爱华网知识网络
导数的概念
基本初等函数的导数公式
导数
函数的单调性研究
的的的
函数的极值与最值研究
导数的定义
导数的物理及几何意义意义
导数的运算
导数的四则运算法则及复合函数的导数
导数的应用
最优化问题
计算定积分
的的的
定积分与微积分
的基本定理
定积分的应用
第1讲 导数的概念及运算
★ 知 识 梳理 ★
1.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 .（3）取极限，得导数 （x0）= .
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的
物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的
解析：斜率.；瞬时速度.
3. 几种常见函数的导数
（ 为常数）； （ ）；
； ；
； ；
； .
4.运算法则
①求导数的四则运算法则：
； ； .
解析： ；
②复合函数的求导法则： 或
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法
2.难点：切线方程的求法及复合函数求导
3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.
（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。
问题1.比较函数 与 ,当 时,平均增长率的大小.
点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是
(1)计算自变量的改变量
(2)计算对应函数值的改变量
(3)计算平均增长率:
对于 , 又对于 ,
故当 时, 的平均增长率大于 的平均增长率.
（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,
问题2. 已知 ,则 .
点拨：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,
导致错解为: .
设 , ,则
.
（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
问题3. 求 在点 和 处的切线方程。
点拨：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值；
点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。
即过点 的切线的斜率为4，故切线为： ．
设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，
故 ， 。
即切线 的斜率为4或12，从而过点 的切线为：
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1] 设函数 在 处可导，则 等于
A． B． C． D．
【解题思路】由定义直接计算
[解析] .故选
【指引】求解本题的关键是变换出定义式
考点2.求曲线的切线方程
[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考) 如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则 = .
【解题思路】区分过曲线 处的切线与过 点的切线的不同，后者的 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设 ,过P点的切线方程为
即
它与 重合,比较系数知:
故 =2
【指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．
题型3.求计算连续函数 在点 处的瞬时变化率
[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.
【解题思路】计算连续函数 在点 处的瞬时变化率实际上就是 在点 处的导数.
解析：加速度v=
(10+Δt)=10 m/s.
∴加速度v=2t=2×5=10 m/s.
【指引】计算连续函数 在点 处的瞬时变化率的基本步骤是
1. 计算
2. 计算
【新题导练】.
1. 曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 .
解析：曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 .
点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.
2. 某质点的运动方程是 ，则在t=1s时的瞬时速度为 （ ）
A．－1 B．－3 C．7 D．13
解:B 点拨:计算 即可
3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.
解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)
对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为
y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①
对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0
∴直线l方程为y=0或y=4x－4
点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.
考点2 导数的运算
题型1:求导运算
[例1] 求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
【解题思路】按运算法则进行
[解析] （1）
（2）
（3）
【指引】 注意复合函数的求导方法（分解 求导 回代）；注意问题的变通：如 的导数容易求错，但 的导数不易求错.
题型2:求导运算后求切线方程
例2. (广州市2008届二月月考)已知函数
（1）若 ，点P为曲线 上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.
解析：（1）设切线的斜率为k，则
又 ，所以所求切线的方程为： 即
【指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.
与曲线 相切于P 处的切线方程是（ D ）
A． B． C． D．
题型3:求导运算后的小应用题
例3. 某市在一次降雨过程中,降雨量 与时间 的函数关系可近似地表示为 ,则在时刻 的降雨强度为( )
A. B. C. D.
【解题思路】先对 的求导,再代 的数值.
解析: 选D
【指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.
【新题导练】.
4. 设函数 ，且 ，则
A．0 B．-1 C．3 D．-6
思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于 的方程求解.
解 :
+ + +
故 又 ,故
5. 设函数 ，（ 、 、 是两两不等的常数），
则 ．
解析: 代入即得0..
6. 质量为 的物体按 的规律作直线运动,动能 ,则物体在运动 后的动能是
解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J
★ 抢 分 ★
基础巩固训练
1. 是 的导函数，则 的值是 ．
解析: 故 =3
2. 在 处的导数值是___________.
