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第1 章 矩阵及其基本运算........................................................................................................... 8
1.1 矩阵的表示...................................................................................................................... 8
1.1.1 数值矩阵的生成................................................................................................... 8
1.1.2 符号矩阵的生成................................................................................................... 9
1.1.3 大矩阵的生成..................................................................................................... 10
1.1.4 多维数组的创建................................................................................................. 10
1.1.5 特殊矩阵的生成................................................................................................. 11
1.2 矩阵运算........................................................................................................................ 16
1.2.1 加、减运算......................................................................................................... 16
1.2.2 乘法..................................................................................................................... 16
1.2.3 集合运算............................................................................................................. 19
1.2.4 除法运算............................................................................................................. 22
1.2.5 矩阵乘方............................................................................................................. 23
1.2.6 矩阵函数............................................................................................................. 23
1.2.7 矩阵转置............................................................................................................. 24
1.2.8 方阵的行列式..................................................................................................... 25
1.2.9 逆与伪逆............................................................................................................. 25
1.2.10 矩阵的迹........................................................................................................... 26
1.2.11 矩阵和向量的范数........................................................................................... 26
1.2.12 条件数............................................................................................................... 27
1.2.13 矩阵的秩........................................................................................................... 28
1.2.14 特殊运算........................................................................................................... 28
1.2.15 符号矩阵运算................................................................................................... 34
1.2.16 矩阵元素个数的确定....................................................................................... 36
1.3 矩阵分解........................................................................................................................ 36
1.3.1 Cholesky 分解..................................................................................................... 36
1.3.2 LU 分解............................................................................................................... 37
1.3.3 QR 分解.............................................................................................................. 37
1.3.4 Schur 分解........................................................................................................... 39
1.3.5 实Schur 分解转化成复Schur 分解................................................................... 39
1.3.6 特征值分解......................................................................................................... 40
1.3.7 奇异值分解......................................................................................................... 40
1.3.8 广义奇异值分解................................................................................................. 41
1.3.9 特征值问题的QZ 分解...................................................................................... 42
1.3.10 海森伯格形式的分解....................................................................................... 42
1.4 线性方程的组的求解.................................................................................................... 42
1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题） ............................................. 43
1.4.2 求线性齐次方程组的通解................................................................................. 45
1.4.3 求非齐次线性方程组的通解............................................................................. 46
1.4.4 线性方程组的LQ 解法...................................................................................... 48
1.4.5 双共轭梯度法解方程组..................................................................................... 49
1.4.6 稳定双共轭梯度方法解方程组......................................................................... 50
1.4.7 复共轭梯度平方法解方程组............................................................................. 51
1.4.8 共轭梯度的LSQR 方法..................................................................................... 51
1.4.9 广义最小残差法................................................................................................. 52
1.4.10 最小残差法解方程组....................................................................................... 52
1.4.11 预处理共轭梯度方法....................................................................................... 53
1.4.12 准最小残差法解方程组................................................................................... 53
1.5 特征值与二次型............................................................................................................ 55
1.5.1 特征值与特征向量的求法................................................................................. 55
1.5.2 提高特征值的计算精度..................................................................................... 56
1.5.3 复对角矩阵转化为实对角矩阵......................................................................... 56
1.5.4 正交基................................................................................................................. 56
1.5.5 二次型................................................................................................................. 57
1.6 秩与线性相关性............................................................................................................ 57
1.6.1 矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性................................................. 57
1.6.2 求行阶梯矩阵及向量组的基............................................................................. 58
1.7 稀疏矩阵技术................................................................................................................ 59
1.7.1 稀疏矩阵的创建................................................................................................. 59
1.7.2 将稀疏矩阵转化为满矩阵................................................................................. 60
1.7.3 稀疏矩阵非零元素的索引................................................................................. 60
1.7.4 外部数据转化为稀疏矩阵................................................................................. 60
1.7.5 基本稀疏矩阵..................................................................................................... 61
1.7.6 稀疏矩阵的运算................................................................................................. 63
1.7.7 画稀疏矩阵非零元素的分布图形..................................................................... 64
1.7.8 矩阵变换............................................................................................................. 64
1.7.9 稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数......................................................... 67
1.7.10 稀疏矩阵的分解............................................................................................... 67
1.7.11 稀疏矩阵的特征值分解................................................................................... 69
1.7.12 稀疏矩阵的线性方程组................................................................................... 69
第2 章 数值计算与数据分析..................................................................................................... 70
2.1 基本数学函数................................................................................................................ 70
2.1.1 三角函数与双曲函数......................................................................................... 70
2.1.2 其他常用函数..................................................................................................... 77
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2.2 插值、拟合与查表........................................................................................................ 84
2.2.1 插值命令............................................................................................................. 85
2.2.2 查表命令............................................................................................................. 91
2.3 数值积分........................................................................................................................ 92
2.3.1 一元函数的数值积分......................................................................................... 93
2.3.2 二元函数重积分的数值计算............................................................................. 94
2.4 常微分方程数值解........................................................................................................ 96
2.5 偏微分方程的数值解.................................................................................................... 98
2.5.1 单的Poission 方程.............................................................................................. 99
2.5.2 双曲型偏微分方程........................................................................................... 100
2.5.3 抛物型偏微分方程........................................................................................... 101
第3 章 符号运算....................................................................................................................... 103
3.1 算术符号操作.............................................................................................................. 103
3.2 基本运算...................................................................................................................... 105
3.2.1 函数计算器....................................................................................................... 116
3.2.2 微积分............................................................................................................... 118
3.2.3 符号函数的作图............................................................................................... 121
3.2.4 积分变换........................................................................................................... 126
3.2.5 Taylor 级数........................................................................................................ 131
3.2.6 其它................................................................................................................... 133
第4 章 概率统计....................................................................................................................... 142
4.1 随机数的产生.............................................................................................................. 142
4.1.1 二项分布的随机数据的产生........................................................................... 143
4.1.2 正态分布的随机数据的产生........................................................................... 143
4.1.3 常见分布的随机数产生................................................................................... 144
4.1.4 通用函数求各分布的随机数据....................................................................... 144
4.2 随机变量的概率密度计算.......................................................................................... 144
4.2.1 通用函数计算概率密度函数值....................................................................... 145
4.2.2 专用函数计算概率密度函数值....................................................................... 145
4.2.3 常见分布的密度函数作图............................................................................... 146
4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值)........................................................................ 150
4.3.1 通用函数计算累积概率值............................................................................... 150
4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量X ≤ K的概率之和）........................150
4.4 随机变量的逆累积分布函数...................................................................................... 151
4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值................................................................... 152
4.4.2 专用函数-inv 计算逆累积分布函数................................................................ 152
4.5 随机变量的数字特征.................................................................................................. 153
4.5.1 平均值、中值................................................................................................... 153
4.5.2 数据比较........................................................................................................... 156
4.5.3 期望................................................................................................................... 157
4.5.4 方差................................................................................................................... 158
4.5.5 常见分布的期望和方差................................................................................... 160
4.5.6 协方差与相关系数........................................................................................... 161
4.6 统计作图...................................................................................................................... 162
4.6.1 正整数的频率表............................................................................................... 162
4.6.2 经验累积分布函数图形................................................................................... 163
4.6.3 最小二乘拟合直线........................................................................................... 163
4.6.4 绘制正态分布概率图形................................................................................... 163
4.6.5 绘制威布尔(Weibull)概率图形........................................................................ 164
4.6.6 样本数据的盒图............................................................................................... 164
4.6.7 给当前图形加一条参考线............................................................................... 165
4.6.8 在当前图形中加入一条多项式曲线............................................................... 165
4.6.9 样本的概率图形............................................................................................... 166
4.6.10 附加有正态密度曲线的直方图..................................................................... 166
4.6.11 在指定的界线之间画正态密度曲线............................................................. 167
4.7 参数估计...................................................................................................................... 167
4.7.1 常见分布的参数估计....................................................................................... 167
4.7.2 非线性模型置信区间预测............................................................................... 170
4.7.3 对数似然函数................................................................................................... 173
4.8 假设检验...................................................................................................................... 174
4.8.1 σ 2已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U检验法）.....................174
4.8.2 σ 2未知，单个正态总体的均值μ的假设检验( t 检验法) ...........................175
4.8.3 两个正态总体均值差的检验（t 检验） ......................................................... 176
4.8.4 两个总体一致性的检验——秩和检验........................................................... 177
4.8.5 两个总体中位数相等的假设检验——符号秩检验........................................ 178
4.8.6 两个总体中位数相等的假设检验——符号检验........................................... 178
4.8.7 正态分布的拟合优度测试............................................................................... 178
4.8.8 正态分布的拟合优度测试............................................................................... 179
4.8.9 单个样本分布的 Kolmogorov-Smirnov 测试................................................ 180
4.8.10 两个样本具有相同的连续分布的假设检验................................................. 180
4.9 方差分析...................................................................................................................... 181
4.9.1 单因素方差分析............................................................................................... 181
4.9.2 双因素方差分析............................................................................................... 183
第5 章 优化问题....................................................................................................................... 185
5.1 线性规划问题.............................................................................................................. 185
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5.2 foptions 函数................................................................................................................ 186
5.3 非线性规划问题.......................................................................................................... 187
5.3.1 有约束的一元函数的最小值........................................................................... 187
5.3.2 无约束多元函数最小值................................................................................... 188
5.3.3 有约束的多元函数最小值............................................................................... 190
5.3.4 二次规划问题................................................................................................... 192
5.4 “半无限”有约束的多元函数最优解...................................................................... 194
5.5 极小化极大（Minmax）问题..................................................................................... 198
5.6 多目标规划问题.......................................................................................................... 200
5.7 最小二乘最优问题...................................................................................................... 203
5.7.1 约束线性最小二乘........................................................................................... 203
5.7.2 非线性数据（曲线）拟合............................................................................... 204
5.7.3 非线性最小二乘............................................................................................... 206
5.7.4 非负线性最小二乘........................................................................................... 207
5.8 非线性方程(组)求解................................................................................................... 207
5.8.1 非线性方程的解............................................................................................... 207
5.8.2 非线性方程组的解........................................................................................... 208
第6 章 模糊逻辑....................................................................................................................... 210
6.1 隶属函数...................................................................................................................... 210
6.1.1 高斯隶属函数................................................................................................... 210
6.1.2 两边型高斯隶属函数....................................................................................... 210
6.1.3 建立一般钟型隶属函数................................................................................... 211
6.1.4 两个sigmoid 型隶属函数之差组成的隶属函数............................................ 211
6.1.5 通用隶属函数计算........................................................................................... 212
6.1.6 建立П型隶属函数........................................................................................... 213
6.1.7 通过两个sigmoid 型隶属函数的乘积构造隶属函数..................................... 213
6.1.8 建立Sigmoid 型隶属函数................................................................................ 213
6.1.9 建立S 型隶属函数........................................................................................... 215
6.1.10 建立梯形隶属函数......................................................................................... 215
6.1.11 建立三角形隶属函数..................................................................................... 216
6.1.12 建立Z 型隶属函数......................................................................................... 218
6.1.13 两个隶属函数之间转换参数......................................................................... 218
6.1.14 基本FIS 编辑器............................................................................................. 219
6.1.15 隶属函数编辑器............................................................................................. 220
6.2 模糊推理结构FIS ....................................................................................................... 221
6.2.1 不使用数据聚类方法从数据生成FIS 结构.................................................... 221
6.2.2 使用减法聚类方法从数椐生成FIS 结构........................................................ 222
6.2.3 生成一个FIS 输出曲面................................................................................... 223
6.2.4 将mamdan 型FIS 转换为Sugeno FIS............................................................ 223
6.2.5 完成模糊推理计算........................................................................................... 224
6.2.6 模糊c 均值聚类............................................................................................... 224
6.2.7 模糊均值和减法聚类....................................................................................... 225
6.2.8 绘制一个FIS .................................................................................................... 226
6.2.9 绘制给定变量的所有隶属的曲线................................................................... 226
6.2.10 从磁盘装入一个FIS ...................................................................................... 227
6.2.11 从FIS 中删除某一隶属函数.......................................................................... 227
6.2.12 从FIS 中删除变量......................................................................................... 228
6.2.13 设置模糊系统属性......................................................................................... 229
6.2.14 以分行形式显示FIS 结构的所有属性.......................................................... 230
6.2.15 完成模糊运算................................................................................................. 231
6.2.16 解析模糊规则................................................................................................. 232
6.2.17 规则编辑器和语法编辑器............................................................................. 233
6.2.18 规则观察器和模糊推理框图......................................................................... 234
6.2.19 保存FIS 到磁盘上......................................................................................... 234
6.2.20 显示FIS 的规则............................................................................................. 235
6.2.21 显示FIS 结构的所有属性............................................................................. 236
第7 章 绘图与图形处理........................................................................................................... 238
7.1 二维图形...................................................................................................................... 238
7.1.1 基本平面图形命令........................................................................................... 238
7.1.2 特殊平面图形命令........................................................................................... 245
7.1.3 二维图形注释命令........................................................................................... 252
7.2 三维图形...................................................................................................................... 256
7.2.1 三维曲线、面填色命令................................................................................... 256
7.2.2 三维图形等高线............................................................................................... 257
7.2.3 曲面与网格图命令........................................................................................... 260
7.2.4 三维数据的其他表现形式命令....................................................................... 264
7.3 通用图形函数命令...................................................................................................... 270
7.3.1 图形对象句柄命令........................................................................................... 270
7.3.2 轴的产生和控制命令....................................................................................... 281
7.3.3 图形句柄操作命令........................................................................................... 282
7.3.4 图形窗口的控制命令....................................................................................... 285
7.4 颜色与光照模式命令.................................................................................................. 286
7.4.1 颜色控制命令................................................................................................... 286
7.4.2 色图控制命令................................................................................................... 288
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第1 章矩阵及其基本运算
MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运
算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。
1.1 矩阵的表示
1.1.1 数值矩阵的生成
1．实数值矩阵输入
MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理
的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗
号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于
一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，
会有多重的方括号。如：
>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Time =
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
X_Data =
2.43 3.43
4.37 5.98
>> vect_a = [1 2 3 4 5]
vect_a =
1 2 3 4 5
>> Matrix_B = [1 2 3；
>> 2 3 4；3 4 5]
Matrix_B = 1 2 3
2 3 4
3 4 5
>> Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
2．复数矩阵输入
复数矩阵有两种生成方式：
第一种方式
例1-1
>> a=2.7;b=13/25;
>> C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]
C=
1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544
0.7071 5.3000 4.5000
第2 种方式
例1-2
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>> R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]
R =
1 2 3
4 5 6
M =
11 12 13
14 15 16
>> CN=R+i*M
CN =
1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i
4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i
1.1.2 符号矩阵的生成
在 MATLAB 中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上
很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一
些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。
1．用命令sym 定义矩阵：
这时的函数sym 实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的
符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。
如下例：
例1-3
>> sym_matrix = sym（'[a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!]，'）
sym_matrix =
[a b c]
[Jack Help Me! NO WAY!]
>> sym_digits = sym（'[1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）]'）
sym_digits =
[1 2 3]
[a b c]
[sin（x）cos（y）tan（z）]
2．用命令syms 定义矩阵
先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。
例1-4
>> syms a b c ；
>> M1 = sym（'Classical'）；
>> M2 = sym（' Jazz'）；
>> M3 = sym（'Blues'）
>> syms_matrix = [a b c； M1， M2， M3；int2str（[2 3 5]）]
syms_matrix =
[ a b c]
[Classical Jazz Blues]
[ 2 3 5]
把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。
数值型和符号型在MATLAB 中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB 提
供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。
例1-5
>> Digit_Matrix = [1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23^（-11.23）]
>> Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）
结果是：
Digit_Matrix =
0.3333 1.4142 3.4234
1.2586 3.3673 0.0000
Syms_Matrix =
[ 1/3， sqrt（2）， 17117/5000]
[5668230535726899*2^（-52），7582476122586655*2^（-51），5174709270083729*2^（-103）]
注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接
近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。
1.1.3 大矩阵的生成
对于大型矩阵，一般创建 M 文件，以便于修改：
例1-6 用M 文件创建大矩阵，文件名为example.m
exm=[ 456 468 873 2 579 55
21 687 54 488 8 13
65 4567 88 98 21 5
456 68 4589 654 5 987
5488 10 9 6 33 77]
在MATLAB 窗口输入：
>>example;
>>size(exm) %显示exm 的大小
ans=
5 6 %表示exm 有5 行6 列。
1.1.4 多维数组的创建
函数 cat
格式 A=cat(n,A1,A2,…,Am)
说明 n=1 和n=2 时分别构造[A1；A2]和[A1，A2]，都是二维数组，而n=3 时可以构造
出三维数组。
例1-7
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
>> A4=cat(3,A1,A2,A3)
A4(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A4(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A4(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
或用另一种原始方式可以定义：
例1-8
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
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>> A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3
A5(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A5(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A5(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
1.1.5 特殊矩阵的生成
命令 全零阵
函数 zeros
格式 B = zeros(n) %生成n×n 全零阵
B = zeros(m,n) %生成m×n 全零阵
B = zeros([m n]) %生成m×n 全零阵
B = zeros(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A 相同大小的全零阵
命令 单位阵
函数 eye
格式 Y = eye(n) %生成n×n 单位阵
Y = eye(m,n) %生成m×n 单位阵
Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A 相同大小的单位阵
命令 全1 阵
函数 ones
格式 Y = ones(n) %生成n×n 全1 阵
Y = ones(m,n) %生成m×n 全1 阵
Y = ones([m n]) %生成m×n 全1 阵
Y = ones(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全1 阵或数组
Y = ones([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全1 阵或数组
Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A 相同大小的全1 阵
命令 均匀分布随机矩阵
函数 rand
格式 Y = rand(n) %生成n×n 随机矩阵，其元素在（0，1）内
Y = rand(m,n) %生成m×n 随机矩阵
Y = rand([m n]) %生成m×n 随机矩阵
Y = rand(m,n,p,…) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand([m n p…]) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A 相同大小的随机矩阵
rand %无变量输入时只产生一个随机数
s = rand('state') %产生包括均匀发生器当前状态的35 个元素的向量
rand('state', s) %使状态重置为s
rand('state', 0) %重置发生器到初始状态
rand('state', j) %对整数j 重置发生器到第j 个状态
rand('state', sum (100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-9 产生一个3×4 随机矩阵
>> R=rand(3,4)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919
例1-10 产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4 阶随机矩阵
>> a=10;b=20;
>> x=a+(b-a)*rand(4)
x =
19.2181 19.3547 10.5789 11.3889
17.3821 19.1690 13.5287 12.0277
11.7627 14.1027 18.1317 11.9872
14.0571 18.9365 10.0986 16.0379
命令 正态分布随机矩阵
函数 randn
格式 Y = randn(n) %生成n×n 正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n) %生成m×n 正态分布随机矩阵
Y = randn([m n]) %生成m×n 正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n,p,…) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn([m n p…]) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A 相同大小的正态分布随机矩阵
randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数
s = randn('state') %产生包括正态发生器当前状态的2 个元素的向量
s = randn('state', s) %重置状态为s
s = randn('state', 0) %重置发生器为初始状态
s = randn('state', j) %对于整数j 重置状态到第j 状态
s = randn('state', sum(100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1 的4 阶矩阵
>> mu=0.6; sigma=0.1;
>> x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)
x =
0.8311 0.7799 0.1335 1.0565
0.7827 0.5192 0.5260 0.4890
0.6127 0.4806 0.6375 0.7971
0.8141 0.5064 0.6996 0.8527
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命令 产生随机排列
函数 randperm
格式 p = randperm(n) %产生1～n 之间整数的随机排列
例1-12
>> randperm(6)
ans =
3 2 1 5 4 6
命令 产生线性等分向量
函数 linspace
格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100 个线性等分点
y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n 个线性等分点
命令 产生对数等分向量
函数 logspace
格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50 个对数等分向量
y = logspace(a,b,n)
y = logspace(a,pi)
命令 计算矩阵中元素个数
n = numel(a) %返回矩阵A 的元素的个数
命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵
函数 blkdiag
格式 out = blkdiag(a,b,c,d,…) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵
例1-13
>> out = blkdiag(1,2,3,4)
out =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
命令 友矩阵
函数 compan
格式 A = compan(u) %u 为多项式系统向量，A 为友矩阵，A 的第1 行元素为
-u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u 的第2 到第n 个元素，A 为特
征值就是多项式的特征根。
例1-14 求多项式 的友矩阵和根
>> u=[1 0 -7 6];
>> A=compan(u) %求多项式的友矩阵
A =
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> eig(A) %A 的特征值就是多项式的根
ans =
-3.0000
2.0000
10a , 10b
(x −1)(x − 2)(x + 3) = x3 − 7x + 6
1.0000
命令 hadamard 矩阵
函数 hadamard
格式 H = hadamard(n) %返回n 阶hadamard 矩阵
例1-15
>> h=hadamard(4)
h =
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
命令 Hankel 方阵
函数 hankel
格式 H = hankel(c) %第1 列元素为c，反三角以下元素为0。
H = hankel(c,r) %第1 列元素为c，最后一行元素为r，如果c 的最后一个元素
与r 的第一个元素不同，交叉位置元素取为c 的最后一个元素。
例1-16
>> c=1:3,r=7:10
c =
1 2 3
r =
7 8 9 10
>> h=hankel(c,r)
h =
1 2 3 8
2 3 8 9
3 8 9 10
命令 Hilbert 矩阵
函数 hilb
格式 H = hilb(n) %返回n 阶Hilbert 矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。
例1-17 产生一个3 阶Hilbert 矩阵
>> format rat %以有理形式输出
>> H=hilb(3)
H =
1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
命令 逆Hilbert 矩阵
函数 invhilb
格式 H = invhilb(n) %产生n 阶逆Hilbert 矩阵
命令 Magic(魔方)矩阵
函数 magic
格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵
例1-18
>> M=magic(3)
M =
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8 1 6
3 5 7
4 9 2
命令 Pascal 矩阵
函数 pascal
格式 A = pascal(n) %产生n 阶Pascal 矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由
Pascal 三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。
A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky 系数组成的Pascal 矩阵
A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的转置和交换的形式
例1-19
>> A=pascal(4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> A=pascal(3,1)
A =
1 0 0
1 -1 0
1 -2 1
>> A=pascal(3,2)
A =
1 1 1
-2 -1 0
1 0 0
命令 托普利兹矩阵
函数 toeplitz
格式 T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c 作为第1 列，将r 作
为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。
T = toeplitz(r) %用向量r 生成一个对称的托普利兹矩阵
例1-20
>> c=[1 2 3 4 5];
>> r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5];
>> T=toeplitz(c,r)
T =
1 5/2 7/2 9/2 11/2
2 1 5/2 7/2 9/2
3 2 1 5/2 7/2
4 3 2 1 5/2
5 4 3 2 1
命令 Wilkinson 特征值测试阵
函数 wilkinson
格式 W = wilkinson(n) %返回n 阶Wilkinson 特征值测试阵
例1-21
>> W=wilkinson(4)
W =
3/2 1 0 0
1 1/2 1 0
0 1 1/2 1
0 0 1 3/2
>> W=wilkinson(7)
W =
3 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 3
1.2 矩阵运算
1.2.1 加、减运算
运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。
运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。
例1-22
>>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6]
>>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2]
>>A＋B=A+B
>>A-Ｂ=A-B
结果显示：A+B=
9 2 7
4 7 10
5 12 8
A－B=
-7 0 -5
-2 -3 -4
-3 -6 4
1.2.2 乘法
运算符：*
运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放
在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。
1．两个矩阵相乘
例1-23
>>X= [2 3 4 5;
1 2 2 1]；
>>Y=[0 1 1;
1 1 0;
0 0 1;
1 0 0]；
Z=X*Y
结果显示为：
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Z=
8 5 6
3 3 3
2．矩阵的数乘：数乘矩阵
上例中：a=2*X
则显示：a =
4 6 8 10
2 4 4 2
向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。
数组乘法：
A.*B 表示A 与B 对应元素相乘。
3．向量点积
函数 dot
格式 C = dot(A,B) %若A、B 为向量，则返回向量A 与B 的点积，A 与B 长度
相同；若为矩阵，则A 与B 有相同的维数。
C = dot(A,B,dim) %在dim 维数中给出A 与B 的点积
例 >>X=[-1 0 2]；
>>Y=[-2 -1 1];
>>Z=dot(X, Y)
则显示：Z =
4
还可用另一种算法：
sum(X.*Y)
ans=
4
4．向量叉乘
在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。
在Matlab 中，用函数cross 实现。
函数 cross
格式 C = cross(A,B) %若A、B 为向量，则返回A 与B 的叉乘，即C=A×B，A、B
必须是3 个元素的向量；若A、B 为矩阵，则返回一个3×n
矩阵，其中的列是A 与B 对应列的叉积，A、B 都是3×n 矩
阵。
C = cross(A,B,dim) %在dim 维数中给出向量A 与B 的叉积。A 和B 必须具有
相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。
例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。
>>a=[1 2 3];
>>b=[4 5 6];
>>c=cross(a,b)
结果显示：
c=
-3 6 -3
可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3)
5．混合积
混合积由以上两函数实现：
例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积a ⋅ (b ×c)
解：
>>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3];
>>x=dot(a, cross(b, c))
结果显示：x =
54
注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。
6．矩阵的卷积和多项式乘法
函数 conv
格式 w = conv(u,v) %u、v 为向量，其长度可不相同。
说明 长度为m 的向量序列u 和长度为n 的向量序列v 的卷积(Convolution)定义为：
Σ=
= + −
k
j 1
w (k) u(j) v(k 1 j)式中：w向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n 时，
w(1) = u(1)*v(1)
w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)
w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)
…
w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)*v(1)
…
w(2*n-1) = u(n)*v(n)
例1-26 展开多项式(s2 + 2s + 2)(s + 4)(s +1)
解：>> w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
w =
1 7 16 18 8
>> P=poly2str(w,'s') %将w 表示成多项式
P =
s^4 + 7 s^3 + 16 s^2 + 18 s + 8
7．反褶积（解卷）和多项式除法运算
函数 deconv
格式 [q,r] = deconv(v,u) %多项式v 除以多项式u，返回商多项式q 和余多项式r。
注意：v、u、q、r 都是按降幂排列的多项式系数向量。
例1-27 ，则其卷积为
>>u = [1 2 3 4]
>>v = [10 20 30]
>>c = conv(u,v)
c =
10 40 100 160 170 120
则反褶积为
>>[q,r] = deconv(c,u)
q =
10 20 30
r =
0 0 0 0 0 0
8．张量积
(x3 + 2x2 + 3x + 4)(10x2 + 20x + 30)
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函数 kron
格式 C=kron (A,B) %A 为m×n 矩阵，B 为p×q 矩阵，则C 为mp×nq 矩阵。
说明 A 与B 的张量积定义为：
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
= ⊗ =
a B a B a B
a B a B a B
a B a B a B
C A B
m1 m2 mn
21 22 2n
11 12 1n
L
M M O M
L
L
A⊗ B 与B⊗A
均为mp×nq 矩阵，但一般地A⊗ B ≠ B⊗A。
例1-28 ??
?
??
?
=
3 4
1 2
A
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
=
7 8 9
4 5 6
1 2 3
B 求A⊗ B。
>> A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> C=kron(A,B)
C =
1 2 3 2 4 6
4 5 6 8 10 12
7 8 9 14 16 18
3 6 9 4 8 12
12 15 18 16 20 24
21 24 27 28 32 36
1.2.3 集合运算
1．两个集合的交集
函数 intersect
格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b 的公共部分，即c= a∩b。
c = intersect(A,B,'rows') %A、B 为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。
[c,ia,ib] = intersect(a,b) %c 为a、b 的公共元素，ia 表示公共元素在a 中的位置，
ib 表示公共元素在b 中位置。
例1-29
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
6 7 1 4
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
6 7 1 4
>> C=intersect(A,B,'rows')
C =
6 7 1 4
例1-30
>> A = [1 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20];
>> [c,ia,ib] = intersect(A,B)
c =
1 6 20
ia =
1 3 4
ib =
1 5 7
2．检测集合中的元素
函数 ismember
格式 k = ismember(a,S) %当a 中元素属于S 时，k 取1，否则，k 取0。
k = ismember(A,S,'rows') %A、S 有相同的列，返回行相同k 取1，不相同取0
的列向量。
例1-31
>> S=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20];
>> a=[1 2 3 4 5 6];
>> k=ismember(a,S)
k =
0 1 0 1 0 1 %1 表示相同元素的位置
例1-32
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
>> k=ismember(A,B,'rows')
k =
0
0
1 %1 表示元素相同的行
3．两集合的差
函数 setdiff
格式 c = setdiff(a,b) %返回属于a 但不属于b 的不同元素的集合，C = a-b。
c = setdiff(A,B,'rows') %返回属于A 但不属于B 的不同行
[c,i] = setdiff(…) %c 与前面一致，i 表示c 中元素在A 中的位置。
例1-33
>> A = [1 7 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20];
>> c=setdiff(A,B)
c =
7 9
例1-34
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
>> c=setdiff(A,B,'rows')
c =
1 2 3 4
1 2 4 6
4．两个集合交集的非（异或）
函数 setxor
格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b 交集的非
c = setxor(A,B,'rows') %返回矩阵A、B 交集的非，A、B 有相同列数。
[c,ia,ib] = setxor(…) %ia、ib 表示c 中元素分别在a (或A)、b(或B)中位置
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例1-35
>> A=[1 2 3 4];
>> B=[2 4 5 8];
>> C=setxor(A,B)
C =
1 3 5 8
例1-36
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
6 7 1 4
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
6 7 1 4
>> [C,ia,ib]=setxor(A,B,'rows')
C =
1 1 4 6
1 2 3 4
1 2 3 8
1 2 4 6
ia =
1
2
ib =
2
1
5．两集合的并集
函数 union
格式 c = union(a,b) %返回a、b 的并集，即c = a∪b。
c = union(A,B,'rows') %返回矩阵A、B 不同行向量构成的大矩阵，其中相同行
向量只取其一。
[c,ia,ib] = union(…) %ia、ib 分别表示c 中行向量在原矩阵(向量)中的位置
例1-37
>> A=[1 2 3 4]；
>> B=[2 4 5 8]；
>> c=union(A,B)
则结果为
c =
1 2 3 4 5 8
例1-38
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
>> [c,ia,ib]=union(A,B,'rows')
c =
1 1 4 6
1 2 3 4
1 2 3 8
1 2 4 6
ia =
1
2
ib =
2
1
6．取集合的单值元素
函数
格式 b = unique (a) %取集合a 的不重复元素构成的向量
b = unique (A,'rows') %返回A、B 不同行元素组成的矩阵
[b,i,j] = unique (…) %i、j 体现b 中元素在原向量（矩阵）中的位置
例1-39
>> A=[1 1 2 2 4 4 6 4 6]
A =
1 1 2 2 4 4 6 4 6
>> [c,i,j]=unique(A)
c =
1 2 4 6
i =
2 4 8 9
j =
1 1 2 2 3 3 4 3 4
例1-40
>> A=[1 2 2 4;1 1 4 6;1 1 4 6]
A =
1 2 2 4
1 1 4 6
1 1 4 6
>> [c,i,j]=unique(A,'rows')
c =
1 1 4 6
1 2 2 4
i =
3
1
j =
2
1
1
1.2.4 除法运算
Matlab 提供了两种除法运算：左除（）和右除（/）。一般情况下，x=ab 是方程a*x =b
的解，而x=b/a 是方程x*a=b 的解。
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例：a=[1 2 3; 4 2 6; 7 4 9]
b=[4; 1; 2];
x=ab
则显示：x=
-1.5000
2.0000
0.5000
如果a 为非奇异矩阵，则ab 和b/a 可通过a 的逆矩阵与b 阵得到：
ab = inv(a)*b
b/a = b*inv(a)
数组除法：
A./B 表示A 中元素与B 中元素对应相除。
1.2.5 矩阵乘方
运算符：^
运算规则：
（1）当A 为方阵，P 为大于0 的整数时，A^P 表示A 的P 次方，即A 自乘P 次；P 为
小于0 的整数时，A^P 表示A-1 的P 次方。
（2）当A 为方阵，p 为非整数时，则1
p
nn
p
11
V
d
d
A^ P V −
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
= O 其中V 为A 的特征向
量，
? ?
?
?
? ?
?
?
nn
11
d
d
O 为特征值对角矩阵。如果有重根，以上指令不成立。
（3）标量的矩阵乘方PA，标量的矩阵乘方定义为1
d
d
A V
p
p
P V
n n
11
−
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
= O 式中V，D 取
自特征值分解AV=AD。
（4）标量的数组乘方P.^A，标量的数组乘方定义为
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
=
m1 mn
11 1n
a a
a a
p p
p p
P.^A
L
M M
L
数组乘方：
A.^P：表示A 的每个元素的P 次乘方。
1.2.6 矩阵函数
命令 方阵指数
函数 expm
格式 Y = expm(A) %使用Pade 近似算法计算eA，这是一个内部函数，A 为方阵。
Y=expm1(A) %使用一个M 文件和内部函数相同的算法计算eA
Y=expm2(A) %使用泰勒级数计算eA
Y=expm3(A) %使用特征值和特征向量计算eA
命令 矩阵的对数
函数 logm
格式 Y = logm(X) %计算矩阵X 的对数，它是expm(X)的反函数。
[Y,esterr] = logm(X) %esterr 为相对残差的估计值：norm(expm(Y)-X)/norm(X)
例1-41
>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1];
>> Y=expm(A)
Y =
2.7183 1.7183 1.0862
0 1.0000 1.2642
0 0 0.3679
>> A=logm(Y)
A =
1.0000 1.0000 0.0000
0 0 2.0000
0 0 -1.0000
命令 方阵的函数
函数 funm
格式 F = funm(A,fun) %A 为方阵，计算由fun 指定的A 的矩阵函数，fun 可以
是任意基本函数， 如sin 、cos 等等， 例如：
funm(A, ’exp’)=expm(A)。
[F,esterr] = funm(A,fun) %esterr 为结果所产生的相对误差的估计值。
命令 矩阵的方根
函数 sqrtm
格式 X = sqrtm(A) %矩阵A 的平方根A1/2，相当于X*X=A，求X。若A 的特征值
有非负实部，则X 是唯一的；若A 的特征值有负的实部，则X
为复矩阵；若A 为奇异矩阵，则X 不存在。
[X,resnorm] = sqrtm(A) % resnorm为结果产生的相对误差
[X,alpha,condest] = sqrtm(A) % alpha 为稳定因子，condest 为结果的条件数的估
计值。
命令 矩阵A 的多项式
函数 polyvalm
格式 polyvalm(P, A) %P 为多项式系数向量，方阵A 为多项式变量，返回多项式值。
1.2.7 矩阵转置
运算符：′
运算规则：若矩阵A 的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。
若A 为复数矩阵，则A 转置后的元素由A 对应元素的共轭复数构成。
若仅希望转置，则用如下命令：A.′。
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1.2.8 方阵的行列式
函数 det
格式 d = det(X) %返回方阵X 的多项式的值
例1-42
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> D=det(A)
D =
0
1.2.9 逆与伪逆
命令 逆
函数 inv
格式 Y=inv(X) %求方阵X的逆矩阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。
例1-43 求
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
=
3 4 3
2 2 1
1 2 3
A 的逆矩阵
方法一
>>A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3];
>>Y=inv(A)或Y=A^(-1)
则结果显示为
Y =
1.0000 3.0000 -2.0000
-1.5000 -3.0000 2.5000
1.0000 1.0000 -1.0000
方法二：由增广矩阵
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
=
3 4 3 0 0 1
2 2 1 0 1 0
1 2 3 1 0 0
B 进行初等行变换
>>B=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 2, 2, 1, 0, 1, 0; 3, 4, 3, 0, 0, 1]；
>>C=rref(B) %化行最简形
>>X=C(:, 4:6) %取矩阵C 中的A^(-1)部分
显示结果如下：
C =
1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000
0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000
0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000
X =
1.0000 3.0000 -2.0000
-1.5000 -3.0000 2.5000
1.0000 1.0000 -1.0000
例1-44
>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]；
>> format rat %用有理格式输出
>> D=inv(A)
D =
1/3 0 1/3
0 1/3 -2/3
-1/3 1/3 0
命令 伪逆
函数 pinv
格式 B = pinv(A) %求矩阵A 的伪逆
B = pinv(A, tol) %tol 为误差：max(size(A))*norm(A)*eps
说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I 和XA=I 至少有一个无解，这时A 的伪逆能在某
种程度上代表矩阵的逆，若A 为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。
例1-45
>> A=magic(5); %产生5 阶魔方阵。
>> A=A(:,1:4) %取5 阶魔方阵的前4 列元素构成矩阵A。
A =
17 24 1 8
23 5 7 14
4 6 13 20
10 12 19 21
11 18 25 2
>> X=pinv(A) %计算A 的伪逆
X =
-0.0041 0.0527 -0.0222 -0.0132 0.0069
0.0437 -0.0363 0.0040 0.0033 0.0038
-0.0305 0.0027 -0.0004 0.0068 0.0355
0.0060 -0.0041 0.0314 0.0211 -0.0315
1.2.10 矩阵的迹
函数 trace
格式 b=trace (A) %返回矩阵A 的迹，即A 的对角线元素之和。
1.2.11 矩阵和向量的范数
命令 向量的范数
函数 norm
格式 n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即= Σ 2
|| X||2 | xk | 。
n = norm(X,inf) %求∞ -范数，即|| X||= max (abs (X))。
n = norm(X,1) %求1-范数，即=Σ
k
|| X||1 | xk |。
n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即|| X||= min (abs (X))。
n = norm(X, p) %求p-范数，即p
k
p
|| X||p= Σ| xk | ，所以norm(X,2) = norm(X)。
命令 矩阵的范数
函数 norm
格式 n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数|| A||2，等于A的最大奇异值。
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n = norm(A,1) %求A的列范数|| A||1，等于A的列向量的1-范数的最大值。
n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数|| A||2，和norm(A)相同。
n = norm(A,inf) %求行范数|| A||∞，等于A的行向量的1-范数的最大值
即：max(sum(abs(A')))。
n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数= ΣΣ
i j
2
|| A||F | a i j | ，
即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。
命令 范数的估计值
函数 normest
格式 nrm = normest(A) %矩阵A 的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误
差小于106。
nrm = normest(A,tol) %tol 为指定相对误差
[nrm,count] = normest(…) %count 给出计算估计值的迭代次数
1.2.12 条件数
命令 矩阵的条件数
函数 cond
格式 c = cond(X) %求X 的2-范数的条件数，即X 的最大奇异值和最小奇异值的商。
c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p 的值可以是1、2、inf 或者’fro’。
说明 线性方程组AX=b 的条件数是一个大于或者等于1 的实数，用来衡量关于数据中
的扰动，也就是A/或b 对解X 的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定
义为：cond(A) | A |||| A−1 ||
命令 1-范数的条件数估计
函数 condest
格式 c = condest (A) %方阵A 的1-范数的条件数的下界估值。
[c,v] = condest (A) %v 为向量，满足c
|| Av ||= || A|| ⋅ || v || ，即norm(A*v,1)
=norm(A,1)*norm(v,1)/c。
[c,v] = condest (A,t) %求上面的c 和v，同时显示出关于计算的步骤信息。如果
t=1，则计算的每步都显示出来；如果t=-1，则给出商
c/rcond(A)。
命令 矩阵可逆的条件数估值
函数 rcond
格式 c = rcond(A) %对于差条件矩阵A 来说，给出一个接近于0 的数；对于好条件
矩阵A，则给出一个接近于1 的数。
命令 特征值的条件数
函数 condeig
格式 c = condeig(A) %返回矩阵A 的特征值的条件数
[V,D,c] = condeig(A) %D 为A 的特征值对角阵，V 为A 的特征向量。
1.2.13 矩阵的秩
函数 rank
格式 k = rank (A) %求矩阵A 的秩
k = rank (A,tol) %tol 为给定误差
1.2.14 特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数 diag
格式 X = diag(v,k) %以向量v 的元素作为矩阵X 的第k 条对角线元素，当k=0 时，
v 为X 的主对角线；当k>0 时，v 为上方第k 条对角线；当k<0
时，v 为下方第k 条对角线。
X = diag(v) %以v 为主对角线元素，其余元素为0 构成X。
v = diag(X,k) %抽取X 的第k 条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线
元素；k>0：抽取上方第k 条对角线元素；k<0 抽取下方第k 条
对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
例1-46
>> v=[1 2 3];
>> x=diag(v,-1)
x =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> v=diag(A,1)
v =
2
6
2．上三角阵和下三角阵的抽取
函数 tril %取下三角部分
格式 L = tril(X) %抽取X 的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k) %抽取X 的第k 条对角线的下三角部分；k=0 为主对角线；k>0
为主对角线以上；k<0 为主对角线以下。
函数 triu %取上三角部分
格式 U = triu(X) %抽取X 的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X 的第k 条对角线的上三角部分；k=0 为主对角线；k>0
为主对角线以上；k<0 为主对角线以下。
例1-47
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>> A=ones(4) %产生4 阶全1 阵
A =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
>> L=tril(A,1) %取下三角部分
L =
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
>> U=triu(A,-1) %取上三角部分
U =
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2 个已知维数矩阵
之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维
例1-48
> A=[1 2 3 4 5 6;6 7 8 9 0 1]
A =
1 2 3 4 5 6
6 7 8 9 0 1
>> B=ones(3,4)
B =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
>> B(:)=A(:)
B =
1 7 4 0
6 3 9 6
2 8 5 1
（2）Reshape 函数变维
格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A 的元素构成的m×n 矩阵B
B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A 变维为m×n×p×…
B = reshape(A,[m n p…]) %同上
B = reshape(A,siz) %由siz 决定变维的大小，元素个数与A 中元素个数
相同。
例1-49 矩阵变维
>> a=[1:12];
>> b=reshape(a,2,6)
b =
1 3 5 7 9 11
2 4 6 8 10 12
4．矩阵的变向
（1）矩阵旋转
函数
格式 B = rot90 (A) %将矩阵A 逆时针方向旋转90°
B = rot90 (A,k) %将矩阵A 逆时针方向旋转(k×90°)，k 可取正负整数。
例1-50
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> Y1=rot90(A),Y2=rot90(A,-1)
Y1 = %逆时针方向旋转
3 6 9
2 5 8
1 4 7
Y2 = %顺时针方向旋转
7 4 1
8 5 2
9 6 3
（2）矩阵的左右翻转
函数 fliplr
格式 B = fliplr(A) %将矩阵A 左右翻转
（3）矩阵的上下翻转
函数 flipud
格式 B = flipud(A) %将矩阵A 上下翻转
例1-51
>> A=[1 2 3;4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
>> B1=fliplr(A),B2=flipud(A)
B1 =
3 2 1
6 5 4
B2 =
4 5 6
1 2 3
（4）按指定维数翻转矩阵
函数 flipdim
格式 B = flipdim(A,dim) % flipdim(A,1) = flipud(A)，并且flipdim(A,2)=fliplr(A)。
例1-52
>> A=[1 2 3;4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
>> B1=flipdim(A,1),B2=flipdim(A,2)
B1 =
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4 5 6
1 2 3
B2 =
3 2 1
6 5 4
（5）复制和平铺矩阵
函数 repmat
格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A 复制m×n 块，即B 由m×n 块A 平铺而成。
B = repmat(A,[m n]) %与上面一致
B = repmat(A,[m n p…]) %B 由m×n×p×…个A 块平铺而成
repmat(A,m,n) %当A 是一个数a 时，该命令产生一个全由a 组成的
m×n 矩阵。
例1-53
>> A=[1 2;5 6]
A =
1 2
5 6
>> B=repmat(A,3,4)
B =
1 2 1 2 1 2 1 2
5 6 5 6 5 6 5 6
1 2 1 2 1 2 1 2
5 6 5 6 5 6 5 6
1 2 1 2 1 2 1 2
5 6 5 6 5 6 5 6
5．矩阵的比较关系
矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证
两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较，
若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为1，否则置0。
MATLAB 的各种比较关系运算有见表1-1。
表1-1
运算符 含义 运算符 含义
> 大于关系 < 大于关系
= = 等于关系 >= 大于或等于关系
<= 小于或等于关系 ~ = 不等于关系
例1-54
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];B=[0 2 1 4;0 7 7 2];
>> C1=A==B, C2=A>=B, C3=A~=B
C1 =
0 1 0 1
0 0 1 0
C2 =
1 1 1 1
1 0 1 1
C3 =
1 0 1 0
1 1 0 1
6．矩阵元素的数据变换
对于小数构成的矩阵A 来说，如果我们想对它取整数，有以下几种方法：
（1）按-∞方向取整
函数 floor
格式 floor(A) %将A 中元素按-∞方向取整，即取不足整数。
（2）按+∞方向取整
函数 ceil
格式 ceil(A) %将A 中元素按+∞方向取整，即取过剩整数。
（3）四舍五入取整
函数 round
格式 round (A) %将A 中元素按最近的整数取整，即四舍五入取整。
（4）按离0 近的方向取整
函数 fix
格式 fix (A) %将A 中元素按离0 近的方向取整
例1-55
>> A=-1.5+4*rand(3)
A =
2.3005 0.4439 0.3259
-0.5754 2.0652 -1.4260
0.9274 1.5484 1.7856
>> B1=floor(A),B2=ceil(A),B3=round(A),B4=fix(A)
B1 =
2 0 0
-1 2 -2
0 1 1
B2 =
3 1 1
0 3 -1
1 2 2
B3 =
2 0 0
-1 2 -1
1 2 2
B4 =
2 0 0
0 2 -1
0 1 1
（5）矩阵的有理数形式
函数 rat
格式 [n,d]=rat (A) %将A 表示为两个整数矩阵相除，即A=n./d。
例1-56 对于上例中的A
>> [n,d]=rat(A)
n =
444 95 131
-225 2059 -472
166 48 1491
d =
193 214 402
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391 997 331
179 31 835
（6）矩阵元素的余数
函数 rem
格式 C = rem (A, x) %表示A 矩阵除以模数x 后的余数。若x=0，则定义rem(A,
0)=NaN，若x≠0，则整数部分由fix(A./x)表示，余数C=A-x.*fix
(A./x)。允许模x 为小数。
7．矩阵逻辑运算
设矩阵A 和B 都是m×n 矩阵或其中之一为标量，在MATLAB 中定义了如下的逻辑运
算：
（1）矩阵的与运算
格式 A&B 或and(A, B)
说明 A 与B 对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。
（2）或运算
格式 A|B 或or(A, B)
说明 A 与B 对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。
（3）非运算
格式 ~A 或not (A)
说明 若A 的元素为0，则结果元素为1，否则为0。
（4）异或运算
格式 xor (A,B)
说明 A 与B 对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果
为0，否则为1。
例1-57
>> A=[0 2 3 4;1 3 5 0],B=[1 0 5 3;1 5 0 5]
A =
0 2 3 4
1 3 5 0
B =
1 0 5 3
1 5 0 5
>> C1=A&B,C2=A|B,C3=~A,C4=xor(A,B)
C1 =
0 0 1 1
1 1 0 0
C2 =
1 1 1 1
1 1 1 1
C3 =
1 0 0 0
0 0 0 1
C4 =
1 1 0 0
0 0 1 1
1.2.15 符号矩阵运算
1．符号矩阵的四则运算
Matlab 6.x 抛弃了在4.2 版中为符号矩阵设计的复杂函数形式，把符号矩阵的四则运算
简化为与数值矩阵完全相同的运算方式，其运算符为：加（＋）、减（－）、乘（×）、除（/、
）等或：符号矩阵的和（symadd）、差（symsub）、乘 (symmul)。
例1-58 >> A = sym(′[1/ x, 1/(x +1); 1/(x + 2), 1/(x + 3)]′);
>> B = sym(′[x, 1; x + 2, 0]′ ) ；
>>C=B-A
>>D=ab
则显示：
C=
x-1/x 1-1/(x+1)
x+2-1/(x+2) -1/(x+3)
D=
-6*x-2*x^3-7*x^2 1/2*x^3+x+3/2*x^2
6+2*x^3+10*x^2+14*x -2*x^2-3/2*x-1/2*x^3
2．其他基本运算
符号矩阵的其他一些基本运算包括转置（'）、行列式（det）、逆（inv）、秩（rank）、幂
（^）和指数（exp 和expm）等都与数值矩阵相同
3．将数值矩阵转化为符号矩阵
函数 sym
格式 B=sym(A) %将A 转化为符号矩阵B
例1-59
>> A=[2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)]
A =
0.6667 1.4142 0.2220
1.4000 4.3478 1.0986
>> B=sym(A)
B =
[ 2/3, sqrt(2), 111/500]
[ 7/5, 100/23, 4947709893870346*2^(-52)]
4．符号矩阵的索引与修改
符号矩阵的索引与修改同数值矩阵的索引与修改完全相同，即用矩阵的坐标括号表达式
实现。
例1-60 对上例中的矩阵B
>> B(2,3) %矩阵的索引
ans =
4947709893870346*2^(-52)
>> B(2,3)='log(7)' %矩阵的修改
B =
[ 2/3, sqrt(2), 111/500]
[ 7/5, 100/23, log(7)]
5．符号矩阵的简化
符号工具箱中提供了符号矩阵因式分解、展开、合并、简化及通分等符号操作函数。
（1）因式分解
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函数 factor
格式 factor(s) %符号表达式s 的因式分解函数
说明 S 为符号矩阵或符号表达式，常用于多项式的因式分解。
例1-61 将x 9-1 分解因式
在Matlab 命令窗口键入：
syms x
factor(x^9-1)
则显示：ans =
(x-1)*(x^2+x+1)*(x6+x^3+1)
例1-62 问“入”取何值时，齐次方程组
??
??
?
