爱华网《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例
数学科组金莹
【案例背景】
在接到“青年教师教学优质课比赛”的任务没多久，我又被级组赋予另一项艰巨而伟大的使命“优质班会课评比”。当两个“优质课”碰撞时，也许就只能成全一个“优质”了！刚从班会优质课的赛场退下来，还没来得及喘口气，便又匆忙的投入几天后即将举行的教学优质课。虽然我早已不是一位新手，我的年龄也正在踩线，青年教师的青春头衔将不再属于我，可是，面对教研处浓重组织的这场教学比赛，我还是心惊胆战！一是对手实在太强大；二是已有好几年没有教高一；三是《三角函数》是个公认不好讲、不易出彩的内容；四是我的准备不充足，留给我的时间太少了。面对这么多的不利因素，我只能勇往直前，不怕失败！首先，确定主题。怎样跳出三角函数那些枯燥的公式，平淡的性质，以学生为主体，新授课上出探究味呢？经过思考、对比，唯有“图象”，能当此重任。它有“形”的直观，有多媒体的动态，更有学生参与画图的空间。于是，我将主题定为“正弦函数、余弦函数的图象”。这是一个承前启后的章节，它的推导要利用前面讲过的三角函数线，它的出现又将为后面研究性质铺路。这也是一个知识联系丰富的内容，从正弦到余弦，只需用诱导公式和图象变换可以实现；从三角函数线几何法作图，到简化的五点法作图，再到灵活的图象变换，方法多样，内涵丰富。另外，这节课的画图，需要强大的信息技术支持，课件的动画效果和设计，直接影响到本课的难点突破。在这方面，我也花了大量心血，最终的课件效果令人满意，被其他老师借用。分享是一种快乐和美德！
【案例描述】
本节课需要用到很多以前的知识，比如，一开始给出正弦函数的定义，这需要以函数的定义为基础。而函数概念放了很久，学生普遍会遗忘。再如，由正弦曲线图象得出余弦曲线的图象，要借助诱导公式五、六。画正弦曲线的几何方法，要利用正弦线。所以，在课前的学案中，我设计了【温故知新】环节，帮助学生回顾。本课还有一个难点，画正弦曲线时怎样引导学生联想到三角函数线中的正弦线？从而用几何法准确作图。为此，我又设计了一个铺垫。用问题串来引导，启发学生如何准确的画出纵坐标，从一个具体的点入手，从而有效突破难点。
部分课堂实录：
一．课题导入
师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).
师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？
生：定义域为R.
师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来研究它的性质.
通过图象可以研究函数的哪些性质？
生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.
师:这节课我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象.
（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）
师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验.
（多媒体展示“简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.）
二．讲授新课
1．利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象
师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？
生：列表、描点、连线．
师:在[0,2p]范围内取哪些点？
生：取特殊角：等。
师：那么的值是精确值还是近似值？
师生共同讨论总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.
师:（进一步提出问题）为了得到比较精确的正弦函数的图象，如何从几何的角度用图形表示纵坐标？
比如，怎样用几何法描出点？
（教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。结合在前面已经学过的三角函数线——三角函数线从“形”的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的正弦线来表示点的的纵坐标——正弦值．）
生：学生先探索，然后上黑板展示她的成果。
（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）
师:既然我们能够利用正弦线准确描点，那么请同学们再多找一些点，画出正弦函数y=sinx，x?[0,2p]的图象。
（留时间给学生作图，教师巡视，学生画好后投影展示，并请学生讲解作图步骤。）
师:在学生讲解完后，教师再利用多媒体的动画效果演示一下作图过程，加深印象。
（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）
师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0,2π]上的图象．
提出问题：如何由y=sinx，x?[0,2p]的图象得到y=sinx，x?R的图象．
2．由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到函数y=sinx，x∈R的图象
教师结合图形，引导学生继续研究[2π,4π]上的图象，让学生观察，发现：[2π,4π]上的图象和[0,2π]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2π,4π]上的图象和[0,2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2π,4π]上的图象只需把[0,2π]上的图象像右平移2π个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．
师生形成共识:把函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象.
