微积分公式 常用微积分公式表高中

微积分学
· 极限的定义:
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限
几个常用数列的极限:
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
· 导数
定义:f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x ⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx
几种常见函数的导数公式:
① C'=0(C为常数函数)
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q);
③ (sinx)' = cosx
④ (cosx)' = - sinx
⑤ (e^x)' = e^x
⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina (ln为自然对数)
⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数 X>0)
⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0且a不等于1)
⑨(sinh(x))'=cosh(x)
⑩(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2 1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)
(arctanh(x))'=1/(1 x^2) (|x|<1)
(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)
(chx)‘=shx, (ch为双曲余弦函数)
(shx)'=chx: (sh为双曲正弦函数)
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
微积分公式 常用微积分公式表高中
②(uv)'=u'v uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(链式法则):
d f[u(x)]/dx=(d f/du)*(du/dx)。
[∫(上限h(x),下限g(x)) f(x)dx]’=f[h(x)]·h'(x)- f[g(x)]·g'(x)
洛必达法则(L'Hospital):
是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极
限来确定未定式值的方法。

(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。
· 曲率
K = lim(Δs→0) |Δα/Δs|
当曲线y=f(x)存在二阶导数时,K=|y''|/(1 y' ^2)^(3/2);
曲率半径R=1/K;
· 不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。
记作∫f(x)dx。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数。
·基本公式:
1)∫0dx=c;
∫a dx=ax c;
2)∫x^udx=(x^u 1)/(u 1) c;
3)∫1/xdx=ln|x| c
4))∫a^xdx=(a^x)/lna c
5)∫e^xdx=e^x c
6)∫sinxdx=-cosx c
7)∫cosxdx=sinx c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx c
9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx c
10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx c
11)∫1/(1 x^2)dx=arctanx c
12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a x)/(a-x)| c;
13)∫secxdx=ln|secx tanx| c
14)∫1/(a^2 x^2)dx=1/a*arctan(x/a) c
15)∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a) c;
16) ∫sec^2 x dx=tanx c;
17) ∫shx dx=chx c;
18) ∫chx dx=shx c;
19) ∫thx dx=ln(chx) c;
·分部积分法:
∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d
u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx.
一元函数泰勒公式(Taylor's formula)
泰勒中值定理:若f(x)在开区间(a,b)有直到n1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) f''(x0)/2!?(x-x0)^2, f'''(x0)/3!?(x-x0)^3…… f的n阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n Rn
其中Rn=f(n 1)(ξ)/(n 1)!?(x-x0)^(n 1)为拉格朗日型的余项,这里ξ在x和x0之间。
· 定积分
形式为∫f(x) dx(上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
牛顿-莱布尼兹公式:若F'(x)=f(x),那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。微分方程凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
如 二阶常系数齐次线性微分方程y'' py' qy=0的通解:
设特征方程r*r p*r q=0两根为r1,r2。
1 若实根r1不等于r2
y=C1*e^(r1x) C2*e^(r2x).
2 若实根r=r1=r2
y=(C1 C2x)*e^(rx)
3 若有一对共轭复根 r 1, 2= λ ± i b :
y=e^(λx)·[C1·cos(bx) C2·sin(bx)]
普通分类
两点成一线,多线成面,
多面成体,多体成界,多界成。。。
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积 底面积×2
(3)体积=底面积×高
(4)体积=侧面积÷2×半径
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数 1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数 1)
株距=全长÷(株数 1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
盈亏问题
(盈 亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(
大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度=静水速度 水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度 逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量 溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%) 注:扣税要扣20%
Word中编辑数学公式
Microsoft Word具有创建数学公式的功能,以Word2010软件为例介绍方法:
第1步,打开Word2010文档窗口,切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮(非“公式”下拉三角按钮)。
第2步,在Word2010文档中将创建一个空白公式框架,然后通过键盘或“公式工具/设计”功能区的“符号”分组输入公式内容。
排列,组合·阶乘:n!=1×2×3×……×n,(n为不小于0的整数)规定0!=1。·排列从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数,A(n,m)=n!??(n - m)!(m是上标,n是下标,都是不小于0的整数,且m≤n)··组合从n个不同的元素里,每次取出m个元素,不管以怎样的顺序并成一组,均称为组合。所有不同组合的种数C(n,m)=A(n,m)??m!=n!??[m!·(n-m)!] (m是上标,n是下标,都是不小于0的整数,且m≤n)◆组合数的性质:C(n,k)= C(n-1,k) C(n-1,k-1);对组合数C(n,k),将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1,则C(n,k)为偶数;否则为奇数◆整次数二项式定理(binomial theorem)(a b)^n=C(n,0)×a^n×b^0C(n,1)×a^(n-1)×b C(n,2)×a^(n-2)×b^2 ... C(n,n)×a^0×b^n所以,有 C(n,0)C(n,1) C(n,2) ... C(n,n)=C(n,0)×1^n C(n,1)×1^(n-1)×1C(n,2)×1^(n-2)×1^2 ... C(n,n)×1^n =(1 1)^n= 2^n

  

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