解析： 故填
3. 已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧 上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 .
解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上
∴y=－2 ,∴y′=－ ,∵kAB=－ ,∴－
∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4. ∴P(4,－4)
4.已知 ， （ ），直线 与函数 、 的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为1．求直线 的方程及 的值；
解：依题意知：直线 是函数 在点 处的切线，故其斜率
，
所以直线 的方程为 ．
又因为直线 与 的图像相切，所以由
，
得 （ 不合题意，舍去）；
5.已知函数 的图象都相切，且l与函数 图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；
解由 ，故直线l的斜率为1，切点为
即（1，0） ∴ ① 又∵
∴ 即 ②
比较①和②的系数得
综合拔高训练
6. 对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导函数 的导数，若 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”。现已知 ,请解答下列问题:
（1）求函数 的“拐点”A的坐标;
（2）求证 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.
[解析]（1） ， .令 得
， . 拐点
（2）设 是 图象上任意一点，则 ，因为 关于 的对称点为 ，把 代入 得
左边 ,
右边
右边=右边 在 图象上 关于A对称
7.已知定义在正实数集上的函数 ，其中 。设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）若 ，求 的值；
（2）用 表示 ，并求 的最大值。
解：（1）设 与 在公共点 处的切线相同
由题意知 ，∴
由 得， ，或 （舍去） 即有
（2）设 与 在公共点 处的切线相同
由题意知 ，∴
由 得， ，或 （舍去）
即有
令 ，则 ，于是
当 ，即 时， ；
当 ，即 时，
故 在 的最大值为 ，故 的最大值为
8. 设三次函数 在 处取得极值，其图象在 处的切线的斜率为 。求证： ；
解：(Ⅰ)方法一、 .由题设，得 ①
②
∵ ，∴ ，∴ 。
由①代入②得 ，∴ ，
得 ∴ 或 ③
将 代入 中，得 ④
由③、④得 ；
方法二、同上可得： 将（1）变为： 代入（2）可得： ，所以 ，则
方法三：同上可得： 将（1）变为： 代入（2）可得： ，显然 ，所以
因为 图象的开口向下，且有一根为x1=1
由韦达定理得 ,
,所以 ，即 ，则 ，由 得：
所以：
第2讲 导数在研究函数中的应用
★ 知 识 梳理 ★
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内 ；如果 ，那么函数 在这个区间内 .
解析：单调递增；单调递减
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的 ， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是
解析：极大值点；极小值.
3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出 在 上的极值.（2）求出端点函数值 .
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法
2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题
3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题
（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
问题1. 设 ， ．令 ，讨论 在 内的单调性并求极值；
点拨:根据求导法则有 ，
故 ，于是 ，
2
减
极小值
增
列表如下：
故知 在 内是减函数，在 内是增函数，所以，在 处取得极小值 ．
（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.
问题2.已知函数 是 上的可导函数，若 在 时恒成立.
（1）求证：函数 在 上是增函数；
（2）求证：当 时，有 .
点拨:由 转化为 为增函数是解答本题关键.类似由
转化为 为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.
（1）由 得 因为 ，
所以 在 时恒成立，所以函数 在 上是增函数.
（2）由（1）知函数 在 上是增函数，所以当 时，
有 成立，
从而
两式相加得
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 导数与函数的单调性
题型1.讨论函数的单调性
例1设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性．
【解题思路】先求导再解 和
【解析】
对于 ，
当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
对于 ，
当 时，函数 在 上是减函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
【指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.
（1） 求函数 的导数 （2）令 解不等式，得 的范围就是单调增区间;令 解不等式，得 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.
[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数 的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为 .
题型2.由单调性求参数的值或取值范围
例2: 若 在区间[－1,1]上单调递增，求 的取值范围.
【解题思路】解这类题时,通常令 (函数 在区间 上递增)或
(函数 在区间 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.
解析： 又 在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即 在 [－1,1]的最大值为
故 的取值范围为
【指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.
