爱华网☆教学基本信息
课题
（教材版本名称、章、节名称）
新人教版九年级数学下册第二十六章第一节的二次函数
作者及工作单位
尧山中学 王焕平
☆指导思想与理论依据
将自己在本节课教学中的亮点设计所依据的指导思想或者核心教育教学理论简述即可，本部分内容必须和实际的教学内容紧密联系，避免出现照搬课标中整个模块的教学指导思想等情况
举例接近学生的生活。为学生的学习创造了机会，能发动学生的主动性。
☆教材分析
可以从以下几个方面进行阐述，不必面面俱到：
l 课标中对本节内容的要求；本节内容的知识体系；本节内容在教材中的地位，前后教材内容的逻辑关系。
l 本节核心内容的功能和价值（为什么学本节内容），思考其他内容对本节内容学习的帮助，本节内容的学习对学科体系的建立、其他学科内容学习的帮助；思考通过本节内容的学习，对学生学科能力甚至综合素质的帮助，以及思维方式的变化影响等。
这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的学业水平测试中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
☆学情分析
（可以从以下几个方面进行阐述，但不需要格式化，不必面面俱到）
l 教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量手段。
l 学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础）。
l 学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点。
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，平时上课课堂气氛比较沉闷，学生不爱发表自己的见解，所以教者利用本节课比较简单、基础的特点，一方面运用生活实例，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了一次函数、反比例函数、正比例函数，对函数概念已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于二次函数的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
☆教学目标
（教学目标的确定应注意按照新课程的三维目标体系进行分析）
（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心．
☆教学重点和难点
教学重点：对二次函数概念的理解。
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
☆教学过程
（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。）
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
（一）温故知新，激发情趣
1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？
2．它们的形式是怎样的?
3．一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？
函数是什么？常量是什么？为什么要有
k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
（二）、得出定义，揭示内涵
函数是研究两个变量在某变化过程中的
相互关系，我们已学过正比例函数，反比
例函数和一次函数。看下面三个例子中两
个变量之间存在怎样的关系。
例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积
s (cm2)与半径之间的关系是什么?
例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地
，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间
的关系是什么？
例3、某工厂一种产品的年产量是20件，
计划今后两年增加产量。如果每年都比上
一年的产量增加x倍，那么两年后这种产
品的产量将随计划所定的x的值而确定，
y与x之间的关系应怎样表示？
（三）、全面剖析，深入理解
巩固对二次函数概念的理解：
1. 强调“形如”，即由“形”来定义函
2. 数名称。二次函数即y 是关于x的二
3. 次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。
4. 在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0）
5. 为什么二次函数定义中要求a≠0 ？
(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
4、二次函数成立的条件？
（二次项的系数不等于零，未知数的最高次必须为二次）
5、在例3中，二次函数y=20x2+40x+20中， a=20， b=40， c=20．
6、b和c是否可以为零？
由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
（四）、启发诱导，初步运用
（1）判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
(1) s=3-2t2 (2) (3) y=3(x-1)2+1
(4)y=(x+3)2- x2 (5) s=10πr2 (6) y=22+2x
（8） y=ax2+bx+c
（2） 已知二次函数y=1-3x+5x2，则二次函数的系数a= ，一次项系数 b= ，常数项c=
（3）已知函数y=（a+2）x2+x-3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是
（4）若) 是二次函数，则m的值为
（五）强化训练，巩固双基
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。
（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；
（2）设这个直角三角形的面积为scm2,其中一条直角边为xcm，求s关
于x的函数关系式。
2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为scm2,体积为vcm3。
（1）分别写出s与x，v与x之间的函数关系式子；
（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？
3.设圆柱的高为h(cm)是常量，底面半径为rcm，底面周长为ccm，圆柱的体积为vcm3
（1）分别写出c关于r；v关于r的函数关系式；
（2）两个函数中，都是二次函数吗？
4. 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式．
（六）拓展延伸 提高能力
1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x= -1时，y=1．求a、b、c．
2.确定下列函数中k的值
(1)如果函数 是二次函数,则k的值是______
(2)如果函数 是二次函数,则k的值是______
（七）归纳小结，强化思想
本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方?