+ + − λ =
+ − λ + =
− λ − + =
(1 ) 0
2 (3 ) 0
(1 ) 2 4 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
有非0 解？
解：在Matlab 编辑器中建立M 文件：
syms k
A=[1-k -2 4;2 3-k 1;1 1 1-k];
D=det(A)
factor(D)
其结果显示如下：
D =
-6*k+5*k^2-k^3
ans =
-k*(k-2)*(-3+k)
从而得到：当k=0、k=2 或k=3 时，原方程组有非0 解。
（2）符号矩阵的展开
函数 expand
格式：expand(s) %符号表达式s 的展开函数
说明：s 为符号矩阵或表达式。常用在多项式的因式分解中，也常用于三角函数，指数
函数和对数函数的展开中。
例1-63 将(x+1)3、sin(x+y)展开
在Matlab 编辑器中建立M 文件：
syms x y
p=expand((x+1)^3)
q=expand(sin(x+y))
则结果显示为
p =
x^3+3*x^2+3*x+1
q =
sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
（3）同类式合并
函数 Collect
格式 Collect(s,v) %将s 中的变量v 的同幂项系数合并
Collect(s) % s 是矩阵或表达式，此命令对由命令findsym 函数返回的默认变
量进行同类项合并。
（4）符号简化
函数 simple 或simplify %寻找符号矩阵或符号表达式的最简型
格式 simple (s) % s 是矩阵或表达式
[R,how]=simple (s) %R 为返回的最简形，how 为简化过程中使用的主要方法。
说明 Simple(s)将表达式s 的长度化到最短。若还想让表达式更加精美，可使用函数
Pretty。
格式 Pretty(s) %使表达式s 更加精美
例1-64 计算行列式
4 4 4 4
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
a b c d
a b c d 的值。
在Matlab 编辑器中建立M 文件：
syms a b c d
A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];
d1=det(A)
d2=simple(d1) %化简表达式d1
pretty(d2) %让表达式d2 符合人们的书写习惯
则显示结果如下：
d1 =
b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b
^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a
^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c
d2 =
(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b)
(-d+c)(b-d)(b-c)(-d+a)(a-c)(a-b)(a+c+d+b)
1.2.16 矩阵元素个数的确定
函数 numel
格式 n = numel(a) %计算矩阵A 中元素的个数
例1-65
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];
>> n=numel(A)
n =
8
1.3 矩阵分解
1.3.1 Cholesky 分解
函数 chol
格式 R = chol(X) %如果X 为n 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角
阵R，满足R'*R = X；若X 非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X 为正定阵，则p=0，R 与上相同；
若X 非正定，则p 为正整数，R 是有序的上三角阵。
例1-66
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>> X=pascal(4) %产生4 阶pascal 矩阵
X =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> [R,p]=chol(X)
R =
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
p =
0
1.3.2 LU 分解
矩阵的三角分解又称 LU 分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L 和一个
上三角矩阵U 的乘积，即A=LU。
函数 lu
格式 [L,U] = lu(X) %U 为上三角阵，L 为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X) %U 为上三角阵，L 为下三角阵，P 为单位矩阵的行变换矩阵，
满足LU=PX。
例1-67
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> [L,U]=lu(A)
L =
0.1429 1.0000 0
0.5714 0.5000 1.0000
1.0000 0 0
U =
7.0000 8.0000 9.0000
0 0.8571 1.7143
0 0 0.0000
>> [L,U,P]=lu(A)
L =
1.0000 0 0
0.1429 1.0000 0
0.5714 0.5000 1.0000
U =
7.0000 8.0000 9.0000
0 0.8571 1.7143
0 0 0.0000
P =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1.3.3 QR 分解
将矩阵 A 分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
函数 qr
格式 [Q,R] = qr(A) %求得正交矩阵Q 和上三角阵R，Q 和R 满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A) %求得正交矩阵Q 和上三角阵R，E 为单位矩阵的变换形式，
R 的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。
[Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A 的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E 的作用是使得R 的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A) %稀疏矩阵A 的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R =
A'*A，这种方法计算A'*A 时减少了内在数字信息的损耗。
[C,R] = qr(A,b) %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] =
qr(A,b)，x = Rc。
R = qr(A,0) %针对稀疏矩阵A 的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0) %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
例1-68
>>A =[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
>>[Q,R] = qr(A)
Q =
-0.0776 -0.8331 0.5444 0.0605
-0.3105 -0.4512 -0.7709 0.3251
-0.5433 -0.0694 -0.0913 -0.8317
-0.7762 0.3124 0.3178 0.4461
R =
-12.8841 -14.5916 -16.2992
0 -1.0413 -2.0826
0 0 0.0000
0 0 0
函数 qrdelete
格式 [Q,R] = qrdelete(Q,R,j) %返回将矩阵A 的第j 列移去后的新矩阵的qr 分解
例1-69
>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];
>> [Q,R]=qr(A)
Q =
-0.2671 -0.7088 0.6529
0.9625 -0.1621 0.2176
-0.0484 0.6865 0.7255
R =
557.9418 187.0321 567.8424
0 0.0741 3.4577
0 0 0.1451
>> [Q,R]=qrdelete(Q,R,3) %将A 的第3 列去掉后进行qr 分解。
Q =
-0.2671 -0.7088 0.6529
0.9625 -0.1621 0.2176
-0.0484 0.6865 0.7255
R =
557.9418 187.0321
0 0.0741
0 0
函数 qrinsert
格式 [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x) %在矩阵A 中第j 列插入向量x 后的新矩阵进行qr 分
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解。若j 大于A 的列数，表示在A 的最后插入列x。
例1-70
>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];
>> x=[35 10 7]';
>> [Q,R]=qrinsert(Q,R,4,x)
Q =
-0.2671 -0.7088 0.6529
0.9625 -0.1621 0.2176
-0.0484 0.6865 0.7255
R =
557.9418 187.0321 567.8424 -0.0609
0 0.0741 3.4577 -21.6229
0 0 0.1451 30.1073
1.3.4 Schur 分解
函数 schur
格式 T = schur(A) %产生schur 矩阵T，即T 的主对角线元素为特征值的三角阵。
T = schur(A,flag) %若A 有复特征根，则flag='complex'，否则flag='real'。
[U,T] = schur(A,…) %返回正交矩阵U 和schur 矩阵T，满足A = U*T*U'。
例1-71
>> H = [ -149 -50 -154; 537 180 546; -27 -9 -25 ];
>> [U,T]=schur(H)
U =
0.3162 -0.6529 0.6882
-0.9487 -0.2176 0.2294
0.0000 0.7255 0.6882
T =
1.0000 -7.1119 -815.8706
0 2.0000 -55.0236
0 0 3.0000
1.3.5 实Schur 分解转化成复Schur 分解
函数 rsf2csf
格式 [U,T] = rsf2csf (U,T) %将实舒尔形式转化成复舒尔形式
例1-72
>> A=[1 1 1 3;1 2 1 1;1 1 3 1;-2 1 1 4];
>> [u,t]=schur (A)
u =
-0.4916 -0.4900 -0.6331 -0.3428
-0.4980 0.2403 -0.2325 0.8001
-0.6751 0.4288 0.4230 -0.4260
-0.2337 -0.7200 0.6052 0.2466
t =
4.8121 1.1972 -2.2273 -1.0067
0 1.9202 -3.0485 -1.8381
0 0.7129 1.9202 0.2566
0 0 0 1.3474
>> [U,T]=rsf2csf (u,t)
U =
-0.4916 -0.2756 - 0.4411i 0.2133 + 0.5699i -0.3428
-0.4980 -0.1012 + 0.2163i -0.1046 + 0.2093i 0.8001
-0.6751 0.1842 + 0.3860i -0.1867 - 0.3808i -0.4260
-0.2337 0.2635 - 0.6481i 0.3134 - 0.5448i 0.2466
T =
4.8121 -0.9697 + 1.0778i -0.5212 + 2.0051i -1.0067
0 1.9202 + 1.4742i 2.3355 0.1117 + 1.6547i
0 0 1.9202 - 1.4742i 0.8002 + 0.2310i
0 0 0 1.3474
1.3.6 特征值分解
函数 eig
格式 d = eig(A) %求矩阵A 的特征值d，以向量形式存放d。
d = eig(A,B) %A、B 为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。
[V,D] = eig(A) %计算A 的特征值对角阵D 和特征向量V，使AV=VD 成立。
[V,D] = eig(A,'nobalance') %当矩阵A 中有与截断误差数量级相差不远的值时，
该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。
[V,D] = eig(A,B) %计算广义特征值向量阵V 和广义特征值阵D，满足
AV=BVD。
[V,D] = eig(A,B,flag) % 由flag 指定算法计算特征值D 和特征向量V，flag 的
可能值为：'chol' 表示对B 使用Cholesky 分解算法，这里
A 为对称Hermitian 矩阵，B 为正定阵。'qz' 表示使用QZ
算法，这里A、B 为非对称或非Hermitian 矩阵。
说明 一般特征值问题是求解方程：Ax = λx解的问题。广义特征值问题是求方程：
Ax = λBx 解的问题。
1.3.7 奇异值分解
函数 svd
格式 s = svd (X) %返回矩阵X 的奇异值向量
[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X 同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U 和V，
且满足= U*S*V'。若A 为m×n 阵，则U 为m×m 阵，V
为n×n 阵。奇异值在S 的对角线上，非负且按降序排列。
[U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U 的前n
列，矩阵S 的大小为n×n。
例1-73
>> A=[1 2;3 4;5 6;7 8];
>> [U,S,V]=svd(A)
U =
-0.1525 -0.8226 -0.3945 -0.3800
-0.3499 -0.4214 0.2428 0.8007
-0.5474 -0.0201 0.6979 -0.4614
-0.7448 0.3812 -0.5462 0.0407
S =
14.2691 0
0 0.6268
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0 0
0 0
V =
-0.6414 0.7672
-0.7672 -0.6414
>> [U,S,V]=svd(A,0)
U =
-0.1525 -0.8226
-0.3499 -0.4214
-0.5474 -0.0201
-0.7448 0.3812
S =
14.2691 0
0 0.6268
V =
-0.6414 0.7672
-0.7672 -0.6414
1.3.8 广义奇异值分解
函数 gsvd
格式 [U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) %返回酉矩阵U 和V、一个普通方阵X、非负对角矩
阵C 和S，满足A = U*C*X'，B = V*S*X'，C'*C + S'*S
= I (I 为单位矩阵)；A 和B 的列数必须相同，行数可
以不同。
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0) %含义与前面相似
sigma = gsvd (A,B) %返回广义奇异值sigma
例1-74
>> A=reshape(1:12,3,4) %产生3 行4 列矩阵，元素由1，2，…，12 构成。
A =
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
>> B=magic(4) %产生4 阶魔方阵
B =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
>> [U,V,X,C,S]=gsvd(A,B)
U =
0.4082 0.7071 0.5774
-0.8165 0.0000 0.5774
0.4082 -0.7071 0.5774
V =
0.2607 -0.7950 -0.5000 0.2236
-0.4029 0.3710 -0.5000 0.6708
-0.5452 -0.0530 -0.5000 -0.6708
0.6874 0.4770 -0.5000 -0.2236
X =
0 -9.4340 -17.0587 3.4641
1.8962 8.7980 -17.0587 8.6603
3.7924 8.1620 -17.0587 13.8564
-5.6885 -7.5260 -17.0587 19.0526
C =
0 0.0000 0 0
0 0 0.0829 0
0 0 0 1.0000
S =
1.0000 0 0 0
0 1.0000 0 0
0 0 0.9966 0
0 0 0 0.0000
1.3.9 特征值问题的QZ 分解
函数 qz
格式 [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %A、B 为方阵，产生上三角阵AA 和BB，正
交矩阵Q、Z 或其列变换形式，V 为特征向量
阵。且满足：Q*A*Z= AA 和Q*B*Z = BB。
[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag) %产生由flag 决定的分解结果，flag 取值为：
'complex'：表示复数分解（默认），取值为'real'：
表示实数分解。
1.3.10 海森伯格形式的分解
如果矩阵 H 的第一子对角线下元素都是0，则H 为海森伯格(Hessenberg)矩阵。如果矩
阵是对称矩阵，则它的海森伯格形式是对角三角阵。MATLAB 可以通过相似变换将矩阵变
换成这种形式。
函数 hess
格式 H = hess(A) %返回矩阵A 的海森伯格形式
[P,H] = hess(A) %P 为酉矩阵，满足：A = PHP' 且P'P = eye(size(A))。
例1-75
>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];
>> [P,H]=hess(A)
P =
1.0000 0 0
0 -0.9987 0.0502
0 0.0502 0.9987
H =
-149.0000 42.2037 -156.3165
-537.6783 152.5511 -554.9272
0 0.0728 2.4489
H 的第一子对角元素是H(3,1)=0。
1.4 线性方程的组的求解
我们将线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求
无穷解即通解。可以通过系数矩阵的秩来判断：
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若系数矩阵的秩r=n（n 为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；
若系数矩阵的秩r<n，则可能有无穷解；
线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求
法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）
这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；另一类是解大
型稀疏矩阵 —— 迭代法。
1．利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：AX=b
解法：X=Ab
例1-76 求方程组
? ?
?
? ?
?
?
+ =
+ + =
+ + =
+ + =
+ =
x 5x 1
x 5x 6x 0
x 5x 6x 0
x 5x 6x 0
5x 6x 1
4 5
3 4 5
2 3 4
1 2 3
1 2
的解。
解：
>>A=[5 6 0 0 0
1 5 6 0 0
0 1 5 6 0
0 0 1 5 6
0 0 0 1 5];
B=[1 0 0 0 1]';
R_A=rank(A) %求秩
X=AB %求解
运行后结果如下
R_A =
5
X =
2.2662
-1.7218
1.0571
-0.5940
0.3188
这就是方程组的解。
或用函数rref 求解：
>> C=[A,B] %由系数矩阵和常数列构成增广矩阵C
>> R=rref(C) %将C 化成行最简行
R =
1.0000 0 0 0 0 2.2662
0 1.0000 0 0 0 -1.7218
0 0 1.0000 0 0 1.0571
0 0 0 1.0000 0 -0.5940
0 0 0 0 1.0000 0.3188
则R 的最后一列元素就是所求之解。
例1-77 求方程组
??
??
?
+ − − =
− − + =
+ − − =
x 5x 9x 8x 0
3x x 3x 4x 4
x x 3x x 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
的一个特解。
解：
>>A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
>>B=[1 4 0]';
>>X=AB %由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差。
X =[ 0 0 -0.5333 0.6000]’（一个特解近似值）。
若用rref 求解，则比较精确：
>> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
B=[1 4 0]';
>> C=[A,B]; %构成增广矩阵
>> R=rref(C)
R =
1.0000 0 -1.5000 0.7500 1.2500
0 1.0000 -1.5000 -1.7500 -0.2500
0 0 0 0 0
由此得解向量X=[1.2500 – 0.2500 0 0]’（一个特解）。
2．利用矩阵的LU、QR 和cholesky 分解求方程组的解
（1）LU 分解：
LU 分解又称Gauss 消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交
换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L 为下三角阵，U 为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b
所以X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。
命令 [L，U]=lu (A)
例1-78 求方程组
??
??
?
+ =
− + =
+ − =
11x 3x 8
3x x 2x 10
4x 2x x 2
1 2
1 2 3
1 2 3
的一个特解。
解：
[2,10, 8]
11 3 0
3 1 2
4 2 1
= ′
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
−
−
A = b
>>A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0];
>>B=[2 10 8]';
>>D=det(A)
>>[L,U]=lu(A)
>>X=U(LB)
显示结果如下：
D =
0
L =
0.3636 -0.5000 1.0000
0.2727 1.0000 0
1.0000 0 0
U =
11.0000 3.0000 0
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0 -1.8182 2.0000
0 0 0.0000
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017.
> In D:Matlabpujunlx0720.m at line 4
X =
1.0e+016 *
-0.4053
1.4862
1.3511
说明 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。可以通过A*X 验证其正确性。
（2）Cholesky 分解
若A 为对称正定矩阵，则Cholesky 分解可将矩阵A 分解成上三角矩阵和其转置的乘积，
即：A = R′ ∗ R 其中R 为上三角阵。
方程 A*X=b 变成 R′ ∗ R *X = b
所以 X = R (R′ b)
（3）QR 分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR 分解，其中Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵的初
等变换形式，即：A=QR
方程 A*X=b 变形成 QRX=b
所以 X=R(Qb)
上例中 [Q, R]=qr(A)
X=R(QB)
说明 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘
空间、节省内存。
1.4.2 求线性齐次方程组的通解
在 Matlab 中，函数null 用来求解零空间，即满足A·X=0 的解空间，实际上是求出解
空间的一组基（基础解系）。
格式 z = null % z 的列向量为方程组的正交规范基，满足Z′× Z = I。
z = null(A,′ r′) % z 的列向量是方程AX=0 的有理基
例1-79 求解方程组的通解：
??
??
?
− − − =
+ − − =
+ + + =
x x 4x 3x 0
2x x 2x 2x 0
x 2x 2x x 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
解：
>>A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];
>>format rat %指定有理式格式输出
>>B=null(A,'r') %求解空间的有理基
运行后显示结果如下：
B =
2 5/3
-2 -4/3
1 0
0 1
或通过行最简行得到基：
>> B=rref(A)
B =
1.0000 0 -2.0000 -1.6667
0 1.0000 2.0000 1.3333
0 0 0 0
即可写出其基础解系（与上面结果一致）。
写出通解：
syms k1 k2
X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解
pretty(X) %让通解表达式更加精美
运行后结果如下：
X =
[ 2*k1+5/3*k2]
[ -2*k1-4/3*k2]
[ k1]
[ k2]
% 下面是其简化形式
[2k1 + 5/3k2 ]
[ ]
[-2k1 - 4/3k2]
[ ]
[ k1 ]
[ ]
[ k2 ]
1.4.3 求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：
第一步：判断AX=b 是否有解，若有解则进行第二步
第二步：求AX=b 的一个特解
第三步：求AX=0 的通解
第四步：AX=b 的通解= AX=0 的通解+AX=b 的一个特解。
例1-80 求解方程组
??
??
?
+ + − =
− + − =
− + − =
2x x 2x 2x 3
3x x 5x 3x 2
x 2x 3x x 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
解：在Matlab 中建立M 文件如下：
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];
b=[1 2 3]';
B=[A b];
n=4;
R_A=rank(A)
R_B=rank(B)
format rat
if R_A==R_B&R_A==n %判断有唯一解
X=Ab
elseif R_A==R_B&R_A<n %判断有无穷解
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X=Ab %求特解
C=null(A,'r') %求AX=0 的基础解系
else X='equition no solve' %判断无解
end
运行后结果显示：
R_A =
2
R_B =
3
X =
equition no solve
说明 该方程组无解
例1-81 求解方程组的通解：
??
??
?
+ − − =
− − + =
+ − − =
x 5x 9x 8x 0
3x x 3x 4x 4
x x 3x x 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
解法一：在Matlab 编辑器中建立M 文件如下：
A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
b=[1 4 0]';
B=[A b];
n=4;
R_A=rank(A)
R_B=rank(B)
format rat
if R_A==R_B&R_A==n
X=Ab
elseif R_A==R_B&R_A<n
X=Ab
C=null(A,'r')
else X='Equation has no solves'
end
运行后结果显示为：
R_A =
2
R_B =
2
Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.8373e-015.
> In D:Matlabpujunlx0723.m at line 11
X =
0
0
-8/15
3/5
C =
3/2 -3/4
3/2 7/4
1 0
0 1
所以原方程组的通解为X=k1
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
0
1
3 / 2
3 / 2
+k2
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?−
1
0
7 / 4
3/ 4
+
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
−
3/ 5
8 /15
0 0
解法二：用rref 求解
A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
b=[1 4 0]';
B=[A b];
C=rref(B) %求增广矩阵的行最简形，可得最简同解方程组。
运行后结果显示为：
C =
1 0 -3/2 3/4 5/4
0 1 -3/2 -7/4 -1/4
0 0 0 0 0
对应齐次方程组的基础解系为：
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
ξ =
0
1
3 / 2
3 / 2
1 ，
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?−
ξ =
1
0
7 / 4
3/ 4
2 非齐次方程组的特解为：
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
−
η =
0 0
1/ 4
5 / 4
* 所以，原方程组的通解为：X=k1 ξ1 +k2 ξ2 + η*。
1.4.4 线性方程组的LQ 解法
函数 symmlq
格式 x = symmlq(A,b) %求线性方程组AX=b 的解X。A 必须为n 阶对称方阵，b 为
n 元列向量。A 可以是由afun 定义并返回A*X 的函数。如果
收敛，将显示结果信息；如果收敛失败，将给出警告信息并显
示相对残差norm(b-A*x)/norm(b)和计算终止的迭代次数。
symmlq(A,b,tol) %指定误差tol，默认值是1e-6。
symmlq(A,b,tol,maxit) %maxit 指定最大迭代次数
symmlq(A,b,tol,maxit,M) %M 为用于对称正定矩阵的预处理因子
symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2) %M=M1×M2
symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) %x0 为初始估计值，默认值为0。
[x,flag] = symmlq(A,b,…) %flag 的取值为：0 表示在指定迭代次数之内按要求
精度收敛；1 表示在指定迭代次数内不收敛；2 表示
M 为坏条件的预处理因子；3 表示两次连续迭代完全
相同；4 表示标量参数太小或太大；5 表示预处理因
子不是对称正定的。
[x,flag,relres] = symmlq(A,b,…) % relres 表示相对误差norm(b-A*x)/norm(b)
[x,flag,relres,iter] = symmlq(A,b,…) %iter 表示计算x 的迭代次数
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[x,flag,relres,iter,resvec] = symmlq(A,b,…) %resvec 表示每次迭代的残差：
norm(b-A*x0)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = symmlq(A,b,…) %resveccg 表示每次迭代共
轭梯度残差的范数
1.4.5 双共轭梯度法解方程组
函数 bicg
格式 x = bicg(A,b) %求线性方程组AX=b 的解X。A 必须为n 阶方阵，b 为n 元列
向量。A 可以是由afun 定义并返回A*X 的函数。如果收敛，将
显示结果信息；如果收敛失败，将给出警告信息并显示相对残差
norm(b-A*x)/norm(b)和计算终止的迭代次数。
bicg(A,b,tol) %指定误差tol，默认值是1e-6。
bicg(A,b,tol,maxit) %maxit 指定最大迭代次数
bicg(A,b,tol,maxit,M) %M为用于对称正定矩阵的预处理因子
bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2) %M=M1×M2
bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) %x0 为初始估计值，默认值为0。
[x,flag] = bicg(A,b,…) %flag 的取值为：0 表示在指定迭代次数之内按要求精度
收敛；1 表示在指定迭代次数内不收敛；2 表示M 为坏条
件的预处理因子；3 表示两次连续迭代完全相同；4 表示
标量参数太小或太大。
[x,flag,relres] = bicg(A,b,…) % relres 表示相对误差norm(b-A*x)/norm(b)
[x,flag,relres,iter] = bicg(A,b,…) %iter 表示计算x 的迭代次数
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicg(A,b,…) %resvec 表示每次迭代的残差：
norm(b-A*x0)
例1-83 调用MATLAB6.0 数据文件west0479。
>> load west0479
>> A=west0479; %将数据取为系数矩阵A。
>> b=sum (A,2); %将A 的各行求和，构成一列向量。
>> X=Ab; %用“”求AX=b 的解。
>> norm(b-A*X)/norm(b) %计算解的相对误差。
ans =
1.2454e-017
>> [x,flag,relres,iter,resvec] = bicg(A,b) %用bicg 函数求解。
x = （全为0，由于太长，不显示出来）
flag =
1 %表示在默认迭代次数（20 次）内不收敛。
relres = %相对残差relres = norm(b-A*x)/norm(b) =norm(b)/norm(b) = 1。
1
iter = %表明解法不当，使得初始估计值0 向量比后来所有迭代值都好。
0
resvec = （略） %每次迭代的残差。
>> semilogy(0:20,resvec/norm(b),'-o') %作每次迭代的相对残差图形，结果如下图。
>> xlabel('iteration number') %x 轴为迭代次数。
>> ylabel('relative residual') %y 轴为相对残差。
0 5 10 15 20
100
101
102
103
104
105
iteration number
relative residual
图1-1 双共轭梯度法相对误差图
1.4.6 稳定双共轭梯度方法解方程组
函数 bicgstab
格式 x =bicgstab(A,b)
bicgstab(A,b,tol)
bicgstab(A,b,tol,maxit)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = bicgstab(A,b,…)
[x,flag,relres] = bicgstab(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = bicgstab(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstab(A,b,…)
稳定双共轭梯度法解方程组，调用方式和返回的结果形式和命令bicg 一样。
例1-84
>>load west0479;
>>A=west0479;
>>b=sum(A,2);
>>[x,flag]=bicgstab(A,b)
显示结果是x 的值全为0，flag=1。表示在默认误差和默认迭代次数（20 次）下不收敛。
若改为：
>>[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
>>[x1,flag1] = bicgstab(A,b,1e-6,20,L1,U1)
即指定误差，并用A 的不完全LU 分解因子L 和U 作为预处理因子M=L*U，其结果是
x1 的值全为0，flag=2 表示预处理因子为坏条件的预处理因子。
若改为
>>[L2,U2]=luinc(A,1e-6); %稀疏矩阵的不
完全LU 分解。
>>[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2]=bicgstab(A,b,1e-
15,10,L2,U2)
%指定最大迭
代次数为10 次，预处理因子M=L*U。
>>semilogy(0:0.5:iter2,resvec2/norm(b),'-o') %
每次迭代的相对残差图形，见图1-2。
>>xlabel('iteration number')
0 1 2 3 4 5 6
10-16
10-14
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
iteration number
relative residual
图1-2 稳定双共轭梯度方法的相对误差图
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>>ylabel('relative residual')
结果为
x2=（其值全为1，略）
flag2 =
0 %表示收敛
relres2 =
2.8534e-016 %收敛时的相对误差
iter2 =
6 %计算终止时的迭代次数
resvec2 = %每次迭代的残差
1.4.7 复共轭梯度平方法解方程组
函数 cgs
格式 x = cgs(A,b)
cgs(A,b,tol)
cgs(A,b,tol,maxit)
cgs(A,b,tol,maxit,M)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = cgs(A,b,…)
[x,flag,relres] = cgs(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,…)
调用方式和返回的结果形式与命令bicg 一样。
1.4.8 共轭梯度的LSQR 方法
函数 lsqr
格式 x = lsqr(A,b)
lsqr(A,b,tol)
lsqr(A,b,tol,maxit)
lsqr(A,b,tol,maxit,M)
lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = lsqr(A,b,…)
[x,flag,relres] = lsqr(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = lsqr(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(A,b,…)
调用方式和返回的结果形式与命令bicg 一样。
例1-85
>>n = 100;
>>on = ones(n,1);
>>A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n); %产生一个对角矩阵
>>b = sum(A,2);
>>tol = 1e-8; %指定精度
>>maxit = 15; %指定最大迭代次数
>>M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n);
>>M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n); %M1*M2=M，即产生预处理因子
>>[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,[])
结果显示
x 的值全为1
flag =
0 %表示收敛
relres =
3.5241e-009 %表示相对残差
iter =
12 %计算终止时的迭代次数
1.4.9 广义最小残差法
函数 qmres
格式 x = gmres(A,b)
gmres(A,b,restart)
gmres(A,b,restart,tol)
gmres(A,b,restart,tol,maxit)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2)
gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = gmres(A,b,…)
[x,flag,relres] = gmres(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = gmres(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = gmres(A,b,…)
除参数restart（缺省时为系数方阵A 的阶数n）可以给出外，调用方式和返回的结果形
式与命令bicg 一样。
例1-86
>>load west0479;
>>A = west0479;
>>b = sum(A,2);
>>[x,flag] = gmres(A,b,5)
结果显示flag=1，表示在默认精度和默认迭代次数下不收敛。
若最后一行改为
>>[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
>>[x1,flag1] = gmres(A,b,5,1e-6,5,L1,U1)
结果flag1=2，说明该方法失败，原因是U1 的对角线上有0 元素，构成坏条件的预处理
因子。
若改为：
[L2,U2] = luinc(A,1e-6);
tol = 1e-15;
[x4,flag4,relres4,iter4,resvec4] = gmres(A,b,4,tol,5,L2,U2)
[x6,flag6,relres6,iter6,resvec6] = gmres(A,b,6,tol,3,L2,U2)
[x8,flag8,relres8,iter8,resvec8] = gmres(A,b,8,tol,3,L2,U2)
结果flag4=0，flag6=0，flag8=0 表示参数restart 分别取为4，6，8 时收敛。
1.4.10 最小残差法解方程组
函数 minres
格式 x = minres(A,b)
minres(A,b,tol)
minres(A,b,tol,maxit)
minres(A,b,tol.maxit,M)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
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[x,flag] = minres(A,b,…)
[x,flag,relres] = minres(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,…)
这里A 为对称矩阵，这种方法是寻找最小残差来求x。调用方式和返回的结果形式与命
令bicg 一样。
例1-87
>>n = 100; on = ones(n,1);
>>A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
>>b = sum(A,2);
>>tol = 1e-10;
>>maxit = 50;
>>M1 = spdiags(4*on,0,n,n);
>> [x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,tol,maxit,M1,[],[])
结果显示：
flag =
0
relres =
4.6537e-014
iter =
49
resvec =（略）
resveccg =（略）
1.4.11 预处理共轭梯度方法
函数 pcg
格式 x = pcg(A,b)
pcg(A,b,tol)
pcg(A,b,tol,maxit)
pcg(A,b,tol,maxit,M)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)
[x,flag] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)
[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)
[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)
调用方式和返回的结果形式与命令bicg 一样，这里A 为对称正定矩阵。
1.4.12 准最小残差法解方程组
函数 qmr
格式 x = qmr(A,b)
qmr(A,b,tol)
qmr(A,b,tol,maxit)
qmr(A,b,tol,maxit,M)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
qmr(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,…)
[x,flag] = qmr(A,b,…)
[x,flag,relres] = qmr(A,b,…)
[x,flag,relres,iter] = qmr(A,b,…)
[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(A,b,…)
调用方式和返回的结果形式与命令bicg 一样，这里A 为方阵。
例1-88
>>load west0479;
>>A = west0479;
>>b = sum(A,2);
>>[x,flag] = qmr(A,b)
结果显示flag=1，表示在缺省情况下不收敛
若改为
>>[L1,U1] = luinc(A,1e-5);
>>[x1,flag1] = qmr(A,b,1e-6,20,L1,U1)
结果显示 flag=2，表示是坏条件的预处理因子，不收敛。
若改为
>>[L2,U2] = luinc(A,1e-6);
>>[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2] = qmr(A,b,1e-15,10,L2,U2)
>>semilogy(0:iter2,resvec2/norm(b),'-o') %每次迭代的相对残差图形
>>xlabel('iteration number')
>>ylabel('relative residual')
结果为
x=（全为1，略）
flag2 =
0 %表示收敛
relres2 = %表示相对残差
2.8715e-016
iter2 = %计算终止时的迭代次数
8
resvec2 = %每次迭代的残差
1.0e+005 *
7.0557
7.1773
3.4032
1.7220
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10-20
10-15
10-10
10-5
100
105
iteration number
relative residual
图1-3 准最小残差法相对误差图
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1.5 特征值与二次型
工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常归结为求一个方阵的特征值和特
征向量。
1.5.1 特征值与特征向量的求法
设 A为n 阶方阵，如果数“λ”和n 维列向量x 使得关系式Ax = λx成立，则称λ为方
阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值“ λ ”的特征向量。
详见1.3.5 和1.3.6 节：特征值分解问题。
例1-89 求矩阵
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
−
−
=
4 1 3
0 2 0
2 1 1
A 的特征值和特征向量
解：
>>A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3];
>>[V,D]=eig(A)
结果显示：
V =
-0.7071 -0.2425 0.3015
0 0 0.9045
-0.7071 -0.9701 0.3015
D =
-1 0 0
0 2 0
0 0 2
即：特征值-1 对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T
特征值2 对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T 和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T
例1-90 求矩阵
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
−
−
=
1 0 2
4 3 0
1 1 0
A 的特征值和特征向量。
解：
>>A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2];
>>[V,D]=eig(A)
结果显示为
V =
0 0.4082 -0.4082
0 0.8165 -0.8165
1.0000 -0.4082 0.4082
D =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
说明 当特征值为1 (二重根)时，对应特征向量都是k (0.4082 0.8165 -0.4082)T，k
为任意常数。
1.5.2 提高特征值的计算精度
函数 balance
格式 [T,B] = balance(A) %求相似变换矩阵T 和平衡矩阵B，满足B = T−1AT。
B = balance(A) %求平衡矩阵B
1.5.3 复对角矩阵转化为实对角矩阵
函数 cdf2rdf
格式 [V,D] = cdf2rdf (v,d) %将复对角阵d 变为实对角阵D，在对角线上，用2×2
实数块代替共轭复数对。
例1-91
>> A=[1 2 3;0 4 5;0 -5 4];
>> [v,d]=eig(A)
v =
1.0000 -0.0191 - 0.4002i -0.0191 + 0.4002i
0 0 - 0.6479i 0 + 0.6479i
0 0.6479 0.6479
d =
1.0000 0 0
0 4.0000 + 5.0000i 0
0 0 4.0000 - 5.0000i
>> [V,D]=cdf2rdf(v,d)
V =
1.0000 -0.0191 -0.4002
0 0 -0.6479
0 0.6479 0
D =
1.0000 0 0
0 4.0000 5.0000
0 -5.0000 4.0000
1.5.4 正交基
命令 orth
格式 B=orth(A) %将矩阵A 正交规范化，B 的列与A 的列具有相同的空间，B 的列
向量是正交向量，且满足：B'*B = eye(rank(A))。
例1-92 将矩阵
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
=
0 1 3
0 3 1
4 0 0
A 正交规范化。
解：
>>A=[4 0 0; 0 3 1; 0 1 3];
>>B=orth(A)
>>Q=B'*B
则显示结果为
P =
1.0000 0 0
0 0.7071 -0.7071
0 0.7071 0.7071
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Q =
1.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 1.0000
1.5.5 二次型
例 1-93 求一个正交变换X=PY，把二次型
f = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4化成标准形。
解：先写出二次型的实对称矩阵
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
−
−
−
−
=
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 1
A
在Matlab 编辑器中建立M 文件如下：
A=[0 1 1 -1;1 0 -1 1;1 -1 0 1;-1 1 1 0];
[P,D]=schur(A)
syms y1 y2 y3 y4
y=[y1;y2;y3;y4]；
X=vpa(P,2)*y %vpa 表示可变精度计算，这里取2 位精度
f=[y1 y2 y3 y4]*D*y
运行后结果显示如下：
P =
780/989 780/3691 1/2 -390/1351
780/3691 780/989 -1/2 390/1351
780/1351 -780/1351 -1/2 390/1351
0 0 1/2 1170/1351
D =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -3 0
0 0 0 1
X =
[ .79*y1+.21*y2+.50*y3-.29*y4]
[ .21*y1+.79*y2-.50*y3+.29*y4]
[ .56*y1-.56*y2-.50*y3+.29*y4]
[ .50*y3+.85*y4]
f =
y1^2+y2^2-3*y3^2+y4^2
即 f = 24
2
3
22
2
y1 + y − 3y + y
1.6 秩与线性相关性
1.6.1 矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性
矩阵 A 的秩是矩阵A 中最高阶非零子式的阶数；向量组的秩通常由该向量组构成的矩
阵来计算。
函数 rank
格式 k = rank(A) %返回矩阵A 的行（或列）向量中线性无关个数
k = rank(A,tol) %tol 为给定误差
例1-94 求向量组α1 = (1 − 2 2 3)，α2 = (−2 4 −1 3)，α3 = (−1 2 0 3)，
α4 = (0 6 2 3)，α5 = (2 − 6 3 4)的秩，并判断其线性相关性。
>>A=[1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4];
>>k=rank(A)
结果为
k =
3
由于秩为3 < 向量个数，因此向量组线性相关。
1.6.2 求行阶梯矩阵及向量组的基
行阶梯使用初等行变换，矩阵的初等行变换有三条：
1．交换两行 ri ↔ rj （第i、第j 两行交换）
2．第i 行的K倍 k r i
3．第i 行的K倍加到第j行上去 rj + k r i
通过这三条变换可以将矩阵化成行最简形，从而找出列向量组的一个最大无关组，
Matlab 将矩阵化成行最简形的命令是rref 或rrefmovie。
函数 rref 或rrefmovie
格式 R = rref(A) %用高斯—约当消元法和行主元法求A 的行最简行矩阵R
[R,jb] = rref(A) %jb 是一个向量，其含义为：r = length(jb)为A 的秩；A(:, jb)
为A 的列向量基；jb 中元素表示基向量所在的列。
[R,jb] = rref(A,tol) %tol 为指定的精度
rrefmovie(A) %给出每一步化简的过程
例1-95 求向量组a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
的一个最大无关组。
>> a1=[1 -2 2 3]';
>>a2=[-2 4 -1 3]';
>>a3=[-1 2 0 3]';
>>a4=[0 6 2 3]';
>>a5=[2 -6 3 4]';
A=[a1 a2 a3 a4 a5]
A =
1 -2 -1 0 2
-2 4 2 6 -6
2 -1 0 2 3
3 3 3 3 4
>> [R,jb]=rref(A)
R =
1.0000 0 0.3333 0 1.7778
0 1.0000 0.6667 0 -0.1111
0 0 0 1.0000 -0.3333
0 0 0 0 0
jb =
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1 2 4
>> A(:,jb)
ans =
1 -2 0
-2 4 6
2 -1 2
3 3 3
即：a1 a2 a4 为向量组的一个基。
1.7 稀疏矩阵技术
1.7.1 稀疏矩阵的创建
函数 sparse
格式 S = sparse(A) %将矩阵A 转化为稀疏矩阵形式，即由A 的非零元素和下标构
成稀疏矩阵S。若A 本身为稀疏矩阵，则返回A 本身。
S = sparse(m,n) %生成一个m×n 的所有元素都是0 的稀疏矩阵
S = sparse(i,j,s) %生成一个由长度相同的向量i，j 和s 定义的稀疏矩阵S，其
中i，j 是整数向量，定义稀疏矩阵的元素位置(i,j)，s 是一个标
量或与i，j 长度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素。
S = sparse(i,j,s,m,n) %生成一个m×n 的稀疏矩阵，(i,j)对应位置元素为
si，m = max(i)且n =max(j)。
S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax) %生成一个m×n 的含有nzmax 个非零元素的稀疏
矩阵S，nzmax 的值必须大于或者等于向量i 和j
的长度。
例1-96
>> S=sparse(1:10,1:10,1:10)
S =
(1,1) 1
(2,2) 2
(3,3) 3
(4,4) 4
(5,5) 5
(6,6) 6
(7,7) 7
(8,8) 8
(9,9) 9
(10,10) 10
>> S=sparse(1:10,1:10,5)
S =
(1,1) 5
(2,2) 5
(3,3) 5
(4,4) 5
(5,5) 5
(6,6) 5
(7,7) 5
(8,8) 5
(9,9) 5
(10,10) 5
1.7.2 将稀疏矩阵转化为满矩阵
函数 full
格式 A=full(S) %S 为稀疏矩阵，A 为满矩阵。
例1-97
>> S=sparse(1:5,1:5,4:8)
S =
(1,1) 4
(2,2) 5
(3,3) 6
(4,4) 7
(5,5) 8
>> A=full(S)
A =
4 0 0 0 0
0 5 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 7 0
0 0 0 0 8
1.7.3 稀疏矩阵非零元素的索引
函数 find
格式 k = find(x) %按行检索X 中非零元素的点，若没有非零元素，将返回空矩阵。
[i,j] = find(X) %检索X 中非零元素的行标i 和列标j
[i,j,v] = find(X) %检索X 中非零元素的行标i 和列标j 以及对应的元素值v
例1-98 上例中
>> [i,j,v]=find(S)
则显示为：
I =[ 1 2 3 4 5]’
j =[ 1 2 3 4 5]’
v =[4 5 6 7 8]’
1.7.4 外部数据转化为稀疏矩阵
函数 spconvert
格式 S=spconvert(D) %D 是只有3 列或4 列的矩阵
说明：先运用load 函数把外部数据（.mat 文件或.dat 文件）装载于MATLAB 内存空间
中的变量T；T 数组的行维为nnz 或nnz+1，列维为3（对实数而言）或列维为4（对复数而
言）；T 数组的每一行（以[i,j,Sre,Sim]形式）指定一个稀疏矩阵元素。
例1-99
>> D=[1 2 3;2 5 4;3 4 6;3 6 7]
D =
1 2 3
2 5 4
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3 4 6
3 6 7
>> S=spconvert(D)
S =
(1,2) 3
(3,4) 6
(2,5) 4
(3,6) 7
>> D=[1 2 3 4; 2 5 4 0;3 4 6 9;3 6 7 4];
D =
1 2 3 4
2 5 4 0
3 4 6 9
3 6 7 4
>> S=spconvert(D)
S =
(1,2) 3.0000 + 4.0000i
(3,4) 6.0000 + 9.0000i
(2,5) 4.0000
(3,6) 7.0000 + 4.0000i
1.7.5 基本稀疏矩阵
1．带状（对角）稀疏矩阵
函数 spdiags
格式 [B,d] = spdiags(A) %从矩阵A 中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩
阵B 中，向量d 表示非零元素的对角线位置。
B = spdiags(A,d) %从A 中提取由d 指定的对角线元素，并存放在B 中。
A = spdiags(B,d,A) %用B 中的列替换A 中由d 指定的对角线元素，输出稀疏
矩阵。
A = spdiags(B,d,m,n) %产生一个m×n 稀疏矩阵A，其元素是B 中的列元素放
在由d 指定的对角线位置上。
例1-100
>>A = [11 0 13 0
0 22 0 24
0 0 33 0
41 0 0 44
0 52 0 0
0 0 63 0
0 0 0 74];
>>[B,d] = spdiags(A)
B =
41 11 0
52 22 0
63 33 13
74 44 24
d =
-3 %表示B 的第1 列元素在A 中主对角线下方第3 条对角线上
0 %表示B 的第2 列在A 的主对角线上
2 %表示B 的第3 列在A 的主对角线上方第2 条对角线上
例1-101
>> B=[1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16];
>> d=[-2 0 1 3];
>> A=spdiags(B,d,4,4);
>> full(A)
ans =
2 7 0 16
0 6 11 0
1 0 10 15
0 5 0 14
2．单位稀疏矩阵
函数 speye
格式 S = speye(m,n) %生成m×n 的单位稀疏矩阵
S = speye(n) %生成n×n 的单位稀疏矩阵
3．稀疏均匀分布随机矩阵
函数 sprand
格式 R = sprand(S) %生成与S 具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵
R = sprand(m,n,density) %生成一个m×n 的服从均匀分布的随机稀疏矩阵，非
零元素的分布密度是density。
R = sprand(m,n,density,rc) %生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n 的均匀
分布的随机稀疏矩阵。
4．稀疏正态分布随机矩阵
函数 sprandn
格式 R = sprandn(S) %生成与S 具有相同稀疏结构的正态分布随机矩阵。
R = sprandn(m,n,density) %生成一个m×n 的服从正态分布的随机稀疏矩阵，
非零元素的分布密度是density。
R = sprandn(m,n,density,rc) %生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n 的均
匀分布的随机稀疏矩阵。
5．稀疏对称随机矩阵
函数 sprandsym
格式 R = sprandsym(S) %生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对角线与S 具有相同
的结构，其元素服从均值为0、方差为1 的标准正态分布。
R = sprandsym(n,density) %生成n×n 的稀疏对称随机矩阵，矩阵元素服从正
态分布，分布密度为density。
R = sprandsym(n,density,rc) %生成近似条件数为1/rc 的稀疏对称随机矩阵
R = sprandsym(n,density,rc,kind) %生成一个正定矩阵，参数kind 取值为kind=1
表示矩阵由一正定对角矩阵经随机Jacobi 旋
转得到，其条件数正好为1/rc；kind=2 表示矩
阵为外积的换位和，其条件数近似等于1/rc；
kind=3 表示生成一个与矩阵S 结构相同的稀
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疏随机矩阵，条件数近似为1/rc ，density 被
忽略。
1.7.6 稀疏矩阵的运算
1．稀疏矩阵非零元素的个数
函数 nnz
格式 n = nnz(X) %返回矩阵X 中非零元素的个数
2．稀疏矩阵的非零元素
函数 nonzeros
格式 s = nonzeros(A) %返回矩阵A 中非零元素按列顺序构成的列向量
例1-102
>>A =[ 2 7 0 16
0 6 11 0
1 0 10 15
0 5 0 14];
>> s=nonzeros(A)
结果为：
s =[ 2 1 7 6 5 11 10 16 15 14]’
3．稀疏矩阵非零元素的内存分配
函数 nzmax
格式 n = nzmax(S) %返回非零元素分配的内存总数n
4．稀疏矩阵的存贮空间
函数 spalloc
格式 S = spalloc(m,n,nzmax) %产生一个m×n 阶只有nzmax 个非零元素的稀疏矩阵，
这样可以有效减少存贮空间和提高运算速度。
5．稀疏矩阵的非零元素应用
函数 spfun
格式 f = spfun('function',S) %用S 中非零元素对函数'function'求值，如果'function'不
是对稀疏矩阵定义的，同样可以求值。
例1-103 4 阶稀疏矩阵对角矩阵
S =
(1,1) 1
(2,2) 2
(3,3) 3
(4,4) 4
f= spfun('exp',S) %即指数e 的非零元素方幂。
结果为
f =
(1,1) 2.7183
(2,2) 7.3891
(3,3) 20.0855
(4,4) 54.5982
6．把稀疏矩阵的非零元素全换为1
函数 spones
格式 R = spones(S) %将稀疏矩阵S 中的非零元素全换为1
1.7.7 画稀疏矩阵非零元素的分布图形
函数 spy
格式 spy(S) %画出稀疏矩阵S 中非零元素的分布图形。S 也可以是满矩阵。
spy(S,markersize) % markersize 为整数，指定点阵大小。
spy(S,'LineSpec') %'LineSpec'指定绘图标记和颜色
spy(S,'LineSpec',markersize) %参数与上面相同
例1-104
>> load west0479
>> A=west0479;
>> spy(A,'ro',3)
结果如图1-4 所示。
1.7.8 矩阵变换
1．列近似最小度排序
函数 colamd
格式 p = colamd(S) %返回稀疏矩阵S 的列的
近似最小度排序向量p
2．列最小度排序
函数 colmmd
格式 p = colmmd(S) %返回稀疏矩阵S 的列的最小度排序向量p，按p 排列后的矩
阵为S(: , p)。
例1-105 比较稀疏矩阵S 与排序后的矩阵S(: , p)
>> load west0479;
>> S=west0479;
>> p=colmmd(S);
>> subplot(2,2,1),spy(S)
>> subplot(2,2,2),spy(S(:,p))
>> subplot(2,2,3),spy(lu(S))
>> subplot(2,2,4),spy(lu(S(:,p)))
0 100 200 300 400
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
nz = 1887
图1-4 稀疏矩阵非零元素的分布图形
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图1-5 稀疏矩阵的排序图
3．非零元素的列变换
函数 colperm
格式 j = colperm(S) %返回一个稀疏矩阵S 的列变换的向量。列按非0 元素升序排
列。有时这是LU 分解前有用的变换：LU(S(:,j))。如果S 是一
个对称矩阵，对行和列进行排序，有利于Cholesky 分解：
chol(S(j,j))
4．Dulmage-Mendelsohn 分解
函数 dmperm
格式 p = dmperm (A) %返回A 的行排列向量p，这样，如果A 满列秩，就使得
A(p,:)是具有非0 对角线元素的方阵。
[p,q,r] = dmperm(A) %A 为方阵，p 为行排列向量，q 为列排列向量，使得A(p,q)
是上三角块形式，r 为索引向量。
[p,q,r,s] = dmperm(A) %A 不是方阵，p,q,r 含义与前面相同，s 也是索引向量。
例1-106
>> A=[11 0 13 0;41 0 0 44;0 22 0 24;0 0 63 0]
A =
11 0 13 0
41 0 0 44
0 22 0 24
0 0 63 0
>> [p,q,r]=dmperm(A)
p =
3 2 1 4
q =
2 4 1 3
r =
1 2 3 4 5
>> A(p,q)
ans =
22 24 0 0
0 44 41 0
0 0 11 13
0 0 0 63
5．整数的随机排列
函数 randperm
格式 p = randperm (n) %对正整数1，2，3，…，n 的随机排列，可以用来创建随机
变换矩阵。
例1-107
>> p=randperm(6)
p =
3 4 6 5 1 2
6．稀疏对称近似最小度排列
函数 symamd
格式 p = symamd(S) %S 为对称正定矩阵，返回排列向量p。
7．稀疏逆Cuthill-McKee 排序
函数 symrcm
格式 r = symrcm (S) %返回S 的对称逆Cuthill-McKee 排序r，使S 的非0 元素集中
在主对角线附近。
8．稀疏对称最小度排列
函数 symmmd
格式 p = symmmd(S) %返回S 的对称最小度排列向量p，S 为对称正定矩阵。
例1-108
>> B = bucky+4*speye(60);
>>r = symrcm(B);
>>p = symmmd(B);
>>R = B(r,r);
>>S = B(p,p);
>>subplot(2,2,1), spy(R), title('B(r,r)')
>>subplot(2,2,2), spy(S), title('B(s,s)')
>>subplot(2,2,3), spy(chol(R)), title('chol(B(r,r))')
>>subplot(2,2,4), spy(chol(S)), title('chol(B(s,s))')
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0 20 40 60
0
20
40
60
nz = 240
B(r,r)
0 20 40 60
0
20
40
60
nz = 240
B(s,s)
0 20 40 60
0
20
40
60
nz = 519
chol(B(r,r))
0 20 40 60
0
20
40
60
nz = 360
chol(B(s,s))
图1-6 稀疏对称最小度排列图
1.7.9 稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数
命令 矩阵A 条件数的1-范数估计值
函数 condest
格式 c = condest(A) %计算方阵A 的1-范数中条件数的下界值c
[c,v] = condest(A) %方阵A 的1-范数中条件数的下界值c 和向量v，使得
|| Av ||= (|| A|| ⋅ || v ||) / c，即：
norm(A*v,1) = norm(A,1)*norm(v,1)/c。
命令 2-范数估计值
函数 normest
格式 nrm = normest(S) %返回矩阵S 的2-范数的估计值，相对误差为10-6。
nrm = normest(S,tol) %tol 为指定的相对误差，而不用默认误差10-6。
[nrm,count] = normest(…) %count 为给出的计算范数迭代的次数
其条件数的计算与前面1.2.12 相同。
1.7.10 稀疏矩阵的分解
命令 不完全的LU 分解
函数 luinc
格式 [L,U] = luinc(X,'0') %X 为稀疏方阵；L 为下三角矩阵的置换形式；U 为上
三角矩阵；'0'是一种分解标准。
[L,U,P] = luinc(X,'0') %L 为下三角阵，其主对角线元素为1；U 为上三角阵，
p 为单位矩阵的置换形式。
[L,U] = luinc(X,options) %options 取值为：droptol 表示指定的舍入误差；milu
表示改变分解以便于从上三角分解因子中抽取被去
掉的列元素。ugiag 为1 表示用droptol 值代替上三角
因子中的对角线上的零元素，默认值为0。thresh 为
中心临界值。
[L,U] = luinc(X,droptol) %droptol 表示指定不完全分解的舍入误差
[L,U,P] = luinc(X,options)
[L,U,P] = luinc(X,droptol)
例1-109
>> S=[11 0 13 0;41 0 0 44;0 22 0 24;0 0 63 0]
S =
11 0 13 0
41 0 0 44
0 22 0 24
0 0 63 0
>> S=sparse(S)
S =
(1,1) 11
(2,1) 41
(3,2) 22
(1,3) 13
(4,3) 63
(2,4) 44
(3,4) 24
>> luinc(S,'0')
ans =
(1,1) 41.0000
(4,1) 0.2683
(2,2) 22.0000
(3,3) 63.0000
(4,3) 0.2063
(1,4) 44.0000
(2,4) 24.0000
>> [L,U,p]=luinc(S,'0')
L =
(1,1) 1.0000
(4,1) 0.2683
(2,2) 1.0000
(3,3) 1.0000
(4,3) 0.2063
(4,4) 1.0000
U =
(1,1) 41
(2,2) 22
(3,3) 63
(1,4) 44
(2,4) 24
p =
(4,1) 1
(1,2) 1
(2,3) 1
(3,4) 1
命令 稀疏矩阵的不完全Cholesky 分解
函数 cholinc
格式 R = (X,droptol) %稀疏矩阵X 的不完全Cholesky 分解，droptol 为指定误差。
R = cholinc(X,options) %options 取值为：droptol 表示舍入误差；michol 表示如
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果michol=1，则从对角线上抽取出被去掉的元素。rdiag
表示用droptol 值代替上三角分解因子中的对角线上的
零元素。
R = cholinc(X,'0') %'0'是一种分解标准
