爱华网数学史话 线性代数发展简介
一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧 。 ―――付鹰
数学的历史是重要的，这是文明史的有价值的组成部分，与人类的进步和科学思想是一致的。F.Cajori
从事数学研究，发现新的定理的技巧是一回事，而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。V.Z卡兹
数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。 M.Kline
一、了解数学史的重要意义
数学是人类文明的一个重要组成部分，是一项非常重要的人类活动。与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。在学习数学时，我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。教材是将历史上的数学材料按照一定逻辑结构和学习要求加以取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、深化历程以及导致其深化的各种因素，由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同，所以，对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。
数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展的进步的历程。
通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律、通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。
二、代数学的历史发展情况
数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体来说，数学中研究数的部分，属于分析学范围。这二大类数学构成了整个数学本体的与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本节首要介绍一下代数学的历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元９世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔。花拉子米（约780－850）一本代数教程，书名的直译为（还原与对消的计算概要）。其书名中的aljabr这个词意为“还原”，它所指的意思是把方程式一边的负项移到方程另一端“还原”为正项；almuqabala意即“对消”或“化简”，在方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“aljalr”译为拉丁文“aljelra”一词后来被许多国家采用，英文词“algebra”就是阿拉伯文“algebr”的讹用。
在数学史上，阿拉伯伊斯兰数学家在代数领域的贡献广为人知。他们在巴比伦人取得的成果基础上结合经典的希腊几何遗产发展了代数学。他们最重要的贡献是“除非能够证明一个数学问题的解是成立的，否则便不能认为这个问题已经被解答”，伊斯兰数学家通常是用几何来证明代数规则的性质。
代数学家阿布。贾法尔。穆罕默德。伊本。穆萨。阿尔－花拉子米的传记材料，很少流传下来。一般认为他生于花拉子模，位于咸涨南部阿姆河的下游，现在是乌兹别克斯坦和土库曼斯坦的辖地，境内的人以花拉子米为姓。另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯得，祖先是花拉子模人。花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家。东部地区的总督马蒙曾在默夫召见过花拉子米。公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子到首都巴格达工作。公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”（是自公元前３世纪亚历山在博物馆之后最重要的学术机关），花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一。马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世。花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛时期。
花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域。他撰写了许多重要的科学著作。在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》。
1859年，我国数学家李善兰首次把“glgebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的“代数学”，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即；代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
古希腊数学家丢番图用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著“算术”（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想，故有“代数学之父”的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，代数学包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。下面加以简单介绍。
１.算术
算术给予我们一个用之不竭的，充满有趣真理的宝库。 高斯
数可以说成是统治整个量的世界，而自述的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 麦斯韦
算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于10世纪或11世纪的印度。它被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被发展成现在的形式。在印度算术的里面，明显地存在着中国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算，而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来，后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念的逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，算术又是数学其它分支的最坚实的基础。
２初等代数
作为中学数学课程中主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两方面扩展的，其一是增加未知数的个数。考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组（主要是一次方程组）；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
古巴比伦（公元前19世纪－公元前17世纪）解决了一次和二次方程问题，欧几里得的（原本）（公元前４世纪）中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的“九章算术”（公元１世纪）中有二次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。３世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元求（李冶《测圆海镜》）是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
数学是一种符号语言，代数学答题发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为公元３世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为二世纪至１６世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。公元３世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学，开创了代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普遍地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半显示为由答题组成的数学速记，这些符号与所显示的内容没有什么的联系，称为符号代数。韦达在他的《分析法入门》著作中，首次系统地使用了符号未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的数学家，他的开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a、b、c等表示已知量，而用x、y、z代表未知量边种用法已经成为当今的标准用法。
