授、数学家弗雷格。弗雷格在1879年出版的《概念文字》一书中不仅完备地发展了命题演算,而且引进了量词概念以及实质蕴涵的概念,他还给出一个一阶谓词演算的公理系统,这可以说是历史上第一个符号逻辑的公理系统。因此在这本只有88页的小册子中,包含着现代数理逻辑的一个颇为完备的基础。

1884年,弗雷格的《算术基础》出版,后来又扩展成《算术的基本规律》。不过由于他的符号系统烦琐复杂,从而限制了它的普及,因此在十九世纪时,他的著作流传不广。后来由于罗素的独立工作,才使得弗雷格的工作受到重视。用符号语言对数学进行公理化的是意大利数学家皮亚诺,他在1889年用拉丁文写了一本小册子《用新方法陈述的算术原理》。在这之前,皮亚诺已经把布尔和施罗德的逻辑用在数学研究上,并且引进了一系列对于他前人工作的更新。例如对逻辑运算和数学运算使用不同的符号,区别范畴命题和条件命题,这引导他得出量词理论。

这些改进都是对于布尔和施罗德理论的改进,而不是对弗雷格理论的改进,因为当时皮亚诺还不知道弗雷格的工作。在《算术原理》中,他在引进逻辑概念相公式之后,开始用符号的记法来重写算术,在这本书中他讨论了分数、实数、甚至极限和点集论中的概念。

皮亚诺引进最原始的算术概念是“数”“1”“后继”和“等于”,并且陈述了关于这些概念的九条公理。今天我们认为其中公理2、3、4、5都是讨论恒等的,应该属于逻辑公理,所以就剩下了五条公理。这就是现在众所周知的皮亚诺公理。最后一条公理即公理9,就是所谓数学归纳法原理,他用类的词句来表述,其中包含一个类变元。皮亚诺承认他的公理化来自戴德金。

从1开始,皮亚诺用x+1来表示后继函数。然后作为定义引进了加法和乘法。这些定义是递归的定义。虽然在他的系统中,皮亚诺没有象戴德金那样有力的定理可资利用,但皮亚诺并没有公开地宣称这些定义可以去掉。这本书的逻辑部分还列出命题演算的公式,类演算的公式,还有一部分量词的理论。皮亚诺的符号要比布尔和施罗德的符号高明得多,标志着向近代逻辑的重要转变。他还对于命题的演算和类演算做了某些区别。这就是我们现在的两种不同演算,而不是同一种演算的两种不同解释。它的普遍量词记号是新的,而且是便利的。

不过书里还是存在缺点,如公式只是列出来的,而不是推导出来的;因为没有给出推导规则,皮亚诺引进了代入规则的概念,但是也没有给出任何规则;更严重的是他没有给出任何分离规则,结果尽管他的系统有许多优点,但他没有可供使用的逻辑。一直到后来,他才在一系列文章,特别是1895年发表的《数学论集》中,对这些逻辑公式进行了证明。然而他这些证明还是缺少推演规则,在这方面他受到了弗雷格的批评。后来皮亚诺尽力想比弗雷格的《概念文字》有更多的内容,但是他做得并不够。不过他的这些著作在数学界仍有很大影响,得到广泛的传播。

  

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