题型3.借助单调性处理不等关系
例3. 当 ，求证
【解题思路】先移项,再证左边恒大于0
解析：设函数
当 时， ， 故 在 递增， 当 时， ,又 ， ，即 ，故
【指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明
【新题导练】.
1. 若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3
分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.
解析：f′(x)=3x2－2ax=3x(x－ a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x－ a)≤0,
即 a≥2,∴a≥3.答案：A
2. 函数y=x3+x的单调增区间为
A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.答案：A
3. 已知函数 , ,设 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值；
解析：（I） ，
∵ ，由 ，∴ 在 上单调递增。
由 ，∴ 在 上单调递减。
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。
（II） ，
恒成立
当 时， 取得最大值 。∴ ，∴
考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.
题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值
例1. 若函数 在 处取得极值,则 .
【解题思路】若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极大值；若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极小值.
[解析]因为 可导,且 ,所以 ,解得 .经验证当 时, 函数 在 处取得极大值.
【指引】 若 是可导函数，注意 是 为函数 极值点的必要条件.要确定极值点还需在 左右判断单调性.
例2． 设函数 （ ），其中 ，求函数 的极大值和极小值．
【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。
解析：. ，
．
令 ，解得 或 ．
由于 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ；
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
【指引】求极值问题严格按解题步骤进行。
例3.已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围.
【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值
解析： 的定义域为 ，
的导数 .
令 ，解得 ；令 ，解得 .
从而 在 单调递减，在 单调递增.
所以，当 时， 取得最小值 .
（Ⅱ）解法一：令 ，则 ，
① 若 ，当 时， ，
故 在 上为增函数，
所以， 时， ，即 .
② 若 ，方程 的根为 ，
此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数.
所以 时， ，
即 ，与题设 相矛盾.
综上，满足条件的 的取值范围是 .
解法二：依题意，得 在 上恒成立，
即不等式 对于 恒成立 .
令 ， 则 .
当 时，因为 ，
故 是 上的增函数， 所以 的最小值是 ，
所以 的取值范围是 .
【指引】求函数 在闭区间 上的最大值（或最小值）的步骤：①求 在 内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．
题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。
例3．已知函数 图像上的点 处的切线方程为 ．
（1）若函数 在 时有极值，求 的表达式
（2）函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围
【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）
解析： ， -----------------2分
因为函数 在 处的切线斜率为-3，
所以 ，即 ，
又 得 。
（1）函数 在 时有极值，所以 ，
解得 ，所以 ．
（2）因为函数 在区间 上单调递增，所以导函数
在区间 上的值恒大于或等于零，
则 得 ，所以实数 的取值范围为
【指引】已知 在 处有极值，等价于 。
【新题导练】
4． 在区间 上的最大值为 ，则 =（ ）
A. B. C. D. 或
解析：选B
在 上的最大值为 ， 且在 时， ，解之 或 （舍去）， 选B.
5． 在区间 上的最大值是
A． B．0 C．2 D．4
[解析] ，令 可得 或 （2舍去），当 时， >0，当 时， <0，所以当 时，f（x）取得最大值为2.选C
6．已知函数 是 上的奇函数，当 时 取得极值 .
（1）求 的单调区间和极大值；
（2）证明对任意 不等式 恒成立.
[解析]（1）由奇函数定义，有 . 即 因此，
由条件 为 的极值，必有
故 ,解得
因此
当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.
当 时， ，故 在单调区间 上是减函数.
当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.
所以， 在 处取得极大值，极大值为
（2）由(1)知， 是减函数，且
在 上的最大值为 最小值为
所以，对任意 恒有
[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题 .
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1． 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内有极小值 点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A
2．、函数 有（ ）
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3
解析： ，令 得
当 时， ；当 时， ；当 ，
时， ，当 ，故选D.
3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为
A.1－e B.－1 C.－e D.0
解析：y′= －1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：
x
(0,1)
1
(1,e)
e
y′
+
0
－
y
增函数
极大值－1
减函数
1－e
由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y
