爱华网《正比例和反比例复习》课堂实录与反思
马寨小学 史战红
课前交流：
师：大家知道这个词什么意思吗？（板书：温故而知新）
生：复习旧知识可以获得新知识。
师：说得真好。到目前为止，我们的新课是不是都已经学完了？
生：是。
师：我们已经六年级了，马上就要小学毕业，迎接中考（小学毕业考试），所以，我们需要把小学学习过所有知识系统地复习一下。在复习的过程中，我们一定要认真思考，有一些新的发现。
【反思：我以“温故而知新”为话题和学生进行课前交流，目的之一是想让学生明白，在复习旧知识时，一定要学会创造性地思考，获取一些有价值的、新的知识或经验；目的之二是想让学生在课堂上能积极地思考，提一些新的想法或问题。可上完课之后，我感觉，目的好像并没有达到。】
谈话导入：
师：老师先在黑板上写两个算式，大家猜猜，我们今天要复习什么。（板书： = ，× = ）
生：一个是正比例和一个是反比例
【反思：学生提到正比例和反比例时，我应该马上小结：今天我们要复习的内容就是“正比例和反比例”，然后迅速地板书课题《正比例的反比例复习》，然而，由于自己平时没养成板书课题的习惯，加上刚开始上课有点紧张，我竟然给忘记了，后来逐步进入了角色，关注点放到了学生身上，始终没再想起板书课题，这是本节课最不原谅的一个失误。这也是“习惯成自然”惹的祸。】
师：有没有疑问？
生：……
师：在谈到正比例和反比例时还提到一个词，是什么？
生： 比 等于 ， 一定。
师：对，这里边必须有一个固定的量，板书： = （一定），× = （一定）比
师：这里的 和 表示什么？
生：两种相关联的量。
直觉感知：
师：对，这里的 和 表示两种相关联的量。来，判断定一下，哪个表示的是正比例关系？
生：第一个。
师：仔细想一下，成正比例关系的两种，它们之间到底是一种什么关系？
生：两种相关联的的量，一种量变化，另一种量也随着变化，它们的比值一定。
师：呵呵，你概念记得非常准确。但是，我们还要深入地想一想，看看有没有什么新的发现？
生：……
师：设想一下，如果 发生变化了， 会怎么样变化？
生：也跟着变化。
师：我想问的是，大家有没有一种直觉，比如， 发生变化了， 有什么变化？大家有没有新的想法？
生：……
师：其实用到一点我们学过知识，大家就会有新的发现。
师：大家会解方程吗？
生：会。
师：解方程用的是？
生：等式的性质。
师：当方程两边都……？
生：都乘或除以相同的数，等号两边还相等。
师：对，如果我们让等式两边都乘X呢？
生：两边还相等。
师：两边都乖 ，变成了什么？
生： = 。
师板书： = （一定）。
师：现在来想一下，如果 扩大的话， 会发生什么变化？
生：……
师：请大家联系实际生活想一下，哪两种量成正比例关系？
生：单价，数量和总价，比值一定。
师：能不能用数量关系表示出来？
生：总价=单价×数量
师：如果单价一定，比如说，我们买钢笔，2元一支钢笔。来，大家完成一个表格。
师：（和学生一起完成表格）
总价 | 1 | 4 | 10 | 20 | …… |
数量 | 1 | 2 | 5 | 10 | …… |
单价 | 2 | 2 | 2 | 2 |
师：观察表格，你发现了什么？
生：……
师：观察，买的数量在逐渐怎样？总价呢？
生：买的数量越多，总价越多。
师：为什么会出现这种情况呢？我们还回到这个关系式上来看。
师：回想我们学过的因数和倍数的知识，想一想X和Y是什么关系？
生：Y是X和K的倍数，X和K是Y的因数。
师：在研究倍数和因数的时候，都是考虑在整数的范围内，这里我们可以盗用一下，就说Y是X的K倍。