[R,p] = cholinc(X,'0') %不产生任何出错信息，如果R 存在，则p=0；如果R
不存在，则p 为正整数。
R = cholinc(X,'inf') %进行Cholesky 无穷分解
1.7.11 稀疏矩阵的特征值分解
函数 eigs
格式 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A 的6 个最大特征值d，d 以向量形式存放。
d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足AV=BVD，其中D
为特征值对角阵，V 为特征向量矩阵，B 必须是对称正定
阵或Hermitian 正定阵。
d = eigs(A,k) %返回k 个最大特征值
d = eigs(A,B,k) %返回k 个最大特征值
d = eigs(A,k,sigma) %sigma 取值：'lm' 表示最大数量的特征值；'sm' 最小数量
特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小
特征值；对非对称和复数问题：'lr' 表示最大实部；'sr' 表
示最小实部；'li' 表示最大虚部；'si'表示最小虚部。
d = eigs(A,B,k,sigma) %同上
d = eigs(A,k,sigma,options) % options 为指定参数：参见eigs 帮助文件。
d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options 相同。
d = eigs(Afun,n) %用函数Afun 代替A，n 为A 的阶数，D 为特征值。
d = eigs(Afun,n,B)
d = eigs(Afun,n,k)
d = eigs(Afun,n,B,k)
d = eigs(Afun,n,k,sigma)
d = eigs(Afun,n,B,k,sigma)
d = eigs(Afun,n,k,sigma,options)
d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options)
[V,D] = eigs(A,…) %D 为6 个最大特征值对角阵，V 的列向量为对应特征向量。
[V,D] = eigs(Afun,n,…)
[V,D,flag] = eigs(A,…) %flag 表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值
都收敛，否则，不是所有都收敛。
[V,D,flag] = eigs(Afun,n,…)
1.7.12 稀疏矩阵的线性方程组
参见 1.4 节的方程组求解。
第2 章数值计算与数据分析
2.1 基本数学函数
2.1.1 三角函数与双曲函数
函数 sin、sinh
功能 正弦函数与双曲正弦函数
格式 Y = sin(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角
度分量的正弦值Y，所有分量的角度单位为弧度。
Y = sinh(X) %计算参量X 的双曲正弦值Y
注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi 仅仅是精确值π
浮点近似的表示值而已；对于复数Z= x+iy，函数的定义为：sin(x+iy) = sin(x)*cos(y) +
i*cos(x)*sin(y)，
2
sin(z) e e
iz − −iz
= ，
2
sin(z) e e
z − −z
=
例2-1
x = -pi:0.01:pi; plot(x,sin(x))
x = -5:0.01:5; plot(x,sinh(x))
图形结果为图2-1。
图2-1 正弦函数与双曲正弦函数图
函数 asin、asinh
功能 反正弦函数与反双曲正弦函数
格式 Y = asin(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正弦函数值
Y。若X 中有的分量处于[-1,1]之间，则Y = asin(X)对应的分量
处于[-π/2,π/2]之间，若X 中有分量在区间[-1,1]之外，则Y=
asin(X)对应的分量为复数。
Y = asinh(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲正弦函数值Y
说明 反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为： a sin z = −i ⋅ ln(i ⋅ z + 1− z2 ) ，
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a sinh z = ln(z + 1+ z2 )
例2-2
x = -1:.01:1; plot(x,asin(x))
x = -5:.01:5; plot(x,asinh(x))
图形结果为图2-2。
图2-2 反正弦函数与反双曲正弦函数图
函数 cos、cosh
功能 余弦函数与双曲余弦函数
格式 Y = cos(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角
度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，
cos(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因
为pi 仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y = sinh(X) %计算参量X 的双曲余弦值Y
说明 若X 为复数z= x+iy，则函数定义为：cos(x+iy) = cos(x)*cos(y) + i*sin(x)*sin(y)，
2
cos z e e
iz + −iz
= ，
2
cosh z e e
z + −z
=
例2-3
x = -pi:0.01:pi; plot(x,cos(x))
x = -5:0.01:5; plot(x,cosh(x))
图形结果为图2-3。
图2-3 余弦函数与双曲余弦函数图
函数 acos、acosh
功能 反余弦函数与反双曲余弦函数
格式 Y = acos(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余弦函数
值Y。若X 中有的分量处于[-1,1]之间，则Y = acos(X)对应的分
量处于[0,π]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y = acos(X)
对应的分量为复数。
Y = asinh(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲余弦函数Y
说明 反余弦函数与反双曲余弦函数定义为：a cos z = −i ⋅ ln(i ⋅ z + i ⋅ 1− z2 ) ，
a cosh z = ln(z + z2 −1)
例2-4
x = -1:.01:1; plot(x,acos(x))
x = -5:.01:5; plot(x,acosh(x))
图形结果为图2-4。
图2-4 反余弦函数与反双曲余弦函数图
函数 tan、tanh
功能 正切函数与双曲正切函数
格式 Y = tan(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角
度分量的正切值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，
tan(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因
为pi 仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y = tanh(X) %返回参量X 中每一个元素的双曲正切函数值Y
例2-5
x = (-pi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01; % 稍微缩小定义域
plot(x,tan(x))
x = -5:0.01:5; plot(x,tanh(x))
图形结果为图2-5。
图2-5 正切函数与双曲正切函数图
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函数 atan、atanh
功能 反正切函数与反双曲正切函数
格式 Y = atan(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正切函数
值Y。若X 中有的分量为实数，则Y = atan(X)对应的分量处于[-
π/2,π/2]之间。
Y = atanh(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲正切函数值Y。
说明 反正切函数与反双曲正切函数定义为：
i z
ln i z
2
a tan z i
−
+
= ，
1 z
ln 1 z
2
a tanh z 1
−
+
=
例2-6
x = -20:0.01:20; plot(x,atan(x))
x = -0.99:0.01:0.99; plot(x,atanh(x))
图形结果为图2-6。
图2-6 反正切函数与反双曲正切函数图
函数 cot、coth
功能 余切函数与双曲余切函数
格式 Y = cot(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角
度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度。
Y = coth(X) %返回参量X 中每一个元素的双曲余切函数值Y
例2-7
x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; % 去掉奇点x = 0
x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 做法同上
plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))
plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))
图形结果为图2-7。
图2-7 余切函数与双曲余切函数图
函数 acot、acoth
功能 反余切函数与反双曲余切函数
格式 Y = acot(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余切函数Y
Y = acoth(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲余切函数值Y
例2-8
x1 = -2*pi:pi/30:-0.1; x2 = 0.1:pi/30:2*pi; % 去掉奇异点x = 0
plot(x1,acot(x1),x2,acot(x2))
x1 = -30:0.1:-1.1; x2 = 1.1:0.1:30;
plot(x1,acoth(x1),x2,acoth(x2))
图形结果为图2-8。
图2-8 反余切函数与反双曲余切函数图
函数 sec、sech
功能 正割函数与双曲正割函数
格式 Y = sec(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角
度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出
的是，sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps
的倒数，因为pi 仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y = sech(X) %返回参量X 中每一个元素的双曲正割函数值Y
例2-9
x1 = -pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01; % 去掉奇异点x = pi/2
x2 = pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;
plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))
x = -2*pi:0.01:2*pi;
plot(x,sech(x))
图形结果为图2-9。
图2-9 正割函数与双曲正割函数图
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函数 asec、asech
功能 反正割函数与反双曲正割函数
格式 Y = asec(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正割函数值
Y
Y = asech(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲正割函数值Y
例2-10
x1 = -5:0.01:-1; x2 = 1:0.01:5;
plot(x1,asec(x1),x2,asec(x2))
x = 0.01:0.001:1; plot(x,asech(x))
图形结果为图2-10。
图2-10 反正割函数与反双曲正割函数图
函数 csc、csch
功能 余割函数与双曲余割函数
格式 Y = csc(X) %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个
角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。
Y = csch(X) %返回参量X 中每一个元素的双曲余割函数值Y
例2-11
x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 去掉奇异点x=0
plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))
plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))
图形结果为图2-11。
图2-11 余割函数与双曲余割函数图
函数 acsc、acsch
功能 反余割函数与反双曲余割函数。
格式 Y = asec(X) %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余割函数
值Y
Y = asech(X) %返回参量X 中每一个元素的反双曲余割函数值Y
例2-12
x1 = -10:0.01:-1.01; x2 = 1.01:0.01:10; % 去掉奇异点x = 1
plot(x1,acsc(x1),x2,acsc(x2))
x1 = -20:0.01:-1; x2 = 1:0.01:20;
plot(x1,acsch(x1),x2,acsch(x2))
图形结果为图2-12。
图2-12 反余割函数与反双曲余割函数图
函数 atan2
功能 四象限的反正切函数
格式 P = atan2(Y,X) %返回一与参量X 和Y 同型的、与X 和Y 元素的实数部分对
应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X 和Y
的虚数部分将忽略。阵列P 中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。
特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)。
例2-13
z=1+2i;
r = abs(z);
theta = atan2(imag(z),real(z))
z = r *exp(i *theta)
feather(z);hold on
t=0:0.1:2*pi;
x=1+sqrt(5)*cos(t);
y=sqrt(5)*sin(t);
plot(x,y);
axis equal; hold off
计算结果为：
theta =
1.1071
z =
1.0000 + 2.0000i
图形结果为图2-13。
x
y
-
x>0
y>0
x<0
y<0
x<0
y>0
x>0
y<0
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图2-13 四象限的反正切函数图
2.1.2 其他常用函数
函数 fix
功能 朝零方向取整
格式 B = fix(A) %对A的每一个元素朝零的方向取整数部分，返回与A同维的数组。
对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取
原复数的、朝零方向的整数部分。
例2-14
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>B = fix(A)
计算结果为：
B =
Columns 1 through 4
-1.0000 0 3.0000 5.0000
Columns 5 through 6
7.0000 2.0000 + 3.0000i
函数 roud
功能 朝最近的方向取整。
格式 Y = round(X) %对X 的每一个元素朝最近的方向取整数部分，返回与X 同维
的数组。对于复数参量X，则返回一复数，其分量的实数与虚
数部分分别取原复数的、朝最近方向的整数部分。
例2-15
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>Y = round(A)
计算结果为：
Y =
Columns 1 through 4
-2.0000 0 3.0000 6.0000
Columns 5 through 6
7.0000 2.0000 + 4.0000i
函数 floor
功能 朝负无穷大方向取整
格式 B = floor(A) %对A 的每一个元素朝负无穷大的方向取整数部分，返回与A 同
维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚
数部分分别取原复数的、朝负无穷大方向的整数部分。
例2-16
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>F = floor(A)
计算结果为：
F =
Columns 1 through 4
-2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000
Columns 5 through 6
7.0000 2.0000 + 3.0000i
函数 rem
功能 求作除法后的剩余数
格式 R = rem(X,Y) %返回结果X - fix(X./Y).*Y，其中X、Y 应为正数。若X、Y 为
浮点数，由于计算机对浮点数的表示的不精确性，则结果将可能
是不可意料的。fix(X./Y)为商数X./Y 朝零方向取的整数部分。
若X 与Y 为同符号的，则rem(X,Y)返回的结果与mod(X,Y)相同，
不然，若X 为正数，则rem(-X,Y) = mod(-X,Y) - Y。该命令返回
的结果在区间[0，sign(X)*abs(Y)]，若Y 中有零分量，则相应地
返回NaN。
例2-17
>>X = [12 23 34 45];
>>Y = [3 7 2 6];
>>R = rem(X,Y)
计算结果为：
R =
0 2 0 3
函数 ceil
功能 朝正无穷大方向取整
格式 B = floor(A) % 对A 的每一个元素朝正无穷大的方向取整数部分，返回与A
同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与
虚数部分分别取原复数的、朝正无穷大方向的整数部分。
例2-18
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>B = ceil(A)
计算结果为：
B =
Columns 1 through 4
-1.0000 0 4.0000 6.0000
Columns 5 through 6
7.0000 3.0000 + 4.0000i
函数 exp
功能 以e 为底数的指数函数
格式 Y = exp(X) %对参量X 的每一分量，求以e 为底数的指数函数Y。X 中的分量
可以为复数。对于复数分量如，z = x +i*y，则相应地计算：e^z =
e^x*(cos(y) + i*sin(y))。
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例2-19
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>Y = exp(A)
计算结果为：
Y =
1.0e+003 *
Columns 1 through 4
0.0001 0.0008 0.0231 0.2704
Columns 5 through 6
1.0966 -0.0099 - 0.0049i
函数 expm
功能 求矩阵的以e 为底数的指数函数
格式 Y = expm(X) %计算以e 为底数、x 的每一个元素为指数的指数函数值。若矩
阵x 有小于等于零的特征值，则返回复数的结果。
说明 该函数为一内建函数，它有三种计算算法：
（1）使用文件expm1.m 中的用比例法与二次幂算法得到的Pad 近似值；
（2）使用Taylor 级数近似展开式计算，这种计算在文件expm2.m 中。但这种一般计算
方法是不可取的，通常计算是缓慢且不精确的；
（3）在文件expm3.m 中，先是将矩阵对角线化，再把函数计算出相应的的特征向量，
最后转换过来。但当输入的矩阵没有与矩阵阶数相同的特征向量个数时，就会出现错误。
例2-20
>>A=hilb(4);
>>Y = expm(A)
计算结果为：
Y =
3.2506 1.2068 0.8355 0.6417
1.2068 1.7403 0.5417 0.4288
0.8355 0.5417 1.4100 0.3318
0.6417 0.4288 0.3318 1.2729
函数 log
功能 自然对数，即以e 为底数的对数。
格式 Y = log(X) %对参量X 中的每一个元素计算自然对数。其中X 中的元素可以
是复数与负数，但由此可能得到意想不到的结果。若z = x + i*y，
则log 对复数的计算如下：log (z) = log (abs (z)) + i*atan2(y,x)
例2-21 下面的语句可以得到无理数π的近似值：
>>Pi = abs(log(-1))
计算结果为：
Pi =
3.1416
函数 log10
功能 常用对数，即以10 为底数的对数。
格式 Y = log10(X) %计算X 中的每一个元素的常用对数，若X 中出现复数，则可
能得到意想不到的结果。
例2-22
>>L1 = log10(realmax) % 由此可得特殊变量realmax 的近似值
>>L2 = log10(eps) % 由此可得特殊变量eps 的近似值
>>M = magic(4);
>>L3 = log10(M)
计算结果为：
L1 =
308.2547
L2 =
-15.6536
L3 =
1.2041 0.3010 0.4771 1.1139
0.6990 1.0414 1.0000 0.9031
0.9542 0.8451 0.7782 1.0792
0.6021 1.1461 1.1761 0
函数 sort
功能 把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列
格式 B = sort(A) %沿着输入参量A 的不同维的方向、从小到大重新排列A 中的元
素。A 可以是字符串的、实数的、复数的单元数组。对于A 中完
全相同的元素，则按它们在A 中的先后位置排列在一块；若A 为
复数的，则按元素幅值的从小到大排列，若有幅值相同的复数元素，
则再按它们在区间[-π,π]的幅角从小到大排列；若A 中有元素为
NaN，则将它们排到最后。若A 为向量，则返回从小到大的向量，
若A 为二维矩阵，则按列的方向进行排列；若A 为多维数组，sort(A)
把沿着第一非单元集的元素象向量一样进行处理。
B = sort(A,dim) %沿着矩阵A（向量的、矩阵的或多维的）中指定维数
dim 方向重新排列A 中的元素。
[B,INDEX] = sort(A,…) %输出参量B 的结果如同上面的情形，输出INDEX 是
一等于size(A)的数组，它的每一列是与A 中列向量的
元素相对应的置换向量。若A 中有重复出现的相同的
值，则返回保存原来相对位置的索引。
例2-23
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>[B1,INDEX] = sort(A)
>>M = magic(4);
>>B2 = sort(M)
计算结果为：
B1 =
Columns 1 through 4
-0.2000 -1.9000 3.1416 2.4000 + 3.6000i
Columns 5 through 6
5.6000 7.0000
INDEX =
2 1 3 6 4 5
B2 =
4 2 3 1
5 7 6 8
9 11 10 12
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16 14 15 13
函数 abs
功能 数值的绝对值与复数的幅值
格式 Y = abs(X) %返回参量X 的每一个分量的绝对值；若X 为复数的，则返回每
一分量的幅值：abs(X) = sqrt(real(X).^2+imag(X).^2)。
例2-24
>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];
>>Y = abs(A)
计算结果为：
Y =
1.9000 0.2000 3.1416 5.6000 7.0000 4.3267
函数 conj
功能 复数的共轭值
格式 ZC = conj(Z) %返回参量Z 的每一个分量的共轭复数：
conj(Z) = real(Z) - i*imag(Z)
函数 imag
功能 复数的虚数部分
格式 Y = imag(Z) %返回输入参量Z 的每一个分量的虚数部分。
例2-25
>>imag(2+3i)
计算结果为：
ans =
3
函数 real
功能 复数的实数部分。
格式 Y = real(Z) %返回输入参量Z 的每一个分量的实数部分。
例2-26
>>real(2+3i)
计算结果为：
ans =
2
函数 angle
功能 复数的相角
格式 P = angle(Z) %返回输入参量Z 的每一复数元素的、单位为弧度的相角，其值
在区间[-π，π]上。
说明 angle(z) = imag (log(z)) = atan2 (imag(z),real(z))
例2-27
>>Z =[1-i, 2+i, 3-i, 4+i;
>>1+2i,2-2i,3+2i,4-2i;
>>1-3i,2+3i,3-3i,4+3i;
>>1+4i,2-4i,3+4i,4-4i];
>>P = angle(Z)
计算结果为：
P =
-0.7854 0.4636 -0.3218 0.2450
1.1071 -0.7854 0.5880 -0.4636
-1.2490 0.9828 -0.7854 0.6435
1.3258 -1.1071 0.9273 -0.7854
函数 complex
功能 用实数与虚数部分创建复数
格式 c = complex(a,b) %用两个实数a，b 创建复数c=a+bi。输出参量c 与a、b 同型
（同为向量、矩阵、或多维阵列）。该命令比下列形式的复数
输入更有用：a + i*b 或a + j*b 因为i 和j 可能被用做其他的变
量(不等于sqrt(-1))，或者a 和b 不是双精度的。
c = complex(a) %输入参量a 作为输出复数c 的实部，其虚部为0：c = a+0*i。
例2-28
>>a = uint8([1;2;3;4]);
>>b = uint8([4;3;2;1]);
>>c = complex(a,b)
计算结果为：
c =
1.0000 + 4.0000i
2.0000 + 3.0000i
3.0000 + 2.0000i
4.0000 + 1.0000i
函数 mod
功能 模数（带符号的除法余数）
用法 M = mod(X,Y) %输入参量X、Y 应为整数，此时返回余数X -Y.*floor(X./Y)，
若Y≠0，或者是X。若运算数x 与y 有相同的符号，则mod(X,Y)
等于rem(X,Y) 。总之， 对于整数x,y ， 有：mod(-x,y) =
rem(-x,y)+y。若输入为实数或复数，由于浮点数在计算机上的
不精确表示，该操作将导致不可预测的结果。
例2-29
>>M1 = mod(13,5)
>>M2 = mod([1:5],3)
>>M3 = mod(magic(3),3)
计算结果为：
M1 =
3
M2 =
1 2 0 1 2
M3 =
2 1 0
0 2 1
1 0 2
函数 nchoosek
功能 二项式系数或所有的组合数。该命令只有对n<15 时有用。
函数 C = nchoosek(n,k) %参量n,k 为非负整数，返回n! / ( (n-k)! k!)，即一次从n 个
物体中取出k 个的组合数。
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C = nchoosek(v,k) %参量v 为n 维向量，返回一矩阵，其行向量的分量为一次
性从v 个物体中取k 个物体的组合数。矩阵 C 包含nk
C =n! /
( (n-k)! k!)行与k 列。
例2-30
>>C = nchoosek(2:2:10,4)
计算结果为：
C =
2 4 6 8
2 4 6 10
2 4 8 10
2 6 8 10
4 6 8 10
函数 rand
功能 生成元素均匀分布于(0,1)上的数值与阵列
用法 Y = rand(n) %返回n*n 阶的方阵Y，其元素均匀分布于区间(0,1)。若n 不是一
标量，在显示一出错信息。
Y = rand(m,n)、Y = rand([m n]) %返回阶数为m*n 的，元素均匀分布
于区间(0,1)上矩阵Y。
Y = rand(m,n,p,…)、Y = rand([m n p…]) %生成阶数m*n*p*…的，元素服从
均匀分布的多维随机阵列Y。
Y = rand(size(A)) %生成一与阵列A 同型的随机均匀阵列Y
rand %该命令在每次单独使用时，都返回一随机数（服从均匀分布）。
s = rand('state') %返回一有35 元素的列向量s，其中包含均匀分布生成器的当
前状态。该改变生成器的当前的状态，见表2-1。
表2-1
命 令 含 义
Rand(’state’,s) 设置状态为s
Rand(’state’,0) 设置生成器为初始状态
Rand(’state’,k) 设置生成器第k 个状态(k 为整数)
Rand(’state’,sum(100*clock)) 设置生成器在每次使用时的状态都不同（因为clock 每次都不同）
例：
>>R1 = rand(4,5)
>>a = 10; b = 50;
>>R2 = a + (b-a) * rand(5) % 生成元素均匀分布于(10,50)上的矩阵
计算结果可能为：
R1 =
0.6655 0.0563 0.2656 0.5371 0.6797
0.3278 0.4402 0.9293 0.5457 0.6129
0.6325 0.4412 0.9343 0.9394 0.3940
0.5395 0.6501 0.5648 0.7084 0.2206
R2 =
33.6835 19.8216 36.9436 49.6289 46.4679
18.5164 34.2597 15.3663 31.0549 49.0377
19.0026 37.1006 33.6046 39.5361 13.9336
12.4641 12.9804 35.5420 23.2916 46.8304
28.5238 48.7418 49.0843 13.0512 10.9265
函数 randn
功能 生成元素服从正态分布（N(0,1)）的数值与阵列
格式 Y = randn(n) %返回n*n 阶的方阵Y，其元素服从正态分布N(0,1)。若n 不是
一标量，则显示一出错信息。
Y = randn(m,n)、Y = randn([m n]) %返回阶数为m*n 的，元素均匀分布于区间
(0,1)上矩阵Y。
Y = randn(m,n,p,…)、Y = randn([m n p…]) %生成阶数m*n*p*…的，元素服
从正态分布的多维随机阵列Y。
Y = randn(size(A)) %生成一与阵列A 同型的随机正态阵列Y
randn %该命令在每次单独使用时，都返回一随机数（服从正态分布）。
s = randn('state') %返回一有2 元素的向量s，其中包含正态分布生成器的当
前状态。该改变生成器的当前状态，见表2-2。
表2-2
命 令 含 义
randn(’state’,s) 设置状态为s
randn(’state’,0) 设置生成器为初始状态
rand(’state’,k) 设置生成器第k 个状态(k 为整数)
rand(’state’,sum(100*clock)) 设置生成器在每次使用时的状态都不同（因为clock 每次都不同）
例：
>>R1 = rand(4,5)
>>R2 = 0.6 + sqrt(0.1) * randn(5)
计算结果可能为：
R1 =
0.2778 0.2681 0.5552 0.5167 0.8821
0.2745 0.3710 0.1916 0.3385 0.5823
0.9124 0.5129 0.4164 0.2993 0.0550
0.4125 0.2697 0.1508 0.9370 0.5878
R2 =
0.4632 0.9766 0.5410 0.6360 0.6931
0.0733 0.9760 0.8295 0.9373 0.1775
0.6396 0.5881 0.4140 0.6187 0.8259
0.6910 0.7035 1.2904 0.5698 1.1134
0.2375 0.6552 0.5569 0.3368 0.3812
2.2 插值、拟合与查表
插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x 与
因变量y 的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的
函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已
知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x 处的值来估计未知函数y=f(x)在x 点的值。
寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也
可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的
不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）
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来描述观测数据。
根据测量数据的类型：
1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据方法：
1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
2.2.1 插值命令
命令 1 interp1
功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数
f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。
f(x)
x：原始数据点
Y：原始数据点
xi：插值点
Yi：插值点
图2-14 数据点与插值点关系示意图
格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由
向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。
若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为
length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵
Y 的行数。
yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、
mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函
数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值；
’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用
于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与
数据的外形；
’cubic’：与’pchip’操作相同；
’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。
对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应
地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。
yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') %对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特
殊的外插值法extrap。
yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) %确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值
extrapval，其值通常取NaN 或0。
例2-31
>>x = 0:10; y = x.*sin(x);
>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx);
>>plot(x,y,'kd',xx,yy)
插值图形为图2-15。
例2-32
>> year = 1900:10:2010;
>> product = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505
249.633 256.344 267.893 ];
>>p1995 = interp1(year,product,1995)
>>x = 1900:1:2010;
>>y = interp1(year,product,x,'pchip');
>>plot(year,product,'o',x,y)
插值结果为：
p1995 =
252.9885
插值图形为图2-16。
图2-15 一元函数插值图形 图2-16 离散数据的一维插值图
命令2 interp2
功能 二维数据内插值（表格查找）
格式 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可
以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←
[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与
Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型
的。同时取决于由输入矩阵X、Y 与Z 确定的二维函
数Z=f(X,Y)。参量X 与Y 必须是单调的，且相同的
划分格式，就像由命令meshgrid 生成的一样。若Xi
与Yi 中有在X 与Y 范围之外的点，则相应地返回nan
（Not a Number）。
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ZI = interp2(Z,XI,YI) %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按
第一种情形进行计算。
ZI = interp2(Z,n) %作n 次递归计算，在Z 的每两个元素之间插入它们
的二维插值，这样，Z 的阶数将不断增加。interp2(Z)
等价于interp2(z,1)。
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) %用指定的算法method 计算二维插值：
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）；
’nearest’：最临近插值；
’spline’：三次样条插值；
’cubic’：双三次插值。
例2-33：
>>[X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>[XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);
>>ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);
>>surfl(X,Y,Z);hold on;
>>surfl(XI,YI,ZZ+15)
>>axis([-3 3 -3 3 -5 20]);shading flat
>>hold off
插值图形为图2-17。
例2-34
>>years = 1950:10:1990;
>>service = 10:10:30;
>>wage = [150.697 199.592 187.625
179.323 195.072 250.287
203.212 179.092 322.767
226.505 153.706 426.730
249.633 120.281 598.243];
>>w = interp2(service,years,wage,15,1975)
插值结果为：
w =
190.6288
命令3 interp3
功能 三维数据插值（查表）
格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) %找出由参量X,Y,Z 决定的三元函数V=V(X,Y,Z)
在点（XI,YI,ZI）的值。参量XI,YI,ZI 是同型阵列或向量。若向量
参量XI,YI,ZI 是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出
参量VI 与Y1,Y2,Y3 为同型矩阵。其中Y1,Y2,Y3 为用命令
meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点
(X,Y,Z)之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。
VI = interp3(V,XI,YI,ZI) %缺省地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，
[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形计算。
VI = interp3(V,n) %作n 次递归计算，在V 的每两个元素之间插入
它们的三维插值。这样，V 的阶数将不断增加。
图2-17 二维插值图
interp3(V)等价于interp3(V,1)。
VI = interp3(…,method) %用指定的算法method 作插值计算：
‘linear’：线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值；
‘nearest’：最邻近插值。
说明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z 是单调且有相同的格点形式。当X,Y,Z 是等距且
单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。
例2-35
>>[x,y,z,v] = flow(20);
>>[xx,yy,zz] = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);
>>vv = interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);
>>slice(xx,yy,zz,vv,[6 9.5],[1 2],[-2 .2]); shading interp;colormap cool
插值图形为图2-18。
图2-18 三维插值图
命令4 interpft
功能 用快速Fourier 算法作一维插值
格式 y = interpft(x,n) %返回包含周期函数x 在重采样的n 个等距的点的插值y。若
length(x)=m，且x 有采样间隔dx，则新的y 的采样间隔
dy=dx*m/n。注意的是必须n≥m。若x 为一矩阵，则按x 的列
进行计算。返回的矩阵y 有与x 相同的列数，但有n 行。
y = interpft(x,n,dim) %沿着指定的方向dim 进行计算
命令5 griddata
功能 数据格点
格式 ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) %用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向
量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面
总是经过这些数据点（x,y,z）的。输入参量（XI,YI）通常是
规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。XI 可以是一行
向量，这时XI 指定一有常数列向量的矩阵。类似地，YI 可以
是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。
[XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi) %返回的矩阵ZI 含义同上，同时，返回的矩阵
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XI,YI 是由行向量xi 与列向量yi 用命令
meshgrid 生成的。
[…] = griddata(…,method) %用指定的算法method 计算：
‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；
‘cubic’： 基于三角形的三次插值；
‘nearest’：最邻近插值法；
‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 算法。
命令6 spline
功能 三次样条数据插值
格式 yy = spline(x,y,xx) %对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个
三项多项式y = p(x)，以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。过两点(xi, yi)和
(xi+1, yi+1)只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多
条。为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件
（因为三次多项式有4 个系数）：
1．三次多项式在点(xi, yi)处有： p′i(xi) = p′i′(xi)；
2．三次多项式在点(xi+1, yi+1)处有：p′i(xi+1) = p′i′(xi+1)；
3．p(x)在点(xi, yi)处的斜率是连续的（为了使三次多项式
具有良好的解析性，加上的条件）；
4．p(x)在点(xi, yi)处的曲率是连续的；
对于第一个和最后一个多项式，人为地规定如下条件：
①．p1′′′(x) = p′2′′(x)
②．p′n′′(x) = p′n′′−1(x)
上述两个条件称为非结点(not-a-knot)条件。综合上述内容，可知对数
据拟合的三次样条函数p(x)是一个分段的三次多项式：
? ??
???
?
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
=
n n n+1
2 2 3
1 1 2
p (x) x x x
p (x) x x x
p (x) x x x
p(x)
LL LL
，其中每段pi(x)都是三次多项式。
该命令用三次样条插值计算出由向量x 与y 确定的一元函数y=f(x)在
点xx 处的值。若参量y 是一矩阵，则以y 的每一列和x 配对，再分
别计算由它们确定的函数在点xx 处的值。则yy 是一阶数为
length(xx)*size(y,2)的矩阵。
pp = spline(x,y) %返回由向量x 与y 确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它
可用于命令ppval、unmkpp 的计算。
例2-36
对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：
>>x = [0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20]; y = exp(x).*sin(x);
>>xx = 0:.25:20;
>>yy = spline(x,y,xx);
>>plot(x,y,'o',xx,yy)
插值图形结果为图2-19。
图2-19 三次样条插值
命令7 interpn
功能 n 维数据插值（查表）
格式 VI = interpn(X1,X2,,…,Xn,V,Y1,Y2,…,Yn) %返回由参量X1,X2,…,Xn,V 确定
的n 元函数V=V(X1,X2,…,Xn)在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。参量
Y1,Y2,…,Yn 是同型的矩阵或向量。若Y1,Y2,…,Yn 是向量，则可以
是不同长度，不同方向（行或列）的向量。它们将通过命令ndgrid
生成同型的矩阵， 再作计算。若点(Y1,Y2,…,Yn) 中有位于点
（X1,X2,…,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。
VI = interpn(V,Y1,Y2,…,Yn) %缺省地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，…，
Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。
VI = interpn(V,ntimes) %作ntimes 次递归计算，在V 的每两个元素之间插入它
们的n 维插值。这样，V 的阶数将不断增加。interpn(V)
等价于interpn(V,1)。
VI = interpn(…,method) %用指定的算法method 计算：
‘linear’：线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值法；
‘nearest’：最邻近插值算法。
命令8 meshgrid
功能 生成用于画三维图形的矩阵数据。
格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，
max(x) ， min(y) ，max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，
j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点，
这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些
点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y
可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或
曲面作图。
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[X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)
或三维容积图。
例2-37
[X,Y] = meshgrid(1:3,10:14)
计算结果为：
X =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Y =
10 10 10
11 11 11
12 12 12
13 13 13
14 14 14
命令9 ndgrid
功能 生成用于多维函数计算或多维插值用的阵列
格式 [X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn) %把通过向量x1,x2,x3…,xn 指定的区域转
换为数组x1,x2,x3,…,xn 。这样， 得到了 length(x1)*
length(x2)*…*length(xn)个点，这些点的第一维坐标用矩阵X1 表
示，X1 的每个第一维向量与向量x1 相同；这些点的第二维坐标用
矩阵X2 表示，X2 的每个第二维向量与向量x2 相同；如此等等。
其中X1,X2,…,Xn 可用于计算多元函数y=f(x1,x2,…,xn)以及多维插
值命令用到的阵列。
[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x) %等价于[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)
2.2.2 查表命令
命令 1 table1
功能 一维查表
格式 Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩阵TAB 中的行线性插值元素，对X0（TAB
的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。矩阵TAB 是第一列包含
关键值，而其他列包含数据的矩阵。X0 中的每一元素将相应地返回一线
性插值行向量。矩阵TAB 的第一列必须是单调的。
例2-38
>>tab = [(1:4)' hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3 3.6 4])
查表结果为：
tab =
1.0000 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
2.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
3.0000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
4.0000 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions. Use INTERP1 or INTERP1Q
instead.
> In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable1.m at line 31
y =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.4500 0.3083 0.2350 0.1900
0.2833 0.2200 0.1800 0.1524
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
由上面结果可知，table1 是一将要废弃的命令。
命令2 table2
功能 二维查表
格式 Z = table1(TAB,X0,Y0) %返回用表格矩阵TAB 中的行与列交叉线性线性插值
元素，对X0（TAB 的第一列查找X0）进行线性插值，对Y0（TAB 的第
一行查找Y0）进行线性插值，对上述两个数值进行交叉线性插值，得到
的结果为Z。矩阵TAB 是第一列与第一行列都包含关键值，而其他的元
素包含数据的矩阵。TAB(1,1)的关键值将被忽略。[X0,Y0]中的每点将相
应地返回一线性插值。矩阵TAB 的第一行与第一列必须是单调的。
例2-39
>>tab = [NaN 1:4; (1:4)' magic(4)]
>>y = table2(tab,[2 3 3.7],[1.3 2.3 4])
查表的结果为：
tab =
NaN 1 2 3 4
1 16 2 3 13
2 5 11 10 8
3 9 7 6 12
4 4 14 15 1
Warning: TABLE2 is obsolete and will be removed in future versions. Use INTERP2 instead.
> In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable2.m at line 24
Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions. Use INTERP1 or INTERP1Q
instead.
> In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable1.m at line 31
In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable2.m at line 29
Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions. Use INTERP1 or INTERP1Q
instead.
> In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable1.m at line 31
In D:MATLABR12toolboxmatlabpolyfuntable2.m at line 31
y =
6.8000 10.7000 8.0000
8.4000 6.7000 12.0000
7.4200 12.0200 4.3000
由上面的结果可知，table2 是将要废弃的命令。
2.3 数值积分
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2.3.1 一元函数的数值积分
函数 1 quad、quadl、quad8
功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。
格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。
若给fun 输入向量x，应返回向量y，即fun 是一单值函数。
q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。tol 越大，函数计
算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。
q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数
fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]
或trace=[]，则用缺省值进行计算。
[q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n
… = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。
… = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。
例2-40
>>fun = inline(‘’3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);
>>Q1 = quad(fun,0,2)
>>Q2 = quadl(fun,0,2)
计算结果为：
Q1 =
3.7224
Q2 =
3.7224
函数2 trapz
功能 梯形法数值积分
格式 T = trapz(Y) %用等距梯形法近似计算Y的积分。若Y是一向量，则trapz(Y)
为Y 的积分；若Y 是一矩阵，则trapz(Y)为Y 的每一列的
积分；若Y 是一多维阵列，则trapz(Y)沿着Y 的第一个非单
元集的方向进行计算。
T = trapz(X,Y) %用梯形法计算Y 在X 点上的积分。若X 为一列向量，Y 为
矩阵，且size(Y,1) = length(X)，则trapz(X,Y)通过Y 的第一
个非单元集方向进行计算。
T = trapz(…,dim) %沿着dim 指定的方向对Y 进行积分。若参量中包含X，则
应有length(X)=size(Y,dim)。
例2-41
>>X = -1:.1:1;
>>Y = 1./(1+25*X.^2);
>>T = trapz(X,Y)
计算结果为：
T =
0.5492
函数3 rat,rats
功能 有理分式近似。虽然所有的浮点数值都是有理数，有时用简单的有理数字（分子
与分母都是较小的整数）近似地表示它们是有必要的。函数rat 将试图做到这一点。对于有
连续出现的小数的数值，将会用有理式近似表示它们。函数rats 调用函数rat，且返回字符
串。
格式 [N,D] = rat(X) %对于缺省的误差1.e-6*norm(X(:),1)，返回阵列N 与D，
使N./D 近似为X。
[N,D] = rat(X,tol) %在指定的误差tol 范围内，返回阵列N 与D，使N./D 近
似为X。
rat(X)、rat(X…) %在没有输出参量时，简单地显示x 的连续分数。
S = rats(X,strlen) %返回一包含简单形式的、X 中每一元素的有理近似字符
串S，若对于分配的空间中不能显示某一元素，则用星号
表示。该元素与X 中其他元素进行比较而言较小，但并
非是可以忽略。参量strlen 为函数rats 中返回的字符串元
素的长度。缺省值为strlen=13，这允许在78 个空格中有
6 个元素。
S = rats(X) %返回与用MATLAB命令format rat 显示 X 相同的结果给S。
例2-42
>>s = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7
>>format rat
>>S1 = rats(s)
>>S2 = rat(s)
>>[n,d] = rat(s)
>>PI1 = rats(pi)
>>PI2 = rat(pi)
计算结果为：
s =
0.7595
S1 =
319/420
S2 =
1 + 1/(-4 + 1/(-6 + 1/(-3 + 1/(-5))))
n =
319
d =
420
PI1 =
355/113
PI2 =
3 + 1/(7 + 1/(16))
2.3.2 二元函数重积分的数值计算
函数 1 dblquad
功能 矩形区域上的二重积分的数值计算
格式 q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) %调用函数quad 在区域[xmin,xmax,
ymin,ymax]上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。输入向量x，标量y，则f(x,y)
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必须返回一用于积分的向量。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) %用指定的精度tol 代替缺省精度
10-6，再进行计算。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method) %用指定的算法method 代替
缺省算法quad。method 的取值有@quadl 或用户指定的、与命令quad 与quadl
有相同调用次序的函数句柄。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2, … ) %将可选参数
p1,p2,..等传递给函数fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，则使用缺省精
度和算法quad。
例2-43
>>fun = inline(’y./sin(x)+x.*exp(y)’);
>>Q = dblquad(fun,1,3,5,7)
计算结果为：
Q =
3.8319e+003
函数2 quad2dggen
功能 任意区域上二元函数的数值积分
格式 q = quad2dggen(fun,xlower,xupper,ymin,ymax) %在由[xlower,xupper, ymin,ymax]
指定的区域上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。
q = dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol) %用指定的精度tol 代替缺省精度
10-6，再进行计算。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method) %用指定的算法method 代替
缺省算法。method 的取值有缺省算法或用户指定的、与缺省命令有相同调
用次序的函数句柄。
q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol,method,p1,p2, … ) % 将可选参数
p1,p2,..等传递给函数fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，则使用缺省精
度和算法。
例2-44
计算单位圆域上的积分： ∫∫
+ ≤
−
= +
x y 1
2 2
x
2 2
2
I e sin(x y)dxdy
先把二重积分转化为二次积分的形式： ∫ ∫
−
− −
−
−
= +
2
2
1 y 2
1 y
2 2
1 x
1
I dy e sin(x y)dx
f = inline(’exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)’,’x’,’y’);
xlower = inline(’-sqrt(1-y.^2)’,’y’); xupper = inline(’sqrt(1-y.^2)’,’y’);
Q = quad2dggen(fun,xlower,xupper,-1,1,1e-4)
计算结果为：
Q =
0.5368603818
2.4 常微分方程数值解
函数 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb
功能 常微分方程（ODE）组初值问题的数值解
参数说明：
solver 为命令ode45、ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb 之一。
Odefun 为显式常微分方程y’=f(t,y)，或为包含一混合矩阵的方程M(t,y)*y’=f(t,y)。命令
ode23 只能求解常数混合矩阵的问题；命令ode23t 与ode15s 可以求解奇异矩
阵的问题。
Tspan 积分区间（即求解区间）的向量tspan=[t0,tf]。要获得问题在其他指定时间点
t0,t1,t2,…上的解，则令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是单调的）。
Y0 包含初始条件的向量。
Options 用命令odeset 设置的可选积分参数。
P1,p2,… 传递给函数odefun 的可选参数。
格式 [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) %在区间tspan=[t0,tf]上，从t0 到tf，用初始条
件y0 求解显式微分方程y’=f(t,y)。对于标量t 与列向量y，函数f=odefun(t,y)
必须返回一f(t,y)的列向量f。解矩阵Y 中的每一行对应于返回的时间列向
量T 中的一个时间点。要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,…上的解，
则令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是单调的）。
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) %用参数options（用命令odeset 生成）
设置的属性（代替了缺省的积分参数），再进行操作。常用的属性包括相
对误差值RelTol（缺省值为1e-3）与绝对误差向量AbsTol（缺省值为每一
元素为1e-6）。
[T,Y] =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2…) 将参数p1,p2,p3,..等传递给函数
odefun，再进行计算。若没有参数设置，则令options=[]。
1．求解具体ODE 的基本过程：
（1）根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。
F(y,y’,y’’,…,y(n),t) = 0
y(0)=y0,y’(0)=y1,…,y(n-1)(0)=yn-1
而y=[y;y(1);y(2);…,y(m-1)]，n 与m 可以不等
（2）运用数学中的变量替换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),…,y2=y1=y，把高阶（大于2 阶）的方
程（组）写成一阶微分方程组：
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
=
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
′
′
′
′ =
f ( t , y )
f ( t , y )
f ( t , y )
y
y
y
y
n
2
1
n
2
1
M M
，
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
=
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
=
n
1
0
n
2
1
0
y
y
y
y ( 0 )
y (0 )
y ( 0 )
y
M M
（3）根据（1）与（2）的结果，编写能计算导数的M-函数文件odefile。
（4）将文件odefile 与初始条件传递给求解器Solver 中的一个，运行后就可得到ODE
的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y 及不同阶的导数）。
2．求解器Solver 与方程组的关系表见表2-3。
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表2-3
函数指令 含 义 函 数 含 义
ode23 普通2-3 阶法解ODE odefile 包含ODE 的文件
ode23s 低阶法解刚性ODE odeset 创建、更改Solver 选项
ode23t 解适度刚性ODE 选项 odeget 读取Solver 的设置值
ode23tb 低阶法解刚性ODE odeplot ODE 的时间序列图
ode45 普通4-5 阶法解ODE odephas2 ODE 的二维相平面图
ode15s 变阶法解刚性ODE odephas3 ODE 的三维相平面图
求解器
Solver
ode113 普通变阶法解ODE
输出
odeprint 在命令窗口输出结果
3．因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE 问题，为此，MATLAB 提供了多种
求解器Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver。
表2-4 不同求解器Solver 的特点
求解器Solver ODE类型 特点 说明
ode45 非刚性 一步算法；4，5 阶Runge-Kutta 方
程；累计截断误差达(△x)3 大部分场合的首选算法
ode23 非刚性 一步算法；2，3 阶Runge-Kutta 方
程；累计截断误差达(△x)3 使用于精度较低的情形
ode113 非刚性 多步法；Adams 算法；高低精度均
可到10-3～10-6 计算时间比ode45 短
ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形
ode15s 刚性 多步法；Gear’s 反向数值微分；精
度中等
若ode45 失效时，可尝试使
用
ode23s 刚性 一步法；2 阶Rosebrock 算法；低
精度
当精度较低时，计算时间比
ode15s 短
ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时间比
ode15s 短
4．在计算过程中，用户可以对求解指令solver 中的具体执行参数进行设置（如绝对误
差、相对误差、步长等）。
表2-5 Solver 中options 的属性
属性名 取值 含义
AbsTol 有效值：正实数或向量
缺省值：1e-6
绝对误差对应于解向量中的所有元素；向量则分别对应于
解向量中的每一分量
RelTol 有效值：正实数
缺省值：1e-3
相对误差对应于解向量中的所有元素。在每步(第k 步)计算
过程中，误差估计为：
e(k)<=max(RelTol*abs(y(k)),AbsTol(k))
NormControl 有效值：on、off
缺省值：off
为‘on’时，控制解向量范数的相对误差，使每步计算中，
满足：norm(e)<=max(RelTol*norm(y),AbsTol)
Events 有效值：on、off 为‘on’时，返回相应的事件记录
OutputFcn
有效值：odeplot、odephas2、
odephas3、odeprint
缺省值：odeplot
若无输出参量，则solver 将执行下面操作之一：
画出解向量中各元素随时间的变化；
画出解向量中前两个分量构成的相平面图；
画出解向量中前三个分量构成的三维相空间图；
随计算过程，显示解向量
OutputSel 有效值：正整数向量
缺省值：[]
若不使用缺省设置，则OutputFcn 所表现的是那些正整数
指定的解向量中的分量的曲线或数据。若为缺省值时，则
缺省地按上面情形进行操作
Refine 有效值：正整数k>1
缺省值：k = 1
若k>1，则增加每个积分步中的数据点记录，使解曲线更
加的光滑
Jacobian 有效值：on、off
缺省值：off 若为‘on’时，返回相应的ode 函数的Jacobi 矩阵
Jpattern 有效值：on、off
缺省值：off 为‘on’时，返回相应的ode 函数的稀疏Jacobi 矩阵
Mass
有效值：none、M、
M(t)、M(t,y)
缺省值：none
M：不随时间变化的常数矩阵
M(t)：随时间变化的矩阵
M(t,y)：随时间、地点变化的矩阵
MaxStep 有效值：正实数
缺省值：tspans/10 最大积分步长
例2-45 求解描述振荡器的经典的Ver der Pol 微分方程1 0
dt
(1 y ) dy
dt
d y 2
2
2
− μ − + =
y(0)=1，y’(0)=0
令x1=y，x2=dy/dx，则
dx1/dt = x2
dx2/dt = μ(1-x2)-x1
编写函数文件verderpol.m：
function xprime = verderpol(t,x)
global MU
xprime = [x(2);MU*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
再在命令窗口中执行：
>>global MU
>>MU = 7;
>>Y0=[1;0]
>>[t,x] = ode45(‘verderpol’,0,40,Y0);
>>x1=x(:,1);x2=x(:,2);
>>plot(t,x1,t,x2)
图形结果为图2-20。
图2-20 Ver der Pol 微分方程图
2.5 偏微分方程的数值解
MATLAB 提供了一个专门用于求解偏微分方程的工具箱—PDE Toolbox (Paticial
Difference Equation )。在本章，我们仅提供一些最简单、经典的偏微分方程，如：椭圆型、
双曲型、抛物型等少数的偏微分方程，并给出求解方法。用户可以从中了解其解题基本方法，
从而解决相类似的问题。
Matlab 能解决的偏微分类型
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− ∇ ⋅ (c∇u) + au = f 其中u = u(x,y)，(x, y)∈G
? ??
?
? ??
?
∂
∂
∂
∂
+ ??
?
??
?
∂
∂
∂
∂
∇ ∇ =
y
c u
x y
c u
x
(c u) ，f ∈L2(G)
c = c(x,y)∈C1(∂G)，a ≥ 0，a∈C0(∂G)
2.5.1 单的Poission 方程
Poission 方程是特殊的椭圆型方程：
? ? ?
