2014届高中数学复习知识点:圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技

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1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点  的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于  ,当常数等于  时,轨迹是线段  ,当常数小于  时,无轨迹;双曲线中,与两定点  的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于  ,定义中的“绝对值”与  不可忽视。若  ,则轨迹是以  为端点的两条射线,若  ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

①已知定点  ,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A.  B.

C.  D.  (答:C);

②方程  表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点  及抛物线  上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在x轴上时  (参数方程,其中  为参数),焦点在y轴上时  。方程  表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。比如:已知方程  表示椭圆,则k的取值范围为____(答:  );

(2)双曲线:焦点在x轴上:  ,焦点在y轴上:  。方程  表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:双曲线的离心率等于  ,且与椭圆  有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:  );

(3)抛物线:开口向右时  ,开口向左时  ,开口向上时  ,开口向下时  。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由  分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
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如已知方程  表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:  )

(2)双曲线:由  项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点  位置,焦点、的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,  ,在双曲线中,c最大,  。

4.圆锥曲线的几何性质:

(1)椭圆(以  为例):①范围:  ;②焦点:两个焦点  ;③对称性:两条对称轴x=0,y=0,一个对称中心(0,0),四个顶点  ,其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线  ; ⑤离心率:  ,椭圆  ,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

比如:若椭圆  的离心率  ,则m的值是__(答:3或  );

(2)双曲线(以  为例):①范围:  ;②焦点:两个焦点  ;③对称性:两条对称轴x=0,y=0,一个对称中心(0,0),两个顶点  ,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为  ;④准线:两条准线  ; ⑤离心率:  ,双曲线  ,等轴双曲线  ,e越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:  。

比如:双曲线的渐近线方程是  ,则该双曲线的离心率等于______(答:  或  );

(3)抛物线(以  为例):①范围:  ;②焦点:一个焦点  ,其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y=0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线  ; ⑤离心率:  ,抛物线  。

如设  ,则抛物线  的焦点坐标为________(答:  );

5、点  和椭圆  的关系:

(1)点  在椭圆外  ;

(2)点  在椭圆上  ;

(3)点  在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:  直线与椭圆相交;  直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有  ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故  是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;  直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有  ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故  也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

比如:若直线y=kx+2与双曲线  的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:  );

(2)相切:  直线与椭圆相切;  直线与双曲线相切;  直线与抛物线相切;

(3)相离:  直线与椭圆相离;  直线与双曲线相离;  直线与抛物线相离。

特别提醒:

(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

(2)过双曲线  外一点  的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;

(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如:

①过点(2,4)作直线与抛物线  只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

②对于抛物线C:  ,我们称满足  的点  在抛物线的内部,若点  在抛物线的内部,则直线  :  与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);③求椭圆  上的点到直线  的最短距离(答:  );[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径r=ed,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。比如:

①已知椭圆  上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:  );

②椭圆  内有一点p(1,-1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使  之值最小,则点M的坐标为_______(答:  )

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点  到两焦点  的距离分别为  ,焦点  的面积为  ,则在椭圆  中, ①  ,且当  即P为短轴端点时,  最大为  ;②  ,当  即P为短轴端点时,  的最大值为bc;对于双曲线  的焦点三角形有:①  ;②  。

比如:短轴长为  ,离心率  的椭圆的两焦点为  ,过  作直线交椭圆于A、B两点,则  的周长为________(答:6);

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为  ,若P为  的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线  与圆锥曲线相交于两点A、B,且  分别为A、B的横坐标,则  ,若  分别为A、B的纵坐标,则  ,若弦AB所在直线方程设为  ,则  。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

比如:过抛物线  焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆  中,以  为中点的弦所在直线的斜率  ;在双曲线  中,以  为中点的弦所在直线的斜率  ;在抛物线中,以  为中点的弦所在直线的斜率。

比如:如果椭圆  弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:  );

12.你了解下列结论吗?

(1)双曲线  的渐近线方程为  ;

(2)以  为渐近线(即与双曲线  共渐近线)的双曲线方程为  (  为参数,  ≠0)。

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为  ;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为  ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为  ,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线  的焦点弦为AB,  ,则①  ;②

(7)若OA、OB是过抛物线  顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

(2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:  或  );

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:  );[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如点M与点F(4,0)的距离比它到直线  的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:  );

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点  的变化而变化,并且  又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示  ,再将  代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线  上任一点,定点为A(0,-1),点M分  所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:  );

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如若点  在圆  上运动,则点  的轨迹方程是____(答:  );

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆  的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足  点P是线段  与该椭圆的交点,点T在线段  上,并且满足  (1)设x为点P的横坐标,证明  ;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=  若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)  ;(3)当  时不存在;当  时存在,此时∠F1MF2=2)



②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1) 给出直线的方向向量  ;

(2)给出  与AB相交,等于已知  过AB的中点;

(3)给出  ,等于已知P是MN的中点;

(4)给出  ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一:①  ;②存在实数  ;③若存在实数  ,等于已知A,B,C三点共线

(6) 给出  ,等于已知P是  的定比分点,  为定比,即

(7) 给出  ,等于已知  ,即  是直角,给出  ,等于已知  是钝角, 给出  ,等于已知  是锐角。

(8)给出  ,等于已知MP是  的平分线;

(9)在平行四边形ABCD中,给出  ,等于已知ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形ABCD中,给出  ,等于已知ABCD是矩形;

(11)在△ABC中,给出  ,等于已知O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在△ABC中,给出  ,等于已知O是△ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

(13)在△ABC中,给出  ,等于已知O是△ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

(14)在△ABC中,给出  等于已知  通过△ABC的内心;

(15)在△ABC中,给出  等于已知O是△ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

(16) 在△ABC中,给出  ,等于已知AD是△ABC中BC边的中线

  

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