爱华网简论中国古代数学中的“黄金分割率”
黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德
等都曾深入研究过黄金分割问题。中世纪时,这一
数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而
获得许多新的性质。在西方数学传入中国之前,中
国人不曾直接论述黄金分割问题。但是,中国古代
数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达
方式有所不同。中国古代数学中的黄金分割率不像
欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发
现。我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到
“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题
中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识
中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率
明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道
了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中
国是“古已有之”。例如,清代数学家梅文鼎(公元
1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分
中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异
源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之义包举无
方。”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是
其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于
勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股
分成中末比。他还说:“《几何原本》理分中末线,但
求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二
十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸
线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相
容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒
设。”〔1〕
按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所
不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是
中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。应
当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中
之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教
科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,
但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文
鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧
几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价
值。欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述:
“分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的
矩形的面积等于另一小线段上的正方形的面积。”这
里,欧氏几何学给黄金分割的证明结果上升到定理
的高度。关于这一点,梅文鼎本人也慨叹,中国古代
数学家没有从勾股术中看出黄金分割率是非常可惜
的。
2 “河图”、“洛书”与黄金分割率
从数学上说,河图洛书是一种古老的数字组合
方式,也是中国古代数学的源头。其中也隐含着黄
金分割率。
清代著名学者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）
年) 在《河洛精蕴》中已经指出河图中的黄金分割率
(他称之为“神分线”) 。他将河图中宫十数为股,五
数为勾,然后各自自乘,再开方得弦,即:
52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)
再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)
11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦较)
10 (股) - 6. 18 (勾弦较) = 3. 819