师：大家来试想一下，如果X是1的话，Y就是1K，如果X是2的话，Y就是2K，如果X是3，Y就是3K……所以Y就随着X的……。
生：扩大而扩大。
【反思：设计这个环节，我的目的是想让学生对正比例函数有一种比较直观的感受，但感觉效果不是太好，全是由老师在牵着学生的鼻子走，学生好像是明白了Y为什么是随着X的扩大而扩大，但印象肯定不是很深刻。另外，应该强调，成正比例关系的两种量，它们的比值一定，我却一味地让学生在找感觉，却忘了根本。】
师：现在，我们来看反比例的关系式，我们还利用等式的性质，来把它进行一个变形，把Y留到这儿，Y等于什么？
生：Y等于K比X。（师板书：y = ）
师强调：让等式两边都……
生：除以X。
师：来想一想，这里的两个量Y与X，它们的变化关系。
生：……
师：我们也来举个例子。哪两种量成反比例关系？
生：路程一定，速度和时间。
（师板书：速度×时间=路程）
师：演变一下：时间= （时间一定）
师：还回到我们的生活中来想，从我们家到学校，这叫什么？
生：路程
师：这会变不会？
生：不会。
师：如果你步行到校，或骑自行车到校，或坐电动车到，或坐小汽车到校……
生：速度
师：速度会怎么样？
生：越来越快。
师：那你到校的时间呢？
生：越来越短。
师：成反比例的两种量，它们的关系，你现在有什么感觉？
生：……
师：一种量扩大……
生：另一种量缩小。
师：说明它是一种相反的关系，所以叫反比例。
师：大家回到我们的课本里边，再来感受一下翻到39页，把39页到43页的内容再认真默读一下，看你能不能找到正比例和反比例的两种量有什么关系？
（学生独立阅读课本）
【反思：设计这个环节的目的也是想让学生对反比例函数有一种比较直观的感受，知道成反比例关系的两种量，一种量扩大，另一种量反而缩小。但是，我还是犯了和上个环节同样的错误——只重表象忽略了本质，把“积一定”才是反比例的本质特征淡化处理了。】
再挖教材：
师：先看例1。例1给我们介绍了哪两种相关联的量？
生：（水的）高度和体积。
师：杯子是相同的，高度和体积的变化有什么关系？
生：……
师：高度越来越怎么样？
生：高。
师：体积呢？
生：越来越大。
师：但是，不变的是什么？
生：底面积。
师：这里，水的高度和体积成……
生：正比例关系。
【反思：这里如果追问一句，水的高度和体积为什么成正比例关系，引导学生说说表象（一种量扩大，另一种也随着扩大），再说说本质（它们的比值——底面积不变），那么，学生对正比例的认识也就更深刻了。这说明，自己还是不善于捕捉教育的最佳时机。】
师：看例2。正比例关系的两种量，要是用图像表示出来，我们会发现，是一条……
生：直线。经过原点的直线（学生的课本记有这样一句话，应该是新授课上老师让学生记下的。）
师：我们来看第二个问题。不计算，根据图像来判断，如果水的高度是7厘米的话，水的体积是多少？能找到不能？
生：……
师：拿笔，在图中点出这个位置来。
生：体积是175。
师：来验证一下。刚才，体积和高度的比值是多少？（板书：体积/高度=25。）当高度是7时，体积是175，175÷7=25。没有问题。（和学生一起口算验证。）
师：225立方厘米的水，高度是多少？找到了没？
生：9厘米。
师：自己验证一下。看从图上找到的结果和计算的结果是不是一样。
师：水的体积在哪儿可以找到呀？
生：……
师：横轴表示的是……
生：水的高度。
师：竖轴表示的是……
生：水的体积。
师：它们的交叉点在黑色的斜线上。先在水平方向上找到225，和斜线相交，找到这个点，然后往下走，看看，那儿是多少？
生：9
师：对，（225立方厘米）水的高度就是9厘米。
