爱华网绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 绝对值三角不等式练习
1、掌握绝对值的三角不等式；
2、掌握不等式证明的基本方法
三. 知识分析
［绝对值的三角不等式］
定理1 若a，b为实数，则 ，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。
（2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。
|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2 设a，b，c为实数，则 ，等号成立 ，即b落在a，c之间。
推论1
推论2
［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“ ”表述。
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 ， ，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。
【典型例题】
例1、已知函数 ，设a、b∈R，且a≠b，求证：
思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：
证明：
证法一：
①
当ab≤－1时，式①显然成立；
当ab>－1时，式① ②
∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。
证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；
当a≠－b时，
∴原不等式成立。
点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。
例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证： 。
思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
证明：
故原不等式成立。
点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。
例3、函数 的定义域为［0，1］且 。当 ∈［0，1］， 时都有 ，求证： 。
证明：不妨设 ，以下分两种情形讨论。
若
则
，若
则
综上所述
点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求证： 。
思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
证明：
①
②
∴原不等式成立。
点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
例5、设x>0，y>0，且x≠y，求证：
思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。
证明：∵x>0，y>0，且x≠y，
点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“ ”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。
例6、已知a、b、c∈R+，求证： 。
思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。
解析：
即
点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。
例7、证明：对于任意实数x、y，有
思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。
证明：用分析法
不等式②显然成立，下面证明不等式①
同号
，即
点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。
例8、（1）用反证法证明以下不等式：已知 ，求证p+q≤2。
（2）试证： （n≥2）。
思路：运用放缩法进行证明。
证明：（1）设p+q>2，则p>2－q，
这与 =2矛盾，
（2） ，
又 。将上述各式两边分别相加得
点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。
【模拟试题】
1、设a、b是满足ab<0的实数，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
2、设ab>0，下面四个不等式①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a－b|；④|a+b|>|a|－|b|中，正确的是（ ）
A、①和② B、①和③ C、①和④ D、②和④
3、下面四个式子① ；② ；③ ；④ 中，成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、若a、b、c∈R，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式 成立的一个充要条件是（ ）
A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数
C、 D、
6、已知a<0，－1<b<0则（ ）
A、 B、
C、 D、
7、设实数x、y满足 ，若对满足条件的x、y，x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、对于任意的实数x，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是_________。
9、若a>c>b>0，则 的值的符号为__________。
10、设a、b、c∈R+，若 ，则 __________。
11、已知x，y∈R，且 ，则z的取值范围是__________。
12、设 ，
求证： 。
13、已知a、b是不等正数，且 ，
求证： 。
14、已知 ，求证： 中至少有一个不小于 。
15、设a、b为正数，求证：不等式 ①
成立的充要条件是：对于任意实数x>1，有 ②
【试题答案】
1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A
8、（－∞，3）
9、负
10、9
11、
12、证明：
13、证明：a、b是不等正数，且
而 一定成立，故 成立。
14、证明：用反证法。假设 都小于 ，则 ，
而
，相互矛盾，
中至少有一个不小于 。
15、证明：设 ，那么不等式②对 恒成立的充要条件是函数 的最小值大于b。
当且仅当 ， 时，上式等号成立。
故 的最小值是 。
因此，不等式②对x>1恒成立的充要条件是 >b 。
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