这样,以16. 18 (勾弦和) 为长,
则,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618
其中,16. 18 (勾弦长) ×6. 18 (勾弦较) = 99. 99
10 (股) ×10 (股) = 100
若,以10 (股) 为长,
则3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179
其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19
如是,江永说:“八线表半径用全数如十,则勾弦
较六一八O 三三九,即十边三十六度之通弦。其列
率即《洛书》三率连比例之理。其所得十边通弦之
数,实生于五与十,而五十即《河图》之中宫,至平中
有至奇焉。西人秘惜其法,谓此线为神分线,岂知神
奇即在目前哉”〔2〕?
这里,我们看到,从河图演算出的黄金分割率是
与数“五”与“十”密切相关的。在河图中,“五”与
“十”两数具有特殊的意义。河图由一、二、三、四、
五、六、七、八、九、十共十个数字组成,其中一、二、
三、四、五称为生数,六、七、八、九、十称为成数。十
个数相加为55 ,被古人称为“天地之数”。《周易·系
辞传》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、
地八、天九、地十。天数五,地数五,五位相得,而各
有合,天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有
五,此所以成变化而行鬼神也。”其实,“五十”之为
“天地之数”,并非它能行鬼神之变化,这当中反映出
上古先民所创造的十进制的计数方法,而十以内的
任何数字都可以运用四则运算法加以计算。也就是
说,任何一个数的平方都可以用这种简单的加法求
出来,利用它的逆运算,任何一个数的开方也可以用
简单的减法求出来。《周易·系辞传》曰:“大衍之数
五十,其用四十有九。”《周髀算经》解释说:“禹治洪
水,始广用勾股弦,故称其为大衍数。”可见,运用勾
股定理对“天地之数”或“大衍之数”“五”与“十”进行
简单的运算即可求出其中蕴含的黄金分割率。这说
明,黄金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表
现在线段和图形之比例关系当中,也可以表现在非
常简单的数字关系中。
至于洛书,它与黄金分割率也有联系。由洛书
演化的“九宫图”,如果将其与斐波那契数列相联系,
亦可找到其中的内在联系。
有趣的是,生活在与贾宪年代相差不远的哲学
家程颐在其《易程传》中,对64 卦按所含阳爻数目
的多少进行分类。其结果正好是杨辉记录的贾宪三
角形的最后一层的数据。
后人将《易程传》原文对
64 卦按阳爻的数目进行组合分类的排列进行统计
的时候,又发现,这个分布图与贾宪三角形十分相
像。从64 卦的分布可以直接导出一个贾宪三角
形〔5〕! 这恐怕不是巧合。联系到八卦与河图、洛
书,河图、洛书与黄金分割和斐波那契数列的内在联
系,我们有理由得出64 卦也与黄金分割、斐波那契
数列有内在联系的结论,由此还可看出,黄金分割率
决不只是单纯的几何学问题,它也广泛地蕴含于以
数值化为特征的中国古代数学中。
4 “五运六气”学说与黄金分割率
我们知道,正五角星形各线段之比为黄金分割
值,而中国传统医学的“五运六气”学说中实际上已
经蕴含了正五角星形,因此也蕴涵了黄金分割率。
“五运六气”学说与五行思想有密切关系。《国
语·郑语》曰:“先王以土与金木水火杂,以成百物。”
《尚书·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四
曰金,五曰土。”后来“五行”与“五方”联系起来,即
中、东、南、西、北五方。在这种观念中“, 土”居中,起
支配作用“, 五方”并不构成五个角。到了战国时期,
五行思想有了进一步的发展,形成了以邹衍为代表
的阴阳五行学说。其相生相克的原理突破了殷人以
土居中的“五方”观念,用正五边形和五角星形来形
象地表示这一学说是再恰当不过的了。
5 黄赤交角与黄金分割率
我国是世界上天文学发达最早的国家之一。在
天文观测实践中,古代数学获得了长足进步。特别
是投影几何学、三角函数学等测量数学在当时世界
上取得领先成绩。这其中,黄道面与赤道面交角数
值的确定以及与之相关的36°角、72°角的形成皆与
黄金分割率有明显的联系。
关于黄赤交角。据史料记载,世界上最古老的
星表之一———我国的《石氏星经》已经确定了赤道座
标体系,而且已经知道了黄道倾角。成书于公元前
一世纪的《周髀算经》有用圭表测影并用勾股定理进
行天文计算的记录。当时用垂直于地面的高八尺
表,在中午测日影长,用日影长度来定义每年二十四
节气,这是治历各家的重要参数。关于两至影长的
具体数字,东汉的贾逵在注释《周髀算经》时说:“冬
至日距极为百一十五度,夏至日距极六十七度。”
(《后汉书》卷十二) 以二除两者之差,得整数二十四
度(折合现在的23°39’18 〃) 。东汉另一位天文学家
张衡(公元78 - 139 年) 在《浑仪》一书的残篇中有如
下记载:“赤道横带浑天之腹,去极九十一度十九分
之五。黄道斜带其腹,出赤道表里各二十四度。故
夏至去极六十七度而强,冬至去极百一十五度亦强
也。”张衡再次给出了黄赤交角的具体数值。隋唐以
降,黄赤交角的数值计算得越来越精确。徐昂的宣
明历(公元822 年) 所用的黄赤交角值为23°34′55″,
仅比理论值小37″。元代数学家郭守敬等人于《授
时历》中多次应用了沈括的“会圆术”,并配合使用相
似三角形各线段间的比例关系,从而在推算“赤道积
