爱华网掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
三. 知识要点：
1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|，即 ），这个动点的轨迹叫椭圆（这两个定点叫焦点）.
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆。
2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|= ， = =e；
（2） ， ；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p= ，
3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式
和 其中 。
椭圆 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 焦准距（焦点到准线的距离） ，焦参数 （通径长的一半）。范围： ， ，长轴长= ，短轴长=2b，焦距＝2c ，
【典型例题】
例1. 已知椭圆的焦点是 ，直线 是椭圆的一条准线.
① 求椭圆的方程;
② 设点P在椭圆上，且 ，求cos .
解：① .
②设 则
又 ，
例2. 求中心在原点，一个焦点为 且被直线 截得的弦中点横坐标为 的椭圆方程.
解：设椭圆方程 ， ， ，
因为弦AB中点 ，所以 。
由 得 ，（点差法）
所以
又 。
例3. 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
分析：求椭圆的离心率，即求 ，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一个量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a= b.
解：设椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2，
则P（－c，b ），即P（－c， ）.
∵AB∥PO，∴kAB=kOP，
即－ = .∴b=c.
又∵a= = b，
∴e= = = .
点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.
例4. 如下图，设E： + =1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ.
分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S= r1r2sin2θ.若能消去r1r2，问题即获解决.
证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
则S= r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有
（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ
=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ
=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.
所以r1r2= .
从而有 S= · sin2θ=b2 =b2tanθ.
点评：①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.
②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0， ）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，
例5. 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为 ，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为 .OA⊥OB，易得a、b的两个方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（ ， ）.
由 ，∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.
∴ = ， =1－ = .
∴M（ ， ）.
∵kOM= ，∴b= a. ①
∵OA⊥OB，∴ · =－1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2= ，y1y2=（1－x1）（1－x2），
∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－ + = .
∴ + =0.
∴a+b=2. ②
由①②得a=2（ －1），b=2 （ －1）.
∴所求方程为2（ －1）x2+2 （ －1）y2=1.
点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.
例6. 已知椭圆 =1，能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项?
解：由方程知e=1/2，假设存在点M（x0，y0）满足条件，
即 =1且x0∈[─2，0），
有 d2=|MF1||MF2|（d为M到准线的距离），
∵ |MF1|=a+ex0=2+x0/2， |MF2|=a─ex0=2─x0/2， d=4+x0，
∴ （4+x0）2=4─x02/4，
∴x0=─12/5或x0=─4，这与x0∈[─2，0）矛盾，
故点M不存在.
点评：范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题，而且一般是二次的.
小结：
椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：
（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.
易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ= =e.
（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.
（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.
（4）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
【模拟试题】
1. 如果椭圆 上的点A到右焦点的距离等于4，那么点A 到两条准线的距离分别是 （ ）
A. 8， B. 10， C. 10，6 D. 10，8
2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A. B. C. D. 以上都不对
3. P为椭圆 上的点， 是两焦点，若 ，则 的面积是（ ）
A. B. C. D. 16
4. 椭圆 内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，使 最小，则点M为（ ）
A. C. D.
5. 椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________.
6. 如图 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上， 是面积为 的正三角形，则 的值是____.
7. 设A（-2，0），B（2，0）， 的周长为10，则动点C的轨迹方程为： __________.
8. 椭圆 上有两点P、Q ，O为原点，若OP、OQ斜率之积为 ，则 为 （ ）
A. 4 B. 64 C. 20 D. 不确定
9. P是椭圆上一定点， 是椭圆的两个焦点，若 ，则___________.
10. 圆心在 轴的正半轴上，过椭圆 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 ____________.
11. 点P在椭圆 + =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.
12. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 ，求这个椭圆方程.
13. 直线l过点M（1，1），与椭圆 + =1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
【试题答案】
1. B
2. C 解析：
3. B 解析： 设 ，列方程求解.
4. A 解析： 等于M到右准线的距离.
5.
6. .
7.
8. C 解析： 设直线方程为 ，解出 ，写出
9. .
10.
11.
12. 由题设条件可知a=2c，b= c，又a－c= ，解得a2=12，b2=9.∴所求椭圆的方程是 + =1或 + =1.
13. 解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则 + =1， ①
+ =1. ②
①－②，得
+ =0.
∴ =－ · .
又∵M为AB中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
∴直线l的斜率为－ .
∴直线l的方程为y－1=－ （x－1），即3x+4y－7=0.
