爱华网“抽屉原理”教学实录与思考
（已发表）
牛献礼
教学内容：人教版六年级下册“数学广角——抽屉原理”
教学思考：
有效的教学是从研究学生开始的。“解惑”需要先“知惑”，教学要从学生的视角望出去，瞄准学生的认知障碍，否则会造成“学生痒的地方没抓到，不痒的地方倒是抓到了，结果还是痒。”“抽屉原理”看似简单，但因为其实质是揭示了一种存在性，比较抽象，要让小学生建构起自己的实质性理解，还是很有挑战性的。首先，抽屉原理的精练表述，明显超出了一般人的抽象概括能力。对“总有一个抽屉里放入的物体数至少是多少”这样的表述，学生不易理解，教学中学生也很难用“总有”、“至少”这样的语言来陈述。第二，抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究它存在这样一个现象，不需要指出具体是哪一个抽屉，也就是说，对“抽屉”是不加区分的。而小学生容易受到思维定式的影响，理解起来有难度。在枚举时会把（2、1、1），（1、1、2），（1、2、1）理解成三种不同的情况。第三，人教版教材在例2的编排中是运用有余数除法的形式表达出假设法的核心思路，即5÷2=2……1。但由于该除法算式的余数正好是1，很容易让学生将“某个抽屉至少有书的本数”是“商加1”错误地等同于“商加余数”。基于以上分析，教学时要注意分散难点，鼓励学生借助实物操作或画草图等直观的方式逐步理解。同时，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的类推能力和概括能力。
教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用抽屉原理解决简单的实际问题。
2、通过操作、说理等活动发展学生的类推能力和概括能力，形成比较抽象的数学思维。
3、通过介绍德国数学家狄利克雷及对“抽屉原理”的实际应用，感受数学的魅力。
教学重难点：
经历“抽屉原理”的探究过程，并对简单的问题加以“模型化”。
教学过程：
一、创设情境，揭示课题。
师：虽然我对大家的生日不是很清楚，但我肯定在咱们班的40位同学中，至少有4位同学是在同一个月份出生的。相信吗？要不我们就来调查一下？
（现场调查学生）
师：看，我说的对吧？当然，“至少有4位同学是在同一个月份出生的”这句话并没有规定必须是几月份，反正“总有一个月份至少有4位同学出生”，所以，这个数据不管是在哪个月份出现，都能证明老师的话是正确的。老师为什么能料事如神呢？到底有什么秘诀呢？学习完这节课以后大家就知道了。
（反思：课始的导入引出了话题，也引发了数学思考，使学生初步感知“抽屉原理”，初步渗透了“不管怎样”、“总有一个”等思想。将数学学习与现实生活紧密联系，激起了学生探究新知的欲望。）
二、探究原理。
1、出示：小明说“把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”，他说得对吗？请说明理由。
师：“总有”是什么意思？
生：一定有
师：“至少”有2枝是什么意思？
生1：不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝。
生2：就是不能少于2枝。
师：好的，看来大家已经理解题目的意思了。你可以亲自动手摆一摆学具来研究，也可以在纸上画一画图，看看有哪几种放法？
学生思考，摆放、画图。
全班交流：
生1：可以在第一个文具盒里放4枝铅笔，其它两个空着。
师：这种放法可以记作：（4，0，0），这4枝铅笔一定要放在第一个盒子里吗？
生：不一定，也可能放在其它盒子里。
师：对，也可以记作（0，4，0）或者（0，0，4），但是，不管放在哪个盒子里，总有一个盒子里放进4枝铅笔。还可以怎么放？
生2：第一个盒子里放3枝铅笔，第二个盒子里放1枝，第三个盒子空着。
师：这种放法可以记作——
生：（3，1，0）。
师：这3枝铅笔一定要放在第一个盒子里吗？
生：不一定。
师：但是不管怎么放——
生：总有一个盒子里放进3枝铅笔。
生3：还可以在第一个盒子里放2枝，第二个盒子里也放2枝，第三个盒子空着，记作（2，2，0）。
师：这2枝铅笔一定要放在第一个和第二个盒子里吗？还可以怎么记？
生1：也可能放在第三个盒子里，可以记作（2，0，2）、（0，2，2）。
生2：不管怎么放，总有一个盒子里放进2枝铅笔。
生3：还可以（2，1，1）
生4：或者（1，1，2）、（1，2，1）
生5：不管怎么放，总有一个盒子里放进2枝铅笔。
师：还有其它的放法吗？
生：没有了。
师：在这几种不同的放法中，装得最多的那个盒子里要么装有4枝铅笔，要么装有3枝，要么装有2枝，还有装得更少的情况吗？
生：没有。
师：这几种放法如果用一句话概括可以怎样说？
生：装得最多的盒子里至少装2枝。
师：装得最多的那个盒子一定是第一个盒子吗？
生6：不一定，哪个盒子都有可能。
生7：不管哪个盒子，总有一个盒子里至少装2枝。
（板书：总有一个文具盒里至少装有2枝铅笔。）
（反思：怎样帮助学生理解抽屉原理模型中的“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”等词语表达的意思呢？在上述教学中，先让学生动手操作、画图，找出“把4枝铅笔放进3个文具盒里”的所有分放方法，目的是让学生真正体会并得到所有的分放方法。接着，通过教师的追问，引导学生体会、理解“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”的含义，为自主探究解决问题扫清了障碍。）
2、师：刚才我们研究了在所有放法中放得最多的文具盒里至少放进了几枝铅笔。怎样能使这个放得最多的文具盒里尽可能的少放？
生2：先把铅笔平均着放，然后剩下的再放进其中一个文具盒里。
师： “平均放”是什么意思？
生2：先在每个文具盒里放一枝铅笔，（师根据学生回答演示摆放的过程）还剩一枝铅笔，再随便放进一个文具盒里。
师：为什么要先平均分？
生3：因为这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了。
师：好！先平均分，每个文具盒中放1枝，余下1枝，不管放在哪个盒子里，一定会出现总有一个盒里至少有——
生：2枝铅笔。