师：计算验证一下。（略）
【反思：在巡视的过程中，我发现有不少学生竟然不会看图，不知道在哪儿点点。于是，就临时增加了一个认图的教学环节，让学生学会利用正比例函数图，直接找水的体积与高度，自我感觉很有必要。但是，我认为，这应该是新授课就应该让学生学习并掌握的，而不应该是由我（在复习时）来教的。所以，我建议，教六年级数学的老师们，应该认真研析教材，把握好教材中所涉及这些细节问题。】
师：看例3。例3里边告诉我们什么一定？
生：体积一定。
师：同样体积的水，倒进不同的杯子里，水的高度会随着什么发生变化？
生：底面积。
师：底面积越来越怎么样？高度呢？
生：底面积越来越来大，高度越来越小。
师：对，一种量扩大，另一种量随着缩小，这就是反比例最明显的特征。
【反思：通过阅读课本例题，我引领学生再次从直觉感知了正比例和反比例的外显的，还是忽略了它们的本质特征。这一点充分说明，备课不备教学目标，或教学目标定位错误都是根本性的错误。】
强化认知：
师：请大家把数学书合起来，想一想，在我们的生活中，我们学过的哪些量成正比例关系或反比例关系，每种关系写两个，黑板上举过的例子不要再写了。
（生独立思考完成，教师巡视，并挑选几个有代表性的个案进行交流）
师：（投影展示一个学生的练习）每排人数×排数=总人数。大家有什么疑问？
生：最后那个总人数是一定的。
师：对，你写的这个例子是正比例还是反比例，关键是少了一个定量，如果，我们规定总人数一定，那么，另外两种量就是……
生：反比例。
师：如果排数一定，那么另外两种量呢？
生：正比例。
师：看看这个同学写的清楚不清楚？读一读。
生：π 一定，圆的周长和直径。
师：他前面标有（正比例三个字），圆的周长和直径是什么关系？
生：正比例关系。
师：到底是不是正比例关系？
生：是。
师：来，找个同学说说理由，你为什么判定它俩个是正比例关系。
生：……
师：π 是圆周长和直径的什么？
生：比值。
师：比值一定，说明圆周长和直径成……
生：正比例。
师：看第二个：工作效率一定，工作总量和时间。
生：成正比例关系。
师：他举得这两个例子都是成正比例关系，但是都没有说清楚。所以，你在写的时候，应该说清楚，谁是一定的，谁和谁成什么关系。好！抓紧时间把你的补充完整。
再次汇报：
师：修改完之后，说一说，大家帮忙判定一下，他找的两种量是不是成正比例或反比例关系。
生：长方形的面积一定，长和宽成反比例。
师：我找个同学来复述一下。
生：长方形的面积一定，长和宽成反比例。（提醒大家认真听）
师：长和宽什么关系？
生：长乘宽等于面积。
师：对，面积一定，说明乘积一定，所以长和宽成反比例。
师：谁还想与大家分享？或者你有困惑的，让大家来帮你判定一下。
生：圆柱体的体积等于底面积乘高。
师：你想让我们判断谁和谁呢？
生：……
师：他给了我们一个关系式，反比例：圆柱体积=底面积乘高（板书）当谁一定时，谁和谁成反比例？
生：圆柱体积一定，底面积和高成反比例。
师：对，他如果在这儿（圆柱体下面）标个一定，那么……
生：底面积和高成反比例。
师：如果，我在高的下边标个一定，那么，圆柱体积和底面积成……
生：正比例。
课堂检测：
师：老师给大家准备了几道练习题，一起来思考一下。（出示小黑板）判断下面各题的两种量是否成正比例或反比例关系，并说明理由。
师：第1小题，看不清楚的同学请认真听。互为倒数的两个数。
生：成反比例。
师：为什么？
生：互为倒数的两个数，它们的乘积一定。
师：是多少？
生：1
师：什么叫做互为倒数？
生：乘积是1的两个数互为倒数。
师：乘积是1，说明乘积是一定的，所以，互为倒数的两个数成反比例关系。
