爱华网康托对角线法中的逻辑问题详析（4）
沈卫国
八、康托定理与康托对角线法的同构性分析
康托定理在集合论中的地位毋庸讳言。其与对角线法的关系，早被论及。但笔者一直似未见具体分析。笔者早年的著作中，对此曾有分析。笔者甚至怀疑，有人也许认为对角线法“过于”直观、简单（这倒成为缺点了？），不够“数学”或所谓的“专业”，因此在自己的相关著作、讲义中绝口不提对角线法，而以更复杂、抽象的康托定理为出发点去讨论问题，讲授课程。笔者百思不得其解。只能说，把一些简单的概念搞的复杂一些，玄虚一些，是一些学者不自觉的本能罢了。此类做派，绝对无补于问题的讨论。笔者这里就是要揭示二者间的同构性，以期还理论的本来面目。下面直接引述陶诗轩的实分析一书中康托定理的证明。
将上述证明中的A看成对角线法中在对角线上逐位求反后得到的那个实数；而将x看成是对角线上的每个具体的自然数，这里不是指位数；f(x)指的是对角线法中纵列所列出的那些实数。这里重点举例讨论一下x与f(x)间的关系。
如：0.1...............=f(x)≠x=0，这里左边列出的是康托二维表中的第一个实数，其小数点后的第一位是1；而最右边的x=0，是指对角线上对第一个实数的第一位“1”求反后的那个数，当然为“0”；
0.10..............=f(x)≠x=01，这里左边列出的是康托二维表中的第二个实数，其小数点后的第二位是0；而最右边的x=01，是指对角线上对第二个实数的第二位的“0”求反后的那个数“1”，加上前面的第一步得到的“0”，为“01”；
0.001..............=f(x)≠x=010，这里左边列出的是康托二维表中的第三个实数，其小数点后的第三位是1；而最右边的x=010，是指对角线山对第三个实数的第三位的“1”求反后的那个数“0”，加上前面的第一、二步得到的“01”，为“010”；
............................................................................................
依次类推。注意，这里的01≠010，个位看成在右边。
可以看出，这里的关键是条件“x不属于f(x)”，由上面的讨论，这是由“逐位求反”得到的，它当然依赖于二进制下的每位有两个状态这个前提。而同时实际在系统中又假设了f(x)表示了所有幂集的元素（也就是所有子集合），于是x又应该属于f(x)，也就是它的元素，从而产生矛盾。于是，我们看到康托定理的“证明”与康托对角线法间的本质相关性。尽管通常它们被隐藏在了那些看似“严格”、抽象、费解的数学行话下了。二者是同构的。我经常、同时也完全有理由怀疑，专家们对他们频繁使用的这些“行话”的真实理解是否到位。
由以上分析，康托定理的有效性与康托对角线法一样，是成问题的，其结论对无穷集合而言，必须被否定。也就是，它与康托对角线法一样，也是要依赖于特殊的对应方式的，因此不能由此得到普遍性的结论。由特殊到一般的推理，只能是推测性的，而不是确定性的。
特别值得注意的是，既然康托定理与康托对角线法同构，那么，反过来，由康托定理，我们也可以看出康托对角线法的本质。上面那个对A的定义很明确，正如我们不断强调的，康托对角线法中在对角线上靠逐位求反得到的那个实数（康托定理中是自然数集合的一个子集合）A，不过是定义出来的（见上面引文中A的定义），而并不是证明出来的。这正是笔者一再强调的事实。从与康托对角线法同构的康托定理，我们很清楚地看到，最后的那个悖论性的矛盾，是直接由A的定义推出来的。而同样的结果，在康托对角线法中，却被认为是“证明”出来的。
九、其它的对实数集合不可数证明方法中的类似问题详述
另一个关于实数集合“不可数”的证明，直接引自«数学是什么»一书：
此处的这个“证明”，不但不能说是证明了实数不可数，倒是可以看作是此类“证明”不成立的一个证明。因为显然，数量是可数集的9倍的集合，仍然是可数的。而9倍的1/9，当然就是1，也就是全域。也可以如此做：把实数分成九份，如实数可数，每一份当然也可数。把每一份按上述方法操作，每一份占1/9，9份，当然就是全域。因此上述证明根本就没有得到实数可数就只能占全域的1/9这样的结论，也就是根本就没有证明实数不可数。更详细的分析，见笔者专著«论熵、不可逆过程及数学中的无穷»中的相关章节。尽管这里的论述已经足够。
十、再论“层叠集合观”的困境及与康托定理有关的内在矛盾