师：这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个盒子里都放一枝，就可以使放得较多的这个文具盒里的铅笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。我们可以用算式把这种想法表示出来。（板书：4÷3=1……11+1=2）
（反思：在交流时，抓住两种方法的本质和关键加以引导，并进行归纳提炼，使学生初步感受和体验枚举法与假设法的不同。将假设法最核心的思路用“有余数除法”形式表示出来，将思维过程与数学符号联系起来，体现了数学的简洁美，并为后面发现规律埋下伏笔。）
师：如果把5枝笔放进4个盒子里呢？可以结合操作说一说。
生1：（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里，先平均分，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师：把6枝笔放进5个盒子里呢？还用摆吗？
生：6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师：把7枝笔放进6个盒子里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把9枝笔放进8个盒子里呢？……
你发现了什么？
生1：我发现铅笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师：你的发现和他一样吗？
生：一样。
师：你们太了不起了！
（反思：有了第一个例子研究的基础，再通过类推引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理。在类推的过程中，有意识地引导学生用假设法进行解释，让学生逐步学会运用一般的数学方法来思考问题，概括得出一般性的结论：只要放的铅笔数比盒子数多1，总有一个盒子里至少放进2支铅笔。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）
3、（出示）：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
学生独立思考、讨论后汇报：
生1：把5本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。
生2：把7本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放3本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有4本书。
生3：把9本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放4本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有5本书。
师：怎样用算式表示我们的想法呢？生答，板书如下。
5÷2=2本……1本（商加1）
7÷2=3本……1本（商加1）
9÷2=4本……1本（商加1）
师：观察板书你能发现什么？
生：我发现“总有一个抽屉里至少有2本”，只要用 “商+1”就可以得到。
师：你真爱动脑筋！那如果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
生2：“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用5÷3=1（本）……2（本），用“商+2”就可以了。
生3：不同意！先把5本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放1本，还剩2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里，总有一个抽屉里至少有2本书，不是3本书。
师：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？在小组里进行研究、讨论。
（全班交流）
生1：我们组通过讨论并且实际分了分，结论是总有一个抽屉里至少有2本书，不是3本书。
生2：把5本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放1本，余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本，结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
生3∶我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里，“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。
师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢？
生4：如果书的本数是奇数，用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
师：看来，真理确实是越辩越明！同学们的这一发现，称为“抽屉原理”。（板书课题：抽屉原理）“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
（反思：余数不为“1”时，余下的物体怎么分是学生学习的难点。教学中，给予学生充足的思考时间和探索空间，让学生充分发表见解，使学生从本质上理解了“抽屉原理”，有效地突破了难点。通过背景知识的介绍，激发学生热爱数学的情感和勇于探究的精神。）
三、应用原理。
师：学习了“抽屉原理”，你现在能解释“为什么咱们班的40位同学中至少有4位同学是在同一个月份出生的”吗？
学生思考，讨论。
生1：一年有12个月，相当于一共有12个抽屉，40÷12=3……43+1=4，总有一个抽屉里至少有4个人，所以至少有4位同学是在同一个月份出生的。
师：说得真好！看来你们已经掌握了这个秘诀了。
（反思：不但前后呼应，浑然一体，而且使学生体验到了学习的成就感。）
四、全课总结。