师：多媒体演示由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程．
师:（小结）由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,k?Z．
（先让学生从直观上感受[2π,4π]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）
- 由正弦函数的图象得到余弦函数的图象
师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题——正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？
生:可以，但比较麻烦．
师:想走捷径，就得利用前人的成果！能否以正弦函数的图象为基础，结合诱导公式快速作出余弦函数的图象？
探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？
（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）
师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？
生1：把余弦化正弦，；
师：（继续引导）还有没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？
生2：；
师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！要作的图象，只要作或的图象。从函数图象变换的角度考虑，如何由y＝sinx的图象得到或的图象，哪一个更简单？
生：由y＝sinx的图象得到的图象，需要经过两次图象变换，而由y＝sinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简单.
师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．
（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．
4．用“五点法”作正弦函数的简图
师:我们在作正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。
(学生回答，教师动画演示)
师:在精确度要求不高的情况下，我们常用“五点画图法”作出正弦函数的简图。
师：你们能类比说出余弦函数的五个关键点吗？
（师生一起总结：“五点作图法”是我们画三角函数简图的基本方法。
师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用.
下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象.
三．典例讲解
示例1:（1）用“五点法”作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]上的简图；
（2）用“五点法”作函数y=-cosx,x∈[0,2π]上的简图.
（对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）
师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，x?[0,2p]的图象，得到y＝1＋sinx,x?[0,2p]的图象？同样的，如何利用y=cosx，x?[0,2p]的图象，得到y=-cosx，x?[0,2p]的图象？
2、巩固练习
四、课堂小结
师:这节课的研究学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探索和收获.
生1:我们学习了用三角函数线作图,“五点法”作图；
生2:复习了诱导公式，并利用诱导公式从正弦函数图象变换得到余弦函数的图象。
师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.
五、拓展提升
（留给学生课外思考，训练数形结合的思想方法。）
【案例评析】
比较成功的地方：
1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．
2．对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，用最基本的“描点法”作图：列表，描点、连线。
3、有效的突破难点。本课的重心和难点几乎都压在前半段了，怎样启发学生联想到前面已经学过的三角函数线作图？这需要精心设问，悉心引导，才能成功搭桥。我从y的近似值开始质疑，先抛出一个具体的点，怎样用几何的方法画出呢？抓住了几何特征，学生就会慢慢想到正弦线。有了这个点的铺垫，后面的作图就不难，放手给学生画图。这样设计比较自然，合理，符合学生认知规律．
4、课件制作精美，动画效果好，能有力的辅助教学，给学生生动直观的印象。
5、体现了“以学生为主体，自主探究、合作交流”的新课标理念。从探究正弦函数的图象，到如何由正弦曲线得到余弦曲线，我都是给了充分的时间让学生去思考、交流、画图，还请了学生到黑板讲解。教师只是一个组织者。
6、精选习题，以点带面，层层递进。注意规范性和数学思想的渗透。
不足之处：
1、过于依赖多媒体演示，导致忽略了传统的、基本的板书设计。
2、由于本节课容量很大，新授课要讲清概念、原理、联系，往往需要花费较长的时间。再加上学生画图、探究，也需预留充分的时间给他们，导致在习题巩固环节很赶，有种前松后紧的感觉。
3、数学课要想上出数学味、趣味性，这跟内容有极大的关联。那些有思维深度的内容，如：解几、函数、数列，发挥探索的余地较大。概率统计等内容趣味性强，而中规中矩的三角函数，只能平平淡淡才是真！相对理科的物理、化学、生物，它们更贴近生活、应用，更容易吸引评为们的眼球。
4、由于教学优质课与班会优质课档期相撞，导致一心不能两用，准备不是很充分。
