爱华网首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）
因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）
同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）
这就是积化和差公式：
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