=
− ∇ =
u ∂ 0
u 1
G
2
，G ={(x, y)x2 + y2 ≤1}
即 c = 1，a = 0，f = -1
Poission 的解析解为：
4
u 1 x y
− 2 − 2 = 。在下面计算中，用求得的数值解与精确解进行比
较，看误差如何。
方程求解
（1）问题输入：
c = 1；a = 0；f = 1；%方程的输入。给c，a，f 赋值即可
g = 'circleg' % 区域G，内部已经定义为 circleg
b = 'circleb1' % u 在区域G 的边界上的条件，内部已经定义好
（2）对单位圆进行网格化，对求解区域G 作剖分，且作的是三角分划：
[p,e,t] = initmesh（g,'hmax'，1）
（3）迭代求解：
error = []；err = 1；
while err > 0.001，
[p,e,t]=refinemesh（'circleg',p,e,t）；
u=assempde（'circleb1',p,e,t,1,0,1）；
exact=-（p（1，：）^2+p（2，：）^2-1）/4；
err=norm（u-exact',inf）；
error=[error,err]；
end
（4）误差显示与区域G 内的剖分点数：
Error: 1.292265e-002. Number of nodes: 25
Error: 4.079923e-003. Number of nodes: 81
Error: 1.221020e-003. Number of nodes: 289
Error: 3.547924e-004. Number of nodes: 1089
（5）结果显示：
subplot（2,2,1），pdemesh（p,e,t）%结果显示
title（'数值解'）
subplot（2,2,2），pdesurf（p,t,u）%精确解显示
title（'精确解'）
subplot（2,2,3），pdesurf（p,t,u-exact'）%与精确解的误差
title（'计算误差'）
图2-21 Poission 方程图
2.5.2 双曲型偏微分方程
1．Matlab 能求解的类型： (c u) au f
t
d u2
2 −∇⋅ ∇ + =
∂
∂
其中u = u(x, y,z)，(x, y,z)∈G，d = d(x, y,z)∈C0(G)，a ≥ 0，a∈C0(∂G)，f ∈L2(G)
2．形传递问题：
? ?
?
? ?
?
?
=
∂
∂
=
= ??
?
??
?
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
=
=
0 t
u
u 0
0
z
u
y
u
x
u
t
u
t 0
t 0
2
2
2
2
2
2
2
2
，G ={(x, y,z) 0 ≤ x, y,z ≤1}
即：c =1; a = 0; f = 0; d = 1
3．方程求解
（1）问题的输入：
c = 1; a = 0; f = 0; d = 1; % 输入方程的系数
g = 'squareg' % 输入方形区域G,内部已经定义好
b = 'sqareb3' % 输入边界条件，即初始条件
（2）对单位矩形G 进行网格化：
[p,e,t] = initmesh('squareg')
（3）定解条件和求解时间点：
x = p(1,:)'; y = p(2,:)';
u0 = atan(cos(pi/2*x));
ut0 = 3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y));
n = 31;
tlist = linspace(0,5,n);
（4）求解：
uu = hyperbolic(uo, ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);
结果显示：计算过程中的时间点和信息
Time：0.166667
Time：0.333333
Time：4.33333
……
Time：4.66667
Time：4.83333
Time：5
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428 successful steps
62 failed attempts
982 function evaluations
1 partial derivatives
142 LU decompositions
981 solutions of linear systems
（5）动画显示：
delta=-1:0.1:1;
[uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,uu(:,1),delta,delta);
gp=[tn;a2;a3];
umax=max(max(uu));
umin=min(min(uu));
newplot;M=moviein(n);
for i=1:n,
pdeplot(p,e,t,'xydata',uu(:,i),'zdata',uu(:,i),…
'mesh','off','xygrid','on','gridparam',gp,…
'colorbar','off','zstyle','continuous');
axis([-1 1 -1 1 umin umax]);
caxis([umin umax]);
M(:,i)=getframe;
end
movie(M,5)
图2-22 是动画过程中的一个状态。
图2-22 波动方程动画中的一个状态
2.5.3 抛物型偏微分方程
1．Matlab 能求解的类型： ( ) f au u c t
u d − ∇ ⋅ ∇ + =
∂
∂
其中u = u(x, y,z)，(x, y,z)∈G ，d = d(x, y,z)∈C0(G)，a ≥ 0，a∈C0(∂G)，f ∈L2(G)
2．热传导方程：
??
??
?
=
= ??
?
??
?
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
u ∂ 0
0
z
u
y
u
x
u
t u
G
2
2
2
2
2
2
，G ={(x, y,z)0 ≤ x, y,z ≤1}
即：c = 1; a = 0; f = 1; d = 1;
3．问题计算
（1）问题的输入：
c = 1; a = 0; f = 1; d = 1; % 输入方程的系数
g = 'squareg'; % 输入方形区域G
b = 'squareb1'; % 输入边界条件
（2）对单位矩形的网格化：
[p,e,t] = initmesh(g);
（3）定解条件和求解的时间点：
u0 = zeros(size(p, 2), 1);
ix = find(sqrt(p(1, :).^2+p(2, :).^2) < 0.4);
u0(ix) = ones(size(ix));
nframes = 20;
tlist=linspace(0,0.1,nframes) % 在时间[0, 0.1]内20 个点上计算，生成20 帧
（4）求解方程：
u1 = parabolic(u0, tlist, b, p, e, t, c, a, f, d)
计算结果如下：
Time: 0.00526316
Time: 0.0105263
……
Time: 0.0947368
Time: 0.1
75 successful steps
1 failed attempts
154 function evaluations
1 partial derivatives
17 LU decompositions
153 solutions of linear systems
（5）动画显示：
x = linspace(-1,1,31); y = x;
newplot;
Mv = moviein(nframes);
umax=max(max(u1));
umin=min(min(u1));
for j=1:nframes
u=tri2grid(p,t,u1(:,j),tn,a2,a3);i=find(isnan(u));u(i)=zeros(size(i));…
surf(x,y,u);caxis([umin umax]);colormap(cool),…
axis([-1 1 -1 1 0 1]);…
Mv(:,j) = getframe;…
end
movie(Mv,10)
图2-23 是动画过程中的瞬间状态。
图2-23 热传导方程动画瞬间状态图
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第3 章符号运算
3.1 算术符号操作
命令 +、-、*、.*、、.、/、./、^、.^、’、.’
功能 符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。
若A 与B 为同型阵列时，A+B、A-B 分别对对应分量进行加减；若A 与B 中至少有一
个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B 符号矩阵乘法。
A*B 为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A 的列数等
于矩阵B 的行数。即： 若An*k*Bk*m=(aij)n*k
.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m ， 则
Σ=
= ∗
k
s 1
cij a is bsj ，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行
乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B 符号数组的乘法。
A.*B 为按参量A 与B 对应的分量进行相乘。A 与B 必须为同型阵列，或至少
有一个为标量。即：An*m
.*Bn*m=(aij)n*m
.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，
i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
AB 矩阵的左除法。
X=AB 为符号线性方程组A*X=B 的解。我们指出的是，AB 近似地等于
inv(A)*B。若X 不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A 可以是矩形
矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.B 数组的左除法。
A.B 为按对应的分量进行相除。若A 与B 为同型阵列时，
An*m
.Bn*m=(aij)n*m
.(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，
再按对应的分量进行操作。
A/B 矩阵的右除法。
X=B/A 为符号线性方程组X*A=B 的解。我们指出的是，B/A 粗略地等于
B*inv(A)。若X 不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A 可以是矩形
矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A./B 数组的右除法。
A./B 为按对应的分量进行相除。若A 与B 为同型阵列时，
An*m
./Bn*m=(aij)n*m
./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再
按对应的分量进行操作。
A^B 矩阵的方幂。
计算矩阵A 的整数B 次方幂。若A 为标量而B 为方阵，A^B 用方阵B 的特征
值与特征向量计算数值。若A 与B 同时为矩阵，则返回一错误信息。
A.^B 数组的方幂。
A.^B 为按A 与B 对应的分量进行方幂计算。若A 与B 为同型阵列时，
An*m
..^Bn*m=(aij)n*m
..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再
按对应的分量进行操作。
A' 矩阵的Hermition 转置。
若A 为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则
A (a ) (a ) (x i y ) ij ij ij
'
ji ′ = = = − ∗ 。
A.' 数组转置。
A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。
例3-1
>>syms a b c d e f g h;
>>A = [a b; c d];
>>B = [e f; g h];
>>C1 = A.*B
>>C2 = A.^B
>>C3 = A*B/A
>>C4 = A.*A-A^2
>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;
>>A = [a11 a12; a21 a22];
>>B = [b1 b2];
>>X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B 的解
>>x1 = X(1)
>>x2 = X(2)
计算结果为：
C1 =
[ a*e, b*f]
[ c*g, d*h]
C2 =
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[ a^e, b^f]
[ c^g, d^h]
C3 =
[ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]
[ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]
C4 =
[ -b*c, b^2-a*b-b*d]
[ c^2-a*c-d*c, -b*c]
x1 =
(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)
x2 =
-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
3.2 基本运算
命令 1 合并同类项
函数 collect
格式 R = collect(S) %对于多项式S 中的每一函数，collect(S)按缺省变量x 的次数
合并系数。
R = collect(S,v) %对指定的变量v 计算，操作同上。
例3-2
>>syms x y;
>>R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))
>>R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)
>>R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])
计算结果为：
R1 =
x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)
R2 =
y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
R3 =
[ (y+1)*x+y+1, x+y]
命令2 列空间的基
函数 colspace
格式 B = colspace(A) %返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A 的列向量形成的空间的
坐标基，其中A 可以是符号或数值矩阵。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。
即由A 生成的空间维数等于A 的秩。
例3-3
>>syms a b c
>>A = sym([1,a;2,b;3,c])
>>B = colspace(A)
计算结果为：
A =
[ 1, a]
[ 2, b]
[ 3, c]
B =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
[ -(3*b-2*c)/(-b+2*a), (-c+3*a)/(-b+2*a)]
命令3 复合函数计算
函数 compose
格式 compose(f,g) %返回复合函数f[g(y)]，其中f=f(x)，g=g(y)。其中符号x 为函数
f 中由命令findsym(f) 确定的符号变量，符号y 为函数g 中由命
令findsym(g) 确定的符号变量。
compose(f,g,z) %返回复合函数f[g(z)]，其中f=f(x)，g=g(y)，符号x、y 为函数
f、g 中由命令findsym 确定的符号变量。
compose(f,g,x,z) %返回复合函数f[g(z)]，而令变量x 为函数f 中的自变量f=f(x)。
令x=g(z)，再将x=g(z)代入函数f 中。
compose(f,g,x,y,z) %返回复合函数f[g(z)]。而令变量x 为函数f 中的自变量
f=f(x)，而令变量y 为函数g 中的自变量g=g(y)。令x=g(y)，
再将x=g(y)代入函数f=f(x)中，得f[g(y)]，最后用指定的变
量z 代替变量y，得f[g(z)]。
例3-4
>>syms x y z t u v;
>>f = 1/(1 + x^2*y); h = x^t; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);
>>C1 = compose(f,g) % 令x=g=sin(y)，再替换f 中的变量x=findsym(f)。
>>C2 = compose(f,g,t) % 令x=g=sin(t)，再替换f 中的变量x=findsym(f)。
>>C3 = compose(h,g,x,z) % 令x=g=sin(z)，再替换h 中的变量x。
>>C4 = compose(h,g,t,z) % 令t=g=sin(z)，再替换h 中的变量t。
>>C5 = compose(h,p,x,y,z) % 令x=p(y)=sqrt(-y/u)，替换h 中的变量x，再将y 换成z。
>>C6 = compose(h,p,t,u,z) % 令t=p(u)=sqrt(-y/u)，替换h 中的变量t，再将u 换成z。
计算结果为：
C1 =
1/(1+sin(y)^2*y)
C2 =
1/(1+sin(t)^2*y)
C3 =
sin(z)^t
C4 =
x^sin(z)
C5 =
((-z/u)^(1/2))^t
C6 =
x^((-y/z)^(1/2))
命令4 符号复数的共轭
函数 conj
格式 conj(X) %返回符号复数X 的共轭复数
例3-5
X=real(X) + i*imag(X)，则conj(X)=real(X) - i*imag(X)
命令5 符号复数的实数部分
函数 real
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格式 real(Z) %返回符号复数z 的实数部分
命令6 符号复数的虚数部分
函数 imag
格式 imag(Z) %返回符号复数z 的虚数部分
命令7 余弦函数的整函数
格式 Y = cosint(X) %计算余弦函数在点X 处的整函数值。其中X 可以是数值矩阵，
或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为： dt
t
Y X t Xi
i i ∫ −
= + +
0
γ ln cos 1 ，其中γ 为
Euler 常数，γ =0.57721566490153286060651209… i=1,2,…,size(X)。Euler 常数
可以通过命令vpa('eulergamma')获得。
例3-6
>>cosint(7.2)
>>cosint([0:0.1:1])
>>syms x;
>>f = cosint(x);
>>diff(x)
计算结果为：
ans =
0.0960
ans =
Columns 1 through 7
Inf -1.7279 -1.0422 -0.6492 -0.3788 -0.1778 -0.0223
Columns 8 through 11
0.1005 0.1983 0.2761 0.3374
ans =
1
命令8 设置变量的精度
函数 digits
格式 digits(d) %设置当前的可变算术精度的位数为整数d 位
d = digits %返回当前的可变算术精度位数给d
digits %显示当前可变算术精度的位数
说明 设置有意义的十进制数值的、在Maple 软件中用于做可变算术精度（命令为：vpa）
计算的数字位数。其缺省值为32 位数字。
例3-7
>>z = 1.0e-16 % z 为一很小的数
>>x = 1.0e+2 % x 为较大的数
>>digits(14)
>>y1 = vpa(x*z+1) % 大数1“吃掉”小数x*y
>>digits(15)
>>y2 = vpa(x*z+1) % 防止“去掉”小数x*y
计算结果为：
z =
1.0000e-016
x =
100
y1 =
1.0000000000000
y2 =
1.00000000000001
命令9 将符号转换为MATLAB 的数值形式
函数 double
格式 R = double(S) %将符号对象S 转换为数值对象R。若S 为符号常数或表达式常
数，double 返回S 的双精度浮点数值表示形式；若S 为每一元素
是符号常数或表达式常数的符号矩阵，double 返回S 每一元素的
双精度浮点数值表示的数值矩阵R。
例3-8
>>gold_ratio = double(sym('(sqrt(5)-1)/2')) % 计算黄金分割率。
>>T = sym(hilb(4))
>>R = double(T)
计算结果为：
gold_ratio =
0.6180
T =
[ 1, 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5]
[ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6]
[ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7]
R =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
命令10 符号表达式的展开
函数 expand
格式 R = expand(S) %对符号表达式S 中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通
常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。
例3-9
>>syms x y a b c t
>>E1 = expand((x-2)*(x-4)*(y-t))
>>E2 = expand(cos(x+y))
>>E3 = expand(exp((a+b)^3))
>>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c)))
>>E5 = expand([sin(2*t), cos(2*t)])
计算结果为：
E1 =
x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2 =
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
E3 =
exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)
E4 =
log(a*b/c^(1/2))
E5 =
[ 2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2-1]
命令11 符号因式分解
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函数 factor
格式 factor(X) %参量x 可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。若X 为
一正整数，则factor(X)返回X 的质数分解式。若x 为多项式或整数
矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。若整数阵列中有一元素位数
超过16 位，用户必须用命令sym 生成该元素。
例3-10
>>syms a b x y
>>F1 = factor(x^4-y^4)
>>F2 = factor([a^2-b^2, x^3+y^3])
>>F3 = factor(sym('12345678901234567890'))
计算结果为：
F1 =
(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)
F2 =
[(a-b)*(a+b), (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]
F3 =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
命令12 符号表达式的分子与分母
函数 numden
格式 [N,D] = numden(A)
说明 将符号或数值矩阵A 中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分
子与分母是相对互素的。输出的参量N 为分子的符号矩阵，输出的参量D 为分母的符号矩
阵。
例3-11
>>syms x y a b c d;
>>[n1,d1] = numden(sym(sin(4/5)))
>>[n2,d2] = numden(x/y + y/x)
>>A = [a, 1/b;1/c d];
>>[n3,d3] = numden(A)
计算结果为：
n1 =
6461369247334093
d1 =
9007199254740992
n2 =
x^2+y^2
d2 =
y*x
n3 =
[ a, 1]
[ 1, d]
d3 =
[ 1, b]
[ c, 1]
命令13 搜索符号表达式的最简形式
函数 simple
格式 r = simple(S) %该命令试图找出符号表达式S 的代数上的简单形式，显示任意
的能使表达式S 长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。若
S 为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素
的最简形式。若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用
的算法与表达式，同时返回最短的一个。
[r,how] = simple(S) %没有显示中间的化简结果，但返回能找到的最短的一个。
输出参量r 为一符号，how 为一字符串，用于表示算法。
例3-12
>>syms x
>>R1 = simple(cos(x)^4+sin(x)^4)
>>R2 = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R3 = simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))
>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x))
>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1))
>>R7 = simple(x^3+3*x^2+3*x+1)
>> [R8,how] = simple(cos(3*acos(x)))
计算的结果为：
R1 =
1/4*cos(4*x)+3/4
R2 =
3*cos(x)^2-1
R3 =
cos(2*x)
R4 =
cos(x)+i*sin(x)
R5 =
exp(i*x)
R6 =
x ^3-x
R7 =
(x+1)^3
R8 =
4*x^3-3*x
how =
expand
命令14 符号表达式的化简
函数 simplify
格式 R = simplify(S)
说明 使用Maple 软件中的化简规则，将化简符号矩阵S 中每一元素。
例3-13
>>syms x a b c
>>R1 = simplify(sin(x)^4 + cos(x)^4)
>>R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))
>>S = [(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];
>>R3 = simplify(S)
计算结果为：
R1 =
2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2
R2 =
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(a+b)^(1/2*c)
R3 =
[ x+3, 4]
命令15 符号矩阵的维数
函数 size
格式 d = size(A) %若A 为m*n 阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]。
[m,n] = size(A) %分别返回矩阵A 的行数于m，列数于n。
d= size(A, n) %返回由标量n 指定的A 的方向的维数：n=1 为行方向，n=2
为列方向。
例3-14
>>syms a b c d
>>A = [a b c ; a b d; d c b; c b a];
>>d = size(A)
>>r = size(A, 2)
计算结果为：
d =
4 3
r =
3
命令16 代数方程的符号解析解
函数 solve
格式 g = solve(eq) %输入参量eq 可以是符号表达式或字符串。若eq 是一符号表达
式x^2 -2*x-1 或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’，则solve(eq)对方程eq 中的
缺省变量(由命令findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。若输出参量g 为单
一变量，则对于有多重解的非线性方程，g 为一行向量。
g = solve(eq,var) %对符号表达式或没有等号的字符串eq 中指定的变量var 求
解方程eq(var)=0。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn) %输入参量eq1,eq2,…,eqn 可以是符号表达式或字符
串。该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn 中由命令findsym 确定的n 个变量如
x1,x2,…,xn 求解。若g 为一单个变量，则g 为一包含n 个解的结构；若g 为
有n 个变量的向量，则分别返回结果给相应的变量。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn) %对方程组eq1,eq2,…,eqn 中指定的
n 个变量如var1,var2,…,varn 求解。
注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。
例3-15
>>solve('a*x^2 + b*x + c')
>>solve('a*x^2 + b*x + c','b')
>>solve('x + y = 1','x - 11*y = 5')
>>A = solve('a*u^2 + v^2', 'u - v = 1', 'a^2 - 5*a +6')
计算结果为：
ans =
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
ans =
-(a*x^2+c)/x
ans =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
A =
a: [4x1 sym]
u: [4x1 sym]
v: [4x1 sym]
命令17 以共同的子表达式形式重写一符号表达式
函数 subexpr
格式 [Y,SIGMA] = subexpr(X,SIGMA)
[Y,SIGMA] = subexpr(X,'SIGMA')
说明 找出符号表达式 X 中相同的子表达式，再结合命令pretty(X)将X 中相同的、比
较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。而用命令pretty(Y)将X 中相同的、比较复杂的子
字符串用符号SIGMA 代替。
例3-16
>>t = solve('a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0');
>> [r,s] = subexpr(t,'s');
>>pretty(t)
>>pretty(r)
计算结果为：（略）
命令18 特征多项式
函数 poly
格式 p = poly(A)或p = poly(A, v)
说明 若A 为一数值阵列，则返回矩阵A 的特征多项式的系数，且有：命令poly(sym(A))
近似等于poly2sym(poly(A))。其近似程度取决于舍入误差的大小。若A 为一符号矩阵，则
返回矩阵A 的变量为x 的特征多项式。若带上参量v，则返回变量为v 的特征多项式。
例3-17
>>A = hilb(4);
>>p = poly(A)
>>q = poly(sym(A))
>>s = poly(sym(A),z)
计算结果为：
p =
1.0000 -1.6762 0.2652 -0.0017 0.0000
q =
x^4-176/105*x^3+3341/12600*x^2-41/23625*x+1/6048000
s =
-176/105*z^3+3341/12600*z^2-41/23625*z+1/6048000+z^4
命令19 将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式
函数 poly2sym
格式 r = poly2sym(c)和r = poly2sym(c, v)
说明 将系数在数值向量c 中的多项式转化成相应的带符号变量的多项式（按次数的降
幂排列）。缺省的符号变量为x；
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若带上参量v，则符号变量用v 显示。poly2sym 使用命令sym 的缺省转换模式（有理形
式）将数值型系数转换为符号常数。该模式将数值转换成接近的整数比值的表达式，否则用
2 的幂指数表示。若x 有一数值值，且命令sym 能将c 的元素精确表示，则eval(poly2sym(c))
的结果与polyval(c,x)相同。
例3-18
>>r1 = poly2sym([1 2 3 4])
>>r2 = poly2sym([.694228, sqrt(2), sin(pi/3)])
>>r3 = poly2sym([1 0 1 -1 2], y)
计算结果为：
r1 =
x^3+2*x^2+3*x+4
r2 =
6253049924220329/9007199254740992*x^2+x*2^(1/2)+1/2*3^(1/2)
r3 =
y^4+y^2-y+2
命令20 将复杂的符号表达式显示成我们习惯的数学书写形式
函数 pretty
格式 pretty(S) %用缺省的线型宽度79 显示符号矩阵s 中每一元素
pretty(S,n) %用指定的线型宽度n 显示
例3-19
>>A = sym(pascal(3));
>>B = eig(A)
>>pretty(B,50) % 多看几次结果，会发现该命令显示的特点
>>syms x
>>y=log(x)/sqrt(x);
>>dy = diff(y)
>>pretty(dy)
计算结果为：
B =
[ 1]
[ 4+15^(1/2)]
[ 4 -15^(1/2)]
[ 1 ]
[ ]
[ 1/2]
[4 + 15 ]
[ ]
[ 1/2]
[4 - 15 ]
dy =
1/x^(3/2)-1/2*log(x)/x^(3/2)
1 log(x~)
---- - 1/2 -------
3/2 3/2
x~ x~
命令21 从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量
函数 findsym
格式 r = findsym(S) %以字母表的顺序返回表达式S 中的所有符号变量（注：符号
变量为由字母（除了i 与j）与数字构成的、字母打头的字符串）。若S 中没
有任何的符号变量，则findsym 返回一空字符串。
r = findsym(S,n) %返回字母表中接近x 的n 个符号变量
例3-20
>>syms a x y z t alpha beta
>>1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta))
>>S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)
>>S3 = findsym(a+y,pi)
计算结果为；
S1 =
pi, alpha, beta, t
S2 =
NaN, x, y, z
S3 =
a, y
命令22 函数的反函数
函数 finverse
格式 g = finverse(f) %返回函数f 的反函数。其中f为单值的一元数学函数，如f=f(x)。
若f 的反函数存在，设为g，则有g[f(x)] = x。
g = finverse(f,u) %若符号函数f 中有几个符号变量时，对指定的符号自变量v
计算其反函数。若其反函数存在，设为g，则有g[f(v)] = v。
例3-21
>>syms x p q u v;
>>V1 = finverse(1/((x^2+p)*(x^2+q)))
>>V2 = finverse(exp(u-2*v),u)
计算结果为：
Warning: finverse(1/(x^2+p)/(x^2+q)) is not unique.
> In D:MATLABR12toolboxsymbolic@symfinverse.m at line 43
V1 =
1/2/x*2^(1/2)*(x*(-x*q-x*p+(x^2*q^2-2*x^2*q*p+x^2*p^2+4*x)^(1/2)))^(1/2)
V2 =
2*v+log(u)
命令23 嵌套形式的多项式的表达式
函数 horner
格式 R = horner(P) %若P 为一符号多项式的矩阵，该命令将矩阵的每一元素转换成
嵌套形式的表达式R。
例3-22
>>syms x y
>>H1 = horner(2*x^4-6*x^3+9*x^2-6*x-4)
>>H2 = horner([x^2+x*y;y^3-2*y])
计算结果为：
H1 =
-4+(-6+(9+(-6+2*x)*x)*x)*x
H2 =
[ x^2+x*y]
[ (-2+y^2)*y]
命令24 符号表达式求和
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函数 symsum
格式 r = symsum(s) %对符号表达式s 中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）
从0 到k-1 求和
r = symsum(s,v) %对符号表达式s 中指定的符号变量v 从0 到v-1 求和
r = symsum(s,a,b) %对符号表达式s 中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）
从a 到b 求和
r = symsum(s,v,a,b) %对符号表达式s 中指定的符号变量v 从a 到b 求和
例3-23
>>syms k n x
>>r1 = symsum(k^3)
>>r2 = symsum(k^2-k)
>>r3 = symsum(sin(k*pi)/k,0,n)
>>r4 = symsum(k^2,0,10)
>>r5 = symsum(x^k/sym('k!'), k, 0,inf) %为使k!通过MATLAB 表达式的检验，必须把它作为一符
号表达式。
计算结果为：
r1 =
1/4*k^4-1/2*k^3+1/4*k^2
r2 =
1/3*k^3-k^2+2/3*k
r3 =
-1/2*sin(k*(n+1))/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))-1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)
r4 =
385
r5 =
exp(x)
命令25 广义超几何函数
函数 hypergeom
格式 hypergeom(n, d, z) %该命令为广义超几何函数F(n,d,z)，即已知的Barnes 扩展
超几何函数，记做jFk，其中j=length(n)，k=length(d)。对于
标量a,b 与c，hypergeom([a,b],c, z)为Gauss 超几何函数
2F1(a,b;c,z)。
说明 超几何函数的定义为： Σ
∞
=
= ∗
k 1
k
d,k
n,k
k!
z
C
C ) z , d , n ( F ， 其中Π=
Γ
Γ +
=
v
j 1 j
j
v,k (v )
C (v k)
例3-24
>>syms a z n
>>H1 = hypergeom([],[],z)
>>H2 = hypergeom(1,[],z)
>>H3 = hypergeom(1,2,'z')
>>H4 = hypergeom([1,2],[2,3],'z')
>>H5 = hypergeom(a,[],z)
>>H6 = hypergeom([],1,-z^2/4)
>>H7 = hypergeom([-n, n],1/2,(1-z)/2)
计算结果为：
H1 =
exp(z)
H2 =
-1/(-1+z)
H3 =
(exp(z)-1)/z
H4 =
-2*(-exp(z)+1+z)/z^2
H5 =
(1-z)^(-a)
H6 =
besselj(0,z)
H7 =
hypergeom([n, -n],[1/2],1/2-1/2*z)
3.2.1 函数计算器
函数 funtool
格式 funtool %该命令将生成三个图形窗口，Figure No.1 用于显示函数f 的图形，
Figure No.2 用于显示函数g 的图形，Figure No.3 为一可视化的、可操
作与显示一元函数的计算器界面。在该界面上由许多按钮，可以显示
两个由用户输入的函数的计算结果：加、乘、微分等。funtool 还有一
函数存储器，允许用户将函数存入，以便后面调用。在开始时，funtool
显示两个函数f(x) = x 与g(x) = 1 在区间[-2*pi, 2*pi]上的图形。Funtool
同时在下面显示一控制面板，允许用户对函数f、g 进行保存、更正、
重新输入、联合与转换等操作。
输入命令funtool 后，生成的界面如下：
图3-1 函数工具funtool 界面
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图3-2 函数f 的图形 图3-3 函数g 的图形
说明 文本输入框区域：控制面板的上面几行，可以输入文本；
f = ：显示代表函数f 的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义f，再按回
车键即可在Figure No.1 中画出图形；
g = ：显示代表函数g 的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义g，再按
回车键即可在Figure No.2 中画出g 图形；
x = ：显示用于画函数f 与g 的区间。可在该行输入其他的不同区间，再按回车键即可
改变Figure No.1 与Figure No.2 中的区间；
a = ：显示一用于改变函数f 的常量因子(见下面的操作按钮)。可在该行输入不同的常
数。
控制按钮区域：该区域有一些按钮，按下它们将对函数f 转换成不同的形式与执行不同
的操作。
df/dx：函数f 的导数；
int f：函数f 的积分(没有常数的一个原函数)，当函数f 的原函数不能用初等函数表示时，
操作可能失败；
simple f：化简函数f（若有可能）；
num f：函数f 的分子；
den f：函数f 的分母；
1/f：函数f 的倒数；
finv：函数f 的反函数，若函数f 的反函数不存在，操作可能失败；
f+a：用f(x)+a 代替函数f(x)；
f-a：用f(x)-a 代替函数f(x)；
f*a：用f(x)+a 代替函数f(x)；
f/a：用f(x)/a 代替函数f(x)；
f^a：用f(x)^a 代替函数f(x)；
f(x+a)：用f(x+a)代替函数f(x)；
f(x*a)：用f(x-a)代替函数f(x)；
f+g：用f(x)+g(x)代替函数f(x)；
f-g：用f(x)-g(x)代替函数f(x)；
f*g：用f(x)*g(x)代替函数f(x)；
f/g：用f(x)/g(x)代替函数f(x)；
g=f：用函数f(x)代替函数g(x)；
swap：函数f(x)与g(x)互换；
Insert：将函数f(x)保存到函数内存列表中的最后；
Cycle：用内存函数列表中的第二项代替函数f(x)；
Delete：从内存函数列表中删除函数f(x)；
Reset：重新设置计算器为初始状态；
Help：显示在线的关于计算器的帮助；
Demo：运行该计算器的演示程序；
Close：关闭计算器的三个窗口。
3.2.2 微积分
命令 1 极限
函数 limit
格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→a 时。
limit(F,a) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x，再计算F 的
极限值，当x→a 时。
limit(F) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x，再计算F 的
极限值，当x→0 时。
limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F 的单侧极限：左极限x→
a- 或右极限x→a+。
例3-25
>>syms x a t h n;
>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)
>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')
>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')
>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)
>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];
>>L5 = limit(v,x,inf,'left')
>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)
计算结果为：
L1 =
0
L2 =
inf
L3 =
-inf
L4 =
1/x
L5 =
[ exp(a), 0]
L6 =
exp(6)
命令2 导数（包括偏导数）
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函数 diff
格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v')) %对表达式S 中指定符号变量v 计算S 的1 阶导数。
diff(S) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的1 阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,n) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的n 阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,'v',n) %对表达式S 中指定的符号变量v 计算S 的n 阶导数。
例3-26
>>syms x y t
>>D1 = diff(sin(x^2)*y^2,2) %计算2 2
2
2 y sin x
∂x
∂
>>D2 = diff(D1,y) %计算?? ?
?? ?
∂
∂
∂
∂ 2 2
2
2 y sin x
y x
>>D3 = diff(t^6,6)
计算结果为：
D1 =
-4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2
D2 =
-8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y
D3 =
720
命令3 符号函数的积分
函数 int
格式 R = int(S,v) %对符号表达式S 中指定的符号变量v 计算不定积分。注意的是，
表达式R 只是函数S 的一个原函数，后面没有带任意常数C。
R = int(S) %对符号表达式S 中的符号变量v 计算不定积分，其中v=findsym(S)。
R = int(S,v,a,b) %对表达式s 中指定的符号变量v 计算从a 到b 的定积分
R = int(S,a,b) %对符号表达式s 中的符号变量v 计算从a 到b 的定积分，其
中v=findsym(S)。
例3-27
>>syms x z t alpha
>>INT1 = int(-2*x/(1+x^3)^2)
>>INT2 = int(x/(1+z^2),z)
>>INT3 = int(INT2,x)
>>INT4 = int(x*log(1+x),0,1)
>>INT5 = int(2*x, sin(t), 1)
>>INT6 = int([exp(t),exp(alpha*t)])
计算结果为：
INT1 =
-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x^2-x+1)-2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*…
3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)
INT2 =
x*atan(z)
INT3 =
1/2*x^2*atan(z)
INT4 =
1/4
INT5 =
1-sin(t)^2
INT6 =
[ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
命令4 常微分方程的符号解
函数 dsolve
格式 r = dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')
说明 对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,…中指定的符号自变量v，与给定的边界条件
和初始条件cond1,cond2,….求符号解（即解析解）r；若没有指定变量v，则缺省变量为t；
在微分方程（组）的表达式eq 中，大写字母D 表示对自变量(设为x)的微分算子：D=d/dx，
D2=d2/dx2，…。微分算子D 后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。初始和边
界条件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分别表示y(x) b x a = = ，
y (x) d x c ′ = = ，y (x) f x e ′′ = = ；若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r 中会出
现任意常数C1，C2，…；dsolve 命令最多可以接受12 个输入参量（包括方程组与定解条件
个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12 个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。
若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信
息，同时返回一空的sym 对象。这时，用户可以用命令ode23 或ode45 求解方程组的数值解。
例3-28
>>D1 = dsolve('D2y – Dy =exp(x)')
>>D2 = dsolve('t*D2f = Df*log((Dy)/t)')
>>D3 = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','s')
>>D4 = dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b') % 带一个定解条件
>>D5 = dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0') % 带两个定解条件
>>[x,y] = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') % 求解线性微分方程组
>>[u,v] = dsolve(‘Du=u+v,Dv=u-v’)
计算结果为：
D1 =
-exp(x)*t+C1+C2*exp(t)
D2 =
y(t)=Int(exp(t*diff(f(t),`$`(t,2))/diff(f(t),t))*t,t)+C1
D3 =
[ -1]
[ 1]
[ sin(s-C1)]
[ -sin(s-C1)]
D4 =
b*exp(a*t)
D5 =
cos(a*t)
x =
cos(t)*C1+sin(t)*C2
y =
-sin(t)*C1+cos(t)*C2
u =
1/2*C1*exp(2^(1/2)*t) - 1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C1*2^(1/2) *exp (2^(1/2)*t) +
1/2*C1*exp(-2^(1/2)*t) - 1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C2 *2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)
v =
-1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)+1/4*C1*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/2*C2*exp
(2^(1/2)*t)+1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*C2*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+
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1/2*C2*exp(-2^(1/2)*t)
3.2.3 符号函数的作图
命令 1 画符号函数的等高线图
函数 ezcontour
格式 ezcontour(f) %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图。函数f 将被显示于缺省
的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动
的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f 在某些栅格点上
没有定义，则这些点将不显示。
ezcontour(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)，参量
domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向
量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezcontour(…,n) %用指定n*n 个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若
没有指定）的区域内画出函数f 的图形。n 的缺省值为60。
说明 该命令用函数表达式作为标题显示，同时显示坐标轴的恰当的刻度标签。
例3-29
>>syms x y
>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);
ezcontour(f,[-3,3],49)
图形结果为图3-4。
命令2 用不同颜色填充的等高线图
函数 ezcontourf
格式 ezcontourf(f) %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图，且在不同的等高线之间
自动用不同的颜色进行填充。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π
<x<2π,-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动激烈程度自动选择相应
的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezcontourf(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)的等高线
图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。定义域
domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]
（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezcontourf(…,n) %用指定n*n 个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若
没有指定）的区域内画出函数f 的等高线图，且在不同的等高线之间
自动用不同的颜色进行填充。n 的缺省值为60。
例3-30
>>syms x y
>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);
ezcontourf(f,[-3,3],64)
图形结果为图3-5。
图3-4 等高线图 图3-5 等高线填充图
命令3 符号函数的三维网格图
函数 ezmesh
格式 ezmesh(f) %画出二元数学符号函数f=f(x,y)的网格图。函数f 将显示于缺省的
平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激
烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f 在某些栅格点上没有定
义，则这些点将不显示。
ezmesh(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)的网格图，
定义域domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量
[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezmesh(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画参数
形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) %在指定的矩形定义域范围[smin<s<smax，
min<t<tmax]内画参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函
数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(x,y,z,[min,max]) %用指定的矩形定义域[min<x<max,min<y<max]画出
函数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(f,…,n) %用指定n*n 个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出
函数f 网的图形。n 的缺省值为60。
ezmesh(…,'circ') %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函数
f 的网格图形。
例3-31
>>syms x y
>>ezmesh(x*sin(-x^2-y^2),40,’circ’)
>>colormap [0 0 1]
图形结果为：（图3-6）
命令4 同时画出曲面网格图与等高线图
函数 ezmeshc
格式 ezmeshc(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的网格图形，同时在xy 平面上显
示其等高线图。函数f 将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π,-2
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π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计
算栅格。若函数f 在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezmeshc(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)的网格图及
其等高线图，domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二
维向量[min,max](其中显示区域为：min<x<max，min<y<max)。
ezmeshc(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画出参
数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图
形与其等高线图。
ezmeshc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) % 在指定的矩形定义域范围
[smin<s<smax，tmin<t<tmax]内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、
z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图形与其等高线图。
ezsurfc(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义域[min<x<max,min<y<max]画出函数
z=f(x,y)的网格图与等高线图。
ezmeshc(f,…,n) %用指定n*n 个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出
函数f 的网格图形与等高线图。n 的缺省值为60。
ezmeshc(…,'circ') %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函
数f 的网格图形及其等高线图。
例3-32
>>syms x y
>>ezmeshc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35)
图形结果为图3-7。
图3-6 三维网格图 图3-7 网格等高线图
命令5 画符号函数的图形
函数 ezplot
格式 ezplot(f) %对于显式函数f=f(x)，在缺省的范围[-π<x<π]上画函数f(x)；对于
隐函数f=f(x,y)，在缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]上画函
数f(x,y)的图形。
ezplot(f,[min,max]) %在指定的范围[min<x<max]内画函数表达式f=f(x)。若没
有图形窗口存在，则该命令先生成标题为Figure No.1 的新窗口，再
在该窗口中操作；若已经有图形窗口存在，则在标号最高的图形窗口
中进行操作。
ezplot(f,[xmin xmax],fign) %在指定标号fign 的窗口中、指定的范围[xmin xmax]
内画出函数f=f(x)的图形。
ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) %在平面矩形区域[xmin<x<xmax, ymin<y
<ymax]上画出函数f(x,y)=0 的图形。
ezplot(x,y) %在缺省的范围0<t<2π内画参数形式函数x=x(t)与y=y(t)的图形。
ezplot(x,y,[tmin,tmax]) %在指定的范围[tmin < t < tmax]内画参数形式函数
x=x(t)与y=y(t)的图形。
ezplot(…,figure) %在由参量figure 句柄指定的图形窗口中画函数图形。
例3-33
>>syms x y
>>ezplot(x^6-y^2)
图形结果为图3-8。
例3-34
>>syms x
>>ezplot(exp(x)*sin(x)/x)
>>grid on
图形结果为图3-9。
命令6 三维参量曲线图
函数 ezplot3
格式 ezplot3(x,y,z) %在缺省的范围0<t<2π内画空间参数形式的曲线x=x(t)、y=y(t)
与z=z(t)的图形。
ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax]) %在指定的范围tmin < t < tmax.内画空间参数形式的
曲线x=x(t)、y=y(t)与z=z(t)的图形。
ezplot3(…,'animate') %以动画形式画出空间三维曲线。
图3-8 隐函数图 图3-9 显函数图
例3-35
>>syms t;
>>ezplot3(t*sin(t), t*cos(t), t,[0,20*pi])
图形结果为图3-10。
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命令7 画极坐标图形
函数 ezpolar
格式 ezpolar(f) %在缺省的范围0<theta<2π内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且
将函数关系式显示于图形下方。
ezpolar(f,[a,b]) %在指定的范围a<theta<b 内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。
且将函数关系式显示于图形下方。
例3-36
>>syms t
>>ezpolar(1+cos(5*t))
图形结果为图3-11。
图3-10 三维曲线图 图3-11 极坐标图
命令8 三维带颜色的曲面图
函数 ezsurf
格式 ezsurf(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形。函数f 将显示于缺省的
平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数的变动程度自动
选择相应的计算栅格。若函数f 在栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezsurf(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)的曲面图形，
domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]，或者是二维向量[min,max]
(其中有min<x<max，min<y<max)。
ezsurf(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数形
式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形。
ezsurf(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurf(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义域
画出参数形式的曲面图形
ezsurf(…,n) %用指定n*n 个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函
数f 的图形，n 的缺省值为60。
ezsurf(…,'circ') %在一圆形中心位于定义域在中心的范围内画出函数f 的曲面
图形
例3-37
>>syms x y
>>ezsurf(real(atan(x+i*y)))
图形结果为图3-12。
命令9 同时画出曲面图与等高线图
函数 ezsurfc
格式 ezsurfc(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形与其等高线图。函数f
将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根
据函数的变动程度自动选择相应的计算栅格。若函数f 在栅格点上
没有定义，则这些点将不显示。
ezsurfc(f,domain) %在指定的定义域domain 内画出二元函数f(x,y)的曲面图形
及其等高线图，domain 可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或
二维向量[min,max](其中有min<x<max，min<y<max)。
ezsurfc(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数
形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形与等高线图。
ezsurfc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurfc(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义
域画出参数形式的曲面图形与等高线图
ezsurfc(…,n) %用指定n*n 个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函
数f 的曲面图形与等高线图，n 的缺省值为60。
ezsurfc(…,'circ') 在一圆形中心位于定义域的中心范围内画出函数f 的曲面图
形与等高线图
例3-38
>>syms x y
>>ezsurfc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35,’circ’)
图形结果为图3-13。
图3-12 三维曲面图 图3-13 三维曲面等高线图
3.2.4 积分变换
命令 1 Fourier 积分变换
函数 fourier
格式 F = fourier(f)
说明 对符号单值函数f 中的缺省变量x（由命令findsym 确定）计算Fourier 变换形式。
缺省的输出结果F 是变量w 的函数： ∫∞
−∞
f = f (x)⇒ F = F(w) = f (x)e−iwxdx
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若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t 的函数：F= F(t)。
F = fourier(f,v) 对符号单值函数f 中的指定变量v 计算Fourier 变换形式：
∫∞
−∞
f = f (⊕)⇒ F = F(v) = f (x)e−ivxdx
F = fourier(f,u,v) 令符号函数f 为变量u 的函数， 而F 为变量v 的函数：
∫∞
−∞
f = f (⊕)⇒ F = F(v) = f (u)e−ivudx
例3-39
>>syms x w u v
>>f = sin(x)*exp(-x^2); F1 = fourier(f)
>>g = log(abs(w)); F2 = fourier(g)
>>h = x*exp(-abs(x)); F3 = fourier(h,u)
>>syms x real
>>k = cosh(-x^2*abs(v))*sinh(u)/v
>>F4 = fourier(k,v,u)
计算结果为：
F1 =
-1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w-1)^2)+1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w+1)^2)
F2 =
fourier(log(abs(w)),w,t)
F3 =
-4*i/(1+u^2)^2*u
F4 =
sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x^2*abs(v)),v,u)-i*atan(u/x^2))
命令2 逆Fourier 积分变换
函数 ifourier
格式 f = ifourier(F)
说明 输出参量f = f(x)为缺省变量w 的标量符号对象F 的逆Fourier 积分变换。即：F =
F(w) → f = f(x)。若F = F(x)，ifourier(F)返回变量t 的函数：即：F = F(x) → f = f(t)。逆Fourier
积分变换定义为： ∫∞
−∞
= F(w)e dw
2π
f(x) 1 iwx
f = ifourier(F,u) 使函数f 为变量u（u 为标量符号对象）的函数： ∫∞
−∞
= F(w)e dw
2π
f(u) 1 iwu
f = ifourier(F,v,u) 使F 为变量v 的函数，f 为变量u 的函数： ∫∞
−∞
= F(v)e dv
2π
f(u) 1 iwu
例3-40
>>syms w v x t
>>syms a real
>>f = sqrt(exp(-w^2/(4*a^2)));
>>IF1 = ifourier(f)
>>g = exp(-abs(x));
>>IF2 = ifourier(g)
>>h = sinh(-abs(w)) – 1;
>>IF3 = simple(ifourier(h,t))
>>syms w real
>>k = exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;
>>IF4 = ifourier(k,v,t)
计算结果为：
IF1 =
ifourier(exp(-1/4*w^2/a^2)^(1/2),w,x)
IF2 =
1/(1+t^2)/pi
IF3 =
-1/2*(pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)+pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)*t^2-…
1+2*pi*Dirac(t))/(1+t^2)/pi
IF4 =
1/2*(atan((t+1)/w^2)-atan((t-1)/w^2))/pi
命令3 Laplace 变换
函数 laplace
格式 L = laplace(F)
说明 输出参量L = L(s)为有缺省符号自变量t 的标量符号对象F 的Laplace 变换。即：
F = F(t) → L = L(s)。若F = F(s)，则fourier(F)返回变量为t 的函数L。
即：F = F(s) → L = L(t)。Laplace 变换定义为： = ∫∞ −
0
L(s) F(t)e stdt
laplace(F,t) 使函数L 为变量t（t 为标量符号自变量）的函数： ∫∞ =
0
L(s) F(x)e-txdx
fourier(F,w,z) 使L 为变量z 的函数，F 为变量w 的函数： ∫= ∞ −
0
L(z) F(w)e zwdw
例3-41
>>syms x s t v
>>f1= sqrt(t);
>>L1 = laplace(f)
>>f2 = 1/sqrt(s);
>>L2 = laplace(f2)
>>f3 = exp(-a*t);
>>L3 = laplace(f3,x)
>>f4 = 1 - sin(t*v);
>>L4 = laplace(f4,v,x)
计算结果为：
L1 =
1/(s-1/s^2)
L2 =
(pi/t)^(1/2)
L3 =
1/(x+a)
L4 =
1/x-t/(x^2+t^2)
命令4 逆Laplace 变换
函数 ilaplace
格式 F = ilaplace(L)
说明 输出参量F = F(t)为缺省变量s 的标量符号对象L 的逆Laplace 变换
即：F = F(w) → f = f(x)。若L = L(t)，则ifourier(L)返回变量为x 的函数F。即：F = F(x)
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→ f = f(t)。逆Laplace 变换定义为： ∫ + ∞
− ∞
=
c i
c i
F(t) L(s)estdt
其中c 为使函数L(s)的所有的奇点位于直线s = c 左边的实数。
F = ilaplace(L,y) 使函数F 为变量y（y 为标量符号对象）的函数： ∫ + ∞
− ∞
=
c i
c i
F(y) L(y)esyds
F = ilaplace(L,y,x) 使F 为变量x 的函数，L 为变量y 的函数： ∫ + ∞
− ∞
=
c i
c i
F(x) L(y)exydy
例3-42
>>syms a s t u v x
>>f = exp(x/s^2);
>>IL1 = ilaplace(f)
>>g = 1/(t-a)^2;
>>IL2 = ilaplace(g)
>>k = 1/(u^2-a^2);
>>IL3 = ilaplace(k,x)
>>y = s^3*v/(s^2+v^2);
>>IL4 = ilaplace(y,v,x)
计算结果为：
IL1 =
ilaplace(exp(x/s^2),s,t)
IL2 =
x*exp(a*x)
IL3 =
1/(-a^2)^(1/2)*sin((-a^2)^(1/2)*x)
IL4 =
s^3*cos((s^2)^(1/2)*x)
命令5 Riemann ζ-函数
函数 zeta
格式 Y = zeta(X) %计算数值矩阵、或符号矩阵参量x 中每一元素的ζ-函数值。ζ-
函数定义为： Σ
∞
=
ζ =
k 1
kw
(w) 1
Y = zeta(n, X) %返回ζ(X)函数的n 阶导数
例3-43
>>syms x y
>>Y1 = zeta(1.5)
>>Y2 = zeta(1.2:0.1:2.1)
>>Y3 = zeta([x 2;4 x+y])
>>DZ = diff(zeta(x),x,3)
计算结果为：
Y1 =
2.6124
Y2 =
Columns 1 through 7
5.5916 3.9319 3.1055 2.6124 2.2858 2.0543 1.8822
Columns 8 through 10
1.7497 1.6449 1.5602
Y3 =
[ zeta(x,2), zeta(2,2)]
[ zeta(4,2), zeta(x+y,2)]
DZ =
zeta(3,x)
命令6 z-变换
函数 ztrans
格式 F = ztrans(f) %对缺省自变量为n（就像由命令findsym 确定的一样）的单值函
数f计算z-变换。输出参量F为变量z 的函数：f = f(n) → F = F(z)。
函数f 的z-变换定义为： Σ∞
=
=
n 0
zn
F(z) f (n)
若函数f = f (z)，则ztrans(f)返回一变量为w 的函数：f = f(z) → F = F(w)
F = ztrans(f,w) %用符号变量w 代替缺省的z 作为函数F 的自变量
Σ∞
=
=
n 0
wn
F(w) f (n)
F = ztrans(f,k,w) %对函数f 中指定的符号变量k 计算z-变换： Σ∞
=
=
n 0
wn
F(w) f (k)
例3-44
>>syms a k w x n z
>>f1 = n^4;
>>ZF1 = ztrans(f)
>>f2 = a^z;
>>ZF2 = ztrans(g)
>>f3 = sin(a*n);
>>ZF3 = ztrans(f,w)
>>f4 = exp(k*n^2)*cos(k*n);
>>ZF4 = ztrans(f,k,x)
计算结果为：
ZF1 =
z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5
ZF2 =
w/a/(w/a-1)
ZF3 =
-w*sin(a)/(-w^2+2*w*cos(a)-1)
ZF5 =
(x/exp(n^2)-cos(n))*x/exp(n^2)/(x^2/exp(n^2)^2-2*x/exp(n^2)*cos(n)+1)
命令7 逆z-变换
函数 iztrans
格式 f = iztrans(F)
说明 输出参量f = f(n)为有缺省变量z 的单值符号函数F 的逆z-变换。即：F = F(z) →
f = f(n)。若F = F(n)，则iztrans(F)返回变量为k 的函数f(k)。
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即：F = F(n) → f = f(k)。逆z-变换定义为： ∫
=
= −
z R
F z z n dz
i
f n ( ) 1
2
( ) 1
π
，n =1,2,3,…
其中R 为一正实数，它使函数F(z)在圆域之外 |z|≥R 是解析的。
f = iztrans(F,k) 使函数f 为变量k（k 为标量符号对象）的函数f(k)：
∫
=
−
π
=
z R
F(z)zk 1dz
2 i
f (k) 1 ，k=1,2,3,…
f = iztrans(F,w,k) 使函数F 为变量w 的函数，f 为变量k 的函数：
∫
=
−
π
=
w R
F(w)wk 1dw
2 i
f (k) 1 ，k=1,2,3,…
例3-45
>>syms a n k x z
>>f1= 2*z/(z^2+2)^2;
>>IZ1 = iztrans(f1)
>>f2 = n/(n+1);
>>IZ2 = iztrans(f2)
>>f3 = z/sqrt(z-a);
>>IZ3 = iztrans(f3,k)
>>f4 = exp(z)/(x^2-2*x*exp(z));
>>IZ4 = iztrans(f4,x,k)
计算结果为：
IZ1 =
-1/8*sum(1/_alpha*(1/_alpha)^n,_alpha
IZ2 =
(-1)^k
IZ3 =
iztrans(z/(z-a)^(1/2),z,k)
IZ4 =
1/4*(-charfcn[0](k)-2*charfcn[1](k)*exp(z)+2^k*exp(z)^k)/exp(z)
3.2.5 Taylor 级数
命令 1 符号函数的Taylor 级数展开式
函数 taylor
格式 r = taylor(f,n,v) %返回符号表达式f 中的、指定的符号自变量v（若表达式f 中
有多个变量时）的n-1 阶的Maclaurin 多项式（即在零点附近
v=0）近似式，其中v 可以是字符串或符号变量。
r = taylor(f) %返回符号表达式f 中的、符号变量v 的6 阶的Maclaurin 多项
式（即在零点附近v=0）近似式，其中v=findsym(f)。
r = taylor(f,n,v,a) %返回符号表达式f 中的、指定的符号自变量v 的n-1 阶的
Taylor 级数（在指定的a 点附近v=a）的展开式。其中a 可以
是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量。我们指
出的是，用户可以以任意的次序输入参量n、v 与a，命令taylor
能从它们的位置与类型确定它们的目的。解析函数f(x)在点
x=a 的Taylor 级数定义为： n
n 0
(n)
n! (x a)
) a ( f ) x ( f − =Σ
∞
=
例3-46
>>syms x y a pi m m1 m2
>>f = sin(x+pi/3);
>>T1 = taylor(f)
>>T2 = taylor(f,9)
>>T3 = taylor(f,a)
>>T4 = taylor(f,m1,m2)
>>T5 = taylor(f,m,a)
>>T6 = taylor(f,y)
>>T7 = taylor(f,y,m) % 或taylor(f,m,y)
>>T8 = taylor(f,m,y,a)
>>T9 = taylor(f,y,a)
计算结果为：
T1 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5
T2 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5-1/1440*3^(1/2)*
x^6-1/10080*x^7+1/80640*3^(1/2)*x^8
T3 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*
(x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T4 =
sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^2-1/6*
cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^3+1/24*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^4+1/120*
cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^5
T5 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*
(x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T6 =
sin(y+1/3*pi)+cos(y+1/3*pi)*(x-y)-1/2*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^2-1/6*cos(y+1/3*pi)
*(x-y)^3+1/24*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^4+1/120*cos(y+1/3*pi)*(x-y)^5
T7 =
sin(m+1/3*pi)+cos(m+1/3*pi)*(x-m)-1/2*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^2-1/6*cos(m+1/3*pi)
*(x-m)^3+1/24*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^4+1/120*cos(m+1/3*pi)*(x-m)^5
T8 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*
(x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T9 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*
(x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
命令2 Taylor 级数计算器
函数 taylortool
格式 taylortool %该命令生成一图形用户界面，显示缺省函数f=x*cos(x)在区间
[-2*pi，2*pi]内的图形，同时显示函数f 的前N=7 项的Taylor 多项式级
数和(在a=0 附近的)图形，如图1。通过更改f(x)项可得不同的函数图形。
taylortool('f') %对指定的函数f，用图形用户界面显示出Taylor 展开式。（图3-14）
例3-47
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>>taylortool('sin(x*sin(x))')
再通过改变相关的参量，可得如图3-15。
图3-14 Taylor 级数计算器 图3-15 函数sin(x*sin(x))的taylortool 界面
3.2.6 其它
命令 1 Jacobian 矩阵
函数 jacobian
格式 R = jacobian(w,v)
说明 计算w 对v 的Jacobian 矩阵。其中w 为符号单值函数表达式或符号列向量，v
为一符号行向量。输出参量R=（rij）的元素rij 为：
v( j)
r w(i) ij ∂
∂
= ，i=1,2,…,size(w)，
j=1,2,…,length(v)
例3-48
>>syms x y z u v w
>>w = [x*y*z; y; x+z];
>>v = [x,y,z];
>>R = jacobian(w,v)
>>b = jacobian(x+u, v)
计算结果为：
R =
[ y*z, x*z, x*y]
[ 0, 1, 0]
[ 1, 0, 1]
b =
[ 1, 0, 0]
命令2 Jordan 标准形
函数 jordan
格式 J = jordan(A) %计算矩阵A 的Jordan 标准形。其中A 为一确切已知的符号或
数值矩阵。即它的元素必须是整数或小整数的比值。任何的矩阵输入误
差将导致不同的Jordan 标准形。即Jordan 标准形对数据是敏感的。
[V,J] = jordan(A) %返回Jordan 标准形矩阵J 与相似变换矩阵V，其中V 的列
向量为矩阵A 的广义特征向量。它们满足：VA*V=J。
例3-49
>>A = [1 -3 -2; -1 1 -1; 2 4 5]
>> [V,J] = jordan(A)
>>V = double(V);
>>Test = all(all(VA*V == J))
计算结果为：
V =
-1 -1 1
0 -1 0
1 2 0
J =
3 0 0
0 2 1
0 0 2
Test = 1
命令3 Lamber 的W 函数
函数 lambertw
格式 Y = lambertw(X) %计算参量X 的每一元素x 的Lamber 的W 函数值，其中X
为一数值或符号矩阵。Lamber 的函数W=W(x)为方程的解：wew = x。
例3-50
>>W1 = lambertw([ -exp(-1); pi])
>>syms x y
>>W2 = lambertw([0 x;1 y])
计算结果为：
W1 =
-1.0000 + 0.0000i
1.0737
W2 =
[ 0, lambertw(x)]
[ lambertw(1), lambertw(y)]
命令4 符号表达式的LaTex 的表示式
函数 latex
格式 latex(S) %返回符号表达式S 的LaTex 格式的表示式。该格式可以使表达式S
在图形窗口中进行显示（如命令title、text 等）。
例3-51
>>syms x
>>f = taylor(sin(1+x));
>>Lat1 = latex(f)
>>M = sym(magic(3));
>>Lat2 = latex(M)
计算结果为：
Lat1 =
sin(1)+cos(1)mbox {{tt `x~`}}-1/2,sin(1){mbox {{tt `x~`}}}^{2}-1/6,cos(1){mbox {{tt
`x~`}}}^{3}+1/24,sin(1){mbox {{tt `x~`}}}^{4}+{frac {1}{120}},cos(1){mbox {{tt
`x~`}}}^{5}
Lat2 =
left [begin {array}{ccc} 8&1&6\noalign{medskip}3&5&7\noalign{medskip}4…
&9&2end {array}right ]
命令5 调用Maple 内核
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函数 maple
格式 r = maple('statement') %将参数命令statement 传递给Maple 内核，且返回计算
结果。在必要时，可以在参量statement 后面加上分号(;)。
r = maple('function',arg1,arg2, … ) %该命令接受任何的带引号的函数名
'function'，与相关的输入参量arg1,arg2,…。在必要时，要将输入参量
转换成符号表达式。若输入参量为syms，则maple 返回一sym，否则
返回一类型为char 的结果。
[r, status] = maple(…) %有条件地返回警告/错误信息。当语句能顺利执行，则
r 为计算结果，status 为0；若语句不能通过执行，r 为相应的警告/错
误信息，而status 为一正整数。
maple('traceon') 、maple traceon、maple trace on %将显示所有的后面的Maple
语句与其相应的结果显示于屏幕上
maple('traceoff') 、maple traceoff、maple trace off %将关闭上面的操作特性
例3-52
>>Pi = maple('evalf(Pi,100)')
>>syms x
>>v = [x^2-1;x^2-4]
>>maple traceon
>>w = factor(v)
计算结果为：
Pi =
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…
06286208998628034825342117068
v =
[ x^2-1]
[ x^2-4]
statement:
map(ifactor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));
result:
Error, (in ifactor) invalid arguments
statement:
map(factor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));
result:
matrix([[(x-1)*(x+1)], [(x-2)*(x+2)]])
w =
[ (x-1)*(x+1)]
[ (x-2)*(x+2)]
命令6 初始化Maple 内核
函数 mapleinit
格式 mapleinit 该命令用于确定包含Maple 库的路径，再装载Maple 的线性代数与
积分变换包、初始化命令digits、指定几个别名。用户可以编辑
mapleinit 的M-文件，用于改变到Maple 包的路径，只需按如下的方
法改变变量initstring 的值：
1．若用户已经有一Maple V，Release 5 的库在目录C:MapleLib 上，
在文件mapleinit.m 中加入：maplelib = 'C:MAPLELIB'
2．从MATLAB 中删除旧的Maple 包版本。
命令7 Maple 数学函数的数值计算
函数 mfun
格式 Y = mfun('function',par1,par2,par3,par4)
说明 计算一指定的Maple 软件中已知的数学函数function 的数值。每一参量par 为该
函数相应的具体数值。用户可以输入满4 个参量。最后指定的参量可以是矩阵，通常对应于
x。其他参量的位数取决于该函数规定的范围。用户可以通过下面的命令获得相关参数的信
息：help mfunlist；mhelp function；Maple 用16 位精度计算函数function。函数function 中的
任何奇异值将返回NaN。
例3-53
>>M1 = mfun('dilog',5)
>>M2 = mfun('Psi',[3*i 0])
计算结果为：
M1 =
-2.3699
M2 =
1.1080 + 1.7375i NaN
命令8 列出命令mfun 中特定的Maple 函数
函数 mfunlist
格式 mfunlist
1．列出在使用命令mfun 中用到的特殊的数学函数。下表中参量的一些约定：x,y：实
数参量；z,z1,z2：复数参量；m,n：整数参量
表3-1 mfun 特殊函数
函数名 定 义 Mfun名 参量说明
Bernoulli 数
与多项式 生成函数： Σ
∞
=
−
= ∗
− n 0
n 1
t n
xt
n!