【反思：这里应该追问，一个数越大，它的倒数会怎么样？让学生再次感知反比例，并强化对倒数认识。】
师：第2小题。小新跳的高度和他的身高。
生：不成比例。
师：解释一下。
生：小新跳的高度和他的身高，没有关联。
师：第3小题，正方形的面积和它的边长。
生：正比例。
师：有没有不同意见？
生：反比例……边长都一样……无法判定……
师：我们还是回到关系式上来判断吧。正方形的面积公式是什么？
生：边长乘边长。
师：我们用字母来表示吧。（板书：S= a×a）要想判断S和a成什么关系，我们要变一下（板书：S/a=a）
师：现在来判断S与a关系，你有结果了吗？
生：……
师：两种相关联的量是不是成正比例关系，最关键的一点是……（在：“K一定”下面画上曲线）
师：（指着S/a=a）这边有没有一定的量？
生：没有。
师：a是变量，S也是变量，这里没有固定的量，所以是无法判断的。
师：懂了没有？
生：懂了。
师：要相判断两种量成正比例还是反比例关系，这两个关系很重要（边讲边圈住两个关系式），并且要找到定量，然后我们再来判断。
师：第4小题。书的总页一定，已经看的页数和剩下的页数。
生：不成比例。
师：谁来解释一下。
生：它们是和一定，不是积一定，也不是比值一定。
师：说得很到位。看第5小题。分数的大小一定，分子和分母。
生：……
师：这个问题难度大了些，下去以后大家好好在一起讨论一下，或者好好请教一下你们的老师，这节课，我们就上到这儿，下课。
【反思：我庆幸，庆幸自己设计了这样一个练习，而且选取了很有代表性的几个问题，让我在最后这个环节，回归了主题，让学生温习了判断两种量是否成正比例或反比例的方法，一，两种量是不是相关联的量；二，两种量的比值一定它们就成正比例关系，如果是积一定，它们就在反比例关系，除此之外就不成正比例或反比例。】
整体反思：
这节课，我最大收获是，自己对正比例和反比例有了更深的认识，并且明确了，在今后的教学中如何组织学生在直观感知的基础上去抓住实质，进而辨析，两种量是否成正比例或反比例。
一、采用举例列表的方法，让学生观察相关联的两种量的变化规律，获得直观感受，明确成比例的两种量，一个扩大（或缩小），另一个也跟着扩大（或缩小），它们的实质是比值一定。成反比例的两种量，一个扩大（或缩小），另一个反而缩小（或扩大），它们的实质是积一定。
二、引导学生绘制正比例函数图（也可尝试画反比例函数图，感知成反比例的两种量的变化规律），利用图象，让学生直观地感觉到，成正比例关系的两种量是一种量扩大或缩小，另一种量也随着扩大或缩小，它的图象是一条直线。在教画图象时，学会利用图象计算（查计算结果）。
三、让学生学会用完整语言来表述，自己的判定结果，及判定方法，而不是让老师像挤牙膏一样，问一点儿说一点儿。
四、备课一定要充分，要多准备学生感兴趣的学习素材，调动学生的学习积极性。
五、要进一步地修炼自己的语言基本功，让自己的话语一出就有一种感召力，吸引力，激发学生的学习热情，全身心地投入到课堂学习中。
这节课，我最大的不足是：1）备课时只想如何出新，而淡化了课堂教学的主要目标，让自己上课还是那么信马由缰，漫无边际，致使自己还是语无伦次，词不达意，言不由衷，让学生也迷失方向，无所适从，严重降低课堂教学效率。2）对教材的分析还是不够深入，准备的不够充分，组织课堂教学时，不能有效地激发学生的学习兴趣，引领学生快乐、高效地进行学习。（今天幸好遇到的这个班，学生素质不错，基础知识扎实，课堂纪律很好，学生都集中注意力进行听讲，要不然，我的这节课还不知道要糟糕成什么样子呢，所以，我得感谢这个班的学生和他们的老师。）
