爱华网读书志第一千四百八十二部·《杨辉算法》
《杨辉算法》包括《乘除通变本末》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷，《续古摘奇算法》二卷；其中《乘除通变本末》之上卷称为《乘除通变算宝》，其中卷称为《乘除通变本末》，其下卷称为《算法取用本末》；上、中卷为杨辉自撰，下卷则是与史仲荣合撰。《杨辉算法》共有七卷。作者事迹参见《读书志第一千四百八十一部·<详解九章算法>》。
在《杨辉算法》之《续古摘奇算法》中，杨辉转录《孙子算经》“物不知数”题，还补出四道类似题，并说这类题为“俗名秦王暗点兵，犹覆射之术”。他称这类题解法，即一次同余式组的解法为“翦管术”。只给出每一题的具体解法，未曾给出一次同余式的一般解法。
若表示以现代形式，这四题分别是：
N≡2(rood 3) ≡3(mod 5) ≡0(mod 7)，
N≡l(mod 7) ≡2(mod 8) ≡3(mod 9)，
N≡3(mod ll) ≡2(mod l2) ≡1(mod l3)，
N≡l(rood 2) ≡2(mod 5) ≡3(mod 7) ≡4(mod 9)。
杨辉虽然未能象秦九韶一样给出一般解法，但这四题的算法都正确无误。而且还把《孙子算经》三问数推广至四问数，这就是杨辉的一点创新。
纵横图是组合数学一项重要内容，三阶纵横图在中国产生很早，而四至十阶纵横图却是杨辉所创，《续古摘奇算法》卷上，给出各阶纵横图造术方法，如三阶纵横图造术法为：“九子斜排(图1)，上下对易(图2)，左、右相更(图3)，四维挺出(图4)，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”
199492
424242
753753357357
868686
911816
（图1）（图2）（图3）（图4）
这方法日人称为“配列方法”。其次，杨辉也提出四阶纵横图造术方法，即“以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换，(一换十六．四换十三。)复以内四角对换，(六换十一，以七换十。)横直上下斜角，皆三十四数”。
即图5—7：
139 5149516495 16
14 106214 106214 711 2
15 117315 117315 610 3
16 12841 128131 128 13
（图5）（图6）（图7）
以上都是“单式纵横图”造术法，杨辉还提出“复式纵横图”造术法。在一定程度上，这些方法可以推广，杨辉不但创造了“九九图”，还创造了“百子图”及圆形的“攒九图”。这些都是前人所未曾论及的工作。
刘益，其生平事迹很难稽考，杨辉认为他是中山(今河北定县一带)人，至于其活动年代，可能是北宋中期以前时代的人，杨辉于《田亩比类乘除捷法77序称：“中山刘先生作《议古根源》”。《议古根源》一书早已失传，杨辉又说该书“引用带纵开方正负损益之法，前古之所未闻也。”还于《算法通变本末》中说：“刘益以勾股之术，治演段锁方，撰《议古根源》二百问，带益隅开方，实冠前古。”可见《议古根源》是在方程论方面有突出贡献的著作，其中一部分内容当被杨辉所采用，经查对，在《田亩比类乘除捷法》中，曾采用刘益二百问之二十二问，计有：
X2—12x=864．
一5x2+228x=2592．
一5x4+52x3+128x2=4096，
等。刘益不但突破未知项系数必需为正的限制，也取消了二次项系数必需为l的限制，在解法方面，刘益还提出“益积术”、“减从术”两种方程解法。虽然《议古根源》早已散失，但可以通过杨辉的工作，了解到刘益的一些贡献。正如杨辉说：“辉择可作关键题问者，重为译悉著述，推广垂训刘君之意”。
在《续古摘奇算法》卷下，杨辉指出，《海岛算经》“实《九章》勾股之遗法也，迄今千余载间，唐李淳风而续算草，未闻解白作法之旨者。辉尝置海岛小图于座右，乃见先贤作法之万一，……，今将《孙子》度影量竿题问，引用详解，以验小图”。杨辉以《孙子算经》“度影量竿”两问为例，并用“股中容横，勾中容直”原理，论证计算岛高及岛远重差公式之造术，也为研治古算树立良好榜样。
在《杨辉算法》中，为好学易懂，不但配备许多题图，还编撰多首诗歌，并创立各种简明算法，几成为杨辉算书之特色。例如《乘除通变本末》有“求一乘”、“求一除”诗歌，今照录如下：
“求一乘”：五六七八九，倍之数不走，二三须当半，遇四两折扭。倍折本从法，实即反其有，用加以代乘，斯数足可守。
“求一除”：五六七八九，倍之数不走，二三须当半，遇四两折扭。倍折本从法，为除积相就，用减以代除，定位求如旧。
评：《杨辉算法》括三书，编撰诗歌配题图。
“物不知数”补四题，同余式组“翦管术”。
三阶四阶纵横图，创造“九九” “百子图”。
采用刘益二百问，度影量竿验小图。