由康托定理导致的“层叠集合观”，仔细分析，实际要依赖于时间进程。因为显然，所谓“某集合的所有子集合的集合”，该集合自己要先已存在，然后才谈得上其子集合。这里的“先”、“然后”，都是时间的顺序、进程概念。时间是无尽头的，显然趋于无穷，而层叠集合观所要求的一个比一个大的集合，也没有最大的。二者完全协调，而且时间进程的无休止，是更基本的因素。如果说所有的“所有子集合的集合”，不必依赖时间因素，行不行？我们说不行。如果在某时刻、瞬时，所有的“所有子集合之集”也就是所有层叠集合中的各层的集合都同时存在，则必是一个“实无穷”的结构，而按照康托定理，这是不可能的。而在某一时刻（没有哪怕再小的时间进程）的一个潜无穷序列是根本无法描述、定义、想象的。因为显然，在某时刻，是不可能想象什么“一个比一个更大的集合”的。注意，这里的无穷与层次，与自然数的情况不同。自然数虽然一个也比一个大，而且无穷尽，但仍可以将其看成一个整体，也就是实无穷的“自然数集合”。但由康托定理，这在层叠集合观中不再被允许。康托定理不能承认有这个最大集、整体集存在。因其“证明”的就是这样的整体实无穷集合不存在。但如果时刻、瞬时不能有这种层叠集合，在依赖时间进程的层叠集合观也有问题：因为它有一个每层的“产生”速率问题。这个速率本无限制，也就是在某瞬时可以趋于无限，于是这又成了瞬时下的实无穷观了，因此，无论怎么看，层叠无穷观都是内含矛盾的。既然这个类似悖论的矛盾是由康托定理而产生的，这就说明康托定理的结论有问题，其证明过程有问题。根据本文前面对康托定理证明过程的分析，这个问题并不难发现。也就是那个“x不属于f(x)”的条件是一种特殊的对应方式，不具普遍意义。其与康托对角线法同构，本质上并无不同。值得注意的是，在康托定理的实际证明也就是与康托对角线法类似的证明中，x的个数是可数的，也就是可以列出的。但一般的康托定理的结论，是对任意大的不可数都成立。显然，这是一个超出其实际证明的一个推论，而且是未经证明的推论。也就是在这个推论中（不是实际的证明中），上面所说的x的个数，可以是任意大小的不可数的。而如果x就已经是不可数的，难道还有“比不可数还不可数”这么一说吗？就算没有，两个不可数集间不可一一对应，究竟指的是什么，如何验证？我们看到，康托对角线法以致实际的康托定理的实际证明，都是由可数推及不可数，但不可数是如何可以推及“更不可数”的？对角线法肯定不行，因为不可数集已经肯定不能被排成一个纵列了，所以无法再作此假设，前提不再存在，也就谈不上以下的证明过程了。康托定理的证明，表面上与对角线法不同，但经本文前面的分析，其实本质一样。总之，退一步讲，就算康托对角线法等证明方法确实已经证明了有不可数集（笔者早已论证，这实际上并未实现），康托定理为人们所忽略的是，也不能外推到比实数集更大的集合（理由上面已经讨论了）。以下我们可以更仔细地讨论一下这个问题。我们说，可数，就是任选一个可数集中的数(或更一般地“元素”，且无论多大），然后按某种次序（比如从小到大，或像数有理数那样的排列顺序），总可以数到该数。而不可数，则同样任选一数，就找不到这样的规律、顺序等来保证可以数到该数。这就意味着，我们如果定义、规定了一个在不可数集域上的性质、对应关系，或与其它不可数集合全域上的一个性质、对应关系，我们不但无法一一验证它，也无法保证该定义、规定的可实现性或真实性。而这一切，都由康托定理、也仅由康托定理得之。由此看来，康托定理如果无瑕疵，对能否与可数集一一对应，起码是可验证的（因为前文已述，如果可数其任何元素就总可以按某顺序、规律早晚被数到）。但对两个不可数集间的一一对应关系可否实现，就无法验证了。也就是无法定义（无法确定定义本身是否正确），而这个结果正是由康托定理得到的。但康托定理本身（在得到、推广到两个不可数集间的对应关系时）就依赖于（建立在）这个不确定的、无法验证的不可数集间的某对应关系之上的（如康托定理证明中的定义“x不属于f(x)”）。即：如果康托定理成立（可验证、可定义），则可得到对不可数集间的对应关系而言，它不可验证；由此又可推出（得到）康托定理对不可数集的论域本身是不可验证的，也就是说，康托定理对不可数集间的对应关系的断语是不成立的。因为成立与否不可验证，因此与其初衷也就是原先的结论矛盾。以往，人们显然只认为由康托定理推出了层叠无穷，而没有意识到层叠无穷观所面临的问题，在康托定理的实际证明过程中已经存在了，因此这个证明大成问题。
