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(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.泰勒公式（Taylor's formula）
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明 我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。 麦克劳林展开式的应用 ：
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
泰勒展开式原理 e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.
计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.
若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.
甲)差分.
考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为
以后我们干脆就把 简记为
(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.
(iv) 叫做自然等比数列.
(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)
(乙).和分
给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则
和分也具有线性的性质:
甲)微分
给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子.
微分算子的性质:
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为
(乙)积分.
设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割:
;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0).
若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积.
(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)
积分算子也具有线性的性质:
定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.
甲)Taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清
两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.
(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.
g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.
值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.
利用 Taylor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.
复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.
当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)
注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.
(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:
给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:
答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推
(一) 分部积分公式:
设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则
(二) Abel分部和分公式:
设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.
(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)
(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.
(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为
令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.
(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有
(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则
当然,变数再多几个也都一样.
(己)Lebesgue 积分的概念
(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.
(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.
Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割:
函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和
让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分. 余项 泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
也叫Cauchy中值定理。
设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b))
则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立
几何意义 若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。
当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
证明 令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0
即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
罗尔定理 罗尔定理说明图片
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
其中a不等于b；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴
