2.2 完整系的拉格朗日方程 欧拉 拉格朗日方程

用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程,可以直接由牛顿第二定律导出。

(1)达朗贝尔方程

设受约束的质点系中质点i所受的主动力和约束力分别为

和 ,位矢为 ,由牛顿第二定律有



给质点i以虚位移 ,得



对整个质点系



在理想约束条件下,有



(2.6)

上式称为达朗贝尔(d′Alembert)方程,是理想约束体系动力学普遍方程。

思考:达朗贝尔方程的优点和不足之处是什么?

(2)拉格朗日方程

消去达朗贝尔方程中的虚位移 ,并用广义坐标表出的体系的动力学方程即是拉格朗日方程。

• 求虚位移

是位矢 的变分,运算规则是:算符δ作用在空间坐标 上时与微分算符d的运算规则一样,作用在时间t上则为零,即δt=0。

设体系由n个质点组成,受k个理想完整约束,其自由度为s=3n-k,即需要s个独立坐标即广义坐标,用 表示,则

  (2.7)



  (2.8)

将(2.8)式代入(2.6)式:



2.2 完整系的拉格朗日方程 欧拉 拉格朗日方程
因 是独立的,所以



  (2.9)

第二项

  (2.10)

为广义力

第一项

  (2.11)

  (2.12)

体系动能



  (2.13)

  (2.14)

将(2.13)式、(2.14)式代入(2.11)式:

  (2.15)

将(2.10)、(2.15)式代入(9)式,得

  (2.16)

上式为理想完整系的拉格朗日方程。其中:

  ——主动力的广义力,可以是力、力矩或其他力学量(不包含约束反力)

  ——体系相对惯性系的动能

  ——广义动量,可为线动量、角动量或其他物理量

(3)保守体系的拉格朗日方程

如果主动力都是保守力,即 ,则为广义力



将上式代入(2.16)式,得

  (2.17)

上式为保守体系的拉格朗日方程,常用的一种拉格朗日方程。式中:

   (2.18)

为拉格朗日函数,是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。

想一想:(2.17)式的成立、适用条件是什么?

(4)对拉格朗日方程的评价

拉氏方程的特点(优点):

• 是一个二阶微分方程组,方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标,方程形式不变。

• 方程中不出现约束反力,因而在建立体系的方程时,只需分析已知的主动力,不必考虑未知的约束反力。体系越复杂,约束条件越多,自由度越少,方程个数也越少,问题也就越简单。

• 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的,能量是整个物理学的基本物理量而且是标量,因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性,成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。

拉氏方程的价值

拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律,描述了力学系统的动力学规律,为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法,不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值,而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。

  

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