“+”、“－”号第一次在数学书中出现，在1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》，不过正式成为大家所公认作为加减法运算的符号，则是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用现在使用的＝”，到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“〉”和小于号“〈”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符号。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”“≯”“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。
数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前４世纪，古希腊人发现无理数。公元前２世纪（西汉时期），我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺在“大术”中开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明了对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
２.高等代数
在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为了线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量容量、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有未知量的任意方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的线性代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论――代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵，行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度、散度、旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样，（表示包括比率的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。而且已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展起来的，我们在下一节要进行更详细的介绍。
４数论
以正整作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但这不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因些可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
早在公元前３世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出求两个数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”；在写了从１到N的全部整数的纸草上，依次挖去２、３、５、７。。。。的倍数（各自的２倍，。。。）以及１，在这筛子般的纸草上留下使全是素数了。
当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》（公元４世纪）中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论――――“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。丢番图的《算术》中给出了求x2+y2=z2所有整数解的方法。费尔马指出xn+yn=zn在n>3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》（1801）形成了系统的数论。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论（整系数多项式的根－“代数数”）、几何数论（研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”――“空间格网”）。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。
５.抽象代数
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。同时这种理论对物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大影响。
1８43年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数――四元数。第二年Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数――矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，就能研究出许多种代数体系。
1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义：狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体：1893年，韦伯定义了抽象的体：1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论：狄德金和克隆尼克创立了环论：1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
有一位杰出数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特，1882年3月２３日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题，对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群（李群）下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。
1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”。 1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数的方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
1927-1935年，诺特研究非变换代数与《非变换算术》。她把表示理论、理想理论及模理论在所谓“超复系”即代数的基础上，后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
诺特的思想通过她的学生范`德`瓦尔登的名著《近世代数学》得到广泛的传播。她的主要论文收在《诺特全集》（1982）中。
1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伯克建立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。
现在，我们可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等数学中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量（或n元有序数组）、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。
三、线性代数主要概念的形成
线性代数是高等代数的重要组成部分。我们知道，研究关联着多个因素的量所引起的问题，需要使用多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么就称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是解线性方程组，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。在线性代数中，出现了许多重要概念，下面概述其中主要概念的形成过程。
１、行列式和矩阵
行列式出现了线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。《解伏题之法》的意思就是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有深厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式的概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西尔维斯特，他还在1850 年提出了矩阵的概念。