B (x) t
e 1
e Bernoulli(n)
Bernoulli(n,t)
n≥0
0<|t|<2π
Bessel 函数 BesselI, BesselJ：第一类Bessel 函数
BesselK, BesselY：第二类Bessel 函数
BesselJ(v,x)
BesselY(v,x)
BesselI(v,x)
BesselK(v,x)
v 为实数
Beta函数 (x y)
B(x, y) (x) (y) Γ +
= Γ × Γ Beta(x,y)
二项式系数
(n 1) (m n 1)
(m 1)
n!(m n)!
m!
n
m
Γ + × Γ + +
= Γ +
−
= ?
??
?
? ??
?
Binomial(m,n)
完全椭圆积分 第一、二、三类Legendre 完全椭圆积
分
LegendreKc(k)
LegendreEc(k)
LegendrePic(a,k)
a 为任意实数
-∞<a<∞
k 为任意实数
0<k<1
带余模的完全
椭圆积分
与余模相关的第一、二、三类Legendre
完全椭圆积分
LegendreKc1(k)
LegendreEc1(k)
LegendrePic1(a,k)
a 为任意实数
-∞<a<∞
k 为任意实数
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0<k<1
余差函数
与它的累积分
Erfc(z) =
2 e dt 1 erf(z) z
t2 ∫ = − ∞ −
erfc(n,z) =
∫∞ −
z erfc(n 1, z)dt
erfc(z)
erfc(n,z) n>0
Dawson 积分 ∫ = − − x
0
F(x) e x e t dt 2 2 dawson(x)
Ψ-函数 dx ln (x)
ψ(x) = d Γ Psi(x)
二重对数积分 ∫ −
= x
1 1 t dt
f(x) ln t dilog(x) x>1
误差函数 ∫ = − z
0
erf(z) 2 e t dt 2 erf(z)
Euler 数与多项式
生成Euler 数的函数：
Σ ∞
=
= ×
n 0
n
n n!
E t cht
1
euler(n)
euler(n,z)
n≥0
|t|<π/2
指数积分
∫∞ −
= 1 n
z t
i dt
t
E (n.z) e
t dt
E (x) PV e x t
i ∫ −∞ = −
Ei(n,z)
Ei(x)
n≥0
real(z)>0
Fresnel 正弦
与余弦积分 ∫
∫
= π
= π
x
0
2
x
0
2
S(x) sin(2 t )dt
C(x) cos(2 t )dt
FresnelC(x)
FresnelS(x)
Г-函数 ∫Γ = ∞ − −
0
(z) tz 1e tdt GAMMA(z)
调和函数 Σ=
=
n
k 1k
h(n) 1
=Ψ(n+1) + γ
harmonic(n) n>0
双曲正弦
与余弦积分
= ∫ z
0 t dt
Shi(z) sinh t
Chi(z) = γ+ln(z) +
∫ − z
0 t dt
cosh t 1
Shi(z)
Chi(z)
广义超几何函数 F(n,d,z) = Σ
Π
∞ Π
=
=
=
Γ
Γ +
Γ
Γ +
k 0
m
i 1 i
i
j
i 1
k
i
i
(di) k!
(d k)
(n ) z
(n k)
hypergeom(n,d,x)
其中
n = [n1,n2,…]
d = [d1,d2,…]
n1,n2,… 为实数
d1,d2,… 为非负实
数
不完全椭圆积分 第一、二、三类不完全Legendre 完全
椭圆积分
LegendreF(x,k)
LegendreE(x,k)
LegendrePi(x,a,k)
0<x≤∞，a 为实数
-∞<a<∞，k 为实数
0<k<1
不完全Г-函数 Г(a,z)= ∫∞ − −
z
e tta 1dt GAMMA(z1,z2)
Г-函数的对数 lnГ(z) = ln(Г(z)) lnGAMMA(z)
对数积分 = (∫ ) x
0 ln t
Li(x) PV dt
= Ei(ln(x))
Li(x) x>1
Г多项式函数
其中Ψ(z)为Γ-函数
n
n
(n)
dz
(z) d (z) ψ = ψ Psi(n,z) N≥0
移位正弦积分 Ssi(z)=Si(z) – π/2 Ssi(z)
对于上面的特殊函数function，用户可以通过下面的命令得到更多的帮助信息：mhelp
function
总的来说，函数的精度跟它的根相比会较低，且当它的参数相对而言较大时，精度也较
底。函数的执行时间取决于特定的函数与它的输入参量。总之，其计算将比标准的MATLAB
计算慢一些。
2．正交多项式函数：
下面的函数需要Maple 正交多项式包，它们仅仅对于MATLAB 的扩展符号数学工具箱
有用。在使用这些函数之前，用户要用下面的命令初始化Maple 正交多项式包：
maple('with','orthopoly')
表3-2 正交多项式函数
下表参量的约定：n：非负整数；x：任意实数
多 项 式 Maple 名 参量说明
Gegenbauer 多项式 G(n,a,x) a 为非有理数代数表达式或者是大于-1/2 的有理数
Hermite 多项式 H(n,x)
Laguerre 多项式 L(n,x)
广义Laguerre 多项式 L(n,a,x) a 为非有理数代数表达式或者是大于-1 的有理数
Legendre P(n,x)
Jacobi P(n,a,b,x) a 与b 为非有理数代数表达式或者是大于-1 的有理数
第一、二类Chebyshev 多项式 T(n,x)U(n,x)
命令9 Maple 命令帮助
函数 mhelp
格式 mhelp topic、mhelp('topic')
说明 返回Maple 软件中指定的Maple 标题topic 的在线帮助文档信息。
命令10 交互式计算Riemann 和
函数 rsums
格式 rsums(f) %交互式地通过Riemann 和计算函数f(x)的积分。rsums(f)显示函数f
的图形。用户可以通过拖动图形下方的滑块来调整Riemann 和的项
数，有效的项数从2 到128。
例3-54
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>>rsums sin(-5*x^2)
计算图形为图3-16。
图3-16 函数的Riemann 和
命令11 在一符号表达式或矩阵中进行符号替换
函数 subs
格式 R = subs(S) %用从调用的函数中获得的变量值，或MATLAB 的工作空间中存
在的变量值，替换表达式S 中所有出现的相同的变量，同时自动进
行化简计算；若是数值表达式，则计算出结果。
R = subs(S,old,new) %用新值new 替换表达式s 中的旧值old，参量old 是一符
号变量或代表一变量名的字符串，new 是一符号/数值变量或表达
式。若old 与new 为有相同大小的阵列，则用new 中相应的元素替
换old 中的元素；若S 与old 为标量，而new 为阵列或单元阵列，
则标量S 与old 将扩展为与new 同型的阵列；若new 为数值矩阵的
单元阵列，则替换按元素的方向执行。若subs(S,old,new)没有改变
S，则subs(S,old,new)被证明是可靠的。这提供了对以前版本的向
后兼容性，且不会交换参量的位置。
例3-55
>>a = 980,C1=3;
>>y = dsolve('Dy = -a*y')
>>syms b
>>subs(y)
>>subs(a+b,a,4)
>>subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})
>>subs(exp(a*t),'a',-magic(2))
>>subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 0],[1 -1;-2 1]})
命令12 创建符号数值、变量与对象
函数 sym
格式 S = sym(A) %用输入参量A，构造一类型为‘sym’的对象s。若A 为字符串，
则S 为符号数值或变量；若A 为一数值标量或矩阵，则S 为代
表所给数值的符号表达式。
x = sym('x') %创建一名字为‘x’的符号变量，且将结果存于x。
pi = sym('pi') %创建一符号数值，这可避免了用浮点近似表示π的误差，pi 的
这种创建方法将暂时地代替了有相同名字、用于生成无理数π的
近似值的内建数值函数pi.m。
x = sym('x','real') %创建一实符号变量。若x 有了具体的值，则命令clear x 只
能清除x 的值，而不能改变x 的“属性”。
x = sym('x','unreal') %使x 变成一纯粹的、没有任何附加属性的符号变量。
S = sym(A,flag) %将一数值标量或矩阵转换成符号形式。对浮点数值的转换方
法要用第二个参量flag 来指定。其中flag 可以是'r'、'd'、'e'、'f'。
’f’：代表“浮点格式”。
’r’：代表“有理格式”（该方式为缺省转换格式）。
’e’：代表“估计误差”。
’d’：代表“十进制格式”。
命令13 创建多个符号对象的快捷命令
函数 syms
格式 syms arg1 arg2 … %定义arg1、arg2 为符号
syms arg1 arg2 … real %该命令是下列命令的简洁形式：
arg1 = sym('arg1','real');
arg2 = sym('arg2','real'); …
syms arg1 arg2 … unreal %该命令是下列命令的简洁形式：
arg1 = sym('arg1','unreal');
arg2 = sym('arg2','unreal'); …
注：clear x 不能清除符号变量x 的属性“real”，只能清除变量x。要想清除该属性，要
输入：syms x unreal 或clear mex 或clear all。执行后面的两个命令后，Maple 内核将重新装
载入MATLAB 的工作空间（这是不可取的，因为花费时间）。
例3-56
>>syms x beta real %符号对象已经生成，执行下面一些操作：
>>whos
将显示工作空间中存在变量的详细信息：
Name Size Bytes Class
beta 1x1 132 sym object
x 1x1 126 sym object
Grand total is 7 elements using 258 bytes
y = x + i*beta; clear x; y
通过上面的操作，我们看到，当x 被清除掉后，y 的值并没有马上改变：
y =
x+i*beta
命令14 将符号多项式转化为数值多项式
函数 sym2poly
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格式 c = sym2poly(s) %返回符号多项式s 的数值系数行向量c。多项式自变量次数
的系数按降幂排列。即行向量c 的第一分量c1 为多项式s 的
最高次数项的系数，c2 为第二高次数项的系数，如此类推。
例3-57
>>syms x u;
>>c1 = sym2poly(3*x^3 - 2*x^2 – sqrt(5))
>>c2 = sym2poly(u^4 – 3 + 5*u^2)
计算结果为：
c1 =
3.0000 -2.0000 0 -2.2361
c2 =
1 0 5 0 -3
命令15 可变精度算法
函数 vpa
格式 R = vpa(A) %用可变精度算法来计算A 中的每一元素，使其成为有d 位精确度
的十进制数。其中d 为命令digits 设置的当前位数。R 中的每一元
素为一符号表达式。
R = vpa(A,d)或R = vpa A d %用参量d 指定的位数(而非命令digits 设置的位数)
来表示A 中的每一元素。R 中的每一元素为一符号表达式。
例3-58
>>digits(25)
>>q = vpa(sym(sin(pi/6)))
>>p = vpa(pi)
>>gold_ratioi = vpa('(sqrt(5)-1)/2')
>>vpa pi 75
>>A = vpa(gallery(5),8)
>>B = vpa(hilb(3),5)
计算结果为：
q =
.5000000000000000000000000
p =
3.141592653589793238462643
gold_ratioi =
.6180339887498948482045870
ans =
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097… 494459230781640629
A =
[ -9., 11., -21., 63., -252.]
[ 70., -69., 141., -421., 1684.]
[ -575., 575., -1149., 3451., -13801.]
[ 3891., -3891., 7782., -23345., 93365.]
[ 1024., -1024., 2048., -6144., 24572.]
B =
[ 1., .50000, .33333]
[ .50000, .33333, .25000]
[ .33333, .25000, .20000]
命令16 符号表达式的C 语言代码
函数 ccode
格式 ccode(s) %返回C 语言的、用于计算符号表达式s 的语句段落
例3-59
>>syms x
>>s = taylor(exp(x));
>>ccode(s)
计算结果为：
ans =
t0 = 1.0+x+x*x/2.0+x*x*x/6.0+x*x*x*x/24.0+x*x*x*x*x/120.0;
注：t0为ex在x=0附近的计算公式（Taylor展式）。
命令17 符号表达式的Fortran 语言代码
函数 fortran
格式 fortan(s) %返回一Fortan 语言的、用于计算符号表达式s 的语句段落
例3-60
>>syms x
>>f = taylor(sin(x));
>>F1 = fortran(f)
>>H = sym(hilb(4));
>>F2 = fortran(t*(H))
计算结果为：
F1 =
t0 = x-x**3/6+x**5/120
F2 =
T(1,1) = t T(1,2) = t/2 T(1,3) = t/3 T(1,4) = t/4
T(2,1) = t/2 T(2,2) = t/3 T(2,3) = t/4 T(2,4) = t/5
T(3,1) = t/3 T(3,2) = t/4 T(3,3) = t/5 T(3,4) = t/6
T(4,1) = t/4 T(4,2) = t/5 T(4,3) = t/6 T(4,4) = t/7
第4 章概率统计
本 章 介 绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式， 这些命令存放于
MatlabR12ToolboxStats 中。
4.1 随机数的产生
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4.1.1 二项分布的随机数据的产生
命令 参数为N，P 的二项随机数据
函数 binornd
格式 R = binornd(N,P) %N、P 为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P 的二
项分布的随机数，N、P 大小相同。
R = binornd(N,P,m) %m 指定随机数的个数，与R 同维数。
R = binornd(N,P,m,n) %m,n 分别表示R 的行数和列数
例4-1
>> R=binornd(10,0.5)
R =
3
>> R=binornd(10,0.5,1,6)
R =
8 1 3 7 6 4
>> R=binornd(10,0.5,[1,10])
R =
6 8 4 6 7 5 3 5 6 2
>> R=binornd(10,0.5,[2,3])
R =
7 5 8
6 5 6
>>n = 10:10:60;
>>r1 = binornd(n,1./n)
r1 =
2 1 0 1 1 2
>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])
r2 =
0 1 2 1 3 1
4.1.2 正态分布的随机数据的产生
命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据
函数 normrnd
格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA 的正态分布的
随机数据，R 可以是向量或矩阵。
R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m 指定随机数的个数，与R 同维数。
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n 分别表示R 的行数和列数
例4-2
>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))
n1 =
2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827
>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])
n2 =
0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462
>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu 为均值矩阵
n3 =
0.9299 1.9361 2.9640
4.1246 5.0577 5.9864
>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu 为10，sigma 为0.5 的2 行3 列个正态随机数
R =
9.7837 10.0627 9.4268
9.1672 10.1438 10.5955
4.1.3 常见分布的随机数产生
常见分布的随机数的使用格式与上面相同
表4-1 随机数产生函数表
函数名 调用形式 注 释
Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) [A,B]上均匀分布(连续) 随机数
Unidrnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数
Exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda 的指数分布随机数
Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为MU，SIGMA 的正态分布随机数
chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为N 的卡方分布随机数
Trnd trnd(N,m,n) 自由度为N 的t 分布随机数
Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为N1,第二自由度为N2 的F 分布随机数
gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为A, B 的γ 分布随机数
betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为A, B 的β 分布随机数
lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为MU, SIGMA 的对数正态分布随机数
nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为R，P 的负二项式分布随机数
ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为N1，N2，delta 的非中心F 分布随机数
nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta 的非中心t 分布随机数
ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta 的非中心卡方分布随机数
raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为B 的瑞利分布随机数
weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为A, B 的韦伯分布随机数
binornd binornd(N,P,m,n) 参数为N, p 的二项分布随机数
geornd geornd(P,m,n) 参数为 p 的几何分布随机数
hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为 M，K，N 的超几何分布随机数
Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda 的泊松分布随机数
4.1.4 通用函数求各分布的随机数据
命令 求指定分布的随机数
函数 random
格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name 的取值见表4-2；A1，A2，A3 为分
布的参数；m，n 指定随机数的行和列
例4-3 产生12（3 行4 列）个均值为2，标准差为0.3 的正态分布随机数
>> y=random('norm',2,0.3,3,4)
y =
2.3567 2.0524 1.8235 2.0342
1.9887 1.9440 2.6550 2.3200
2.0982 2.2177 1.9591 2.0178
4.2 随机变量的概率密度计算
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4.2.1 通用函数计算概率密度函数值
命令 通用函数计算概率密度函数值
函数 pdf
格式 Y=pdf(name，K，A)
Y=pdf(name，K，A，B)
Y=pdf(name，K，A，B，C)
说明 返回在X=K 处、参数为A、B、C 的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是
不同；name 为分布函数名，其取值如表4-2。
表4-2 常见分布函数表
name 的取值 函数说明
'beta' 或 'Beta' Beta 分布
'bino' 或 'Binomial' 二项分布
'chi2' 或 'Chisquare' 卡方分布
'exp' 或 'Exponential' 指数分布
'f' 或 'F' F 分布
'gam' 或 'Gamma' GAMMA 分布
'geo' 或 'Geometric' 几何分布
'hyge' 或 'Hypergeometric' 超几何分布
'logn' 或 'Lognormal' 对数正态分布
'nbin' 或 'Negative Binomial' 负二项式分布
'ncf' 或 'Noncentral F' 非中心F 分布
'nct' 或 'Noncentral t' 非中心t 分布
'ncx2' 或 'Noncentral Chi-square' 非中心卡方分布
'norm' 或 'Normal' 正态分布
'poiss' 或 'Poisson' 泊松分布
'rayl' 或 'Rayleigh' 瑞利分布
't' 或 'T' T 分布
'unif' 或 'Uniform' 均匀分布
'unid' 或 'Discrete Uniform' 离散均匀分布
'weib' 或 'Weibull' Weibull 分布
例如二项分布：设一次试验，事件A 发生的概率为p，那么，在n 次独立重复试验中，
事件A 恰好发生K 次的概率P_K 为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)
例4-4 计算正态分布N（0，1）的随机变量X 在点0.6578 的密度函数值。
解：>> pdf('norm',0.6578,0,1)
ans =
0.3213
例4-5 自由度为8 的卡方分布，在点2.18 处的密度函数值。
解：>> pdf('chi2',2.18,8)
ans =
0.0363
4.2.2 专用函数计算概率密度函数值
命令 二项分布的概率值
函数 binopdf
格式 binopdf (k, n, p) %等同于pdf(′ bino′K, n, p)， p — 每次试验事件A发生的概
率；K—事件A 发生K 次；n—试验总次数
命令 泊松分布的概率值
函数 poisspdf
格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于pdf (′poiss′,K, Lamda)
命令 正态分布的概率值
函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma 的正态分布密度函数在
K 处的值
专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。
表4-3 专用函数计算概率密度函数表
函数名 调用形式 注 释
Unifpdf unifpdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x 处的函数值
unidpdf Unidpdf(x,n) 均匀分布（离散）概率密度函数值
Exppdf exppdf(x, Lambda) 参数为Lambda 的指数分布概率密度函数值
normpdf normpdf(x, mu, sigma) 参数为mu，sigma 的正态分布概率密度函数值
chi2pdf chi2pdf(x, n) 自由度为n 的卡方分布概率密度函数值
Tpdf tpdf(x, n) 自由度为n 的t 分布概率密度函数值
Fpdf fpdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2 的F 分布概率密度函数值
gampdf gampdf(x, a, b) 参数为a, b 的γ 分布概率密度函数值
betapdf betapdf(x, a, b) 参数为a, b 的β 分布概率密度函数值
lognpdf lognpdf(x, mu, sigma) 参数为mu, sigma 的对数正态分布概率密度函数值
nbinpdf nbinpdf(x, R, P) 参数为R，P 的负二项式分布概率密度函数值
Ncfpdf ncfpdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta 的非中心F 分布概率密度函数值
Nctpdf nctpdf(x, n, delta) 参数为n，delta 的非中心t 分布概率密度函数值
ncx2pdf ncx2pdf(x, n, delta) 参数为n，delta 的非中心卡方分布概率密度函数值
raylpdf raylpdf(x, b) 参数为b 的瑞利分布概率密度函数值
weibpdf weibpdf(x, a, b) 参数为a, b 的韦伯分布概率密度函数值
binopdf binopdf(x,n,p) 参数为n, p 的二项分布的概率密度函数值
geopdf geopdf(x,p) 参数为 p 的几何分布的概率密度函数值
hygepdf hygepdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N 的超几何分布的概率密度函数值
poisspdf poisspdf(x,Lambda) 参数为Lambda 的泊松分布的概率密度函数值
例4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15 的图形
>> x=0:0.1:30;
>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')
>> hold on
>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')
>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')
>> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域
则图形为图4-1。
4.2.3 常见分布的密度函数作图
1．二项分布
例4-7
>>x = 0:10;
>>y = binopdf(x,10,0.5);
>>plot(x,y,'+')
图4-1
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2．卡方分布
例4-8
>> x = 0:0.2:15;
>>y = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,y)
0 2 4 6 8 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
图4-2
3．非中心卡方分布
例4-9
>>x = (0:0.1:10)';
>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);
>>p = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
4．指数分布
例4-10
>>x = 0:0.1:10;
>>y = exppdf(x,2);
>>plot(x,y)
0 2 4 6 8 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
图4-3
5．F 分布
例4-11
>>x = 0:0.01:10;
>>y = fpdf(x,5,3);
>>plot(x,y)
6．非中心F 分布
例4-12
>>x = (0.01:0.1:10.01)';
>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);
>>p = fpdf(x,5,20);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
图4-4
7．Γ分布
例4-13
>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);
>>y = gampdf(x,100,10);
>>y1 = normpdf(x,1000,100);
>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')
8．对数正态分布
例4-14
>>x = (10:1000:125010)';
>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);
>>plot(x,y)
>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])
>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…
'$90,000','$120,000'))
700 800 900 1000 1100 1200 1300
0
1
2
3
4
5
x 10 3
0 $30,000 $60,000 $90,000 $120,000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10-5
图4-5
9．负二项分布
例4-15
>>x = (0:10);
>>y = nbinpdf(x,3,0.5);
>>plot(x,y,'+')
10．正态分布
例4-16
>> x=-3:0.2:3;
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>> y=normpdf(x,0,1);
>> plot(x,y)
0 2 4 6 8 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
图4-6
11．泊松分布
例4-17
>>x = 0:15;
>>y = poisspdf(x,5);
>>plot(x,y,'+')
12．瑞利分布
例4-18
>>x = [0:0.01:2];
>>p = raylpdf(x,0.5);
>>plot(x,p)
0 5 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
图4-7
13．T 分布
例4-19
>>x = -5:0.1:5;
>>y = tpdf(x,5);
>>z = normpdf(x,0,1);
>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')
14．威布尔分布
例4-20
>> t=0:0.1:3;
>> y=weibpdf(t,2,2);
>> plot(y)
-5 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
图4-8
4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值)
4.3.1 通用函数计算累积概率值
命令 通用函数cdf用来计算随机变量X ≤ K的概率之和（累积概率值）
函数 cdf
格式 cdf(′name′,K,A)
cdf(′name′,K,A,B)
cdf(′name′,K,A,B,C)
说明 返回以name 为分布、随机变量X≤K 的概率之和的累积概率值，name 的取值见
表4-1 常见分布函数表
例4-21 求标准正态分布随机变量X 落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计
教材中的附表：标准正态数值表）。
解：
>> cdf('norm',0.4,0,1)
ans =
0.6554
例4-22 求自由度为16 的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率
>> cdf('chi2',6.91,16)
ans =
0.0250
4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量X ≤ K的概率之和）
命令 二项分布的累积概率值
函数 binocdf
格式 binocdf (k, n, p) %n 为试验总次数，p 为每次试验事件A 发生的概率，k 为n
次试验中事件A 发生的次数，该命令返回n 次试验中事件A
恰好发生k 次的概率。
命令 正态分布的累积概率值
函数 normcdf
格式 normcdf( x,mu, sigma ) %返回F(x)= ∫ −∞
x p(t)dt的值，mu、sigma 为正态分布的
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两个参数
例4-23 设X~N（3, 22）
（1）求P{2 < X < 5}, P{−4 < X < 10}, P{X > 2}, P{X > 3}
（2）确定c，使得P{X > c} = P{X < c}
解（1） p1= P{2 < X < 5}
p2= P{−4 < X < 10}
p3= P{ X > 2} = 1− P{ X ≤ 2}
p4= P{X > 3} =1− P{X ≤ 3}
则有：
>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)
p1 =
0.5328
>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)
p2 =
0.9995
>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)
p3 =
0.6853
>>p4=1-normcdf(3,3,2)
p4 =
0.5000
专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。
表4-4 专用函数的累积概率值函数表
函数名 调用形式 注 释
unifcdf unifcdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
unidcdf unidcdf(x,n) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
expcdf expcdf(x, Lambda) 参数为Lambda 的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
normcdf normcdf(x, mu, sigma) 参数为mu，sigma 的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
chi2cdf chi2cdf(x, n) 自由度为n 的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
tcdf tcdf(x, n) 自由度为n 的t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
fcdf fcdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2 的F 分布累积分布函数值
gamcdf gamcdf(x, a, b) 参数为a, b 的γ 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
betacdf betacdf(x, a, b) 参数为a, b 的β 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
logncdf logncdf(x, mu, sigma) 参数为mu, sigma 的对数正态分布累积分布函数值
nbincdf nbincdf(x, R, P) 参数为R，P 的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
ncfcdf ncfcdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta 的非中心F 分布累积分布函数值
nctcdf nctcdf(x, n, delta) 参数为n，delta 的非中心t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
ncx2cdf ncx2cdf(x, n, delta) 参数为n，delta 的非中心卡方分布累积分布函数值
raylcdf raylcdf(x, b) 参数为b 的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
weibcdf weibcdf(x, a, b) 参数为a, b 的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
binocdf binocdf(x,n,p) 参数为n, p 的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
geocdf geocdf(x,p) 参数为 p 的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
hygecdf hygecdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N 的超几何分布的累积分布函数值
poisscdf poisscdf(x,Lambda) 参数为Lambda 的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
说明 累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x 处的值。
4.4 随机变量的逆累积分布函数
MATLAB 中的逆累积分布函数是已知F(x) = P{X ≤ x}，求x。
逆累积分布函数值的计算有两种方法
4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值
命令 icdf 计算逆累积分布函数
格式 icdf (′name′, P, a1, a2, a3)
说明 返回分布为name，参数为a1,a2,a3，累积概率值为P 的临界值，这里name 与前
面表4.1 相同。
如果P = cdf (′name′, x, a1, a2, a3)，则x = icdf (′name′, P, a1, a2, a3)
例4-24 在标准正态分布表中，若已知Φ(x) =0.975，求x
解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1)
x =
1.9600
例4-25 在χ2分布表中，若自由度为10，α =0.975，求临界值Lambda。
解：因为表中给出的值满足P{χ2 > λ} = α，而逆累积分布函数icdf求满足P{χ2 < λ} = α
的临界值λ 。所以，这里的α 取为0.025，即
>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)
Lambda =
3.2470
例4-26 在假设检验中，求临界值问题：
已知：α = 0.05，查自由度为10的双边界检验t 分布临界值
>>lambda=icdf('t',0.025,10)
lambda =
-2.2281
4.4.2 专用函数-inv 计算逆累积分布函数
命令 正态分布逆累积分布函数
函数 norminv
格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X
为临界值，满足：p=P{X≤x}。
例4-27 设X ~ N(3, 2 2)，确定c 使得P{X > c} = P{X < c}。
解：由P{X > c} = P{X < c}得，P{X > c} = P{X < c} =0.5，所以
>>X=norminv(0.5, 3, 2)
X=
3
关于常用临界值函数可查下表4-5。
表4-5 常用临界值函数表
函数名 调用形式 注 释
unifinv x=unifinv (p, a, b) 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x）
unidinv x=unidinv (p,n) 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x 为临界值
expinv x=expinv (p, Lambda) 指数分布逆累积分布函数
norminv x=Norminv(x,mu,sigma) 正态分布逆累积分布函数
chi2inv x=chi2inv (x, n) 卡方分布逆累积分布函数
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tinv x=tinv (x, n) t 分布累积分布函数
finv x=finv (x, n1, n2) F分布逆累积分布函数
gaminv x=gaminv (x, a, b) γ 分布逆累积分布函数
betainv x=betainv (x, a, b) β 分布逆累积分布函数
logninv x=logninv (x, mu, sigma) 对数正态分布逆累积分布函数
nbininv x=nbininv (x, R, P) 负二项式分布逆累积分布函数
ncfinv x=ncfinv (x, n1, n2, delta) 非中心F 分布逆累积分布函数
nctinv x=nctinv (x, n, delta) 非中心t 分布逆累积分布函数
ncx2inv x=ncx2inv (x, n, delta) 非中心卡方分布逆累积分布函数
raylinv x=raylinv (x, b) 瑞利分布逆累积分布函数
weibinv x=weibinv (x, a, b) 韦伯分布逆累积分布函数
binoinv x=binoinv (x,n,p) 二项分布的逆累积分布函数
geoinv x=geoinv (x,p) 几何分布的逆累积分布函数
hygeinv x=hygeinv (x,M,K,N) 超几何分布的逆累积分布函数
poissinv x=poissinv (x,Lambda) 泊松分布的逆累积分布函数
例4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男
子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。
解：设h 为车门高度，X 为身高
求满足条件P{X > h} ≤ 0.01的h，即P{X < h} ≥ 0.99，所以
>>h=norminv(0.99, 175, 6)
h =
188.9581
例4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用
在MATLAB 的编辑器下建立M 文件如下：
n=5; a=0.9; %n 为自由度，a 为置信水平或累积概率
x_a=chi2inv(a,n)； %x_a 为临界值
x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算χ2(5)的概率密度函数值，供绘图用
plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形
xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用
fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭
text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点
text(10,0.10, ['fontsize{16}X~{chi}^2(4)'])
%图中标注
text(1.5,0.05, 'fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注
结果显示如图4-9。
4.5 随机变量的数字特征
4.5.1 平均值、中值
命令 利用mean 求算术平均值
图4-9
格式 mean(X) %X 为向量，返回X 中各元素的平均值
mean(A) %A 为矩阵，返回A 中各列元素的平均值构成的向量
mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值
说明 X 为向量时，算术平均值的数学含义是Σ=
=
n
i 1
n xi
x 1 ，即样本均值。
例4-30
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> mean(A)
ans =
1.3333 3.0000 3.0000 5.3333
>> mean(A,1)
ans =
1.3333 3.0000 3.0000 5.3333
命令 忽略NaN 计算算术平均值
格式 nanmean(X) %X 为向量，返回X 中除NaN 外元素的算术平均值。
nanmean(A) %A 为矩阵，返回A 中各列除NaN 外元素的算术平均值向量。
例4-31
>> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan]
A =
1 2 3
NaN 5 2
3 7 NaN
>> nanmean(A)
ans =
2.0000 4.6667 2.5000
命令 利用median 计算中值（中位数）
格式 median(X) %X 为向量，返回X 中各元素的中位数。
median(A) %A 为矩阵，返回A 中各列元素的中位数构成的向量。
median(A,dim) %求给出的维数内的中位数
例4-32
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> median(A)
ans =
1 3 4 5
命令 忽略NaN 计算中位数
格式 nanmedian(X) %X 为向量，返回X 中除NaN 外元素的中位数。
nanmedian(A) %A 为矩阵，返回A 中各列除NaN 外元素的中位数向量。
例4-33
>> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan]
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A =
1 2 3
NaN 5 2
3 7 NaN
>> nanmedian(A)
ans =
2.0000 5.0000 2.5000
命令 利用geomean 计算几何平均数
格式 M=geomean(X) %X 为向量，返回X 中各元素的几何平均数。
M=geomean(A) %A 为矩阵，返回A 中各列元素的几何平均数构成的向量。
说明 几何平均数的数学含义是n
1 M ( x )
n
i 1
i Π=
= ，其中：样本数据非负，主要用于对数正
态分布。
例4-34
>> B=[1 3 4 5]
B =
1 3 4 5
>> M=geomean(B)
M =
2.7832
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> M=geomean(A)
M =
1.2599 3.0000 2.5198 5.3133
命令 利用harmmean 求调和平均值
格式 M=harmmean(X) %X 为向量，返回X 中各元素的调和平均值。
M=harmmean(A) %A 为矩阵，返回A 中各列元素的调和平均值构成的向量。
说明 调和平均值的数学含义是
Σ=
= n
i 1 xi
1
M n ，其中：样本数据非0，主要用于严重偏斜
分布。
例4-35
>> B=[1 3 4 5]
B =
1 3 4 5
>> M=harmmean(B)
M =
2.2430
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> M=harmmean(A)
M =
1.2000 3.0000 2.0000 5.2941
4.5.2 数据比较
命令 排序
格式 Y=sort(X) %X 为向量，返回X 按由小到大排序后的向量。
Y=sort(A) %A 为矩阵，返回A 的各列按由小到大排序后的矩阵。
[Y,I]=sort(A) % Y 为排序的结果，I 中元素表示Y 中对应元素在A 中位置。
sort(A,dim) %在给定的维数dim 内排序
说明 若X 为复数，则通过|X|排序。
例4-36
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> sort(A)
ans =
1 2 0
3 5 2
4 7 3
>> [Y,I]=sort(A)
Y =
1 2 0
3 5 2
4 7 3
I =
1 1 3
3 2 2
2 3 1
命令 按行方式排序
函数 sortrows
格式 Y=sortrows(A) %A 为矩阵，返回矩阵Y，Y 按A 的第1 列由小到大，以
行方式排序后生成的矩阵。
Y=sortrows(A, col) %按指定列col 由小到大进行排序
[Y,I]=sortrows(A, col) % Y 为排序的结果，I 表示Y 中第col 列元素在A 中位置。
说明 若X 为复数，则通过|X|的大小排序。
例4-37
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> sortrows(A)
ans =
1 2 3
3 7 0
4 5 2
>> sortrows(A,1)
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ans =
1 2 3
3 7 0
4 5 2
>> sortrows(A,3)
ans =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
>> sortrows(A,[3 2])
ans =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
>> [Y,I]=sortrows(A,3)
Y =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
I =
3
2
1
命令 求最大值与最小值之差
函数 range
格式 Y=range(X) %X 为向量，返回X 中的最大值与最小值之差。
Y=range(A) %A为矩阵，返回A 中各列元素的最大值与最小值之差。
例4-38
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> Y=range(A)
Y =
3 5 3
4.5.3 期望
命令 计算样本均值
函数 mean
格式 用法与前面一样
例4-39 随机抽取6 个滚珠测得直径如下：（直径：mm）
14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32
试求样本平均值
解：>>X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]；
>>mean(X) %计算样本均值
则结果如下：
ans =
15.0600
命令 由分布律计算均值
利用sum 函数计算
例4-40 设随机变量X 的分布律为：
X -2 -1 0 1 2
P 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3
求E (X) E(X2-1)
解：在Matlab 编辑器中建立M 文件如下：
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3];
EX=sum(X.*p)
Y=X.^2-1
EY=sum(Y.*p)
运行后结果如下：
EX =
0
Y =
3 0 -1 0 3
EY =
1.6000
4.5.4 方差
命令 求样本方差
函数 var
格式 D=var(X) %var(X)= Σ=
−
−
=
n
i 1
2
i
2 (x X) n 1
s 1 ,若X为向量，则返回向量的样本方差。
D=var(A) %A 为矩阵，则D 为A 的列向量的样本方差构成的行向量。
D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X 的简单方差（即置前因子为n
1 的方差）
D=var(X, w) %返回向量（矩阵）X 的以w 为权重的方差
命令 求标准差
函数 std
格式 std(X) %返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为n 1
1
− ）即：
Σ=
−
−
=
n
i 1
n 1 xi X
std 1
std(X,1) %返回向量（矩阵）X 的标准差（置前因子为n
1 ）
std(X, 0) %与std (X)相同
std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为dim 的标准差值，其中flag=0
时，置前因子为n 1
1
− ；否则置前因子为n
1 。
例4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差
14.70 15.21 14.90 15.32 15.32
解：
>>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32];
>>DX=var(X,1) %方差
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DX =
0.0559
>>sigma=std(X,1) %标准差
sigma =
0.2364
>>DX1=var(X) %样本方差
DX1 =
0.0671
>>sigma1=std(X) %样本标准差
sigma1 =
0.2590
命令 忽略NaN 的标准差
函数 nanstd
格式 y = nanstd(X) %若X 为含有元素NaN 的向量，则返回除NaN 外的元素的标准
差，若X 为含元素NaN 的矩阵，则返回各列除NaN 外的标准差
构成的向量。
例4-42
>> M=magic(3) %产生3 阶魔方阵
M =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换3 阶魔方阵中第1、6、8 个元素为NaN
M =
NaN 1 6
3 5 NaN
4 NaN 2
>> y=nanstd(M) %求忽略NaN 的各列向量的标准差
y =
0.7071 2.8284 2.8284
>> X=[1 5]; %忽略NaN 的第2 列元素
>> y2=std(X) %验证第2 列忽略NaN 元素的标准差
y2 =
2.8284
命令 样本的偏斜度
函数 skewness
格式 y = skewness(X) %X 为向量，返回X 的元素的偏斜度；X 为矩阵，返回X 各
列元素的偏斜度构成的行向量。
y = skewness(X,flag) %flag=0 表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。
说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的
数据比均值右边的数据更散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散，
因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： 3
E(x )3 y
σ
= − μ
其中：μ为x 的均值，σ为x 的标准差，E(.)为期望值算子
例4-43
>> X=randn([5,4])
X =
0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686
-1.3362 1.2540 0.6900 1.1908
0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025
1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198
-0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567
>> y=skewness(X)
y =
-0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652
>> y=skewness(X,0)
y =
-0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954
4.5.5 常见分布的期望和方差
命令 均匀分布（连续）的期望和方差
函数 unifstat
格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B 为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差，
A、B 也可为向量或矩阵，则M、V 也是向量或矩阵。
例4-44
>>a = 1:6; b = 2.*a;
>>[M,V] = unifstat(a,b)
M =
1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000
V =
0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000
命令 正态分布的期望和方差
函数 normstat
格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU、SIGMA 可为标量也可为向量或矩阵，
则M=MU，V=SIGMA2。
例4-45
>> n=1:4;
>> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n)
M =
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
V =
1 4 9 16
4 16 36 64
9 36 81 144
16 64 144 256
命令 二项分布的均值和方差
函数 binostat
格式 [M,V] = binostat(N,P) %N，P 为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量
或矩阵。
例4-46
>>n = logspace(1,5,5)
n =
10 100 1000 10000 100000
>>[M,V] = binostat(n,1./n)
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M =
1 1 1 1 1
V =
0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000
>>[m,v] = binostat(n,1/2)
m =
5 50 500 5000 50000
v =
1.0e+04 *
0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000
常见分布的期望和方差见下表4-6。
表4-6 常见分布的均值和方差
函数名 调用形式 注 释
unifstat [M,V]=unifstat ( a, b) 均匀分布(连续)的期望和方差，M 为期望，V 为方差
unidstat [M,V]=unidstat (n) 均匀分布（离散）的期望和方差
expstat [M,V]=expstat (p, Lambda) 指数分布的期望和方差
normstat [M,V]=normstat(mu,sigma) 正态分布的期望和方差
chi2stat [M,V]=chi2stat (x, n) 卡方分布的期望和方差
tstat [M,V]=tstat ( n) t 分布的期望和方差
fstat [M,V]=fstat ( n1, n2) F分布的期望和方差
gamstat [M,V]=gamstat ( a, b) γ 分布的期望和方差
betastat [M,V]=betastat ( a, b) β 分布的期望和方差
lognstat [M,V]=lognstat ( mu, sigma) 对数正态分布的期望和方差
nbinstat [M,V]=nbinstat ( R, P) 负二项式分布的期望和方差
ncfstat [M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta) 非中心F 分布的期望和方差
nctstat [M,V]=nctstat ( n, delta) 非中心t 分布的期望和方差
ncx2stat [M,V]=ncx2stat ( n, delta) 非中心卡方分布的期望和方差
raylstat [M,V]=raylstat ( b) 瑞利分布的期望和方差
Weibstat [M,V]=weibstat ( a, b) 韦伯分布的期望和方差
Binostat [M,V]=binostat (n,p) 二项分布的期望和方差
Geostat [M,V]=geostat (p) 几何分布的期望和方差
hygestat [M,V]=hygestat (M,K,N) 超几何分布的期望和方差
Poisstat [M,V]=poisstat (Lambda) 泊松分布的期望和方差
4.5.6 协方差与相关系数
命令 协方差
函数 cov
格式 cov(X) %求向量X 的协方差
cov(A) %求矩阵A 的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A 的各列的
方差，即：var(A)=diag(cov(A))。
cov(X,Y) %X,Y 为等长列向量，等同于cov([X Y])。
例4-47
>> X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]'；
>> C1=cov(X) %X 的协方差
C1 =
1
>> C2=cov(X,Y) %列向量X、Y 的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差
C2 =
1.0000 0
0 0.3333
>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3]
A =
1 2 3
4 0 -1
1 7 3
>> C1=cov(A) %求矩阵A 的协方差矩阵
C1 =
3.0000 -4.5000 -4.0000
-4.5000 13.0000 6.0000
-4.0000 6.0000 5.3333
>> C2=var(A(:,1)) %求A 的第1 列向量的方差
C2 =
3
>> C3=var(A(:,2)) %求A 的第2 列向量的方差
C3 =
13
>> C4=var(A(:,3))
C4 =
5.3333
命令 相关系数
函数 corrcoef
格式 corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y 的相关系数，等同于corrcoef([X Y])。
corrcoef (A) %返回矩阵A 的列向量的相关系数矩阵
例4-48
>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9]
A =
1 2 3
4 0 -1
1 3 9
>> C1=corrcoef(A) %求矩阵A 的相关系数矩阵
C1 =
1.0000 -0.9449 -0.8030
-0.9449 1.0000 0.9538
-0.8030 0.9538 1.0000
>> C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求A 的第2 列与第3 列列向量的相关系数矩阵
C1 =
1.0000 0.9538
0.9538 1.0000
4.6 统计作图
4.6.1 正整数的频率表
命令 正整数的频率表
函数 tabulate
格式 table = tabulate(X) %X 为正整数构成的向量，返回3 列：第1 列中包含X 的值
第2 列为这些值的个数，第3 列为这些值的频率。
例4-49
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>> A=[1 2 2 5 6 3 8]
A =
1 2 2 5 6 3 8
>> tabulate(A)
Value Count Percent
1 1 14.29%
2 2 28.57%
3 1 14.29%
4 0 0.00%
5 1 14.29%
6 1 14.29%
7 0 0.00%
8 1 14.29%
4.6.2 经验累积分布函数图形
函数 cdfplot
格式 cdfplot(X) %作样本X（向量）的累积分布函数图形
h = cdfplot(X) %h 表示曲线的环柄
[h,stats] = cdfplot(X) %stats 表示样本的一些特征
例4-50
>> X=normrnd (0,1,50,1);
>> [h,stats]=cdfplot(X)
h =
3.0013
stats =
min: -1.8740 %样本最小值
max: 1.6924 %最大值
mean: 0.0565 %平均值
median: 0.1032 %中间值
std: 0.7559 %样本标准差
4.6.3 最小二乘拟合直线
函数 lsline
格式 lsline %最小二乘拟合直线
h = lsline %h 为直线的句柄
例4-51
>> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';
>> plot(X,'+')
>> lsline
4.6.4 绘制正态分布概率图形
函数 normplot
格式 normplot(X) %若X 为向量，则显示正态分布概率图形，若X 为矩阵，则显
示每一列的正态分布概率图形。
h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄
说明 样本数据在图中用“+”显示；如果数据来自正态分布，则图形显示为直线，而
其它分布可能在图中产生弯曲。
例4-53
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x)
Empirical CDF
图4-10
0 2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
图4-11
>> X=normrnd(0,1,50,1);
>> normplot(X)
图4-12
4.6.5 绘制威布尔(Weibull)概率图形
函数 weibplot
格式 weibplot(X) %若X 为向量，则显示威布尔(Weibull)概率图形，若X 为矩阵，
则显示每一列的威布尔概率图形。
h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄
说明 绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据X，
如果X 是威布尔分布数据，其图形是直线的，否则图形中可能产生弯曲。
例4-54
>> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1);
>> weibplot(r)
10-1 100
0.01
0.02
0.05
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Data
Probability
Weibull Probability Plot
图4-13
4.6.6 样本数据的盒图
函数 boxplot
格式 boxplot(X) %产生矩阵X 的每一列的盒图和“须”图，“须”是从盒的尾部延
伸出来，并表示盒外数据长度的线，如果“须”的外面没有数据，
则在“须”的底部有一个点。
boxplot(X,notch) %当notch=1 时，产生一凹盒图，notch=0 时产生一矩箱图。
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boxplot(X,notch,'sym') %sym 表示图形符号，默认值为“+”。
boxplot(X,notch,'sym',vert) %当vert=0 时，生成水平盒图，vert=1 时，生成竖
直盒图（默认值vert=1）。
boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis 定义“须”图的长度，默认值为1.5，若
whis=0 则boxplot 函数通过绘制sym 符号图来显示盒外的所有数据值。
例4-55
>>x1 = normrnd(5,1,100,1);
>>x2 = normrnd(6,1,100,1);
>>x = [x1 x2];
>> boxplot(x,1,'g+',1,0)
图4-14
4.6.7 给当前图形加一条参考线
函数 refline
格式 refline(slope,intercept) % slope 表示直线斜率，intercept 表示截距
refline(slope) slope=[a b]，图中加一条直线：y=b+ax。
例4-56
>>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]';
>>plot(y,'+')
>>refline(0,3)
图4-15
4.6.8 在当前图形中加入一条多项式曲线
函数 refcurve
格式 h = refcurve(p) %在图中加入一条多项式曲线，h 为曲线的环柄，p 为多项式系
数向量，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中p1 为最高幂项系数。
例4-57 火箭的高度与时间图形，加入一条理论高度曲线，火箭初速为100m/秒。
>>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356];
>>plot(h,'+')
>>refcurve([-4.9 100 0])
图4-16
4.6.9 样本的概率图形
函数 capaplot
格式 p = capaplot(data,specs) %data 为所给样本数据，specs 指定范围，p 表示在指定
范围内的概率。
说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率
例4-58
>> data=normrnd (0,1,30,1);
>> p=capaplot(data,[-2,2])
p =
0.9199
图4-17
4.6.10 附加有正态密度曲线的直方图
函数 histfit
格式 histfit(data) %data 为向量，返回直方图
和正态曲线。
histfit(data,nbins) % nbins 指定bar 的个数，
缺省时为data 中数据个数的平方根。
例4-59
>>r = normrnd (10,1,100,1);
>>histfit(r)
图4-18
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4.6.11 在指定的界线之间画正态密度曲线
函数 normspec
格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs 指定界线，mu,sigma 为正态分布的参数p
为样本落在上、下界之间的概率。
例4-60
>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)
图4-19
4.7 参数估计
4.7.1 常见分布的参数估计
命令 β分布的参数a 和b 的最大似然估计值和置信区间
函数 betafit
格式 PHAT=betafit(X)
[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)
说明 PHAT 为样本X 的β分布的参数a 和b 的估计量
PCI 为样本X 的β分布参数a 和b 的置信区间，是一个2×2 矩阵，其第1 例为参数a
的置信下界和上界，第2 例为b 的置信下界和上界，ALPHA 为显著水平，（1-α）×100%
为置信度。
例4-61 随机产生100 个β分布数据，相应的分布参数真值为4 和3。则4 和3 的最大
似然估计值和置信度为99%的置信区间为：
解：
>>X = betarnd (4,3,100,1); %产生100 个β分布的随机数
>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度为99%的置信区间和参数a、b 的估计值
结果显示
PHAT =
3.9010 2.6193
PCI =
2.5244 1.7488
5.2776 3.4898
说明 估计值3.9010 的置信区间是[2.5244 5.2776]，估计值2.6193 的置信区间是
[1.7488 3.4898]。
命令 正态分布的参数估计
函数 normfit
格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
说明 muhat,sigmahat 分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci 分别为置
信区间，其置信度为(1− α)×100%；alpha 给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度
为95%。
例4-62 有两组(每组100 个元素)正态随机数据，其均值为10，均方差为2，求95%的
置信区间和参数估计值。
解：>>r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据
>>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)
则结果为
mu =
10.1455 10.0527 %各列的均值的估计值
sigma =
1.9072 2.1256 %各列的均方差的估计值
muci =
9.7652 9.6288
10.5258 10.4766
sigmaci =
1.6745 1.8663
2.2155 2.4693
说明 muci，sigmaci 中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为95%。
例4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数
（1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672
（2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
设测定值总体为N(μ,σ2)，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为
0.9 的置信区间。
解：建立M 文件：LX0833.m
X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672];
Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];
[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计
[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计
运行后结果显示如下：
mu =
6.6782
sigma =
0.0039
muci =
6.6750
6.6813
sigmaci =
0.0026
0.0081
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MU =
6.6640
SIGMA =
0.0030
MUCI =
6.6611
6.6669
SIGMACI =
0.0019
0.0071
由上可知，金球测定的μ估计值为6.6782，置信区间为[6.6750，6.6813]；
σ的估计值为0.0039，置信区间为[0.0026，0.0081]。
泊球测定的μ估计值为6.6640，置信区间为[6.6611，6.6669]；
σ的估计值为0.0030，置信区间为[0.0019，0.0071]。
命令 利用mle 函数进行参数估计
函数 mle
格式 phat=mle (′dist′, X) %返回用dist 指定分布的最大似然估计值
[phat, pci]=mle (′dist′, X) %置信度为95%
[phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha) %置信度由alpha 确定
[phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha, pl) %仅用于二项分布，pl 为试验次数。
说明 dist 为分布函数名，如：beta( β 分布)、bino（二项分布）等，X 为数据样本，alpha
为显著水平α，(1− α)×100%为置信度。
例4-64
>> X=binornd(20,0.75) %产生二项分布的随机数
X =
16
>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) %求概率的估计值和置信区间，置信度为95%
p =
0.8000
pci =
0.5634
0.9427
常用分布的参数估计函数
表4-7 参数估计函数表
函数名 调 用 形 式 函 数 说 明
binofit
PHAT= binofit(X, N)
[PHAT, PCI] = binofit(X,N)
[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)
二项分布的概率的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
poissfit
Lambdahat=poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)
泊松分布的参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的λ参数和置信区间
normfit [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)
正态分布的最大似然估计，置信度为95%
返回水平α的期望、方差值和置信区间
betafit PHAT =betafit (X)
[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)
返回β分布参数a 和 b 的最大似然估计
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
unifit
[ahat,bhat] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)
均匀分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
expfit muhat =expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X)
指数分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
[muhat,muci] = expfit(X,alpha) 返回水平α的参数估计和置信区间
gamfit
phat =gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X,alpha)
γ分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
weibfit
phat = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X,alpha)
韦伯分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计及其区间估计
Mle
phat = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)
分布函数名为dist 的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的最大似然估计值和置信区间
仅用于二项分布，pl 为试验总次数
说明 各函数返回已给数据向量X 的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%
的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。
4.7.2 非线性模型置信区间预测
命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合
函数 nlinfit
格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN 中描述的非线性函数的系数。FUN
为用户提供形如yˆ = f (β, X)的函数，该函数返回已给初始参数估计
值β和自变量X 的y 的预测值yˆ 。
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %beta 为拟合系数，r 为残差，J 为Jacobi 矩
阵，beta0 为初始预测值。
说明 若X 为矩阵，则X 的每一列为自变量的取值，y 是一个相应的列向量。如果FUN
中使用了@，则表示函数的柄。
例4-65 调用MATLAB 提供的数据文件reaction.mat
>>load reaction
>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)
betafit =
1.2526
0.0628
0.0400
0.1124
1.1914
命令 非线性模型的参数估计的置信区间
函数 nlparci
格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为95%的置信区间，beta 为非线性最小二乘
法估计的参数值，r 为残差，J 为Jacobian 矩阵。nlparci
可以用nlinfit 函数的输出作为其输入。
例4-66 调用MATLAB 中的数据reaction。
>>load reaction
>>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)
beta =
1.2526
0.0628
0.0400
0.1124
1.1914
resids =
0.1321
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-0.1642
-0.0909
0.0310
0.1142
0.0498
-0.0262
0.3115
-0.0292
0.1096
0.0716
-0.1501
-0.3026
J =
6.8739 -90.6536 -57.8640 -1.9288 0.1614
3.4454 -48.5357 -13.6240 -1.7030 0.3034
5.3563 -41.2099 -26.3042 -10.5217 1.5095
1.6950 0.1091 0.0186 0.0279 1.7913
2.2967 -35.5658 -6.0537 -0.7567 0.2023
11.8670 -89.5655 -170.1745 -8.9566 0.4400
4.4973 -14.4262 -11.5409 -9.3770 2.5744
4.1831 -41.7896 -16.8937 -5.7794 1.0082
11.8286 -51.3721 -154.1164 -27.7410 1.5001
9.1514 -25.5948 -76.7844 -30.7138 2.5790
3.3373 0.0900 0.0720 0.1080 3.5269
9.3663 -102.0611 -107.4327 -3.5811 0.2200
4.7512 -24.4631 -16.3087 -10.3002 2.1141
>>ci = nlparci(beta,resids,J)
ci =
-0.7467 3.2519
-0.0377 0.1632
-0.0312 0.1113
-0.0609 0.2857
-0.7381 3.1208
命令 非线性拟合和显示交互图形
函数 nlintool
格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用2 条红
色曲线预测全局置信区间。beta0 为参数的初始预测值，置信度为95%。
nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100%
例4-67 调用MATLAB 数据
>> load reaction
>> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)
图4-20
命令 非线性模型置信区间预测
函数 nlpredci
格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 为预测值，FUN 与前面相同，beta
为给出的适当参数，r 为残差，J 为Jacobian 矩阵，inputs 为非线
性函数中的独立变量的矩阵值。
[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %delta 为非线性最小二乘法估计
的置信区间长度的一半，当r 长度超过beta 的长度并且J 的列满
秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置
信度为95%的不同步置信区间。
ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信区间的
类型，置信度为100(1-alpha)%。'simopt' = 'on' 或'off' (默认值)分
别表示同步或不同步置信区间。'predopt'='curve' (默认值) 表示输
入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置
信区间。nlpredci 可以用nlinfit 函数的输出作为其输入。
例4-68 续前例，在[100 300 80]处的预测函数值ypred 和置信区间一半宽度delta
>> load reaction
>> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);
>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)
结果为：
ypred =
10.9113
delta =
0.3195
命令 非负最小二乘
函数 nnls（该函数已被函数lsnonneg 代替，在6.0 版中使用nnls 将产生警告信息）
格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程A×x=b 的解，返回在x≥0 的条件下使得
|| A× x − b ||最小的向量x，其中A和b 必须为实矩阵或向量。
x = nnls(A,b,tol) % tol 为指定的误差
[x,w] = nnls(A,b) %当x 中元素xi = 0时，wi ≤ 0，当xi > 0时wi ≅ 0。
[x,w] = nnls(A,b,tol)
例4- 69
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；
>> x=nnls(A,b)
Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.
NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:
[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]
=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;
Use OPTIMSET to define optimization options, or type
'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be
removed in the future; please use NNLS with the new syntax.
x =
0
0.6929
命令 有非负限制的最小二乘
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函数 lsqnonneg
格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0 的条件下使得|| C× x − d ||最小的向量x，其中
C 和d 必须为实矩阵或向量。
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 为初始点，x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options 为指定的优化参数，参见options 函数。
[x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm 表示norm(C*x-d).^2 的残差
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual 表示C*x-d 的残差
例4- 70
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；
>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)
x =
0
0.6929
resnorm =
0.8315
residual =
0.6599
-0.3119
-0.3580
0.4130
4.7.3 对数似然函数
命令 负β 分布的对数似然函数
函数 Betalike
格式 logL=betalike(params,data) %返回负β 分布的对数似然函数，params 为向量[a,
b]，是β 分布的参数，data 为样本数据。
[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher 逆信息矩阵info。如果params 中
输入的参数是极大似然估计值，那么info 的对角元
素为相应参数的渐近方差。
说明 betalike 是β 分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的
元素相互独立。因为betalike 返回负β 对数似然函数，用fmins 函数最小化betalike 与最大
似然估计的功能是相同的。
例4-71 本例所取的数据是随机产生的β 分布数据。
>>r = betarnd(3,3,100,1);
>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)
logL =
-12.4340
info =
0.1185 0.1364
0.1364 0.2061
命令 负γ 分布的对数似然估计
函数 Gamlike
格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data 确定的γ 分布的参数为
params（即[a，b]）的负对数似然函数值
[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher 逆信息矩阵info。如果params
中输入的参数是极大似然估计值，那么info 的对角元
素为相应参数的渐近方差。
说明 gamlike 是γ 分布的最大似然估计函数。因为gamlike 返回γ 对数似然函数值，故
用fmins 函数将gamlike 最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。
例4-72
>>r=gamrnd(2,3,100,1);
>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)
logL =
275.4602
info =
0.0453 -0.0538
-0.0538 0.0867
命令 负正态分布的对数似然函数
函数 normlike
格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、
参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。
[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher 逆信息矩阵info。如果params
中输入的参数是极大似然估计值，那么info 的对角
元素为相应参数的渐近方差。
命令 威布尔分布的对数似然函数
函数 Weiblike
格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data 确定的、威布尔分布
的、参数为params(即[a，b])的对数似然函数值。
[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher 逆信息矩阵info。如果params 中
输入的参数是极大似然估计值，那么info 的对
角元素为相应参数的渐近方差。
说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为
Π Σ
= =
− = − = −
n
i
n
i
L f a b xi f a b xi
1 1
log log ( , | ) log ( , | )
例4-73
>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);
>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)
logL =
237.6682
info =
0.0004 -0.0002
-0.0002 0.0078
4.8 假设检验
4.8.1 σ 2已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U检验法）
函数 ztest
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格式 h = ztest(x,m,sigma) % x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，sigma 为标准差，
显著性水平为0.05(默认值)
h = ztest(x,m,sigma,alpha) %显著性水平为alpha
[h,sig,ci,zval] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当sig 为小概
率时则对原假设提出质疑，ci 为真正均值μ的1-alpha 置
信区间，zval 为统计量的值。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha 下，不能拒绝原假设；
若h=1，表示在显著性水平alpha 下，可以拒绝原假设。
原假设：H0 : μ = μ0 = m，
若tail=0，表示备择假设：H1 : μ ≠ μ0 = m（默认，双边检验）；
tail=1，表示备择假设：H1 : μ > μ0 = m（单边检验）；
tail=-1，表示备择假设：H1 : μ < μ0 = m（单边检验）。
例4-74 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正
态分布。当机器正常时，其均值为0.5 公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否
正常，随机地抽取所包装的糖9 袋，称得净重为（公斤）
0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512
问机器是否正常？
解：总体μ和σ已知，该问题是当σ 2为已知时，在水平α = 0.05下，根据样本值判断
μ=0.5 还是μ ≠ 0.5。为此提出假设：
原假设： H0 : μ = μ0 = 0.5
备择假设：H1 : μ ≠ 0.5
>> X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512];
>> [h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)
结果显示为
h =
1
sig =
0.0248 %样本观察值的概率
ci =
0.5014 0.5210 %置信区间，均值0.5 在此区间之外
zval =
2.2444 %统计量的值
结果表明：h=1，说明在水平α = 0.05下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。
4.8.2 σ 2未知，单个正态总体的均值μ的假设检验( t 检验法)
函数 ttest
格式 h = ttest(x,m) % x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，显著性水平为0.05
h = ttest(x,m,alpha) %alpha 为给定显著性水平
[h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当sig 为小概率时则对原
假设提出质疑，ci 为真正均值μ的1-alpha 置信区间。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha 下，不能拒绝原假设；
若h=1，表示在显著性水平alpha 下，可以拒绝原假设。
原假设：H0 : μ = μ0 = m，
若 tail=0，表示备择假设：H1 : μ ≠ μ0 = m（默认，双边检验）；
tail=1，表示备择假设：H1 : μ > μ0 = m（单边检验）；
tail=-1，表示备择假设：H1 : μ < μ0 = m（单边检验）。
例4-75 某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布， μ 、σ2 均未知。现测得
16 只元件的寿命如下
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250
149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？
解：未知σ2，在水平α = 0.05下检验假设：H0：μ < μ0 = 225，H1：μ > 225
>> X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];
>> [h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)
结果显示为：
h =
0
sig =
0.2570
ci =
198.2321 Inf %均值225 在该置信区间内
结果表明：H=0 表示在水平α = 0.05下应该接受原假设H0，即认为元件的平均寿命不
大于225 小时。
4.8.3 两个正态总体均值差的检验（t 检验）
两个正态总体方差未知但等方差时，比较两正态总体样本均值的假设检验
函数 ttest2
格式 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y) %X，Y 为两个正态总体的样本，显著性水平为0.05
[h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha) %alpha 为显著性水平
[h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig 为当原假设为真时得到观察值的概率，当
sig 为小概率时则对原假设提出质疑，ci 为真正
均值μ的1-alpha 置信区间。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha 下，不能拒绝原假设；
若h=1，表示在显著性水平alpha 下，可以拒绝原假设。
原假设：H0 : μ1 = μ2， (μ1为X为期望值，μ2为Y的期望值)
若 tail=0，表示备择假设：H1 : μ1 ≠ μ2（默认，双边检验）；
tail=1，表示备择假设：H1 : μ1 > μ2（单边检验）；
tail=-1，表示备择假设：H1 : μ1 < μ2（单边检验）。
例4-76 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的产率，试验
是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用
标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼10 炉，其产率分别为
（1）标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
（2）新方法： 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体N( , 2)
μ1 σ 和N( , ) 2
μ2 σ ，μ1、μ2、σ2均未
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知。问建议的新操作方法能否提高产率？（取α=0.05）
解：两个总体方差不变时，在水平α = 0.05下检验假设：H0：μ1 = μ2，H1：μ1 < μ2
>> X=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3];
>>Y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1];
>> [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,0.05,-1)
结果显示为：
h =
1
sig =
2.1759e-004 %说明两个总体均值相等的概率很小
ci =
-Inf -1.9083
结果表明：H=1 表示在水平α = 0.05下，应该拒绝原假设，即认为建议的新操作方法提
高了产率，因此，比原方法好。
4.8.4 两个总体一致性的检验——秩和检验
函数 ranksum
格式 p = ranksum(x,y,alpha) %x、y 为两个总体的样本，可以不等长，alpha 为显著
性水平
[p,h] = ranksum(x,y,alpha) % h 为检验结果，h=0 表示X 与Y 的总体差别不显
著h=1 表示X 与Y 的总体差别显著
[p,h,stats] = ranksum(x,y,alpha) %stats 中包括：ranksum 为秩和统计量的值以及
zval 为过去计算p 的正态统计量的值
说明 P 为两个总体样本X 和Y 为一致的显著性概率，若P 接近于0，则不一致较明显。
例4-77 某商店为了确定向公司A 或公司B 购买某种商品，将A 和B 公司以往的各次
进货的次品率进行比较，数据如下所示，设两样本独立。问两公司的商品的质量有无显著差
异。设两公司的商品的次品的密度最多只差一个平移，取α=0.05。
A：7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5
B：5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3
解：设μA 、μB分别为A、B 两个公司的商品次品率总体的均值。则该问题为在水平α
=0.05 下检验假设：H0：μA = μB，H1：μA ≠ μB
>> A=[7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5];
>> B=[5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3];
>> [p,h,stats]=ranksum(A,B,0.05)
结果为：
p =
0.8041
h =
0
stats =
zval: -0.2481
ranksum: 116
结果表明：一方面，两样本总体均值相等的概率为0.8041，不接近于0；另一方面，H=0
也说明可以接受原假设H0，即认为两个公司的商品的质量无明显差异。
4.8.5 两个总体中位数相等的假设检验——符号秩检验
函数 signrank
格式 p = signrank(X,Y,alpha) % X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为
显著性水平，P 两个样本X 和Y 的中位数相等的概
率，p 接近于0 则可对原假设质疑。
[p,h] = signrank(X,Y,alpha) % h 为检验结果：h=0 表示X 与Y 的中位数之差不
显著，h=1 表示X 与Y 的中位数之差显著。
[p,h,stats] = signrank(x,y,alpha) % stats 中包括：signrank 为符号秩统计量的值以
及zval 为过去计算p 的正态统计量的值。
例4-78 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验
>> x=normrnd(0,1,20,1);
>> y=normrnd(0,2,20,1);
>> [p,h,stats]=signrank(x,y,0.05)
p =
0.3703
h =
0
stats =
zval: -0.8960
signedrank: 81
结果表明：h=0 表示X 与Y 的中位数之差不显著
4.8.6 两个总体中位数相等的假设检验——符号检验
函数 signtest
格式 p=signtest(X, Y, alpha) % X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为显
著性水平，P 两个样本X 和Y 的中位数相等的概率，p
接近于0 则可对原假设质疑。
[p, h]=signtest(X, Y, alpha) % h 为检验结果：h=0 表示X 与Y 的中位数之差不显
著，h=1 表示X 与Y 的中位数之差显著。
[p,h,stats] = signtest(X,Y,alpha) % stats 中sign 为符号统计量的值
例4-79 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验
>> X=normrnd(0,1,20,1);
>> Y=normrnd(0,2,20,1);
>> [p,h,stats]=signtest(X,Y,0.05)
p =
0.2632
h =
0
stats =
sign: 7
结果表明：h=0 表示X 与Y 的中位数之差不显著
4.8.7 正态分布的拟合优度测试
函数 jbtest
格式 H = jbtest(X) %对输入向量X 进行Jarque-Bera 测试，显著性水平为0.05。
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H = jbtest(X,alpha) %在水平alpha 而非5%下施行 Jarque-Bera 测试，alpha 在
0 和1 之间。
[H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于0，则
可以拒绝是正态分布的原假设；JBSTAT 为测试统计量的值，CV
为是否拒绝原假设的临界值。
说明 H 为测试结果，若H=0，则可以认为X 是服从正态分布的；若X=1，则可以否
定X 服从正态分布。X 为大样本，对于小样本用lillietest 函数。
例4-80 调用MATLAB 中关于汽车重量的数据，测试该数据是否服从正态分布
>> load carsmall
>> [h,p,j,cv]=jbtest(Weight)
h =
1
p =
0.0267
j =
7.2448
cv =
5.9915
说明 p=2.67%表示应该拒绝服从正态分布的假设；h=1 也可否定服从正态分布；统计
量的值j = 7.2448 大于接受假设的临界值cv =5.9915，因而拒绝假设(测试水平为5%)。
4.8.8 正态分布的拟合优度测试
函数 lillietest
格式 H = lillietest(X) %对输入向量X 进行Lilliefors 测试，显著性水平为0.05。
H = lillietest(X,alpha) %在水平alpha 而非5%下施行Lilliefors 测试，alpha 在
0.01 和0.2 之间。
[H,P,LSTAT,CV] = lillietest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于0，
则可以拒绝是正态分布的原假设；LSTAT 为测试统计量的值，
CV 为是否拒绝原假设的临界值。
说明 H 为测试结果，若H=0，则可以认为X 是服从正态分布的；若X=1，则可以否定
X 服从正态分布。
例4-81
>> Y=chi2rnd(10,100,1);
>> [h,p,l,cv]=lillietest(Y)
h =
1
p =
0.0175
l =
0.1062
cv =
0.0886
说明 h=1 表示拒绝正态分布的假设；p = 0.0175 表示服从正态分布的概率很小；统计
量的值l = 0.1062 大于接受假设的临界值cv =0.0886，因而拒绝假设(测试水平为5%)。
>>hist(Y)
图4-21
从图中看出，数据Y 不服从正态分布。
4.8.9 单个样本分布的 Kolmogorov-Smirnov 测试
函数 kstest
格式 H = kstest(X) %测试向量X 是否服从标准正态分布，测试水平为5%。
H = kstest(X,cdf) %指定累积分布函数为cdf 的测试(cdf=[ ]时表示标准正态分
布)，测试水平为5%
H = kstest(X,cdf,alpha) % alpha 为指定测试水平
[H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha) %P 为原假设成立的概率，KSSTAT 为测
试统计量的值，CV 为是否接受假设的临界值。
说明 原假设为X 服从标准正态分布。若H=0 则不能拒绝原假设，H=1 则可以拒绝原
假设。
例4-82 产生100 个威布尔随机数，测试该随机数服从的分布
>> x=weibrnd(1,2,100,1);
>> [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x weibcdf(x,1,2)],0.05) %测试是否服从威布尔分布
H =
0
p =
0.3022
ksstat =
0.0959
cv =
0.1340
说明 H=0 表示接受原假设，统计量ksstat 小于临界值表示接受原假设。
>> [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x expcdf(x,1)],0.05) %测试是否服从指数分布
H =
1
p =
0.0073
ksstat =
0.1653
cv =
0.1340
说明 H=1 表明拒绝服从指数分布的假设。
>> [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[ ],0.05) %测试是否服从标准正态分布
H =
1
p =
3.1285e-026
ksstat =
0.5380
cv =
0.1340
说明 H=1 表明不服从标准正态分布。
4.8.10 两个样本具有相同的连续分布的假设检验
函数 kstest2
格式 H = kstest2(X1,X2) %测试向量X1 与X2 是具有相同的连续分布，测试水
平为5%。
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H = kstest2(X1,X2,alpha) % alpha 为测试水平
[H,P,KSSTAT] = kstest(X,cdf,alpha) %与指定累积分布cdf 相同的连续分布，P
为假设成立的概率，KSSTAT 为测试统计量的值。
说明 原假设为具有相同连续分布。测试结果为H，若H=0，表示应接受原假设；若
H=1，表示可以拒绝原假设。这是Kolmogorov-Smirnov 测试方法。
例4-83
>> x=-1:1:5;
>> y=randn(20,1);
>> [h,p,k]=kstest2(x,y)
h =
1
p =
0.0444
k =
0.5643
说明 h=1 表示可以认为向量x 与y 的分布不相同，相同的概率只有4.4%。
4.9 方差分析
4.9.1 单因素方差分析
单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它返回原假设——均值相等的概率
函数 anova1
格式 p = anova1(X) %X 的各列为彼此独立的样本观察值，其元素个数相同，p 为各
列均值相等的概率值，若p 值接近于0，则原假设受到怀疑，
说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。
p = anova1(X,group) %X 和group 为向量且group 要与X 对应
p = anova1(X,group,'displayopt') % displayopt=on/off 表示显示与隐藏方差分析
表图和盒图
[p,table] = anova1(…) % table 为方差分析表
[p,table,stats] = anova1(…) % stats 为分析结果的构造
说明 anova1 函数产生两个图：标准的方差分析表图和盒图。
方差分析表中有6 列：第1 列(source)显示：X 中数据可变性的来源；第2 列(SS)显示：
用于每一列的平方和；第3 列(df)显示：与每一种可变性来源有关的自由度；第4 列(MS)显
示：是SS/df 的比值；第5 列(F)显示：F 统计量数值，它是MS 的比率；第6 列显示：从F
累积分布中得到的概率，当F 增加时，p 值减少。
例4-84 设有3 台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的厚度，精确
至‰厘米。得结果如下：
机器1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
机器2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
机器3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262
检验各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异？
解：
>> X=[0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261;…
0.258 0.264 0.259 0.267 0.262];
>> P=anova1(X')
结果为：
P =
1.3431e-005
还有两个图，即图4-22 和图4-23。
1 2 3
0.235
0.24
0.245
0.25
0.255
0.26
0.265
Values
Column Number
图4-22 图4-23
例4-85 建筑横梁强度的研究：3000 磅力量作用在一英寸的横梁上来测量横梁的挠度，
钢筋横梁的测试强度是：82 86 79 83 84 85 86 87；其余两种更贵的合金横梁强度
测试为合金1：74 82 78 75 76 77；合金2：79 79 77 78 82 79]。
检验这些合金强度有无明显差异？
解：
>> strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
>>alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st', 'al1','al1','al1','al1','al1','al1',…
'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};
>> [p,table,stats] = anova1(strength,alloy,'on')
结果为
p =
1.5264e-004
table =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F'
'Groups' [184.8000] [ 2] [92.4000] [15.4000] [1.5264e-004]
'Error' [102.0000] [17] [ 6.0000] [ ] [ ]
'Total' [286.8000] [19] [ ] [ ] [ ]
stats =
gnames: {3x1 cell}
n: [8 6 6]
source: 'anova1'
means: [84 77 79]
df: 17
s: 2.4495
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st al1 al2
74
76
78
80
82
84
86
Values
图4-24 图4-25
说明 p 值显示，3 种合金是明显不同的，盒图显示钢横梁的挠度大于另两种合金横梁
的挠度。
4.9.2 双因素方差分析
函数 anova2
格式 p = anova2(X,reps)
p = anova2(X,reps,'displayopt')
[p,table] = anova2(…)
[p,table,stats] = anova2(…)
说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较X 中两个或多个列（行）的均值，不
同列的数据表示因素A 的差异，不同行的数据表示另一因素B 的差异。如果行列对有多于
一个的观察点，则变量reps 指出每一单元观察点的数目，每一单元包含reps 行，如：
}
}
}B 3
B 2
B 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
A 1 A 2
321 322
311 312
221 222
211 212
121 122
111 112
=
=
=
? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
= =
reps=2
其余参数与单因素方差分析参数相似。
例4-86 一火箭使用了4 种燃料，3 种推进器作射程试验，每种燃料与每种推进器的组
合各发射火箭2 次，得到结果如下：
推进器（B） B1 B2 B3
A1 58.2000 56.2000 65.3000
52.6000 41.2000 60.8000
A2 49.1000 54.1000 51.6000
燃料A 42.8000 50.5000 48.4000
A3 60.1000 70.9000 39.2000
58.3000 73.2000 40.7000
A4 75.8000 58.2000 48.7000
71.5000 51.0000 41.4000
考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响？
解：建立M 文件
X=[58.2000 56.2000 65.3000
52.6000 41.2000 60.8000
49.1000 54.1000 51.6000
42.8000 50.5000 48.4000
60.1000 70.9000 39.2000
58.3000 73.2000 40.7000
75.8000 58.2000 48.7000
71.5000 51.0000 41.4000];
P=anova2(X,2)
结果为：
P =
0.0035 0.0260 0.0001
显示方差分析图为图4-26。
图4-26
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第5 章优化问题
5.1 线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0 解决的线性规
划问题的标准形式为：
min f′ x x∈Rn
sub.to：A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
lb ≤ x ≤ ub
其中f、x、b、beq、lb、ub 为向量，A、Aeq 为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB6.0 版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog 取代了
MATLAB5.x 版中的lp 函数。当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在
6.0 版中仍可使用。
函数 linprog
格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to A ⋅ x ≤ b线性规划的最优解。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束Aeq ⋅ x = beq ，若没有不等式约束
A ⋅ x ≤ b，则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x 的范围lb ≤ x ≤ ub，若没有等式约束
Aeq ⋅ x = beq ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定的优化参数
[x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x。
[x,lambda,exitflag] = linprog(…) % lambda 为解x 的Lagrange 乘子。
[x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…) % exitflag 为终止迭代的错误条件。
[x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…) % output 为关于优化的一些信息
说明 若exitflag>0 表示函数收敛于解x，exitflag=0 表示超过函数估值或迭代的最大数
字，exitflag<0 表示函数不收敛于解x；若lambda=lower 表示下界lb，lambda=upper 表示上
界ub，lambda=ineqlin 表示不等式约束，lambda=eqlin 表示等式约束，lambda 中的非0 元素
表示对应的约束是有效约束；output=iterations 表示迭代次数，output=algorithm 表示使用的
运算规则，output=cgiterations 表示PCG 迭代次数。
例5-1 求下面的优化问题
min − 5x1 − 4x2 − 6x3
sub.to x1 − x2 + x3 ≤ 20
3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 42
3x1 + 2x2 ≤ 30
0 ≤ x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3
解：
>>f = [-5; -4; -6];
>>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0];
>>b = [20; 42; 30];
>>lb = zeros(3,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)
结果为：
x = %最优解
0.0000
15.0000
3.0000
fval = %最优值
-78.0000
exitflag = %收敛
1
output =
iterations: 6 %迭代次数
cgiterations: 0
algorithm: 'lipsol' %所使用规则
lambda =
ineqlin: [3x1 double]
eqlin: [0x1 double]
upper: [3x1 double]
lower: [3x1 double]
>> lambda.ineqlin
ans =
0.0000
1.5000
0.5000
>> lambda.lower
ans =
1.0000
0.0000
0.0000
表明：不等约束条件2 和3 以及第1 个下界是有效的
5.2 foptions 函数
对于优化控制，MATLAB 提供了18 个参数，这些参数的具体意义为：
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1 时显示一些结果。
options(2)-优化点x 的精度控制(默认值为1e-4)。
options(3)-优化函数F 的精度控制(默认值为1e-4)。
options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
options(5)-算法选择，不常用。
options(6)-优化程序方法选择，为0 则为BFCG 算法，为1 则采用DFP 算法。
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options(7)-线性插值算法选择，为0 则为混合插值算法，为1 则采用立方插算法。
options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda )
options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。
options(10)-函数和约束估值的数目。
options(11)-函数梯度估值的个数。
options(12)-约束估值的数目。
options(13)-等约束条件的个数。
options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数）
options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。
options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
options(18)-步长设置 (默认为1 或更小)。
Foptions 已经被optimset 和optimget 代替，详情请查函数optimset 和optimget。
5.3 非线性规划问题
5.3.1 有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为min f (x)
x
sub.to x1 < x < x2
在MATLAB5.x 中使用fmin 函数求其最小值。
函数 fminbnd
格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x在区间x1 < x < x2上函数fun 取最小值
时x 值，fun 为目标函数的表达式字符串或MATLAB
自定义函数的函数柄。
x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options 为指定优化参数选项
[x,fval] = fminbnd(…) % fval 为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag] = fminbnd(…) %xitflag 为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output 为优化信息
说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭
代的最大数字，exitflag<0 表示函数不收敛于x；若参数output=iterations 表示迭代次数，
output=funccount 表示函数赋值次数，output=algorithm 表示所使用的算法。
例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。
x
3
e
f (x) = x + cos x + x log x
解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x =
0.5223
fval =
0.3974
exitflag =
1
output =
iterations: 9
funcCount: 9
algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值f (x) = (x − 3)3 −1
解：先自定义函数：在MATLAB 编辑器中建立M 文件为：
function f = myfun(x)
f = (x-3).^2 - 1;
保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：
>> x=fminbnd(@myfun,0,5)
则结果显示为：
x =
3
5.3.2 无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为min f (x)
x
其中：x 为向量，如x = [x1, x2,L, xn]
在MATLAB5.x 中使用fmins 求其最小值。
命令 利用函数fminsearch 求无约束多元函数最小值
函数 fminsearch
格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0 为初始点，fun 为目标函数的表达式字符串或
MATLAB 自定义函数的函数柄。
x = fminsearch(fun,x0,options) % options 查optimset
[x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值
[x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag 与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output 与单变量情形一致
注意：fminsearch 采用了Nelder-Mead 型简单搜寻法。
例5-4 求222 1
3
1 2
3
y = 2x1 + 4x x −10x x + x 的最小值点
解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])
结果为
X =
1.0016 0.8335
或在MATLAB 编辑器中建立函数文件
function f=myfun(x)
f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;
保存为myfun.m，在命令窗口键入
>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])
结果为：
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X =
1.0016 0.8335
命令 利用函数fminunc 求多变量无约束函数最小值
函数 fminunc
格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0 的最小函数值点
x = fminunc(fun,x0,options) % options 为指定优化参数
[x,fval] = fminunc(…) %fval 最优点x 处的函数值
[x,fval,exitflag] = fminunc(…) % exitflag 为终止迭代的条件，与上同。
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(…) %output 为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…) % grad 为函数在解x 处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(…) %目标函数在解x 处的海赛
（Hessian）值
注意：当函数的阶数大于2 时，使用fminunc 比fminsearch 更有效，但当所选函数高度
不连续时，使用fminsearch 效果较好。
例5-5 求22
1 2
2
f(x) = 3x1 + 2x x + x 的最小值。
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';
>> x0=[1 1];
>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)
结果为：
x =
1.0e-008 *
-0.7591 0.2665
fval =
1.3953e-016
exitflag =
1
output =
iterations: 3
funcCount: 16
stepsize: 1.2353
firstorderopt: 1.6772e-007
algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
grad =
1.0e-006 *
-0.1677
0.0114
hessian =
6.0000 2.0000
2.0000 2.0000
或用下面方法：
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')
fun =
Inline function:
fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2
>> x0=[1 1]；
>> x=fminunc(fun,x0)
x =
1.0e-008 *
-0.7591 0.2665
5.3.3 有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为：
min f (x)
x
sub.to C(x) ≤ 0
Ceq (x) = 0
A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
lb ≤ x ≤ ub
其中：x、b、beq、lb、ub 是向量，A、Aeq 为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，
f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。
在MATLAB5.x 中，它的求解由函数constr 实现。
函数 fmincon
格式 x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…)
参数说明：fun 为目标函数，它可用前面的方法定义；
x0 为初始值；
A、b 满足线性不等式约束A ⋅ x ≤ b，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]；
Aeq、beq 满足等式约束Aeq ⋅ x = beq，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；
lb、ub 满足lb ≤ x ≤ ub，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；
nonlcon 的作用是通过接受的向量x 来计算非线性不等约束C(x) ≤ 0和等式
约束Ceq (x) = 0分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，
如：>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非
线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)
C = … % 计算x 处的非线性不等约束C(x) ≤ 0的函数值。
Ceq = … % 计算x 处的非线性等式约束Ceq (x) = 0的函数值。
lambda 是Lagrange 乘子，它体现哪一个约束有效。
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output 输出优化信息；
grad 表示目标函数在x 处的梯度；
hessian 表示目标函数在x 处的Hessiab 值。
例5-6 求下面问题在初始点（0，1）处的最优解
min 1 2 1 2
22
2
x1 + x − x x − 2x − 5x
sub.to (x 1) x2 0
2
− 1 − + ≥
2x1 − 3x2 + 6 ≥ 0
解：约束条件的标准形式为
sub.to (x 1) x2 0
2
1 − − ≤
− 2 x1 + 3 x2 ≤ 6
先在MATLAB 编辑器中建立非线性约束函数文件：
function [c, ceq]=mycon (x)
c=(x(1)-1)^2-x(2);
ceq=[ ]; %无等式约束
然后，在命令窗口键入如下命令或建立M 文件：
>>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; %目标函数
>>x0=[0 1];
>>A=[-2 3]; %线性不等式约束
>>b=6;
>>Aeq=[ ]; %无线性等式约束
>>beq=[ ];
>>lb=[ ]; %x 没有下、上界
>>ub=[ ];
>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]
=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
则结果为
x =
3 4
fval =
-13
exitflag = %解收敛
1
output =
iterations: 2
funcCount: 9
stepsize: 1
algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
firstorderopt: [ ]
cgiterations: [ ]
lambda =
lower: [2x1 double] %x 下界有效情况，通过lambda.lower 可查看。
upper: [2x1 double] %x 上界有效情况，为0 表示约束无效。
eqlin: [0x1 double] %线性等式约束有效情况，不为0 表示约束有效。
eqnonlin: [0x1 double] %非线性等式约束有效情况。
ineqlin: 2.5081e-008 %线性不等式约束有效情况。
ineqnonlin: 6.1938e-008 %非线性不等式约束有效情况。
grad = %目标函数在最小值点的梯度
1.0e-006 *
-0.1776
0
hessian = %目标函数在最小值点的Hessian 值
1.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000
例5-7 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。
Min f (x) = −x1x2x3
Sub.to 0 ≤ x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 72
解：约束条件的标准形式为
sub.to − x1 − 2 x2 − 2 x3 ≤ 0
x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 72
>> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';
>> x0=[10,10,10];
>> A=[-1 -2 -2;1 2 2];
>> b=[0;72];
>> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)
结果为：
x =
24.0000 12.0000 12.0000
fval =
-3456
5.3.4 二次规划问题
二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：
2 x H x f x
min 1 ′ + ′
sub.to A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
lb ≤ x ≤ ub
其中，H、A、Aeq 为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x 为向量
其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x 版中的qp 函数已被6.0 版中的函数quadprog 取代。
函数 quadprog
格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b 为标准形中的参数，x 为目标函数的最小
值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件Aeq ⋅ x = beq。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub 分别为解x 的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0 为设置的初值
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定的优化参数
[x,fval] = quadprog(…) %fval 为目标函数最优值
[x,fval,exitflag] = quadprog(…) % exitflag 与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output 与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda 与线性规划中参数意义
相同
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例5-8 求解下面二次规划问题
1 2 1 2
22
2
2 x1 x x x 2x 6x
min f (x) = 1 + − − −
sub.to
x1 + x2 ≤ 2
− x1 + 2x2 ≤ 2
2x1 + x2 ≤ 3
0 ≤ x1, 0 ≤ x2
解： 2 x H x f x
f(x) = 1 ′ + ′
则??
?
??
?
−
−
=
1 2
1 1
H ， ??
?
??
?
−
−
=
6
2
f ， ??
?
??
?
=
2
1
x
x
x
在MATLAB 中实现如下：
>>H = [1 -1; -1 2] ;
>>f = [-2; -6];
>>A = [1 1; -1 2; 2 1];
>>b = [2; 2; 3];
>>lb = zeros(2,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)
结果为：
x = %最优解
0.6667
1.3333
fval = %最优值
-8.2222
exitflag = %收敛
1
output =
iterations: 3
algorithm: 'medium-scale: active-set'
firstorderopt: [ ]
cgiterations: [ ]
lambda =
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [3x1 double]
>> lambda.ineqlin
ans =
3.1111
0.4444
0
>> lambda.lower
ans =
0
0
说明 第1、2 个约束条件有效，其余无效。
例5-9 求二次规划的最优解
max f (x1, x2)=x1x2+3
sub.to x1+x2-2=0
解：化成标准形式：
3
x
(0, 0) x
x
x
1 0
(x x ) 0 1 2
min f (x x ) x x 3 1
2
1
2
1
2 1 2 1 2 1 − ??
?
??
+ ? ??
?
??
?
??
?
??
?