十一、可数、不可数概念的概率角度分析
从概率的角度，也许可以对可数、不可数概念有一个更深入的理解。我们说，随机地、“盲目”地“点”整个自然数集合中的某一个，点中任何一个自然数的的概率是可数无穷分之一（注意不应是0）。但我们去“点”一个实数集，点中任何一个实数的概率难道是“不可数无穷分之一”？我们一个一个去“点”具体实数时，不正是一个可数的过程吗？按可数定义，可数集合中的任一元素，总可以在某“数法”（对应关系）下被数到。于是才会有某一个元素被数到的概率问题；而按不可数的定义，前文已述，在任何“数法”（对应关系）下都不能保证任何元素肯定会被最终数到，也就是总有元素永远不会被数的，而且极其多。而更其重要的是，不会被数到，也就是无法被“计数”或“统计”，如此，怎么可以有概率值？也不会有层叠无穷观所必需的一一对应概念（就算我们说A与B不能一一对应，那也必须有个C，它可以和A或B一一对应，因此还是离不开一一对应概念的）。因此，从这里也可以看出不可数概念、层叠无穷观的内在困难。
十二、层叠无穷观中的时域无穷问题
还有一个问题，必须要说一说。有人也许会说，“既然层叠无穷观离不开时域，也就是要有时间的先后，因此有局限性。但反过来，难道时域不是客观存在的吗？比如“永远”这个时域概念。时间没有穷尽，“永远”难道不是一个潜无穷概念吗？也就是没完没了？”。我们说，层叠无穷离不开时域的先后，但时域的无穷——“永远”却并不一定就是潜无穷。它完全可以当成一个实无穷的整体来看待。那有人可能又会说，既然“永远”是实无穷的，作为一个集合，其元素就应该是确定的，那么，对一个“未来”才会产生的元素（事物），它当然理应是“永远”下的所有可能产生的东西的全集的一个元素，但它显然现在还没有被产生，那它（一个没有被产生的元素）能说是一个元素吗？我们说，现在没有的，不等于将来没有。现在列不出的元素，将来可以列出。不能仅以现时的存在与否来决定一个事物最终的存在与否。一个未来的元素，尽管我们现在不知道它会不会有，现在也列不出来，或我们现在根本就想象不出但将来会有的那么一个元素，应该也是一个元素。只不过不是现在的、已知的罢了。总之，一个现时未知的元素，也是元素。对于一个涉及时域的所有元素的集合，当然存在（因为集合就是用于描述所有事物的），只不过其元素现在列不出来。因为这个特殊的集合必然包括了现在无法描述出来的事物作为元素。所以，“存在”这个概念分“现在存在”和“未来存在”。而一般人们指的是现在存在或已经存在才是存在。这是一个非严格意义的约定俗成的说法。但未来存在也是一种存在。只不过现在还不存在而已。
我们说，在澄清了所有这些概念之后，我们完全可以恢复康托的初衷，也就是朴素集合论。也就是在本质上恢复简单明确的“概况原则”，用其来定义集合。只不过我们需要明确哪些集合会产生什么问题就可以了。毕竟，“问题集合”、“矛盾集合”应该也是集合。集合不是描述所有事物的吗？矛盾集合等，自然也是包括在“所有事物”之内的。所谓的现代公理集合论，是没有参透一些道理的产物。它的功绩不可抹杀，但太不“朴素”，一个终极理论，不应该如此“本源性地”复杂。复杂应该是由简单产生的，而不应该是原来就复杂的、只能如此复杂的、不能再简化的。
十三、再论戴德金分划引出的问题
根据戴德金分划理论，每一个戴德金分划决定一个唯一的无理数；同样，反之亦然，每一个无理数决定一个唯一的戴德金分划。但按康托对角线法，无理数是不可数的。但有理数可数。于是，可数的有理数，可以实现不可数个只由有理数构成的戴德金分划，就是戴德金分划理论成立的必要条件。此问题似乎这么多年，就没有人明确提出过。但显然是个问题。其实，两个不同的戴德金分划，充其量也只能有一个有理数不同。即在戴德金分划A中有一个有理数在分划的右集合（元素都大）中，在戴德金分划B中，该有理数在分划的左集合（元素都小）中。而且这两个分划只有这个区别，其它元素（有理数）在分划的左右位置不变。由于最极端情况下，也就是不同分划，只涉及一个有理数，那么，有理数的总数是可数的，于是，戴德金分划的总数，充其量也是可数的，不可能不可数。除非一个戴德金分划可以对应起码无穷个无理数，但这显然不符合戴德金分划理论。此问题应该称之为“戴德金分划悖论”，其实本质地说明了现有实数不可数理论是有问题的。
十四、超越数问题