西尔维斯特出生在伦敦的一个犹太人家庭，在剑桥大学学习了纪念，由于宗教的原因，他没有在那里获得学位。之后，在都柏林的三一学院获得了他的博士学位。西尔维斯特是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，虽然由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待，但是，西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，并且在代数学方面取得重要的盛衰。西尔维斯特曾经在伍尔里奇的皇家军事学院作了15年的数学教授，曾在巴尔迪摩新成立的约翰斯霍普金斯大学担任数学系主任，并在那里创建了《美国数学杂志》，并帮助开创了美国的研究生数学教育。
而在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，并给出了函数行列的导数公式。雅可比的某种论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果出现。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继产生。
２.矩阵
矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中已明显表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
1850年，西尔维斯特指出，矩阵是“表示由m行n列元素组成的矩形排列”，由那个排列，“我们能够形成各种行列式组”。
矩阵这个术语之后由西尔维斯特的朋友凯莱在论文中予以首次使用，其英文愿意是指可以引起其他事情的源头。
英国数学家凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授教学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进字母表示矩阵的简化记号。1858年他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等，给出了矩阵相乘、相加以及相减等运算法则，以及矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，在论文中首次把矩阵方程与只含有一个变量的简单一元方程做类比，把线性方程组的解用系数矩阵的逆和右端项的乘积来表示，他还指出了矩阵加法的可变换性与可结合性。
他在论文中写到：“我们很容易发现，同阶的矩阵和单个的量非常相似，它们可以被加、减或复合到一起。并且其加法和一般代数量的加法非常相似。考察它们之间的复合，发现矩阵的相乘顺序是不可变换的。尽管如此，构造一个（正的或负的。整数的或小数的）矩阵的乘幂还是可能的，因而就有矩阵的有理函数和整函数，或者更一般的任何矩阵代数函数”。
之后，凯莱继续挖掘他的思想，通过不断寻找一般的代数运算和矩阵运算之间的关系，并仔细留意这种相似性不成立的情况，给出了3×3矩阵的逆的公式，他指出：“当行列式变成０年时候，逆矩阵就没有了，这种矩阵就是不定的，０矩阵是不定的，只有当两矩阵中的一个或两个都是不定时，它们的乘积才可能是０”。
在凯莱把矩阵用单个符号来表示以后，推出了著名的凯莱－哈密顿定理。凯莱提出凯莱－哈密顿定理的动机就是想证明：“任何矩阵都会满足一个与它同阶的代数方程”。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征根）以及有关一些基本结果。
1855年，埃尔米特证明了别的数学家发现的一引动矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵原特征根性质等。后来，克莱伯施、布克涨姆等证明了对称特征根性质。泰伯引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式的问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。约当通过现今被称作的约当标准形把矩阵进行了基本分类。约当的分类不是基于矩阵的形式运算，而是特征值（也称谱）理论。在历史上，特征值概念是独立于矩阵理论自身，从不同思想的研究发展起来的。18世纪达郞贝尔对常系数的线性微分方程组解的研究最早引起对矩阵特征值问题的研究，而柯西是通过二次曲面、二次型的研究，证明了所有对角矩阵的特征向量都是实的，对称矩阵可以通过正交变换实现对角化。
1892年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要面开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支――矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。
３.线性方程组
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术――方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克安劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19世纪，英国数学家史密斯和道吉森继续研究线性方程组理论。
史密斯是牛津大学的一位几何学教授，是对线性方程组理论做出重要贡献的科学家之一。他引进了方程组的南北方矩阵和非增广矩阵的概念。在1861年的论文中，史密斯发展了齐次线性方程组的通解概念，他用不定指标、独立解的概念建立了齐次线性方程组完全解集合的概念，证明了任何解都是独立解的线性组合，并进一步指出，要解决非齐次线性方程组，只需找到一个持解，任何解都可以表示成该特解和对应的齐次通解的和的形式。
史密斯并没有考虑独立方程的个数比实际方程的个数小的情况，这是由查理斯，L。道吉森解决的，他在1867年发表的《行列式初论》一书中不仅讨论了AX=B的m×n矩阵A，还讨论了该方程的增广矩阵（A|B），从增广矩阵来研究方程是否是相容的，提出并证明了一个确定一般线性方程组解集性质的定理。并用构造的方法给出了证明。道吉森证明了n个未知数m个方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。
该定理已经隐含了秩的思想，但道吉森并没有抽象出来矩阵秩的概念。1879年，弗罗贝尼乌斯从前辈的研究中给出了在线性代数中重要的两个概念：矩阵的秩、线性无关性。他写到：“如果一个矩阵的所有r+1阶子式为０，但至少有一个r阶子式不为零，那么就称r为行列式的秩。”早于1879年，弗罗贝尼乌斯研究出史密斯提出的：“真正独立的方程”的意义，把这种性质定义为方程和表示方程组的n元组（即向量组）的线性无关性。尽管弗罗贝尼乌斯已经完成了线性方程组的解的性质和各种特殊类型的矩阵的性质的研究。但是直到20世纪初期，才开始用矩阵术语来组织材料的教科书，并且直到二十世纪40年代，人们才认识到矩阵和向量空间的线性变换之间的关系，因此，才把向量空间抽象地提出来，形成了今天的线性代数教学内容体系。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程且的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
４，线性代数的进一步深入发展――二次型
二次型也称为“二次形式”，一个数域上的n元二次齐次多项式称为该数域上的n元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论；当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那里并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
前面已经提到，二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。
５.线性代数的扩展――从解方程到群论的产生
求根问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。
到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列转换下的形式不变性有关，但他最终没有解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。阿贝尔只活了27岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。1824年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。
伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”转换，提出了转换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分转换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学英年早逝，年仅21岁。
转换群的概念的结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金和克罗内克有有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因和庞加莱给出了无限交换群和其他类型的无限群，19世纪70年代，李开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。
1882-1883年迪克的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。
20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联第的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。