−
−
= − − =
sub.to x1+x2=2
在Matlab 中实现如下：
>>H=[0,-1;-1,0];
>>f=[0;0];
>>Aeq=[1 1];
>>b=2;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,[ ],[ ],Aeq,b)
结果为：
x =
1.0000
1.0000
fval =
-1.0000
exitflag =
1
output =
firstorderopt: 0
iterations: 1
cgiterations: 1
algorithm: [1x58 char]
lambda =
eqlin: 1.0000
ineqlin: [ ]
lower: [ ]
upper: [ ]
5.4 “半无限”有约束的多元函数最优解
“半无限”有约束多元函数最优解问题的标准形式为
min f (x)
x
sub.to C(x) ≤ 0
Ceq(x) = 0
A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
K1 (x,w1) ≤ 0
K2 (x,w2) ≤ 0
…
Kn (x,wn) ≤ 0
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其中：x、b、beq、lb、ub 都是向量；A、Aeq 是矩阵；C(x)、Ceq(x)、Ki (x,wi)是返回
向量的函数，f(x)为目标函数；f(x)、C(x)、Ceq(x)是非线性函数；Ki (x,wi)为半无限约束，
w1,w2,L,wn通常是长度为2 的向量。
在MTALAB5.x 中，使用函数seminf 解决这类问题。
函数 fseminf
格式 x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
[x,fval] = fseminf(…)
[x,fval,exitflag] = fseminf(…)
[x,fval,exitflag,output] = fseminf(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(…)
参数说明：x0 为初始估计值；
fun 为目标函数，其定义方式与前面相同；
A、b 由线性不等式约束A ⋅ x ≤ b确定，没有，则A=[ ]，b=[ ]；
Aeq、beq 由线性等式约束Aeq ⋅ x = beq确定，没有，则Aeq=[ ]，beq=[ ]；
Lb、ub 由变量x 的范围l b ≤ x ≤ u b确定；
options 为优化参数；
ntheta 为半无限约束的个数；
seminfcon 用来确定非线性约束向量C 和Ceq 以及半无限约束的向量K1，
K2，…，Kn，通过指定函数柄来使用，如：
x = fseminf(@myfun,x0,ntheta,@myinfcon)
先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为myinfcon.m：
function [C,Ceq,K1,K2,…,Kntheta,S] = myinfcon(x,S)
%S 为向量w 的采样值
% 初始化样本间距
if isnan(S(1,1))，
S = … % S 有ntheta 行2 列
end
w1 = … %计算样本集
w2 = … %计算样本集
…
wntheta = … % 计算样本集
K1 = … % 在x 和w 处的第1 个半无限约束值
K2 = … %在x 和w 处的第2 个半无限约束值
…
Kntheta = … %在x 和w 处的第ntheta 个半无限约束值
C = … % 在x 处计算非线性不等式约束值
Ceq = … % 在x 处计算非线性等式约束值
如果没有约束，则相应的值取为“[ ]”，如Ceq=[]
fval 为在x 处的目标函数最小值；
exitflag 为终止迭代的条件；
output 为输出的优化信息；
lambda 为解x 的Lagrange 乘子。
例5-10 求下面一维情形的最优化问题
2
3
2
2
2
x 1
min f (x) = (x − 0.5) + (x − 0.5) + (x − 0.5)
sub.to
1000 (w 50) sin(w x ) x 1
K (x,w ) sin(w x ) cos(w x ) 1 1 3 3
2
1 1 = 1 1 1 2 − 1 − − − ≤
1000 (w 50) sin(w x ) x 1
K (x,w ) sin(w x ) cos(w x ) 1 2 3 3
2
2 2 = 2 2 2 1 − 2 − − − ≤
1≤ w1 ≤100
1≤ w2 ≤100
解：将约束方程化为标准形式：
1000 (w 50) sin(w x ) x 1 0
K (x,w ) sin(w x ) cos(w x ) 1 1 3 3
2
1 1 = 1 1 1 2 − 1 − − − − ≤
1000 (w 50) sin(w x ) x 1 0
K (x,w ) sin(w x ) cos(w x ) 1 2 3 3
2
2 2 = 2 2 2 1 − 2 − − − − ≤
先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m：
function [C,Ceq,K1,K2,S] = mycon(X,S)
% 初始化样本间距：
if isnan(S(1,1)),
S = [0.2 0; 0.2 0];
end
% 产生样本集：
w1 = 1:S(1,1):100;
w2 = 1:S(2,1):100;
% 计算半无限约束：
K1 = sin(w1*X(1)).*cos(w1*X(2)) - 1/1000*(w1-50).^2 -sin(w1*X(3))-X(3)-1;
K2 = sin(w2*X(2)).*cos(w2*X(1)) - 1/1000*(w2-50).^2 -sin(w2*X(3))-X(3)-1;
% 无非线性约束：
C = [ ]; Ceq=[ ];
% 绘制半无限约束图形
plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite constraints')
然后在MATLAB 命令窗口或编辑器中建立M 文件：
fun = 'sum((x-0.5).^2)';
x0 = [0.5; 0.2; 0.3]; % Starting guess
[x,fval] = fseminf(fun,x0,2,@mycon)
结果为：
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x =
0.6673
0.3013
0.4023
fval =
0.0770
>>[C,Ceq,K1,K2] = mycon (x,NaN); % 利用初始样本间距
>>max(K1)
ans =
-0.0017
>>max(K2)
ans =
-0.0845
图5-1
例5-11 求下面二维情形的最优化问题
2
3
2
2
2
x 1
min f (x) = (x − 0.2) + (x − 0.2) + (x − 0.2)
sub.to
= − − − 1 3 − 3 +L
2
1 1 1 2 2 1000 (w1 50) sin(w x ) x
K (x,w) sin(w x ) cos(w x ) 1
1000 (w 50) sin(w x ) x 1.5
sin(w x ) cos(w x ) 1 2 3 3
2
2 2 1 1 − 2 − − − ≤
1≤ w1 ≤100
1≤ w2 ≤100
初始点为x0=[0.25, 0.25, 0.25]。
解：先建立非线性和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m：
function [C,Ceq,K1,S] = mycon(X,S)
% 初始化样本间距：
if isnan(s(1,1)),
s = [2 2];
end
% 设置样本集
w1x = 1:s(1,1):100;
w1y = 1:s(1,2):100;
[wx, wy] = meshgrid(w1x,w1y);
% 计算半无限约束函数值
K1 = sin(wx*X(1)).*cos(wx*X(2))-1/1000*(wx-50).^2 -sin(wx*X(3))-X(3)+…
sin(wy*X(2)).*cos(wx*X(1))-1/1000*(wy-50).^2-sin(wy*X(3))-X(3)-1.5;
% 无非线性约束
C = [ ]; Ceq=[ ];
%作约束曲面图形
m = surf(wx,wy,K1,'edgecolor','none','facecolor','interp');
camlight headlight
title('Semi-infinite constraint')
drawnow
然后在MATLAB 命令窗口下键入命令：
>>fun = 'sum((x-0.2).^2)';
>>x0 = [0.25, 0.25, 0.25];
>>[x,fval] = fseminf(fun,x0,1,@mycon)
结果为（如图）
x =
0.2926 0.1874 0.2202
fval =
0.0091
>>[c,ceq,K1] = mycon(x,[0.5,0.5]); % 样本间距为0.5
>>max(max(K1))
ans =
-0.0027
5.5 极小化极大（Minmax）问题
极小化极大问题的标准形式为
min max {Fi(x)}
x {Fi}
sub.to C(x) ≤ 0
Ceq (x) = 0
A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
lb ≤ x ≤ ub
其中：x、b、beq、lb、ub 是向量，A、Aeq 为矩阵，C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的
函数，F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。
在MATLAB5.x 中，它的求解由函数minmax 实现。
函数 fminimax
格式 x = fminimax(fun,x0)
x = fminimax(fun,x0,A,b)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval,maxfval] = fminimax(…)
[x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(…)
图5-2
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[x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(…)
[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(…)
参数说明：fun 为目标函数；
x0 为初始值；
A、b 满足线性不等约束A ⋅ x ≤ b，若没有不等约束，则取A=[ ]，b=[ ]；
Aeq、beq 满足等式约束Aeq ⋅ x = beq，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；
lb、ub 满足lb ≤ x ≤ ub，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；
nonlcon 的作用是通过接受的向量x 来计算非线性不等约束C(x) ≤ 0和等式约束
Ceq (x) = 0分别在x 处的值C 和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x =
fminimax(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，
并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)
C = … % 计算x 处的非线性不等约束C(x) ≤ 0的函数值。
Ceq = … % 计算x 处的非线性等式约束Ceq (x) = 0的函数值。
options 为指定的优化参数；
fval 为最优点处的目标函数值；
maxfval 为目标函数在x 处的最大值；
exitflag 为终止迭代的条件；
lambda 是Lagrange 乘子，它体现哪一个约束有效。
output 输出优化信息。
例5-12 求下列函数最大值的最小化问题
[ f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x) ]
其中：f (x) 2x x 48x1 40x2 304
22
2
1 = 1 + − − +
22
22
f2(x) = −x − 3x
f3(x) = x1 + 3x2 −18
f4(x) = −x1 − x2
f5(x) = x1 + x2 − 8
解：先建立目标函数文件，并保存为myfun.m：function f = myfun(x)
f(1)= 2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;
f(2)= -x(1)^2 - 3*x(2)^2;
f(3)= x(1) + 3*x(2) -18;
f(4)= -x(1)- x(2);
f(5)= x(1) + x(2) - 8;
然后，在命令窗口键入命令：
x0 = [0.1; 0.1]; % 初始值
[x,fval] = fminimax(@myfun,x0)
结果为：
x =
4.0000
4.0000
fval =
0.0000 -64.0000 -2.0000 -8.0000 -0.0000
例5-13 求上述问题的绝对值的最大值最小化问题。
目标函数为：[ | f1(x) |, | f2(x) |, | f3(x) |, | f4(x) |, | f5(x) | ]
解：先建立目标函数文件（与上例相同）
然后，在命令窗口或编辑器中建立M 文件：
>>x0 = [0.1; 0.1]; % 初始点
>>options = optimset('MinAbsMax',5); % 指定绝对值的最小化
>>[x,fval] = fminimax(@myfun,x0,[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],options)
则结果为
x =
4.9256
2.0796
fval =
37.2356 -37.2356 -6.8357 -7.0052 -0.9948
5.6 多目标规划问题
多目标规划是指在一组约束下，对多个不同目标函数进行优化。它的一般形式为
min [ f1(x), f2 (x),L, fm(x) ]
sub.to gj(x) ≤ 0 j =1, 2,L, p
其中：x = (x1, x2,L, xn)。
在同一约束下，当目标函数处于冲突状态时，不存在最优解x 使所有目标函数同时达到
最优。此时，我们使用有效解，即如果不存在x∈S，使得f (x) f (x*)
i ≥ i ，i=1,2,…m, 则称x*
为有效解。
在MATLAB 中，多目标问题的标准形式为
γ
x , γ
min imize
sub.to F(x) − weight ⋅ γ ≤ goal
C(x) ≤ 0
Ceq (x) = 0
A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
lb ≤ x ≤ ub
其中：x、b、beq、lb、ub 是向量；A、Aeq 为矩阵；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的
函数；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数；weight 为权值系数向量，用于控制对应的目
标函数与用户定义的目标函数值的接近程度；goal 为用户设计的与目标函数相应的目标函数
值向量； γ 为一个松弛因子标量；F(x)为多目标规划中的目标函数向量。
在MATLAB5.x 中，它的最优解由attgoal 函数实现。
函数 fgoalattain
格式 x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)
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x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor] = fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(…)
参数说明：
x0 为初始解向量；
fun 为多目标函数的文件名字符串，其定义方式与前面fun 的定义方式相同；
goal 为用户设计的目标函数值向量；
weight 为权值系数向量，用于控制目标函数与用户自定义目标值的接近程度；
A、b 满足线性不等式约束A ⋅ x ≤ b，没有时取A=[ ]，b=[ ]；
Aeq、beq 满足线性等式约束Aeq ⋅ x = beq，没有时取Aeq=[ ]，beq=[ ]；
lb、ub 为变量的下界和上界：lb ≤ x ≤ ub；
nonlcon 的作用是通过接受的向量x 来计算非线性不等约束C(x) ≤ 0和等式约束
Ceq (x) = 0分别在x 处的值C 和Ceq，通过指定函数柄来使用。
如：>>x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，
先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)
C = … % 计算x 处的非线性不等式约束C(x) ≤ 0的函数值。
Ceq = … % 计算x 处的非线性等式约束Ceq (x) = 0的函数值。
options 为指定的优化参数；
fval 为多目标函数在x 处的值；
attainfactor 为解x 处的目标规划因子；
exitflag 为终止迭代的条件；
output 为输出的优化信息；
lambda 为解x 处的Lagrange 乘子
例5-14 控制系统输出反馈器设计。
设如下线性系统
x& = Ax + Bu
y = Cx
其中：
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
−
−
−
=
0 1 2
0 2 10
o.5 0 0
A
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
= −
0 1
2 2
1 0
B ??
?
??
?
=
0 0 1
1 0 0
C
要求设计输出反馈控制器K，使闭环系统
x& = (A + BKC) x + Bu
y = Cx
在复平面实轴上点[-5，-3，-1]的左侧有极点，并要求 − 4 ≤ Ki j ≤ 4 ( i, j =1, 2 )
解：上述问题就是要求解矩阵K，使矩阵（A+BKC）的极点为[-5，-3，-1]，这是一个
多目标规划问题。
先建立目标函数文件，保存为eigfun.m：
function F = eigfun(K,A,B,C)
F = sort(eig(A+B*K*C)); % 估计目标函数值
然后，输入参数并调用优化程序：
A = [-0.5 0 0; 0 -2 10; 0 1 -2];
B = [1 0; -2 2; 0 1];
C = [1 0 0; 0 0 1];
K0 = [-1 -1; -1 -1]; % 初始化控制器矩阵
goal = [-5 -3 -1]; % 为闭合环路的特征值（极点）设置目标值向量
weight = abs(goal) % 设置权值向量
lb = -4*ones(size(K0)); % 设置控制器的下界
ub = 4*ones(size(K0)); % 设置控制器的上界
options = optimset('Display','iter'); % 设置显示参数：显示每次迭代的输出
[K,fval,attainfactor] = fgoalattain(@eigfun,K0,goal,weight,[],[],[],[],lb,ub,[],options,A,B,C)
结果为：
weight =
5 3 1
Attainment Directional
Iter F-count factor Step-size derivative Procedure
1 6 1.885 1 1.03
2 13 1.061 1 -0.679
3 20 0.4211 1 -0.523 Hessian modified
4 27 -0.06352 1 -0.053 Hessian modified twice
5 34 -0.1571 1 -0.133
6 41 -0.3489 1 -0.00768 Hessian modified
7 48 -0.3643 1 -4.25e-005 Hessian modified
8 55 -0.3645 1 -0.00303 Hessian modified twice
9 62 -0.3674 1 -0.0213 Hessian modified
10 69 -0.3806 1 0.00266
11 76 -0.3862 1 -2.73e-005 Hessian modified twice
12 83 -0.3863 1 -1.22e-013 Hessian modified twice
Optimization terminated successfully:
Search direction less than 2*options. TolX and maximum constraint violation is less than
options.TolCon
Active Constraints:
1
2
4
9
10
K =
-4.0000 -0.2564
-4.0000 -4.0000
fval =
http://www.elecfans.com/ 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 中国电子技术论坛
-6.9313
-4.1588
-1.4099
attainfactor =
-0.3863
5.7 最小二乘最优问题
5.7.1 约束线性最小二乘
有约束线性最小二乘的标准形式为
2
x 2
2 Cx d
min 1 −
sub.to A ⋅ x ≤ b
Aeq ⋅ x = beq
l b ≤ x ≤ ub
其中：C、A、Aeq 为矩阵；d、b、beq、lb、ub、x 是向量。
在MATLAB5.x 中，约束线性最小二乘用函数conls 求解。
函数 lsqlin
格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件A ⋅ x ≤ b下，方程Cx = d 的最小二乘解x。
x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq 满足等式约束Aeq ⋅ x = beq，若没有不
等式约束，则设A=[ ]，b=[ ]。
x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub 满足l b ≤ x ≤ ub，若没有等式约束，
则Aeq=[ ]，beq=[ ]。
x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0 为初始解向量，若x 没有界，则lb=[ ]，
ub=[ ]。
x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定优化参数
[x,resnorm] = lsqlin(…) % resnorm=norm(C*x-d)^2，即2-范数。
[x,resnorm,residual] = lsqlin(…) %residual=C*x-d，即残差。
[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(…) %exitflag 为终止迭代的条件
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(…) % output 表示输出优化信息
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(…) % lambda 为解x 的
Lagrange 乘子
例5-15 求解下面系统的最小二乘解
系统：Cx=d
约束：A ⋅ x ≤ b；l b ≤ x ≤ ub
先输入系统系数和x 的上下界：
C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;…
0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;…
0.6068 0.0185 0.9218 0.9169;…
0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;…
0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];
d = [ 0.0578; 0.3528; 0.8131; 0.0098; 0.1388];
A =[ 0.2027 0.2721 0.7467 0.4659;…
0.1987 0.1988 0.4450 0.4186;…
0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];
b =[ 0.5251; 0.2026; 0.6721];
lb = -0.1*ones(4,1);
ub = 2*ones(4,1);
然后调用最小二乘命令：
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,[ ],[ ],lb,ub);
结果为：
x =
-0.1000
-0.1000
0.2152
0.3502
resnorm =
0.1672
residual =
0.0455
0.0764
-0.3562
0.1620
0.0784
exitflag =
1 %说明解x 是收敛的
output =
iterations: 4
algorithm: 'medium-scale: active-set'
firstorderopt: []
cgiterations: []
lambda =
lower: [4x1 double]
upper: [4x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [3x1 double]
通过lambda.ineqlin 可查看非线性不等式约束是否有效。
5.7.2 非线性数据（曲线）拟合
非线性曲线拟合是已知输入向量 xdata 和输出向量ydata，并且知道输入与输出的函数关
系为ydata=F(x, xdata)，但不知道系数向量x。今进行曲线拟合，求x 使得下式成立：
− = Σ −
i
2
i i
2
x 2
2 ( F(x, xdata ) ydata )
F(x, xdata) ydata 1 2
min 1
在MATLAB5.x 中，使用函数curvefit 解决这类问题。
函数 lsqcurvefit
格式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)
[x,resnorm] = lsqcurvefit(…)
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[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)
[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(…)
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(…)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(…)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqcurvefit(…)
参数说明：
x0 为初始解向量；xdata，ydata 为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据；
lb、ub 为解向量的下界和上界l b ≤ x ≤ ub，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ]；
options 为指定的优化参数；
fun 为拟合函数，其定义方式为：x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)，
其中myfun 已定义为 function F = myfun(x,xdata)
F = … % 计算x 处拟合函数值fun 的用法与前面相同；
resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x 处残差的平方和；
residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x 处的残差；
exitflag 为终止迭代的条件；
output 为输出的优化信息；
lambda 为解x 处的Lagrange 乘子；
jacobian 为解x 处拟合函数fun 的jacobian 矩阵。
例5-16 求解如下最小二乘非线性拟合问题
已知输入向量xdata 和输出向量ydata，且长度都是n，拟合函数为
ydata(i) = x(1) ⋅ xdata(i)2 + x(2) ⋅ sin(xdata(i)) + x(3) ⋅ xdata(i)3
即目标函数为Σ=
−
n
i 1
2
x i i
2 ( F(x, xdata ) ydata )
min 1
其中：F(x, xdata) = x(1) ⋅ xdata2 + x(2) ⋅ sin(xdata) + x(3) ⋅ xdata3
初始解向量为x0=[0.3, 0.4, 0.1]。
解：先建立拟合函数文件，并保存为myfun.m
function F = myfun(x,xdata)
F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;
然后给出数据xdata 和ydata
>>xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
>>ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
>>x0 = [10, 10, 10]; %初始估计值
>>[x,resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)
结果为：
Optimization terminated successfully:
Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun
x =
0.2269 0.3385 0.3021
resnorm =
6.2950
5.7.3 非线性最小二乘
非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为
min f (x) f (x) f (x) f (x)2 L
m
2
2
2
x 1
= + +L+ +
其中：L 为常数
在MATLAB5.x 中，用函数leastsq 解决这类问题，在6.0 版中使用函数lsqnonlin。
设
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
=
f (x)
f (x)
f (x)
F(x)
m
2
1
M
则目标函数可表达为= Σ
i
2
i
2
x 2
2 f (x)
F(x) 1 2
min 1
其中：x 为向量，F(x)为函数向量。
函数 lsqnonlin
格式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0 为初始解向量；fun 为fi(x)，i=1,2,…,m，fun 返回向
量值F，而不是平方和值，平方和隐含在算法中，fun 的定义与前面相同。
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub定义x 的下界和上界：l b ≤ x ≤ u b。
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options 为指定优化参数，若x 没有界，则
lb=[ ]，ub=[ ]。
[x,resnorm] = lsqnonlin(…) % resnorm=sum(fun(x).^2)，即解x 处目标函数值。
[x,resnorm,residual] = lsqnonlin(…) % residual=fun(x)，即解x 处fun 的值。
[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonlin(…) %exitflag 为终止迭代条件。
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(…) %output 输出优化信息。
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonlin(…) %lambda 为Lagrage
乘子。
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqnonlin(…) %fun 在解x
处的Jacobian 矩阵。
例5-17 求下面非线性最小二乘问题Σ=− − +
10
k 1
( 2 2k e k x1 e k x2 )2 初始解向量为x0=[0.3,
0.4]。
解：先建立函数文件，并保存为myfun.m，由于lsqnonlin 中的fun 为向量形式而不是平
方和形式，因此，myfun 函数应由fi(x)建立：
k x1 k x2
fk(x) = 2 + 2 k − e − e k=1,2,…,10
function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
然后调用优化程序：
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x0 = [0.3 0.4]；
[x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0)
结果为：
Optimization terminated successfully:
Norm of the current step is less than OPTIONS.TolX
x =
0.2578 0.2578
resnorm = %求目标函数值
124.3622
5.7.4 非负线性最小二乘
非负线性最小二乘的标准形式为：
2
x 2
2 Cx d
min 1 −
sub.to x ≥ 0
其中：矩阵C 和向量d 为目标函数的系数，向量x 为非负独立变量。
在MATLAB5.x 中，用函数nnls 求解这类问题，在6.0 版中则用函数lsqnonneg。
函数 lsqnonneg
格式 x = lsqnonneg(C,d) %C 为实矩阵，d 为实向量
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 为初始值且大于0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) % options 为指定优化参数
[x,resnorm] = lsqnonneg(…) % resnorm=norm (C*x-d)^2
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual=C*x-d
[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonneg(…)
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(…)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(…)
例5-18 一个最小二乘问题的无约束与非负约束解法的比较。
先输入数据：
>>C = [ 0.0372 0.2869; 0.6861 0.7071; 0.6233 0.6245; 0.6344 0.6170];
>>d = [0.8587; 0.1781; 0.0747; 0.8405];
>> [Cd, lsqnonneg(C,d)]
ans =
-2.5627 0
3.1108 0.6929
注意：1。当问题为无约束线性最小二乘问题时，使用MATLAB 下的“”运算即可以
解决。2．对于非负最小二乘问题，调用lsqnonneg(C,d)求解。
5.8 非线性方程(组)求解
5.8.1 非线性方程的解
非线性方程的标准形式为 f(x)=0
函数 fzero
格式 x = fzero (fun,x0) %用fun 定义表达式f(x)，x0 为初始解。
x = fzero (fun,x0,options)
[x,fval] = fzero(…) %fval=f(x)
[x,fval,exitflag] = fzero(…)
[x,fval,exitflag,output] = fzero(…)
说明 该函数采用数值解求方程f(x)=0 的根。
例5-19 求x3 − 2x − 5 = 0的根
解：>> fun='x^3-2*x-5';
>> z=fzero(fun,2) %初始估计值为2
结果为
z =
2.0946
5.8.2 非线性方程组的解
非线性方程组的标准形式为：F(x) = 0
其中：x 为向量，F(x)为函数向量。
函数 fsolve
格式 x = fsolve(fun,x0) %用fun 定义向量函数，其定义方式为：先定义方程函数
function F = myfun (x)。
F =[表达式1；表达式2；…表达式m] %保存为myfun.m，并用下面方式调用：
x = fsolve(@myfun,x0)，x0 为初始估计值。
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval] = fsolve(…) %fval=F(x)，即函数值向量
[x,fval,exitflag] = fsolve(…)
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(…)
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(…) % jacobian 为解x 处的Jacobian 阵。
其余参数与前面参数相似。
例5-20 求下列系统的根
2
1
x
1 2
x
1 2
x 2 x e
2 x x e
−
−
− + =
− =
解：化为标准形式
x 2 x e 0
2 x x e 0
2
1
x
1 2
x
1 2
− + − =
− − =
−
−
设初值点为x0=[-5 -5]。
先建立方程函数文件，并保存为myfun.m：
function F = myfun(x)
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F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];
然后调用优化程序
x0 = [-5; -5]; % 初始点
options=optimset('Display','iter'); % 显示输出信息
[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)
结果为
Norm of First-order
Iteration Func-count f(x) step optimality CG-iterations
1 4 47071.2 1 2.29e+004 0
2 7 6527.47 1.45207 3.09e+003 1
3 10 918.372 1.49186 418 1
4 13 127.74 1.55326 57.3 1
5 16 14.9153 1.57591 8.26 1
6 19 0.779051 1.27662 1.14 1
7 22 0.00372453 0.484658 0.0683 1
8 25 9.21617e-008 0.0385552 0.000336 1
9 28 5.66133e-017 0.000193707 8.34e-009 1
Optimization terminated successfully:
Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun
x =
0.5671
0.5671
fval =
1.0e-008 *
-0.5320
-0.5320
例5-21 求矩阵x 使其满足方程??
?
??
?
∗ ∗ =
3 4
1 2
x x x ，并设初始解向量为x=[1, 1; 1, 1]。
解：先编写M 文件：
function F = myfun(x)
F = x*x*x-[1,2;3,4];
然后调用优化程序求解：
>>x0 = ones(2,2); %初始解向量
>>options = optimset('Display','off'); %不显示优化信息
>>[x,Fval,exitflag] = fsolve(@myfun,x0,options)
则结果为
x =
-0.1291 0.8602
1.2903 1.1612
Fval =
1.0e-003 *
0.1541 -0.1163
0.0109 -0.0243
exitflag =
1
第6 章模糊逻辑
6.1 隶属函数
6.1.1 高斯隶属函数
函数 gaussmf
格式 y=gaussmf(x,[sig c])
说明 高斯隶属函数的数学表达式为： 2
2
2
(x c)
f (x; ,c) e σ
−
−
σ = ，其中σ,c为参数，x 为自变
量，sig 为数学表达式中的参数σ 。
例6-1
>>x=0:0.1:10;
>>y=gaussmf(x,[2 5]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('gaussmf, P=[2 5]')
结果为图6-1。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
gaussmf, P=[2 5]
图6-1
6.1.2 两边型高斯隶属函数
函数 gauss2mf
格式 y = gauss2mf(x,[sig1 c1 sig2 c2])
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说明 sig1、c1、sig2、c2 为命令1 中数学表达式中的两对参数
例6-2
>>x = (0:0.1:10)';
>>y1 = gauss2mf(x, [2 4 1 8]);
>>y2 = gauss2mf(x, [2 5 1 7]);
>>y3 = gauss2mf(x, [2 6 1 6]);
>>y4 = gauss2mf(x, [2 7 1 5]);
>>y5 = gauss2mf(x, [2 8 1 4]);
>>plot(x, [y1 y2 y3 y4 y5]);
>>set(gcf, 'name', 'gauss2mf', 'numbertitle', 'off');
结果为图6-2。
6.1.3 建立一般钟型隶属函数
函数 gbellmf
格式 y = gbellmf(x,params)
说明 一般钟型隶属函数依靠函数表达式
|2 b a
1 | x c
f(x; a, b, c) 1+ −
=
这里x 指定变量定义域范围，参数b 通常为正，参数c 位于曲线中心，第二个参数变量
params 是一个各项分别为a，b 和c 的向量。
例6-3
>>x=0:0.1:10;
>>y=gbellmf(x,[2 4 6]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('gbellmf, P=[2 4 6]')
结果为图6-3。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
gbellmf, P=[2 4 6]
图6-2 图6-3
6.1.4 两个sigmoid 型隶属函数之差组成的隶属函数
函数 dsigmf
格式 y = dsigmf(x,[a1 c1 a2 c2])
说明 这里sigmoid 型隶属函数由下式给出1 e a(x c)
f (x ; a, c) 1 + − −
=
x 是变量，a,c 是参数。dsigmf 使用四个参数a1，c1，a2，c2，并且是两个sigmoid 型函
数之差：f1(x; a1, c1) − f2(x; a2, c2)，参数按顺序[a1 c1 a2 c2]列出。
例6-4
>>x=0:0.1:10;
>>y=dsigmf(x,[5 2 5 7]);
>>plot(x,y)
结果为图6-4
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图6-4
6.1.5 通用隶属函数计算
函数 evalmf
格式 y = evalmf(x, mfParams, mfType)
说明 evalmf 可以计算任意隶属函数，这里x 是变量定义域，mfType 是工具箱提供的
一种隶属函数，mfParams 是此隶属函数的相应参数，如果你想创建自定义的隶属函数，evalmf
仍可以工作，因为它可以计算它不知道名字的任意隶属函数。
例6-5
>>x=0:0.1:10;
>>mfparams = [2 4 6];
>>mftype = 'gbellmf';
>>y=evalmf(x,mfparams,mftype);
>>plot(x,y)
>>xlabel('gbellmf, P=[2 4 6]')
结果为图6-5。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
gbellmf, P=[2 4 6]
图6-5
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6.1.6 建立П型隶属函数
函数 primf
格式 y = pimf(x,[a b c d])
说明 向量x 指定函数自变量的定义域，该函数在向量x 的指定点处进行计算，参数
[a,b,c,d]决定了函数的形状，a 和d 分别对应曲线下部的左右两个拐点，b 和c 分别对应曲线
上部的左右两个拐点。
例6-6
>>x=0:0.1:10;
>>y=pimf(x,[1 4 5 10]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('pimf, P=[1 4 5 10]')
结果为图6-6。
6.1.7 通过两个sigmoid 型隶属函数的乘积构造隶属函数
函数 psigmf
格式 y = psigmf(x,[a1 c1 a2 c2])
说明 这里sigmoid 型隶属函数由下式给出a(x c) 1 e
f (x ; a, c) 1 + − −
=
x 是变量，a,c 是参数。psigmf 使用四个参数a1，c1，a2，c2，并且是两个sigmoid 型函
数之积：f1(x ; a1, c1) ∗ f2(x ; a2, c2)，参数按顺序[a1 c1 a2 c2]列出。
例6-7
>>x=0:0.1:10;
>>y=psigmf(x,[2 3 -5 8]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('psigmf, P=[2 3 -5 8]')
结果为图6-7。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pimf, P=[1 4 5 10]
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
psigmf, P=[2 3 -5 8]
图6-6 图6-7
6.1.8 建立Sigmoid 型隶属函数
函数 sigmf
格式 y = sigmf(x,[a c])
说明 a(x c) 1 e
f(x ; a, c) 1 + − −
= ，定义域由向量x 给出，形状由参数a 和c 确定。
例6-8
>>x=0:0.1:10;
>>y=sigmf(x,[2 4]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('sigmf, P=[2 4]')
结果为图6-8。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
sigmf, P=[2 4]
图6-8
例6-9
>>x = (0:0.2:10)’;
>>y1 = sigmf(x,[-1 5]);
>>y2 = sigmf(x,[-3 5]);
>>y3 = sigmf(x,[4 5]);
>>y4 = sigmf(x,[8 5]);
>>subplot(2,1,1),plot(x,[y1 y2 y3 y4]);
>>y1 = sigmf(x,[5 2]);
>>y2 = sigmf(x,[5 4]);
>>y3 = sigmf(x,[5 6]);
>>y4 = sigmf(x,[5 8]);
>>subplot(2,1,2),plot(x,[y1 y2 y3 y4]);
结果为图6-9。
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
图6-9
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6.1.9 建立S 型隶属函数
函数 smf
格式 y = smf(x,[a b]) % x 为变量，a 为b 参数，用于定位曲线的斜坡部分。
例6-10
>>x=0:0.1:10;
>>y=smf(x,[1 8]);
>>plot(x,y)
结果为图6-10。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
smf, P=[1 8]
图6-10
例6-11
>>x = 0:0.1:10;
>>subplot(3,1,1);plot(x,smf(x,[2 8]));
>>subplot(3,1,2);plot(x,smf(x,[4 6]));
>>subplot(3,1,3);plot(x,smf(x,[6 4]));
结果为图6-11。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
图6-11
6.1.10 建立梯形隶属函数
函数 trapmf
格式 y = trapmf(x,[a b c d])
说明 这里梯形隶属函数表达式：
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
≤
≤ ≤
−
−
≤ ≤
≤ ≤
−
−
≤
=
0 d x
d c , c x d
d x
1, b x c
b a , a x b
x a
0, x a
f(x; a, b, c, d)
或 f(x;a,b,c,d) = max(min( ),0)
d c
,1, d x
b a
x a
−
−
−
−
，定义域由向量x 确定，曲线形状由参数
a,b,c,d 确定，参数a 和d 对应梯形下部的左右两个拐点，参数b 和c 对应梯形上部的左右两
个拐点。
例6-12
>>x=0:0.1:10;
>>y=trapmf(x,[1 5 7 8]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('trapmf, P=[1 5 7 8]')
结果为图6-12。
例6-13
>>x = (0:0.1:10)’;
>>y1 = trapmf(x,[2 3 7 9]);
>>y2 = trapmf(x,[3 4 6 8]);
>>y3 = trapmf(x,[4 5 5 7]);
>>y4 = trapmf(x,[5 6 4 6]);
>>plot(x,[y1 y2 y3 y4]);
结果为图6-13。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
trapmf, P=[1 5 7 8] 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图6-12 图6-13
6.1.11 建立三角形隶属函数
函数 trimf
格式 y = trimf(x,params)
y = trimf(x,[a b c])
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说明 三角形隶属函数表达式：
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
≤
≤ ≤
−
−
≤ ≤
−
−
≤
=
0 c x
c b , b x c
c x
b a , a x b
x a
0, x a
f(x;a, b, c, )
或者f(x;a,b,c,) = max(min( ),0)
c b
, c x
b a
x a
−
−
−
−
定义域由向量x 确定，曲线形状由参数a,b,c 确定，参数a 和c 对应三角形下部的左右
两个顶点，参数b 对应三角形上部的顶点，这里要求a ≤ b ≤ c ,生成的隶属函数总有一个统一
的高度，若想有一个高度小于统一高度的三角形隶属函数，则使用trapmf 函数。
例6-14
>>x=0:0.1:10;
>>y=trimf(x,[3 6 8]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('trimf, P=[3 6 8]')
结果为图6-14。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
trimf, P=[3 6 8]
图6-14
例6-15
>>x = (0:0.2:10)’;
>>y1 = trimf(x,[3 4 5]);
>>y2 = trimf(x,[2 4 7 ]);
>>y3 = trimf(x,[1 4 9]);
>>subplot(2,1,1),plot(x,[y1 y2 y3 ]);
>>y1 = trimf(x,[2 3 5]);
>>y2 = trimf(x,[3 4 7]);
>>y3 = trimf(x,[4 5 9]);
>>subplot(2,1,2),plot(x,[y1 y2 y3 ]);
结果为图6-15。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图6-15
6.1.12 建立Z 型隶属函数
函数 zmf
格式 y = zmf(x,[a b]) % x 为自变量，a 和b 为参数，确定曲线的形状。
例6-16
>>x=0:0.1:10;
>>y=zmf(x,[3 7]);
>>plot(x,y)
>>xlabel('zmf, P=[3 7]')
结果为图6-16。
例6-17
>>x = 0:0.1:10;
>>subplot(3,1,1);plot(x,zmf(x,[2 8]));
>>subplot(3,1,2);plot(x,zmf(x,[4 6]));
>>subplot(3,1,3);plot(x,zmf(x,[6 4]));
结果为图6-17。
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
zmf, P=[3 7]
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
图6-16 图6-17
6.1.13 两个隶属函数之间转换参数
函数 mf2mf
格式 outParams = mf2mf(inParams,inType,outType)
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说明 此函数根据参数集，将任意内建的隶属函数类型转换为另一种类型，inParams 为
你要转换的隶属函数的参数，inType 为你要转换
的隶属函数的类型的字符串名称，outType:你要
转换成的目标隶属函数的字符串名称。
例6-18
>>x=0:0.1:5;
>>mfp1 = [1 2 3];
>>mfp2 = mf2mf(mfp1,'gbellmf','trimf');
>>plot(x,gbellmf(x,mfp1),x,trimf(x,mfp2))
结果为图6-18。
6.1.14 基本FIS 编辑器
函数 fuzzy
格式 fuzzy %弹出未定义的基本FIS 编辑器
fuzzy(fismat) %使用fuzzy('tipper')，弹出下图FIS 编辑器。
编辑器是任意模糊推理系统的高层显示，它允许你调用各种其它的编辑器来对其操作。
此界面允许你方便地访问所有其它的编辑器，并以最灵活的方式与模糊系统进行交互。
方框图：窗口上方的方框图显示了输入、输出和它们中间的模糊规则处理器。单击任意
一个变量框，使选中的方框成为当前变量，此时它变成红色高亮方框。双击任意一个变量，
弹出隶属度函数编辑器，双击模糊规则编辑器，弹出规则编辑器。
图6-19
菜单项：FIS 编辑器的菜单棒允许你打开相应的工具，打开并保存系统。
·File 菜单包括：
New mamdani FIS … 打开新mamdani 型系统；
New Sugeno FIS … 打开新Sugeno 型系统；
Open from disk … 从磁盘上打开指定的.fis 文件系统；
Save to disk 保存当前系统到磁盘上的一个.fis 文件上；
Save to disk as … 重命名方式保存当前系统到磁盘上；
Open from workspace … 从工作空间中指定的FIS 结构变量装入一个系统；
Save to workspace … 保存系统到工作空间中当前命名的FIS 结构变量中；
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图6-18
Save to workspace as … 保存系统到工作空间中指定的FIS 结构变量中；
Close windows 关闭GUI；
·Edit 菜单包括：
Add input 增加另一个输入到当前系统中；
Add output 增加另一个输出到当前系统中；
Remove variable 删除一个所选的变量；
Undo 恢复当前最近的改变；
·View 菜单包括：
Edit MFs … 调用隶属度函数编辑器；
Edit rules … 调用规则编辑器；
Edit anfis … 只对单输出Sugeno 型系统调用编辑器；
View rules … 调用规则观察器；
View surface … 调用曲面观察器。
弹出式菜单：用五个弹出式菜单来改变模糊蕴含过程中五个基本步骤的功能：
·And method：为一个定制操作选择min、prod 或Custom；
·Or method：为一个定制操作选择max、probor（概率）或Custom；
·Implication method：为一个定制操作选择min、prod 或Custom；此项对Sugeno
型模糊系统不可用。
·Aggregation method：为一个定制操作选择max、sum、probor 或Custom。此项
对Sugeno 型模糊系统不可用。
·Defuzzification method：对Mamdani 型推理，为一个定制操作选择centroid（面
积中心法）、bisector（面积平分法）、mom（平均最大隶
属度法）、som（最大隶属度最小值法）、lom（最大隶属
度最大值法）或Custom。对Sugeno 型推理，在wtaver（加
权平均）或wtsum（加权和）之间选择。
6.1.15 隶属函数编辑器
函数 mfedit
格式 mfedit('a')
mfedit(a)
mfedit
说明 mfedit('a')生成一个隶属函数编辑器，他允许你检查和修改存储在文件a.fis 中FIS
结构的所有隶属函数。如图，mfedit('tank')以这种方式打开隶属函数编辑器并装入tank.fis 中
存储的所有隶属函数。
mfedit(a)对于FIS 结构操作一个MATLAB 工作空间变量a。Mfedit 可单独弹出没有装入
FIS 的隶属函数编辑器
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图6-20
菜单项：在ANFIS 编辑器GUI 上，有一个菜单棒允许你打开相关的GUI 工具、打开和
保存系统等。File 菜单与FIS 编辑器上的File 菜单功能相同。
·Edit 菜单项包括：
Add MF… 为当前语言变量增加隶属度函数；
Add custom MF… 为当前语言变量增加定制的隶属度函数；
Remove current MF 删除当前的隶属度函数；
Remove all MFS 删除当前语言变量的所有隶属度函数；
Undo 恢复当前最近的改变。
·View 菜单项包括：
Edit FIS properties… 调用FIS 编辑器；
Edit rules… 调用规则编辑器；
View rules… 调用规则观察器；
View surface… 调用曲面观察器。
6.2 模糊推理结构FIS
6.2.1 不使用数据聚类方法从数据生成FIS 结构
函数 genfis1
格式 fismat = genfis1(data)
fismat = genfis1(data,numMFs,inmftype, outmftype)
说明 genfis1 为anfis 训练生成一个Sugeno 型作为初始条件的FIS 结构（初始隶属函
数）。genfis1(data,numMFs,inmftype, outmftype)使用对数据的网格分割方法，从训练数据集生
成一个FIS 结构。Data 是训练数据矩阵，除最后一列表示单一输出数据外，它的其它各列表
示输入数据。NumMFs 是一个向量，它的坐标指定与每一输入相关的隶属函数的数量。如果
你想使用每个输入相关的相同数量的隶属函数，那么只须使numMFs 成为一个数就足够了。
Inmftype 是一个字符串数组，它的每行指定与每个输入相关的隶属函数类型。outmftype 是
一个字符串数组，它的指定与每个输出相关的隶属函数类型
例6-19
>>data = [rand(10,1) 10*rand(10,1)-5 rand(10,1)];
>>numMFs = [3 7];
>>mfType = str2mat('pimf','trimf');
>>fismat = genfis1(data,numMFs,mfType);
>> [x,mf] = plotmf(fismat,'input',1);
>>subplot(2,1,1), plot(x,mf);
>>xlabel('input 1 (pimf)');
>>[x,mf] = plotmf(fismat,'input',2);
>>subplot(2,1,2), plot(x,mf);
>>xlabel('input 2 (trimf)');
结果为图6-21。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
input 1 (pimf)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
input 2 (trimf)
图6-21
6.2.2 使用减法聚类方法从数椐生成FIS 结构
函数 genfis2
格式 fismat = genfis2(Xin,Xout,radii)
fismat = genfis2(Xin,Xout,radii,xBounds)
fismat = genfis2(Xin,Xout,radii,xBounds,options)
说明 Xin 是一个矩阵，它的每一行包含一个数据点的输入值；Xout 是一个矩阵，它的
每一行包含一个数据点的输出值；randi 是一个向量，它指定一个聚类中心在一个数据维上
作用的范围，这里假定数据位于一个单位超立方体内：xBounds 是一个2×N 可选矩阵，它
用于指定如何将Xin 和Xout 中的数据映射到一个超立方体内，这里是数据的维数（行数）；
options 是一个可选向量，它指定的值用于覆盖算法参数的缺省值。
例6-20
fismat = genfis2(Xin,Xout,0.5)
这是使用此函数所需的最小变量数。这里对所有数据维指定0.5 的作用范围。
fismat = genfis2(Xin,Xout,[0.5 0.25 0.3])
这里假定组合的维数是3。假设Xin 有两维、Xout 有一维，那么，0.5 和0.25 是
Xin 数据维中每一维的作用范围，0.3 是Xout 数据维的作用范围。
fismat = genfis2(Xin,Xout,0.5,[-10 -5 0; 10 5 20])
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这里指定了如何将Xin 和Xout 中的数据规范化为[0 1]区间中的值来进行处理。假
设Xin 有两维、Xout 有一维，那么Xin 第一列中的数据是从[-10 +10]比例变换后的值，
Xin 第二列中的数据是从[-5 +5]比例变换后的值，Xout 中的数据是从[0 20]比例变换
后的值。
6.2.3 生成一个FIS 输出曲面
函数 gensurf
格式 gensurf(fis) %使用前两个输入和第一个输出来生成给定模糊推理系统(fis)的输
出曲面
gensurf(fis,inputs,output) %使用分别由向量input 和标量output 给定的输入（一
个或两个）和输出（只允许一个）来生成一个图形。
gensurf(fis,inputs,output,grids) %指定X（第一、水平）和Y（第二、垂直）方
向的网格数。如果是二元向量，X 和Y 方向上的网格可以独立设置。
gensurf(fis,inputs,output,grids,refinput) %用于多于两个的输入，refinput 向量的长
度与输入相同：
·将对应于要显示的输入的refinput 项，设置为NaN;
·对其它输入的固定值设置为双精度实标量。
[x,y,z]=gensurf(…) %返回定义输出曲面的变量并且删除自动绘图。
例6-21
>>a = readfis('tipper');
>>gensurf(a)
结果为图6-22。
图6-22
6.2.4 将mamdan 型FIS 转换为Sugeno FIS
函数 mam2sug
格式 sug_fis=mam2sug(mam_fis)
说明 该函数将一个mamdani 型FIS 结构（不必是单输出）mam_fis 转化为一个sugeno
型结构sug_fis。返回的sugeno 型系统具有常值输出隶属度函数。这些常值由原来mamdani
型系统的后件的隶属度函数的面积中心法来确定。前件仍保持不变。
6.2.5 完成模糊推理计算
函数 evalfis
格式 output= evalfis(input,fismat)
output= evalfis(input,fismat, numPts)
[output, IRR, ORR, ARR]= evalfis(input,fismat)
[output, IRR, ORR, ARR]= evalfis(input,fismat, numPts)
说明 input：指定输入值的一个数或一个矩阵，如果输入是一个M×N 矩阵，其中N
是输入变量数，那么evalfis 使用 input 的每一行作为一个输入向量，并且
为变量output 返回M×L 矩阵，该矩阵每一行是一个向量并且L 是输出变
量数；
fismat：要计算的一个FIS 结构；
numPts：一个可选变量，它表示在输入或输出范围内的采样点数，在这些点上计
算隶属函数，如果 不使用此变量，就使用101 点的缺省值。
Evalfis 的值域如下：
Output：大小为ML 的输出矩阵，这里M 表示前面指定的输入值的数量， L 表
示FIS 的输出变量数。
evalfis 的可选值域变量只有当input 是一个行向量时才计算这些可选值域变量是：
IRR：通过隶属函数计算的输入变量的结果，这是一个大小为numRulesN 的
矩阵，这里numRules 是规则条数，N 是输入变量数。
ORR ： 通过隶属函数计算的输出变量的结果， 这是一个大小为
numPtsnumRulesL 的矩阵，这里numRules 是规则条数，L 是输出变
量数，此矩阵的第一组numRules 列，对应于第一个输出，第二组
numRules 对应于第二个输出，依次类推。
ARR：对每个输出，在输出值域中，numPts 处采样合成值的numPtsL 矩阵，
当只有一个值域变量调用时，该函数使用由结构fismat 指定的模糊推