度”、“赤道内外度”方面创立了新的方法。从数学意
义上来讲,新的方法相当于开辟了通往球面三角法
的途径。由于采用了新的方法“, 中国的一整套观测
值(以郭守敬极精确的数值为最高峰) ,曾为18 世纪
天文学家关于所谓黄道倾角易变性的讨论提供了证
据”
6 结 语
以上通过对中国古代数学中蕴涵的“黄金分割
率”的分析和论证,我们至少可以得到两点启发:
第一,黄金分割率普遍地蕴含于数学的许多分
支学科中,中国古代数学作为世界数学发展的一种
类型,同样与黄金分割率有着内在的联系。
如前所述,有关黄金分割的数学问题非常广泛,
而尤以斐波那契数列所蕴涵的数学问题最为丰富。
例如,在欧几里德算法的计算过程中,为了求出两个
给定正整数的最大公因数,数学家G. 拉梅(Lame ,
1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:为了求出
两个正整数的最大公因数,所需进行的除法的次数
决不大于较少整数的位数的五倍。而这个定理的证
明首先要用到斐波那契数列的某些性质〔9〕。我们
知道,欧几里德关于求取两个正整数的最大公因子
的算法同我国古代《九章算术》中的“更相减损术”是
相同的。这也就是说,“更相减损术”与斐波那契数
列的某些性质也是有联系的。相关的问题,我们甚
至还可以在数论的重要分支丢番图逼近(Diophan2
tine Approximation) 中找到。我国著名数学家华罗
庚在其数论研究中涉及到的丢番图逼近方程与斐波
那契数列有关〔10〕。上个世纪数学界的领军人物大
卫·希尔伯特在1900 年巴黎国际数学家代表大会上
的演讲中曾提到的第十个问题是丢番图方程可解性
的判别。1970 年,前苏联科学家马蒂雅舍维奇在前
人研究的基础上,引入了斐波那契数列,从而解决了
希尔伯特第十个问题〔11〕。这表明,黄金分割率不只
是在初等数学有,而且在高等数学甚至数学的前沿
学科中也广泛蕴涵着;不只在西方数学体系中广为
存在,而且在东方诸国的数学体系中也时隐时现。
因此,在西方以外的数学体系中“发掘”出黄金分割
率并不是值得大惊小怪的事情。
第二,黄金分割问题的解决有赖于东西方数学
思想和方法的互补。古代希腊数学家们热衷于对纯
粹几何图形的演绎证明,这使他们作出了包括黄金
分割线段在内的许多几何证明,但他们往往与无理
数概念及离散、无穷、极限等思想失之交臂〔12〕。与
此相反,古代东方的印度、中国、阿拉伯诸国,其算术
和代数学发展较快。例如中国很早就有了负数《, 九
章算术》中明确规定了分数的四则运算;在无理数方
面,中国将有理数和无理数同样看待,在开方不尽时
利用十进小数近似地表示之。而从数论角度来看,
最无理的数就是黄金分割数;无理数用有理数是很
难逼近的。这是否昭示人们,那些最早认识到无理
数的国家有可能最早接触到黄金分割数值。这一
点,中国的河图、洛书提供了有力的证明。还有一个
事实,即斐波那契数列是与东方数学密切相关的。
我们已经知道,文艺复兴前哨的意大利,由于其特殊
的地理位置和贸易联系而成为东西方文化的“熔
炉”。意大利学者早在12 - 13 世纪就开始翻译、介
绍希腊与阿拉伯的数学文献。斐波那契早年随父在
北非师从阿拉伯人习算,后又游历地中海沿岸诸国,
其代表作《算盘书》、《几何实践》等也是根据阿拉伯
文与希腊文材料编译而成的。《算盘书》最大的功绩
是系统地介绍印度记数法,并影响和改变了欧洲数
学的面貌。有资料表明《, 算经》中的“契丹算法”,即
我国的“盈不足术”、“物不知其数”和“百鸡问题”等,
它们是经由印度、阿拉伯国家传到欧洲的。对此,我
们似乎可以作出一个大胆的推测:斐波那契数列很
可能是从东方诸国传到西方的,或至少是在受到了
东方特别是中国的算术和代数学的启发而形成的!
此外“, 巴斯卡三角形”也不是巴斯卡最早发现的。
大量研究资料表明,在全世界范围内,东方各国比欧
洲更早知道数字三角形。而关于这一三角形的发明
者贾宪的记载是最早的。至于巴斯卡本人,他在算
术三角形的研究中将经典的几何命题同三角形中数
值关系结合起来进行考虑,并得出一系列新的性质。
这进一步说明,西方数学的发展是在与东方数学的
交流和互动中前进的,不能认为,只有严格的演绎推
理才能发现和证明黄金分割率的存在,算术的直觉
常常能直接洞悉数学命题的真谛。
另一方面,东方的算术和代数学必须依赖于严
密的逻辑体系才能获得大的发展。在黄金分割问题
方面,中国古代数学家也不是没有遇到与之相关的
几何学问题。中国先秦时期的五行观念是与毕达哥
拉斯的五边形数的观念有相似之处的(李约瑟曾指
出两者的共同点)〔13〕。但是,中国古代数学终究难
以在几何学上形成正五边形或五角星形。《周髀算
经》中已给出了“勾股定理”和“弦图”,只要将勾为股
的一半,即可推演出黄金分割率。但《周髀算经》的
作者没有这样做。其中的一个原因,可能是这样做
对于当时的天文观测或其他实际问题的解决并无多
大用处。中国古代数学多是为解决实际问题而提出
的,它往往给出了解决具体问题的算法,却没有上升
到一般公理和定义的高度,没有形成严密的逻辑演
绎体系,因而不可能从几何学上证明黄金分割率。
至于中国古代数学中与黄金分割率相近的“今有
术”,虽然包含着比例问题,并且得出了“二内项之积
等于二外项之积”这一结论,但是它仍然同印度的
“三率法”一样,没有明确地表示出二比率相等的意
义,因此它不是真正意义上的黄金分割率。总之,
“与希腊人的几何学天才相比,中国人的数学是代数
和算法的”〔14〕。中国古代数学没有建立严密的公理
体系和公理化方法,这是它的特点,也是它的局限
性。因此,尽管中国古代数学在数值计算方面触及
到黄金分割率,但终因逻辑思维和几何学的不发达
而未能摘取几何学上的“宝石”。
