前面在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中,曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式:
13+23+33+…+n3=[n(n+1)/2]2
一次用的是“图形法”,一次用的是“列表法”。其实,早在公元100年前后,毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯,在他的著作《算术入门》中就曾经用非常简单的方法推导过这个公式。
现在,让我们按照他的思路,重复一下这个公式的推导过程。
过程大体上是这样的:
首先,从奇数列的一个性质入手。
奇数列1,3,5,7,9,11,13,…有一个性质,很容易验证:
1=13
3+5=23
7+9+11=33
13+15+17+19=43
21+23+25+27+29=53
……
请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端:
第1个等式左端,结束于第1个奇数;
第2个等式左端,结束于第3个奇数;
第3个等式左端,结束于第6个奇数;
第4个等式左端,结束于第10个奇数;
第5个等式左端,结束于第15个奇数;
……
结果发现,这些奇数的序数1,3,6,10,15,…原来是“三角形数”,它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1,第2项是1+2=3,第3项是1+2+3=6,第4项是1+2+3+4=10,第5项是1+2+3+4+5=15,……第n项是1+2+3+…+n=n(n+1)/2。即,第n个等式左端,结束于第n(n+1)/2个奇数。
然后,对上面这一系列等式的左右两端,分别求和:
右端是连续自然数的立方和13+23+33+…+n3。
左端是连续奇数的和。我们知道,求连续奇数的和,求到第几个奇数,就等于第几个奇数的平方。现在,求到第n(n+1)/2个奇数,当然等于[n(n+1)/2]2。
这样就得到求连续自然数立方和的公式:
13+23+33+…+n3=[n(n+1)/2]2
这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法,显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的宠爱有关。图形数是自然数的形象化,自然数是众数之源,自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。