（八）布置作业，引导预习
必做题：
1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？
2. 在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
选做题：
1.已知函数 是二次函数，求m的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象
教师归纳总结改正学生回答的错误
学生回答教师板书
教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？
教师讲解
教师巡视
（一次函数，正比例函数，反比例函数）
y=kx+b(k≠0)；y=kx ( k≠0)；y= （k≠0)
解：s=πr2（r>0）
解： y=x(20/2-x)=x(10-x)
=-x2+10x
(0<x<10)
解： y=20(1+x)2
= 20x2+40x+20
学生议一议
小组合作完成
复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．
【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。
以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握二次函数的具体特征，特别是形式上的具体特征，为接下来能够准确的判断二次函数做好铺垫，打下基础。
理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。在这儿一定强调清楚如：练习一中（4）（7）（8）等不是二次函数的原因，旨在让学生从二次函数的形式与实质两方面理解二次函数的概念。
此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。
简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。
此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。
在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，既复习了三元一次方程的解法，也为后面的教学做个铺垫。
此题着重复习二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0.另外，在以往学生做题时，经常忽略了二次项系数不等于零的注意事项，而把不符合题意的答案也写上。
让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。
作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，不同的人得到不同的发展。另外通过预习二次函数的图象的画法，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣，为学习下节课打下基础。
☆板书设计
主板书1二次函数
2一次函数，正比例函数，反比例函数
3 s=πr2（r>0）
y=x(20/2-x)=x(10-x)
=-x2+10x
(0<x<10)
y=20(1+x)2
= 20x2+40x+20
4 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
5 本节课你有哪些收获？
☆学生学习活动评价设计
设计评价方案，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。另外，也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价。
本节的一个知识点就是二次函数的概念，教学中教师不能直接给出，而要让学生自己在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中，使学生感受函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，增加对二次函数的感性认识，侧重点通过实际问题的探究引导学生自己归纳出这种新的函数——二次函数，进一步感受数学在生活中的广泛应用。2012,
☆教学反思
（教学反思可以从以下几个方面思考，不必面面俱到）
l 反思在备课过程中对教材内容、教学理论、学习方法的认知变化。
l 反思教学设计的落实情况，学生在教学过程中的问题，出现问题的原因是什么，如何解决等，避免空谈出现的问题而不思考出现的原因，也不思考解决方案。
l 对教学设计中精心设计的教学环节，尤其是对以前教学方式进行的改进，通过设计教学反馈，实际的改进效果如何。
l 如果让你重新上这节课，你会怎样上？有什么新想法吗？或当时听课的老师或者专家对你这节课有什么评价？对你有什么启发？
这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课，从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。
但是如果光从这些知识点上来讲这节课，其实很简单，学生在原有知识的储备基础上很容易迁移和接受这些知识，那么这节课还有什么好设计的呢？
重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我才意识其实这节课的重点实际上应该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上，有了这个认识，一切变得简单了！
整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让学生理解和接受的。
对于实际问题的选择，我将4个问题整和于同一个实际背景下，这样设计既能引起学生兴趣，也尽量减少学生审题的时间，显得非常有层次性，这些实际问题贯穿整个课堂的始终，使整个课堂有浑然天成的感觉。
对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。
对于最后讨论题的设计和提出，是我在进行了整个一章的单元备课后发现，我们其实对二次函数的最值问题是不讲的，但是不讲并不代表一点都不会涉及到，其中用到的思想方法还是相当重要的，在图象的观察中也具有了重要的地位，再加上这个问题在进行了前面的实际问题的解答之后是呼之欲出的：多种树——想提高产量——多种几棵好呢？，所以我设计了这个探索性的问题：假如你是果园的主人，你准备多种几棵？注意这里我并没有提出最大最小值的问题，但是所有的学生都能理解到，这是数学的魅力。这个问题的提出是整节课的一个高潮和精华，是学生学完二次函数定义之后，综合利用函数的基本知识，代数式的知识和一元二次方程的知识进行的思考，因而他们的想法和说法，不论对错，不论全面还是有所偏颇，其中都涉及到了重要的数学思想方法，而这些恰恰是非常重要的。事实证明学生的思维真的是非常活跃的，你要你给了足够的空间，他们总能从各方各面进行思考和解释。
