爱华网要求前后两次求出的差的绝对值小于10-5。
算法如下：
① 设定一个x的初值x0 ; (在如下程序中取x0=a/2, 通过迭代公式求出x1，可以肯定与真正的平方根相比，误差很大。)
② 用上述公式求出x的下一个值 x1 ;
③ 如此继续下去,直到前后两次求出的x值(x n+1和xn)满足以下关系:|x n+1-xn|<10-5 .
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
float a; /* 被开方数 */
float x0, x1; /* 分别代表前一项和后一项 */
printf("Input a positive number:n");
scanf("%f", &a);
x0 = a / 2; /* 任取初值 */
x1 = (x0 + a / x0) / 2;
while (fabs(x1 - x0) >= 1e-5)
{
x0 = x1;
x1 = (x0 + a / x0) / 2;
}
printf("The square root of %5.2f is %8.5fn", a, x1);
return 0;
}
运行结果:
=====================================
Input a positive number:
2↙
The square root of 2.00 is 1.41421
=====================================
★ 其中初值是任取的(这里取的a/2) , 试将x0初值换为任意数均可得到如上结果。只是迭代的次数有差异。
★ 另外，考虑到while与do-while的差别，此程序用while结构，那是否会出现第一次判断条件时就不成立呢，即不会执行循环体。验证如下：设被开方数a为4，x0 初值为2，则由迭代公式可得x1值为2，x1=x0 值应该为0, 此时应该不会执行循环体，那么结果是否还是正确的呢? 验证如下:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
float a;
float x0, x1;
printf("Input a positive number:n");
scanf("%f", &a);
x0 = 2;
x1 = (x0 + a / x0) / 2;
printf("x0=%f x1=%f x1-x0=%fn", x0, x1, x1-x0);
while (fabs(x1 - x0) >= 1e-5)
{
x0 = x1;
x1 = (x0 + a / x0) / 2;
printf("x1=%fn", x1); /*若条件成立,则会循环输出 */
}
printf("The square root of %5.2f is %8.5fn", a, x1);
return 0;
}
运行结果: (没有输出循环体中的内容)
===============================================
Input a positive number:
4↙
x0=2.000000 x1=2.000000 x1-x0=0.000000
The square root of 4.00 is 2.00000
===============================================
★ 若被开方数 a 为9, 初值为3, 情况与以上类似, 都不满足条件, 没有进入循环体运行, 但结果都是正确的。原因(我猜)是在做如上假设时,x1经一次迭代后已经就是正确的结果了, 而不需要再做第二次迭代，那么是否执行循环体也就无所谓了。这应该和这种迭代方法的由来有点关系，我猜。