康托证明，所有代数数是可数的。而他自认为证明了实数是不可数的。因此认为超越数必存在，而且不可数多。但实际发现的代数数极其稀少。现在知道，实数根本就没有被证明是不可数的，于是，康托的这个证明不成立了。超越数的数量要重新考虑。
十五、具体的对应方式、函数关系，对康托对角线法等问题及可数、不可数问题的决定意义
这个问题笔者多次强调了，这里无非是重复、总结一下思路。
1、谈论任何一一对应，只能依赖具体的对应方式（函数关系）；
2、在某一种具体的对应方式（函数关系）下，可以与自然数一一对应，就是可数；而不能在某一具体的对应方式下与自然数一一对应，却不一定不可数，也就是不叫不可数。必须在任何对应方式下都不能与自然数一一对应，才是不可数；
3、康托对角线法过去被认为不依赖任何具体的对应方式（函数关系），但按第1点，现在知道这不可能，它显然是依赖一个具体的（以前不被认识，所以说是“隐含的”）对应方式（函数关系）的；
4、依据上面各点，康托对角线法并未证明实数不可数。
笔者在本文中已经讨论过了，康托对角线法依赖于一个具体的对应方式（函数关系），就是y=x，其中x为实数的位数，多进制下当然是每位多值的（二进制下两值）。对比康托证明有理数可数的那个经典证明（也是一种类型的对角线法），其中用到的对应方式（函数关系），可以写作：y=Σx，是一个一对多的对应（多值函数），指当在康托的那张证明有理数可数的表中当数到相应的横、纵坐标时（都以x表示），最多可表示的有理数个数。而更精确的函数表达，应该是：z=Σ(y-1)x，这里的y指的是表中数到的点（有理数）的实际横坐标，见图。比如数到图中的3/4时，x值就是其横坐标3。
可以看出，如果我们把图中第一排的横坐标值1、2、3、4、5、6、。。。。。与康托对角线法中的那张表中的横坐标也就是多值的“位数”相类比，我们也可以把这里的横坐标（整数）的每一个值看成是多值的。比如横坐标5（整数），我们的数法（右图）是数过5、4/2、3/3、2/4、1/5，分子沿左下到右上，依次递增；而分母则依次递减。但对横坐标而言，是个一对多的对应。每数过一个横坐标，都会数过很多中间的有理数，比如上面的例子，数过横坐标5（整数），还要数过其它4个分数（有理数），这是与位数的多值相似的情况，说明要想数出全部有理数，直接按与康托对角线法中相似的方法，也就是让有理数与横坐标上的自然数一一对应（不是一对多的对应！）的数法是不行的！也必须是一对多的对应（仅对横坐标上的自然数而言），但这并不是不可数（与横坐标上的自然数不能一一对应时），那么，康托对角线法的情况与此完全相似，本质一样。与横坐标的多值的位数（自然数）不能一一对应，并不就是不可数！除非康托上面对有理数可数的证明也同时无效！至此，问题应该再清楚不过了。实际上，数过全部实数的对应方式（函数关系）应该是y=2x,其中x是自然数，y表示实数的个数，也是自然数。它并不因为x是自然数，而且y比x大的多，就不是自然数了。
在康托对二维、三维空间中的点与直线上的点可以一一对应（同基）的证明中，也有类似情况。这里引用«什么是数学»一书中的一段佐证之。
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上面的所谓“对应不是连续的”、“空间中的分布方式”等等，都是具体的、特殊的对应方式（函数关系），随随便便去“数”，或按某给定的数法去数，都是不行的。说明白些，偏要选择那些本不能数出某集中的全部元素（不仅是实数集！）的方法（对应方式，函数关系）去数，你怎么可能数出该集中的所有元素？
康托对角线法的历史，是一个很值得玩味的概念进程。从其提出，到大行其道，到被否定，特别是这种否定是如此地出乎意料地艰难，早晚会被视为是逻辑、数学历史上的一个经典案例。它终究会被当做一个典型、但很初级的逻辑习题在逻辑、数学课中（初年级的）被讲授或提到。人们在对它的玩味、研究、思考中，会得到很多启发、教训，最后自然是收获。为什么一个如此简单的逻辑问题，居然延续百多年而无人参透？为什么有人参透（不客气了，具体说就是鄙人）了，提出了，理由如此简单、明确，居然还是难以被人们接受？这在人的思维、智能演进层面，也是很值得研究的。这个问题，是会给我们很多有价值的启示的。
十六、著名外国数学、哲学学者对集合论、数学基础方面的问题的阐述
国内某些学者，通常认为现有集合论、数学基础方面是很完美的，没有问题。甚至有人说对现有集合论、数学基础的质疑与否定，“会动摇现有整个数学大厦”，否定前人成果。请看这些外国名家的有关言论。作者的名字见所引文集。
以上引文引自«数学哲学译文集»。
在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem悖论是向下Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型都有一个初等等价的可数子模型。
这个悖论见于Zermelo-Fraenkel集合论中。康托尔在1874年发表的更早的结果是，存在不可数集合比如自然数的幂集，实数的集合，和著名的康托尔集。这些集合存在于任何Zermelo-Fraenkel 全集中，因为它们的存在可从公理得出。使用Löwenheim-Skolem定理，我们可以得到只包含可数个对象的集合论的模型。但是，它必须包含上述提及到的不可数集合，这好像是个矛盾。但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。
是悖论吗?[编辑]
这个悖论被多数逻辑学家看作困惑人的东西，而不是逻辑矛盾的意义上的悖论(就是说是巴拿赫-塔斯基悖论意义上而罗素悖论意义上的悖论)。TimothyBays详细论争说在Löwenheim-Skolem定理或者这个定理周边中什么都没有，就是个自相矛盾。
但是某些哲学家，特别是 Hilary Putnam 和牛津哲学家 A.W. Moore，争论说它在某种意义上是个悖论。
困难位于在这个定理之下的“相对主义”观念。Skolem说:
在公理化中"集合"不意味着任意定义的搜集；集合只是通过公理所表达的特定关系而相互连接的对象。所以如果域B 的集合 M 在公理化意义上是不可数的则根本没有矛盾；对于这种方法只是在B 内不出现 M 到 Z0 (Zermelo 数序列)的一一映射。但是存在着可能性借助正整数，数出在域B 内所有对象，因此还有 M 的元素；当然这种枚举也是特定的对的搜集，但是这个搜集不是"集合"(就是说它不出现在域B 中)。
Moore (1985) 争论说如果这种相对主义完全可以理解，它必须在把它定为直接了当的错误的框架内来理解。它是 Skolem 的悖论。
如果 Skolem 的解释为真，可数和不可数这样的想法天性是相对的。我们相信自然数的幂集 P(w) 为不可数的是正确的，但必须理解为相对于我们当前的“视点”。从其他视点这个集合可能实际上是可数的。但是应当有可能使这种相对性变得明显。我们可以这么做只要我们的关于集合的论域被理解为对于它这种断言必须被相对化的对象的特定搜集。但是这依次是不可能的，除非我们认可有一个集合包含所有我们想要谈论的集合的一个“错误”。
“在断言 P(w) 是无条件不可数的时候，我们无法理解这个除非作为确然假的断言，它根本不是不可数的。”
我们不能从同时从两个不同的视点看 P(w)；这将是不连贯的。我们也不能简单的从“这个”视点来看，那么假想的相对性是不可理解的。“但是如果有可能从绝对视点看它，那么相对主义自身将失去它的根本原理并不能拒绝声称P(w) 包含所有 w 的子集且它是无条件不可数的。”
引证[编辑]
Zermelo 起初声明 Skolem 悖论是恶作剧。在 1937 年他写了一个标题为《在集合论和所谓的 Skolem 定理中的相对主义》的评论，在其中他反驳了 Skolem 悖论，即事实上 Zermelo-Fraenkel 集合论 -- 保证存在不可数多个集合 -- 却有可数的模型。其他在集合论方面的权威也发现这个结果骇人听闻。
·目前我们除了说集合论仍是一个娱乐场所之外，暂时还不知道使这个理论康复的方法。(冯·诺伊曼)
·Skolem 的工作蕴涵了“根本就不存在无条件的集合论(还有使用集合论模型的几何、算术和其他理论)的公理化”。(冯·诺伊曼)
·关于悖论的书卷仍未合上，关于它的意义和可能解决的一致仍未达成。(AbrahamFraenkel)
·我相信依据集合的公理化不是令人满意的终极数学基础是很显然的，数学家们在极大程度上不是很关心它。但是在最近我惊奇的发现如此多的数学家认为集合论的这些公理提供了理想的数学基础；所以该是我发出批评的时候了。(Skolem)
引自维基百科
论坛世界（666） -4学术动态
学术动态 № 10028683 2014-02-22p.25766-25718
北京相对论研究联谊会学术委员会张志杰纪念室主办主编吴水清