理系统，由标量或矩阵inout 指定的输入值计算输出向量output。
例6-22
>>fismat = readfis('tipper');
>>out = evalfis([2 1; 4 9],fismat)
结果为
out =
7.0169
19.6810
6.2.6 模糊c 均值聚类
函数 fcm
格式 [center,U,obj_fcn] = fcm(data,cluster_n)
说明 对给定的数据集应用模糊c 均值聚类方法进行聚类
data：要聚类的数据集，每行是一个采样数据点；
cluster_n：聚类中心的个数（大于1）
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center：迭代后得到的聚类中心的矩阵，这里每行给出聚类中心的坐标；
U：得到的所有点对聚类中心的模糊分类矩阵或隶属度函数矩阵；
Obj_fcn：迭代过程中，目标函数的值；
fcm(data,cluster_n,options)使用可选的变量options 控制聚类参数。包括停止准则，
和/或设置迭代信息显示：
options(1)：分类矩阵U 的指数，缺省值是2.0；
options(2)：最大迭代次数，缺省值是100；
options(3)：最小改进量，即迭代停止的误差准则，缺省值是1e-5；
option(4)：迭代过程中显示信息，缺省值是1。
如果任意一项为NaN，这些选项就使用缺省值；当达到最大迭代次数时，或目标函数两
次连续迭代的改进量小于指定的最小改进量，即满足停止误差准则时，聚类过程结束。
例6-23
>>data = rand(100, 2);
>>[center,U,obj_fcn] = fcm(data, 2);
>>plot(data(:,1), data(:,2),'o');
>>maxU = max(U);
>>index1 = find(U(1,:) == maxU);
>>index2 = find(U(2, :) == maxU);
>>line(data(index1,1), data(index1, 2), 'linestyle', 'none',
'marker', '*', 'color', 'g');
>>line(data(index2,1), data(index2, 2), 'linestyle', 'none',
'marker', '*', 'color', 'r');
结果为图6-23。
6.2.7 模糊均值和减法聚类
函数 findcluster
格式 findcluster
findcluster('file.dat')
说明 findcluster 产生一个GUI 上的Method 下的下拉式标签，可以实现模糊C 均值(fcm)
或模糊减法聚类(subtractiv),使用Load Data 按钮输入数据，刚进入GUI 时，对每种方法的选
项都设置为缺省值。
此工具使用多维数据集，但只显示这些维数中的两维。使用X-axis 和Y-axis 下的下拉
式标签选择你想观察的数据维。例如你有一个五维数据集，按照出现在数据集中的顺序，此
工具将数据标记为data_1,data_2,data_3,data_4,data_5, Start 将完成聚类，Save Centre 将保存
聚类中心。
当使用数据集file.data 时，findcluster(file.dat)自动装入数据集，并且只绘制数据集中的
前两维。产生GUI 后，你仍可以选择要聚类数据的那两维。
例6-24
>>findcluster('clusterdemo.dat')
结果为图6-24。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图6-23
6.2.8 绘制一个FIS
函数 plotfis
格式 plotfis(fismat)
说明 此函数显示由fismat 指定的一个FIS 的高层方框图，输入和它们的隶属函数出现
在结构特征图的左边，同时输出和它们的隶属函数出现在结构特征图的右边。
例6-25
>>a = readfis('tipper');
>>plotfis(a)
结果为图6-25。
图6-24 图6-25
6.2.9 绘制给定变量的所有隶属的曲线
函数 plotmf
格式 plotmf(fismat,varType,varIndex)
说明 此函数绘制与给定变量相关的称为fismat 的FIS 中的所有隶属函数曲线，变量的
类型和索引分别由varType ('input' 或'output')和varIndex 给出。此函数也可以与MATLAB 函
数subplot 一起使用。
例6-26
>>a = readfis('tipper');
>>plotmf(a,'input',1)
结果为图6-26。
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0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
service
Degree of membership
poor good excellent
图6-26
6.2.10 从磁盘装入一个FIS
函数 readfis
格式 fismat = readfis('filename')
说明 从磁盘上的一个.fis 文件(由filename 命名)读出一个模糊推理系统，并将产生的
FIS 装入当前的工作空间中。Fismat = readfis 不带输入变量，即没有指定文件名时，使用
uigetfile 命令打开一个对话框，提示用户指定文件的名称和目录位置。
例6-27
>>fismat = readfis('tipper');
>>getfis(fismat)
返回结果
getfis(fismat)
Name = tipper
Type = mamdani
NumInputs = 2
InLabels =
service
food
NumOutputs = 1
OutLabels =
tip
NumRules = 3
AndMethod = min
OrMethod = max
ImpMethod = min
AggMethod = max
DefuzzMethod = centroid
ans =
tipper
6.2.11 从FIS 中删除某一隶属函数
函数 rmmf
格式 fis = rmmf(fis,'varType',varIndex,'mf',mfIndex)
说明 从与工作空间FIS 结构fis 相关的模糊推理系统中删除变量类型为varType，索引
为varIndex 的隶属函数mfIndex。
字符串vartype 必须是'input' 或'output'。
varIndex 是表示变量索引的一个整数，此索引表示列出变量的顺序；
变量'mf '是表示隶属函数的一个字符串；
mfIndex 是表示隶属函数索引的一个整数，此索引表示列出隶属函数的顺序。
例6-28
>>a = newfis('mysys');
>>a = addvar(a,'input','temperature',[0 100]);
>>a = addmf(a,'input',1,'cold','trimf',[0 30 60]);
>>getfis(a,'input',1)
返回结果
Name = temperature
NumMFs = 1
MFLabels =
cold
Range = [0 100]
ans =
[ ]
>>b = rmmf(a,'input',1,'mf',1);
>>getfis(b,'input',1)
返回
Name = temperature
NumMFs = 0
MFLabels =
Range = [0 100]
ans =
[ ]
6.2.12 从FIS 中删除变量
函数 rmvar
格式 [fis2,errorStr] = rmvar(fis,'varType',varIndex)
fis2 = rmvar(fis,'varType',varIndex)
说明 fis2 = rmvar(fis,'varType',varIndex)，)从与工作空间FIS 结构fis 相关的模糊推理系
统中删除索引为varIndex 的语言变量mfIndex，字符串vartype 必须是'input' 或
'output'。
varIndex 是表示变量索引的一个整数，此索引表示列出变量的顺序。
[fis2,errorStr] = rmvar(fis,'varType',varIndex) 将任何错误信息返回到字符串
errorStr。
此命令自动更新规则列表以保证列表尺寸与当前变量数保持一致，在删除语言变量之
前，你必须从FIS 删除任何包含要删除变量的规则，你无法删除在规则列表中正在使用的模
糊变量。
例6-29
>>a = newfis('mysys');
>>a = addvar(a,'input','temperature',[0 100]);
>>getfis(a)
返回：
Name = mysys
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Type = mamdani
NumInputs = 1
InLabels =
temperature
NumOutputs = 0
OutLabels =
NumRules = 0
AndMethod = min
OrMethod = max
ImpMethod = min
AggMethod = max
DefuzzMethod = centroid
ans =
mysys
>>b = rmvar(a,'input',1);
>>getfis(b)
返回：
Name = mysys
Type = mamdani
NumInputs = 0
InLabels =
NumOutputs = 0
OutLabels =
NumRules = 0
AndMethod = min
OrMethod = max
ImpMethod = min
AggMethod = max
DefuzzMethod = centroid
ans =
mysys
6.2.13 设置模糊系统属性
函数 setfis
格式 a = setfis(a,'fispropname','newfisprop')
a = setfis(a,'vartype',varindex,'varpropname','newvarprop')
a = setfis(a,'vartype',varindex,'mf',mfindex, 'mfpropname','newmfprop');
说明 可以使用三个、五个或七个输入变量调用setfis 命令，使用几个输入变量取决于
是否设置整个结构的一个属性，是否设置属于该结构的一个特定变量，还是是否
设置属于这些变量之一的一个特定隶属函数。这些变量是：
a：工作空间中FIS 的一个变量名称，
vartype：表示变量类型的一个字符串：input 或output；
varindex：输入或输出变量的索引；
mf：调用setfis 时，七个变量中的第四个变量所用的字符串，用语指明此变量是
一个隶属函数；
mfindex：属于所选变量的隶属函数的索引；
fispropname：表示你要设置FIS 域属性的一个字符串：name,type,andmethod,
ormethod, impmethod,aggmethod,defuzzmethod；
newfisprop：你要设置的FIS 的属性或方法名称的一个字符串；
varpropname：你要设置的变量域名称的一个字符串：name 或range；
newvarprop：你要设置的变量名称的一个字符串（对name），或变量范围的一个
数组（对range），mfpropname—你要设置的隶属函数名称的一个字符串：
name,type 或params；
newmfprop：你要设置的隶属函数名称或类型域的一个字符串（对name 或type）
或者是参数范围的一个数组（对params）。
例6-30 使用三个变量调用：
>>a = readfis('tipper');
>>a2 = setfis(a, 'name', 'eating');
>>getfis(a2, 'name');
结果为：
out =
eating
如果使用五个变量，setfis 将更新两个变量属性：
>>a2 = setfis(a,'input',1,'name','help');
>>getfis(a2,'input',1,'name')
结果为：
ans =
help
如果使用七个变量，setfis 将更新七个隶属函数的任意属性：
>>a2 = setfis(a,'input',1,'mf',2,'name','wretched');
>>getfis(a2,'input',1,'mf',2,'name')
结果为：
ans =
wretched
6.2.14 以分行形式显示FIS 结构的所有属性
函数 showfis
格式 showfis(fismat)
说明 以分行方式显示MATLAB 工作空间FIS 变量fismat，允许你查看结构的每个域
的意义和内容。
例6-31
>>a = readfis('tipper');
>>showfis(a)
返回：
1. Name tipper
2. Type mamdani
3. Inputs/Outputs [2 1]
4. NumInputMFs [3 2]
5. NumOutputMFs 3
6. NumRules 3
7. AndMethod min
8. OrMethod max
9. ImpMethod min
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10. AggMethod max
11. DefuzzMethod centroid
12. InLabels service
13. food
14. OutLabels tip
15. InRange [0 10]
16. [0 10]
17. OutRange [0 30]
18. InMFLabels poor
19. good
20. excellent
21. rancid
22. delicious
23. OutMFLabels cheap
24. average
25. generous
26. InMFTypes gaussmf
27. gaussmf
28. gaussmf
29. trapmf
30. trapmf
31. OutMFTypes trimf
32. trimf
33. trimf
34. InMFParams [1.5 0 0 0]
35. [1.5 5 0 0]
36. [1.5 10 0 0]
37. [0 0 1 3]
38. [7 9 10 10]
39. OutMFParams [0 5 10 0]
40. [10 15 20 0]
41. [20 25 30 0]
42. Rule Antecedent [1 1]
43. [2 0]
44. [3 2]
42. Rule Consequent 1
43. 2
44. 3
42. Rule Weigth 1
43. 1
44. 1
42. Rule Connection 2
43. 1
44. 2
6.2.15 完成模糊运算
函数 fuzarith
格式 C = fuzarith(X, A, B, operator)
说明 使用区间算法，C = fuzarith(X, A, B, operator)返回一个模糊集C 作为结果，该算
法使用由字符串operator 表示的函数，并在采样凸模糊集A 和B 上完成二进制
运算；元素A 和B 由采样值域变量X 的凸函数产生；
A，B 和X 是相同维数的向量；
operator 是下列串之一：'sum', 'sub', 'prod', and 'div'；
该函数返回的模糊集C 是一个与X 具有相同长度的列向量
例6-32
>>point_n = 101;% this determines MF's resolution
>>min_x = -20; max_x = 20;% universe is [min_x, max_x]
>>x = linspace(min_x, max_x, point_n)';
>>A = trapmf(x, [-10 -2 1 3]);% trapezoidal fuzzy set A
>>B = gaussmf(x, [2 5]);% Gaussian fuzzy set B
>>C1 = fuzarith(x, A, B, 'sum');
>>subplot(2,1,1);
>>plot(x, A, 'b--', x, B, 'm:', x, C1, 'c');
>>title('fuzzy addition A+B');
>>C2 = fuzarith(x, A, B, 'sub');
>>subplot(2,1,2);
>>plot(x, A, 'b--', x, B, 'm:', x, C2, 'c');
>>title('fuzzy subtraction A-B');
>>C3 = fuzarith(x, A, B, 'prod');
结果为图6-27。
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
0.5
1
fuzzy addition A+B
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
0.5
1
fuzzy subtraction A-B
图6-27
6.2.16 解析模糊规则
函数 parsrule
格式 fis2 = parsrule(fis,txtRuleList)
fis2 = parsrule(fis,txtRuleList,ruleFormat)
fis2 = parsrule(fis,txtRuleList,ruleFormat,lang)
说明 此函数为MATLAB 工作空间FIS 变量fis 解析定义规则(txtRuleList)的文本，并
且返回添加了相应规则列表的一个FIS 结构。如果原始输入FIS 结构fis 有任意初始规则，
他们将由新结构fis2 替换。本函数支持三种不同的规则格式（由ruleFormat 指定'verbose' (语
言型)、'symbolic' (符号型)、'indexed' (索引型)。缺省格式是'verbose' (语言型)。当使用可选语
言变量lang 时，规则以语言型格式进行解析，并采用语言变量lang 中指定的关键字。语言
必须是'english'、'francais'或 'deutsch'。英语关键字是if、then、is、AND、OR 和NOT。
例6-33
>>a = readfis('tipper');
>>ruleTxt = 'if service is poor then tip is generous';
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>>a2 = parsrule(a,ruleTxt,'verbose');
>>showrule(a2)
结果为
ans =
1. If (service is poor) then (tip is generous) (1)
6.2.17 规则编辑器和语法编辑器
函数 ruleedit
格式 ruleedit('a')
ruleedit(a)
说明 当使用ruleedit('a')调用规则编辑器时，可用于修改存储在文件a.fis 中的一个FIS
结构的规则。它也可用于检查模糊推理系统使用的规则。为使用编辑器创建规则，你必须首
先用FIS 编辑器定义要使用的所有输入输出变量，你可以使用列表框和检查框选择输入、输
出变量，连接操作和权重来创建新规则。如图所示，用ruleedit('tank')打开规则编辑器并装入
tank.fis 中存储的所有规则。
图6-28
菜单项：在规则编辑器GUI 上，有一个菜单棒允许你打开相关的GUI 工具、打开和保
存系统等。File 菜单与FIS 编辑器上的File 菜单功能相同。
·Edit 菜单项包括：
Undo 用于恢复最近的改变；
·View 菜单项包括：
Edit FIS properties… 调用FIS 编辑器；
Edit membership functions… 调用隶属度函数编辑器；
Edit rules… 调用规则编辑器；
View surface… 调用曲面观察器。
·Options 菜单项包括：
Language 用于选择语言：English、Deutsch 和Francais；
Format 用于选择格式
·Verbose 使用单词“if”、“then”、“AND”、“OR”等创建实际语句。
·Symbolic 用某些符号代替Verbose 模式中使用的单词。例如：“if A AND
B then C”成为“A&B=>C”。
·indexed 表示规则如何在FIS 结构中存储。
6.2.18 规则观察器和模糊推理框图
函数 ruleview
格式 ruleview('a')
说明 使用ruleview('a') 调用规则观察器时，将绘制在存储文件a.fis 中的一个FIS 的模
糊推理框图。它用于观察从开始到结束整个蕴含过程。你可以移动对应输入的指示线，然后
观察系统重新调节并计算新的输出。如图6-29：ruleview('tank' )
图6-29
菜单项：在规则编辑器GUI 上，有一个菜单棒允许你打开相关的GUI 工具、打开和保
存系统，等等。File 菜单与FIS 编辑器上的File 菜单功能相同。
·View 菜单项包括：
Edit FIS properties… 调用FIS 编辑器；
Edit membership functions… 调用隶属度函数编辑器；
Edit rules… 调用规则编辑器；
View surface… 调用曲面观察器。
·Options 菜单项包括：
Rules display format 用于选择显示规则的格式。如果单击模糊推理方框图左
边的规则序号，与该序号相关的规则出现在规则观察器底部的状态棒中。
6.2.19 保存FIS 到磁盘上
函数 writefis
格式 writefis(fismat)
writefis(fismat,'filename')
writefis(fismat,'filename','dialog')
说明 writefis 将一个MATLAB 工作空间FIS 结构fismat 用一个.fis 文件形式保存到磁
盘上；
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writefis(fismat)产生一个对话框让用户输入文件的名称和存放文件的目录；
writefis(fismat,'filename')将对应于FIS 结构fismat 的一个.fis 文件写到一个称为
filename.fis 的磁盘文件中，不使用对话框该文件被保存在当前目录中；
writefis(fismat,'filename','dialog')创建一个带有提供的缺省名为filename.fis 的对话
框；
若扩展名不存在，则只为filename 添加.fis 扩展名。
例6-34
>>a = newfis('tipper');
>>a = addvar(a,'input','service',[0 10]);
>>a = addmf(a,'input',1,'poor','gaussmf',[1.5 0]);
>>a = addmf(a,'input',1,'good','gaussmf',[1.5 5]);
>>a = addmf(a,'input',1,'excellent','gaussmf',[1.5 10]);
>>writefis(a,'my_file')
结果为 ans =
my_file
6.2.20 显示FIS 的规则
函数 showrule
格式 showrule(fis)
showrule(fis,indexList)
showrule(fis,indexList,format)
showrule(fis,indexList,format,Lang)
说明 此命令用于显示与给定系统相关的规则。
fis 是必须提供的变量，这是一个FIS 结构在MATLAB 工作空间中的变量名；
indexList 是你要显示的规则向量（可选项）；
format 是一个表示返回规则格式的字符串（可选项），showrule 可以用三种不同
格式的任意一种返回规则：'verbose' (缺省模式，此处English 是缺省语言)，
'symbolic'和'indexed'，它们用于隶属度函数的索引引用；
若要使用第四个参数Lang，则Lang 必须是verbose（语言）型的，并且下面这种调用
showrule(fis,indexList,format,Lang)使用Lang 给定的语言显示规则，它们必须是'english'，
'francais'或'deutsch'。
例6-35
>>a = readfis('tipper');
>>showrule(a,1)
ans =
1. If (service is poor) or (food is rancid) then (tip is cheap) (1)
>>showrule(a,2)
ans =
2. If (service is good) then (tip is average) (1)
>>showrule(a,[3 1],'symbolic')
ans =
3. (service==excellent) | (food==delicious) => (tip=generous) (1)
1. (service==poor) | (food==rancid) => (tip=cheap) (1)
>>showrule(a,1:3,'indexed')
ans =
1 1, 1 (1) : 2
2 0, 2 (1) : 1
3 2, 3 (1) : 2
6.2.21 显示FIS 结构的所有属性
函数 showfis
格式 showfis(fismat)
说明 以分行方式显示MATLAB 工作空间FIS 变量fismat，允许你查看结构的每个域
的意义和内容。
例6-36
>>a = readfis('tipper');
>>showfis(a)
结果为
1. Name tipper
2. Type mamdani
3. Inputs/Outputs [2 1]
4. NumInputMFs [3 2]
5. NumOutputMFs 3
6. NumRules 3
7. AndMethod min
8. OrMethod max
9. ImpMethod min
10. AggMethod max
11. DefuzzMethod centroid
12. InLabels service
13. food
14. OutLabels tip
15. InRange [0 10]
16. [0 10]
17. OutRange [0 30]
18. InMFLabels poor
19. good
20. excellent
21. rancid
22. delicious
23. OutMFLabels cheap
24. average
25. generous
26. InMFTypes gaussmf
27. gaussmf
28. gaussmf
29. trapmf
30. trapmf
31. OutMFTypes trimf
32. trimf
33. trimf
34. InMFParams [1.5 0 0 0]
35. [1.5 5 0 0]
36. [1.5 10 0 0]
37. [0 0 1 3]
38. [7 9 10 10]
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39. OutMFParams [0 5 10 0]
40. [10 15 20 0]
41. [20 25 30 0]
42. Rule Antecedent [1 1]
43. [2 0]
44. [3 2]
42. Rule Consequent 1
43. 2
44. 3
42. Rule Weigth 1
43. 1
44. 1
42. Rule Connection 2
43. 1
44. 2
第7 章绘图与图形处理
人们很难从一大堆原始的数据中发现它们的含义，而数据图形恰能使视觉感官直接感受
到数据的许多内在本质，发现数据的内在联系。MATLAB 可以表达出数据的二维，三维，
甚至四维的图形。通过图形的线型，立面，色彩，光线，视角等属性的控制，可把数据的内
在特征表现得淋漓尽致。下面我们分别介绍图形的命令。
7.1 二维图形
7.1.1 基本平面图形命令
命令 1 plot
功能 线性二维图。在线条多于一条时，若用户没有指定使用颜色，则plot 循环使用由
当前坐标轴颜色顺序属性（current axes ColorOrder property）定义的颜色，以区别不同的线
条。在用完上述属性值后，plot 又循环使用由坐标轴线型顺序属性（axes LineStyleOrder
property）定义的线型，以区别不同的线条。
用法 plot(X,Y) 当X,Y 均为实数向量，且为同维向量（可以不是同型向量），X=[x(i)]，
Y=[y(i)]，则plot(X,Y)先描出点(x(i)，y(i))，然后用直线依次相连；若X，Y
为复数向量，则不考虑虚数部分。若X，Y 均为同维同型实数矩阵，X = [X(i)]，
Y = [Y(i)]，其中X(i),Y(i)为列向量，则plot(X,Y)依次画出plot(X(i),Y(i))，矩
阵有几列就有几条线；若X，Y 中一个为向量，另一个为矩阵，且向量的维
数等于矩阵的行数或者列数，则矩阵按向量的方向分解成几个向量，再与向
量配对分别画出，矩阵可分解成几个向量就有几条线；在上述的几种使用形
式中，若有复数出现，则复数的虚数部分将不被考虑。
plot(Y) 若Y 为实数向量，Y 的维数为m，则plot(Y)等价于plot(X,Y)，其中x=1：
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m；若y 为实数矩阵，则把y 按列的方向分解成几个列向量，而y 的行数为
n，则plot(Y)等价于plot(X,Y)其中x=[1;2;…;n]；在上述的几种使用形式中，
若有复数出现，则复数的虚数部分将不被考虑。
plot(X1,Y1,X2,Y2,…)，其中Xi 与Yi 成对出现，plot(X1,Y1,X2,Y2,…)将分别按顺
序取两数据Xi 与Yi 进行画图。若其中仅仅有Xi 或Yi 是矩阵，其余的为向
量，向量维数与矩阵的维数匹配，则按匹配的方向来分解矩阵，再分别将配
对的向量画出。
plot(X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2,LineSpec2 … ) 将按顺序分别画出由三参数定义
Xi,Yi,LineSpeci 的线条。其中参数LineSpeci 指明了线条的类型，标记符号，
和画线用的颜色。在plot 命令中我们可以混合使用三参数和二参数的形式：
plot(X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2,X3,Y3,LineSpec3)
plot(…,'PropertyName',PropertyValue,…) 对所有的用plot 生成的line 图形对象中
指定的属性进行恰当的设置。
h = plot(…) 返回line 图形对象句柄的一列向量，一线条对应一句柄值。
说明 参数LineSpec
功能 定义线的属性。Maltab 允许用户对线条定义如下的特性：
1．线型
表7-1
定义符 - -- ： -.
线型 实线（缺省值） 划线 点线 点划线
2．线条宽度
指定线条的宽度，取值为整数（单位为像素点）
3．颜色
表7-2
定义符 R（red） G(green) b(blue) c(cyan)
颜色 红色 绿色 兰色 青色
定义符 M(magenta) y(yellow) k(black) w(white)
颜色 品红 黄色 黑色 白色
4．标记类型
表7-3
定义符 + o(字母) * . x
标记类型 加号 小圆圈 星号 实点 交叉号
定义符 d ^ v > <
标记类型 棱形 向上三角形 向下三角形 向右三角形 向左三角形
定义符 s h P
标记类型 正方形 正六角星 正五角星
5．标记大小
指定标记符号的大小尺寸，取值为整数（单位为像素）
6．标记面填充颜色
指定用于填充标记符面的颜色。取值在上表。
7．标记周边颜色
指定标记符颜色或者是标记符（小圆圈、正方形、棱形、正五角星、正六角星和四个方
向的三角形）周边线条的颜色。取值在上表。
在所有的能产生线条的命令中，参数LineSepc 可以定义线条的下面三个属性：线型、
标记符号、颜色进行设置。对线条的上述属性的定义可用字符串来定义，如：plot(x,y,'-.or')
结合x 和y，画出点划线（-.），在数据点（x，y）处画出小圆圈（o），线和标记都用红
色画出。其中定义符（即字符串）中的字母、符号可任意组合。若没有定义符，则画图命令
plot 自动用缺省值进行画图。若仅仅指定了标记符，而非线型，则plot 只在数据点画出标记
符。如：plot(x,y,’d’)
例7-1
>>t = 0:pi/20:2*pi;
>>plot(t,t.*cos(t),'-.r*')
>>hold on
>>plot(exp(t/100).*sin(t-pi/2),'--mo')
>>plot(sin(t-pi),':bs')
>>hold off
图形结果为图7-1。
例7-2
>>plot(t,sin(2*t),'-mo', 'LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k',…
'MarkerFaceColor',[.49 1 .63],'MarkerSize',12)
图形结果为图7-2。
图7-1 二维曲线图 图7-2 二维图形的绘制
命令2 fplot
功能 在指定的范围limits 内画出一元函数y=f（x）的图形。其中向量x 的分量分布在
指定的范围内，y 是与x 同型的向量，对应的分量有函数关系：y(i)=f(x(i))。若对应于x 的
值，y 返回多个值，则y 是一个矩阵，其中每列对应一个f（x）。例如，f（x）返回向量
[f1(x),f2(x),f3(x)]，输入参量x=[x1;x2;x3]，则函数f（x）返回矩阵
f1(x1) f2(x1) f3(x1)
f1(x2) f2(x2) f3(x2)
f1(x3) f2(x3) f3(x3)
注意一点的是，函数function 必须是一个m-文件函数或者是一个包含变量x，且能用函
数eval 计算的字符串。例如：’sin(x)*exp(2*x)’，’[sin(x),cos(x)]’，’hump(x)’。
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用法 fplot('function',limits) 在指定的范围limits 内画出函数名为function 的一元函数图
形。其中limits 是一个指定x-轴范围的向量[xmin xmax]或者是x 轴和y 轴的
范围的向量[xmin xmax ymin ymax]。
fplot('function',limits,LineSpec) 用指定的线型LineSpec 画出函数function。
fplot('function',limits,tol) 用相对误差值为tol 画出函数function。相对误差的缺省
值为2e-3。
fplot('function',limits,tol,LineSpec) 用指定的相对误差值tol 和指定的线型
LineSpec 画出函数function 的图形。
fplot('function',limits,n) 当n>=1，则至少画出n+1 个点（即至少把范围limits 分
成n 个小区间），最大步长不超过(xmax-xmin)/n。
fplot(‘function’,lims,…) 允许可选参数tol，n 和LineSpec 以任意组合方式输入。
[X,Y] = fplot('function',limits,…) 返回横坐标与纵坐标的值给变量X 和Y，此时
fplot 不画出图形。若想画出，可用命令plot(X,Y)。
[…] = plot('function',limits,tol,n,LineSpec,P1,P2,…) 允许用户直接给函数function
输入参数P1，P2 等，其中函数functiond 的定义形式为
y = function(x,P1,P2,…)
若想用缺省的tol，n 或LineSpec 值，只需将空矩阵（[ ]）传递给函数即可。
注意：fplot 采用自适应步长控制来画出函数function 的示意图，在函数的变化激烈的区
间，采用小的步长，否则采用大的步长。总之，使计算量与时间最小，图形尽可能精确。
例7-3
>>fplot('tanh',[-2 2])
图形结果为图7-3。
>>subplot(2,2,1);fplot('humps',[0 1])
>>subplot(2,2,2);fplot('abs(exp(-j*x*(0:9))*ones(10,1))',[0 2*pi])
>>subplot(2,1,2);fplot('[tan(x),sin(x),cos(x)]',2*pi*[-1 1 -1 1])
图7-3 函数画图 图7-4
命令3 loglog
功能 双对数图形。
用法 loglog(Y) 若y 为实数向量或矩阵，则结合y 列向量的下标与y 的列向量画出。
若y 为复数向量或矩阵，则loglog(Y)等价于loglog(real(Y),imag(Y))，在loglog
的其他使用形式中将忽略Y 的虚数部分。
loglog(X1,Y1,X2,Y2…) 结合Xn 与Yn 画出图形。若只有Xn 或Yn 为矩阵，另
一个为向量，行向量维数等于矩阵的列数，列向量的维数等于矩阵的行数，
则loglog 把矩阵按向量的方向分解成向量，再与向量结合分别画出图形。
loglog(X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2,LineSpeec2 … ) 按顺序取三个参数Xn,Yn,
LineSpecn 画出线条，其中LineSpecn 指定线条的线型，标记符号和颜色。
用户可以混合使用二参数和三参数形式，如：
loglog(X1,Y1,X2,Y2,LineSpec2,X3,Y3)
loglog(…,'PropertyName',PropertyValue,…) 对所有由loglog 命令生成的图形对象
句柄的属性进行设置。
h = loglog(…) 返回line 图形句柄向量，每条线对应一个句柄。
例7-4
>>x = logspace(-1,2);
>>loglog(x,10*exp(x),'-s')
>>grid on
图7-5
命令4 semilogx
功能 x 轴对数图形。若没有指定使用的颜色，当所画线条较多时，semilogx 将自动使
用由当前轴的ColorOrder 和LineStyleOrder 属性指定的颜色顺序和线型顺序来画线。
用法 semilogx(Y) %对x 轴的刻度求常用对数（以10 为底），而y 轴为线性刻度。
若y 为实数向量或矩阵，则结合y 列向量的下标与y 的列向量画出线条；若
y 为复数向量或矩阵，则semilogx(Y)等价于semilogx(real(Y),imag(Y))。在
semilogx 的其他使用形式中，Y 的虚数部分将被忽略。
semilogx(X1,Y1,X2,Y2…) %结合Xn 和Yn 画出线条，若其中只有xn 或yn 为
矩阵，另外一个为向量，行向量的维数等于矩阵的列数，列向量的维数等于
矩阵的行数，则按向量的方向分解矩阵，再与向量结合，分别画出线条。
semilogx(X1,Y1,LineSpec1X2,Y2,LineSpec2, … ) % 按顺序取三参数
Xn,Yn,LineSpecn 画线，参数LineSpecn 指定使用的线型，标记符号和颜色。
用户可以混合使用二参数和三参数形式，如：
semilogx(X1,Y1,X2,Y2,LineSpec2,X3,Y3)
semilogx(…,'PropertyName',PropertyValue,…) %对所有由semilogx 命令生成的
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图形对象句柄的属性进行设置
h = semilogx(…) %返回line 图形句柄向量，每条线对应一个句柄。
例7-5
>>x = 0:.1:10;
>>semilogx(x,cos(10.^x))
图形结果为图7-6。
命令5 semilogy
用法：参见semilogx 命令。
命令6 fill
功能 用颜色填充二维多边形。
用法 fill(X,Y,C) 用x 和y 中的数据生成多边形，
用c 指定的颜色填充它。其中c 为色图向量或矩阵。若c 是行向量，则要求
c 的维数等于x 和y 的列数，若c 为列向量，则要求c 的维数等于x 和y 的
行数。
fill(X,Y,ColorSpec) 用ColorSpec 指定的颜色填充由x 和y 定义的多边形
fill(X1,Y1,C1,X2,Y2,C2,…) 指定多个要填充的二维区域
fill(…,'PropertyName',PropertyValue) 允许用户对一个patch 图形对象的某个属性
设定属性值。
h = fill(…) 返回patch 图形对象句柄的向量，每一个patch 对象对应一个句柄。
注意：
1. 若x 或y 是一矩阵，另一个是向量，向量应是维数与矩阵的行数相等的列向量或是
维数等于矩阵列数的行向量时，函数fill 将向量复制成与矩阵同型的矩阵。函数fill 将矩阵x
与y 中列向量中的数据生成多边形的顶点。
2. 颜色阴影类型决定于用户在参数中列出的颜色，若用户用ColorSpec 指定颜色，命令
fill 生成平坦阴影模式（flat-shaded）多边形，同时设置补片对象（patch）的FaceColor 属性
为相应的RGB 颜色矩阵。
3. 若用户用参量c 指定所用颜色，命令fill 按坐标轴属性Clim 的比例缩小c 中的元素，
之后，c 成为引用当前色图的下标矩阵。
4. 若c 为行向量，命令fill 生成平面阴影的多边形，c 的每一元素决定由矩阵x，y 的每
一列定义的多边形内的颜色，每一补片对象的FaceColor 属性被设置为'flat'，x，y 的每一行
元素变成第n 块补片对象的Cdata 属性值，其中n 为矩阵x 或y 中的相应的列。
5. 若c 为一列向量或一矩阵，命令fill 运用一线性插值法计算每一节点的颜色，以便用
插值颜色填充多边形的内部。它设置补片对象的FaceColor 属性为‘interp’，且在一列中的
元素变成每一补片的Cdata 属性值。若c 为一列向量，
命令fill 用该向量复制成需要大小的尺寸。
例7-6
>>t = (1/16:1/8:1)'*2*pi;
>>x = exp(t).*sin(t);
>>y = t.*cos(t);
>>fill(x,y,'k')
图7-6
图7-7
>>grid on
图形结果为图7-7。
命令7 zoom
功能 对二维图形进行放大或缩小。放大或缩小会改变坐标轴范围。
用法 zoom on 打开交互式的放大功能。当一个图形处于交互式的放大状态时，有两种
方法来放大图形：
对于一键鼠标或二键，三键鼠标，单击坐标轴内的任意一点，可使图形放大一倍，这一
操作可进行多次，直到matlab 的最大显示为止；对于二键或三键的鼠标，在坐标轴内单击
右键，可使图形缩小一倍，这一操作可进行多次，直到还原图形为止。对于一键鼠标，要想
缩小图形，需要按住键盘上的Shift 键，再单击鼠标键。
用鼠标拖出要放大的部分，系统将放大选定的区域。
zoom off 关闭交互式放大功能。
zoom out 将系统转回非放大状态，并将图形恢复原状。
zoom reset 系统将记住当前图形的放大状态，作为放大状态的设置值。以后使用
zoom out 或者是双击鼠标时，交互式放大状态打开，且图形并不是返回到原
状，而是返回reset 时的放大状态。
zoom 用于切换放大的状态：on 和off。
zoom xon 只对x 轴进行放大。
zoom yon 只对y 轴进行放大。
zoom(factor) 用放大系数factor 进行放大或缩小，而不影响交互式放大的状态。
若factor>1，系统将图形放大factor 倍，若0<factor≤1，系统将图形放大
1/factor 倍。
zoom(fig, option) 指定对窗口fig 中（不一定为当前窗口）的二维图形进行放大，
其中参数option 为：on、off、xon、yon、reset、factor 等。
命令8 meshgrid
功能 生成二元函数z = f(x,y)中x-y 平面上的矩形定义域中数据点矩阵X 和Y，或者是
三元函数u = f(x,y,z)中立方体定义域中的数据点矩阵X,Y 和Z。
用法 a：[X,Y] = meshgrid(x,y)
b：[X,Y] = meshgrid(x)
c：[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z)
说明 对于形式a，输入向量x 为x-y 平面上矩形定义域的矩形分割线在x 轴的值，向
量y 为x-y 平面上矩形定义域的矩形分割线在y 轴的值。输出向量X 为x-y 平面上矩形定义
域的矩形分割点的横坐标值矩阵，输出向量Y 为x-y 平面上矩形定义域的矩形分割点的纵坐
标值矩阵。
对于形式b，等价于形式a：[X,Y] = meshgrid(x) = meshgrid(x,x)。
对于形式c，输入向量x 为立方体定义域的立方体分割平面在x 轴上的值，输入向量y
为立方体定义域的立方体分割平面在y 轴上的值，输入向量z 为立方体定义域的立方体分割
平面在z 轴上的值。输出向量X 为立方体定义域中分割点的x 轴坐标值,Y 为立方体定义域
中分割点的y 轴坐标值,Z 为立方体定义域中分割点的z 轴坐标值。
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例7-7
>>x = [0.7 1.1 ]; y = [-2 3 1]; z = [2 5 3]; %分量不一定从小到大
>>[X_2d,Y_2d] = meshgrid(x,y)
>>[X_3d,Y_3d,Z_3d] = meshgrid(x,y,z)
计算结果为：
X_2d =
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
Y_2d =
-2 -2
3 3
1 1
X_3d(:,:,1) =
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
X_3d(:,:,2) =
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
X_3d(:,:,3) =
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
0.7000 1.1000
Y_3d(:,:,1) =
-2 -2
3 3
1 1
Y_3d(:,:,2) =
-2 -2
3 3
1 1
Y_3d(:,:,3) =
-2 -2
3 3
1 1
Z_3d(:,:,1) =
2 2
2 2
2 2
Z_3d(:,:,2) =
5 5
5 5
5 5
Z_3d(:,:,3) =
3 3
3 3
3 3
7.1.2 特殊平面图形命令
命令 1 polar
功能 画极坐标图。该命令接受极坐标形式的函数rho=f(θ)，在笛卡儿坐标系平面上画
出该函数，且在平面上画出极坐标形式的格栅。
用法 polar(theta,rho) 用极角theta 和极径rho 画出极坐标图形。极角theta 为从x 轴到
半径的单位为弧度的向量，极径rho 为各数据点到极点的半径向量。
polar(theta,rho,LineSpec) 参量LineSpec 指定极坐标图中线条的线型、标记符号和
颜色等。
例7-8
>>t = 0:.01:2*pi;
>>polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),'--r')
图形结果为图7-8。
命令2 bar
功能 二维垂直条形图。用垂直条形显示向量或矩阵中的值。
用法 bar(Y) 若y 为向量，则分别显示每个分量的高度，横
坐标为1 到length（y）；若y 为矩阵，则bar 把y 分解成行向量，再分别画
出，横坐标为1 到size（y，1），即矩阵的行数。
bar(x,Y) 在指定的横坐标x 上画出y，其中x 为严格单增的向量。若y 为矩阵，
则bar 把矩阵分解成几个行向量，在指定的横坐标处分别画出。
bar(…,width) 设置条形的相对宽度和控制在一组内条形的间距。缺省值为0.8，
所以，如果用户没有指定x，则同一组内的条形有很小的间距，若设置width
为1，则同一组内的条形相互接触。
bar(…,'style') 指定条形的排列类型。类型有“group”和“stack”，其中“group”
为缺省的显示模式。
“group”：若y 为n*m 阶的矩阵，则bar 显示n 组，每组有m 个垂直条形的
条形图。
“stack”：对矩阵y 的每一个行向量显示在一个条形中，条形的高度为该行
向量中的分量和。其中同一条形中的每个分量用不同的颜色显示出来，
从而可以显示每个分量在向量中的分布。
bar(…,LineSpec) 用指定的颜色LineSpec 显示所有的条形。
[xb,yb] = bar(…) 返回用户可用命令plot 或命令patch 画出条形图的参量xb，yb。
这对用户控制一个图形的显示是有用的，例如要在一个plot 语句中加入装饰
性的条形图等。
h = bar(…) 返回一个patch 图形对象句柄的向量。每一条形对应一个句柄。
例7-9
x = -2.9:0.2:2.9;
bar(x,exp(x.*sin(x)))
colormap gray
图形结果为图7-9。
例7-10
subplot(2,2,4)
bar(Y,1.5)
title 'Width = 1.5'
图形结果为图7-10。
命令3 barh
功能 二维水平条形图。用水平条形显示向量或矩阵中的值。
用法 barh(Y) 若y 为向量，则分别显示每个分量的高度，纵坐标为1 到length(y)；若
图7-8
0 5 10 15 20 25 30 35
0
1
2
3
4
5
6
7
Width = 1.5
图7-9 图7-10
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y 为矩阵，则bar 把y 分解成行向量，再分别画出，纵坐标为1 到size(y,1)，
即矩阵的行数。
barh(x,Y) 在指定的纵坐标x 上以水平方向画出y，其中x 为严格单增的向量。若
y 为矩阵，则barh 把矩阵分解成几个行向量，在指定的纵坐标处分别画出。
barh(…,width) 设置条形的相对宽度和控制在一组内条形的间距。缺省值为0.8，
所以，如果用户没有指定x，则同一组内的条形有很小的间距，若设置width
为1，则同一组内的条形相互接触。
barh(…,'style') 指定条形的排列类型。类型有“group”和“stack”，其中“group”
为缺省的显示模式。
“group”：若y 为n*m 阶的矩阵，则bar 显示n 组，每组有m 个水平条
形的条形图。
“stack”：对矩阵y 的每一个行向量显示在一个条形中，条形的高度为
该行向量中的分量和。其中同一条形中的每个分量用不同的颜色
显示出来，从而可以显示每个分量在向量中的分布。
barh(…,LineSpec) 用指定的颜色LineSpec 显示所有的条形。
[xb,yb] = barh(…) 返回用户可用命令plot 或命令patch 画出条形图的参量xb，yb。
这给用户控制一个图形的显示是有用的，例如要在一个plot 语句中加入装饰
性的条形图等。
h = barh(…) 返回一个patch 图形对象句柄的向
量。每一条形对应一个句柄。
例7-11
>>X = 1:.5:5;
>>Y = exp(X).*sin(X);
>>barh(Y,'stack')
图形结果为图7-11。
命令4 compass
功能 从原点画箭头图。箭头图为一显示起点为笛卡儿坐标系中的原点的二维或三维方
向或向量的图形，同时在坐标系中显示圆形的分隔线。
用法 compass(X,Y) 参量x 与y 为同型的n 维向量，则命令显示n 个箭头，箭头的起
点为原点，箭头的位置为[X(i),Y(i)]。
compass(Z) 参量z 为n 维复数向量，则命令显示n 个箭头，箭头起点为原点，箭
头的位置为[real(Z),imag(Z)].
compass(…,LineSpec) 用参量LineSpec 指定箭头图
的线型、标记符号、颜色等属性。
h = compass(…) 返回line 对象的句柄给h。
例7-12
Z = magic(20).*randn(20);
compass(Z)
图形结果为图7-12。
命令5 comet
功能 二维彗星图。彗星图为彗星头（一个小圆圈）沿着数据点前进的动画，彗星体为
图7-11
图7-12
跟在彗星头后面的痕迹，轨道为沿着整个函数的实线。我们要指出的是，由命令comet 生成
的轨迹是使用擦除模式（EraseMode）属性的值为none，该属性使用户不能打印该图形（只
能得到彗星头），且当用户改变窗口的大小时，动画将消失。
用法 comet(y) 彗星图动画显示向量y 确定的路线。
comet(x,y) 彗星图动画显示向量x 与y 确定的路线。
comet(x,y,p) 指定彗星体的长度p*length(y)，缺省的
p 值为0.1。
例7-13
>>t = 0:.01:2*pi;
>>x = exp(sin(2*t)).*(cos(t).^2/3);
>>y = t.*(sin(t).^2);
>>comet(x,y);
图形结果为图7-13。
附： 擦除模式(EraseMode) 属性及属性值：
{normal}|none|xor|background
该属性控制系统用于显示与擦除线条对象的技术。不同的擦除模式对于生成动画系
列，即控制个别对象的重新显示方式，对于改进外在显示和获得理想的效果是很必
要的。
表7-4
属性值 含义
Normal
(缺省值)
重新显示受影响的区域，在必要的时候，进行三维分析计算，以保证所有的对象的显示
都是正确的。该模式下的图形显示是最精确的，不过也是最缓慢的，以下其他三种模式
显示速度较快，不过没有执行一个完全的重显过程，因而，图形显示也不是很精确的。
none 当线条移动或改动时，该模式没有擦除线条，而是仍然显示于屏幕上。该模式下不能打
印图形，因为系统没有存储前一图形的任何信息。
xor 使用异或运算(xor)计算线条颜色与当前位置下的颜色，用所得结果显示与擦除线条。该
模式对于线条下面对象的颜色没有任何破坏，只是影响到线条的当前显示颜色而已。
Background
用当前坐标轴颜色重新显示线条的方式来擦除线条，若当前坐标轴颜色设置为none，则
用图形的背景色来代替坐标轴颜色。该模式对于处于擦除线条后面的对象来说是有损害
的，不过当前线条的颜色总是最合适的。
命令6 errorbar
功能 沿着一曲线画误差棒形图。误差棒为数据的置信水平或者为沿着曲线的偏差。在
下列参数中，若为矩阵，则按列画出误差棒。
用法 errorbar(Y,E) 画出向量y，同时显示在向量y 的每一元素之上的误差棒。误差棒
为E(i)在曲线y 上面与下面的距离，所以误差棒的长度为2*E(i)。
errorbar(X,Y,E) X,Y,E 必须为同型参量。若同为向量，则画出带长度为2*E(i)、对
称误差棒于曲线点(X(i),Y(i))之处；若同为矩阵，则画出带长度为E(i，j)、
对称误差棒于曲面点(X(i,j),Y(i,j))之处，
errorbar(X,Y,L,U) X，Y，L，U 必须为同型参量。若同为向量，则在点(X(i),Y(i))
处画出向下长为L(i)，向上长为U(i)的误差棒；若同为矩阵，则在点
(X(i,j),Y(i.j))处画出向下长为L(i,j),向上长为U(i,j)的误差棒。
errorbar(…,LineSpec) 用LineSpec 指定的线型、标记符、颜色等画出误差棒。
图7-13
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h = errorbar(…) 返回线图形对象的句柄向量给h。
例7-14
>>X = 0:pi/10:pi;
>>Y = exp(X).*sin(X);
>>E = std(Y)*ones(size(X));
>>errorbar(X,Y,E)
图形结果为图7-14。
命令7 feather
功能 画出速度向量图。一羽毛图在横坐标上等距地显
示向量。用户要表示各个向量的、相对于原点的向量分量。
用法 feather(U,V) 显示由参量向量u 与v 确定的向量，其中u 包含作为相对坐标系中
的x 成分，v 包含作为相对坐标系中的y 成分。
feather(Z) 显示复数参量向量z 确定的向量，等价于feather(real(Z),imag(Z))。
feather(…,LineSpec) 用参量LineSpec 指定的线型、标记符号、颜色等属性画出
羽毛图。
例7-15
>>th = (-90:10:90)*pi/180;
>>r = 4*ones(size(th));
>>[u,v] = pol2cart(th,r);
>>feather(u,v);
图形结果为图7-15。
命令8 hist
功能 二维条形直方图，可以显示出数据的分配情形。所有向量y
中的元素或者是矩阵y 中的列向量中的元素是根据它们的数值范围来分组的，每一组作为一
个条形进行显示。条形直方图中的x 轴反映了数据y 中元素数值的范围，直方图的y 轴显示
出参量y 中的元素落入该组的数目。所以y 轴的范围从0 到任一条形中包含元素最多的数字。
直方图为一patch 图形对象，若想改变图形的颜色，可以对patch 对象的属性进行设置。缺
省时，图形颜色是由当前色图进行控制，当前色图的第一个颜色为直方图的颜色。
用法 n = hist(Y) 把向量y 中的元素放入等距的10 个条形中，且返回每一个条形中的
元素个数。若y 为矩阵，则该命令按列对y 进行处理。
n = hist(Y,x) 参量x 为向量，把y 中元素放到m（m=length(x)）个由x 中元素指
定的位置为中心的条形中。
n = hist(Y,nbins) 参量nbins 为标量，用于指定条形的数目。
[n,xout] = hist(…) 返回向量n 与包含频率计数与条形的位置向量xout，用户可以
用命令bar(xout,n)画出条形直方图。
例7-16
>>x = -5:0.1:5;
>>y = randn(1000,1);
>>hist(y,x)
图形结果为图7-16。
命令9 histc
功能 直方图记数
图7-14
图7-15
图7-16
用法 n = histc(x,edges) 统计向量x 中、落入向量edges（元素必须为单调的非减的）各
个元素之间的元素个数。输出参量n 为一与向量edges 同维的向量。其中若
有edges(k)>=x(i)>=edges(k+1)，则n(k)增加1。X 中超出向量edges 规定的
范围的元素将不被统计。参量edges 中可使用-inf 与inf，用于包括向量x 中
非NaN 的元素。若x 为一矩阵，则对x 的每一列进行上述操作。
n = histc(x,edges,dim) 对多维矩阵的第dim 维进行统计。
[n,bin] = histc(…) n 结果同上，同时返回矩阵下标bin。若x 为向量，n(k) = sum(bin
== k)。对于超出范围的数值，bin 为零值。
命令10 rose
功能 画角度直方图。该直方图是一个显示所给数据的变化范围内数据的分布情形的极
坐标图，所给数据分成不同的组。每一组作为一小扇形进行显示。
用法 rose(theta) 画一角度直方图，显示参数theta 的数据在20 个区间或更少的区间
内的分布。向量theta 中的角度单位为弧度，用于确定每一区间与原点的角
度。每一区间的长度反映出输入参量的元素落入一区间的个数。
rose(theta,x) 用参量x指定每一区间内的元素与区间的位置，length(x)等于每一区
间内元素的个数与每一区间位置角度的中间角度。例如，若x为一5 维向量，
rose命令分配参量theta中的元素为5 部分，每一部分的角度中线由x指定。
rose(theta,nbins) 于区间 [0,2*pi] 内画出nbins 个等距的小扇形。缺省值为20。
[tout,rout] = rose(…) 返回向量tout 与rout，可以用polar(tout,rout)画出图形。该
命令没有画任何的图形。
例7-17
>>theta = 3*pi*randn(1,30);
>>rose(theta)
图形结果为图7-17。
命令11 stairs
功能 画二维阶梯图，这种图对与时间有关的数字样本系统的作图
很有用处。
用法 stairs(Y) 用参量y 的元素画一阶梯图。若y 为向量，则横坐标x 的范围从1 到
m=length(y)，若y 为矩阵，则对y 的每一行画一阶梯图，其中x 的范围从1
到y 的列数m。
stairs(X,Y) 结合x 与y 画阶梯图。其中要求x 与y 为同型的向量或矩阵。此外，x
可以为行向量或为列向量，且y 为有m=length（x）行的矩阵。
stairs(…,LineSpec) 用参数LineSpec 指定的线型、标记符号和颜色画阶梯图。
[xb,yb] = stairs(Y) 该命令没有画图，而是返回可以用命令plot 画出参量y 的阶梯
图的向量xb 与yb。
[xb,yb] = stairs(X,Y) 该命令没有画图，而是返回可以用
命令plot 画出参量x，y 的阶梯图的向量xb 与yb。
例7-18
>>x = 0:.25:10;
>>stairs(x,exp(sin(x.^2)))
图7-17
图7-18
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图形结果为图7-18。
命令12 stem
功能 画二维离散数据的柄形图。该图用线条显示数据点与x 轴的距离，一小圆圈（缺
省标记）或用指定的其他标记符号与线条相连，在y 轴上标记数据点的值。
用法 stem(Y) 按y 元素的顺序画出柄形图，在x 轴上，柄与柄之间的距离相等；若y
为矩阵，则把y 分成几个行向量，在同一横坐标的位置上画出一个行向量的
柄图。
stem(X,Y) 在横坐标x 上画出列向量y 的柄形图 。其中x 与y 为同型的向量或
矩阵，此外，x 可以为行向量或列向量，而y 为有m=length（x）行的矩阵。
stem(…,'fill') 指定是否对柄形图末端的小圆圈填充颜色。
stem(…,LineSpec) 用参数LineSpec 指定线型，标记符
号和柄图末端的小圆圈的颜色画柄图。
h = stem(…) 返回柄形图的line 图形对象句柄向量。
例7-19
>>x = linspace(0,2,10);
>>stem(exp(-x.^2),'fill','-.')
图形结果为图7-19。
命令13 stem3
功能 画三维离散数据的柄形图。该图用一线段显示数据离开xy 平面的高度，在线段
的末端用一小圆圈（缺省记号）或其他的标记符号表示数据的高度。
格式 stem3(Z) 用柄形图显示z 中数据与xy 平面的高度。若z 为一行向量，则x 与y
将自动生成，stem3 将在与x 轴平行的方向上等距的位置上画出z 的元素；
若y 为列向量，stem3 将在与y 轴平行的方向上等距的位置上画出z 的元素。
stem3(X,Y,Z) 在参数x 与y 指定的位置上画出z 的元素，其中x，y，z 必须为同
型的向量或矩阵。
stem3(…,'fill') 指定是否要填充柄形图末端小圆圈。
stem3(…,LineSpec) 指定线型，标记符号和末端小圆
圈的颜色。
h = stem3(…) 返回柄形图的line 图形对象句柄。
例7-20
[X,Y,Z] = peaks(20);
stem3(X,Y,Z,’r*')
图形结果为图7-20。
命令14 pie
功能 饼形图
格式 pie(X) 用x 中的数据画一饼形图，x 中的每一元素代表饼形图中的一部分。X
中元素X(i)所代表的扇形大小通过X(i)/sum(X)的大小来决定。若有
sum(X)=1，则x 中元素就直接指定了所在部分的大小；若sum(X)<1，则画
出一不完整的饼形图。
pie(X,explode) 从饼形图中分离出一部分，explode 为元素
图7-19
图7-20
图7-21
为零或非零的、与x 相对应的向量或矩阵。与explode 的非零值对应的部分
将从饼形图中心分离出来。explode 必须与x 同型。
h = pie(…) 返回一patch 与text 的图形对象句柄向量h。
例7-21
>>x = [1 3 0.5 2.5 2];
>>explode = [0 1 0 0 0];
>>pie(x,explode)
图形结果为图7-21。
7.1.3 二维图形注释命令
命令 1 grid
功能 给二维或三维图形的坐标面增加分隔线。该命令会对当前坐标轴的Xgrid，Ygrid，
Zgrid 的属性有影响。
用法 grid on 给当前的坐标轴增加分隔线。
grid off 从当前的坐标轴中去掉分隔线。
grid 转换分隔线的显示与否的状态。
grid(axes_handle,on|off) 对指定的坐标轴axes_handle 是否显示分隔线。
命令2 gtext
功能 在当前二维图形中用鼠标放置文字。当光标进入图形窗口时，会变成一个大十字，
表明系统正等待用户的动作。
用法 gtext('string') 当光标位于一个图形窗口内时，等待用户单击鼠标或键盘。若按下
鼠标或键盘，则在光标的位置放置给定的文字“string”
h = gtext('string') 当用户在鼠标指定的位置放置文字“string”后，返回一个text
图形对象句柄给h。
命令3 legend
功能 在图形上添加图例。该命令对有多种图形对象类型（线条图，条形图，饼形图等）
的窗口中显示一个图例。对于每一线条，图例会在用户给定的文字标签旁显示线条的线型，
标记符号和颜色等。当所画的是区域（patch 或surface 对象）时，图例会在文字旁显示表面
颜色。Matlab 在一个坐标轴中仅仅显示一个图例。图例的位置有几个因素决定，像遮挡的对
象等，用户可以用鼠标拖动图例到恰当的位置，双击标签可以进入标签编辑状态。
用法 legend('string1','string2',…) 用指定的文字string 在当前坐标轴中对所给数据的每
一部分显示一个图例。
legend(h,'string1','string2',…) 用指定的文字string 在一个包含于句柄向量h 中的图
形显示图例。用给定的数据对相应的图形对象加上图例。
legend(string_matrix) 用字符矩阵参量string_matrix 的每一行字符串作为标签。
legend(h,string_matrix) 用字符矩阵参量string_matrix 的每一行字符串作为标签给
包含于句柄向量h 中的相应的图形对象加标签。
legend(axes_handle,…) 给由句柄axes_handle 指定的坐标轴显示图例。
legend('off') 从当前的坐标轴，或是由axes-handle 指定的坐标轴中除掉图例。
legend(axes_handle,'off') 从由axes_handle 指定的坐标轴中除掉图例。
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legend_handle = legend 返回当前坐标轴中的图例句柄，若坐标轴中没有图例存
在，则返回空向量。
legend 对当前图形中所有的图例进行刷新。
legend(legend_handle) 对由句柄legend_handle 指定的图例进行刷新。
legend(…,pos) 在指定的位置pos 放置图例见表7-5。
表7-5
Pos 取值 pos=-1 pos=0 Pos=1
图例位置 坐标轴之外的右边 坐标轴之内，有可能遮挡
部分图形
坐标轴的右上角
（缺省位置）
Pos 取值 pos=2 pos=3 pos=4
图例位置 坐标轴的左上角 在坐标轴的左下角 坐标轴的右下角
h = legend(…) 返回图例的句柄向量。
[legend_handle,object_handles] = legend(…) 返回图例句
柄，该句柄为坐标轴定义于图例中的图形对象、line
对象、text 对象的句柄。这些句柄允许用户对每个
对象进行详细的操作。
例7-22
>>x = -pi:pi/20:pi;
>>plot(x,(cos(x)).^2,'rd',x,asin(x),'-.b')
>>h = legend('cos2x','asin',2);
图形结果为图7-22。
命令4 title
功能 给当前轴加上标题。每个axes 图形对象可以有一个标题。标题定位于axes 的上
方正中央。
用法 title('string') 在当前坐标轴上方正中央放置字符串string 作为标题
title(fname) 先执行能返回字符串的函数fname，然后在当前轴上方正中央放置返
回的字符串作为标题
title(…,'PropertyName',PropertyValue,…) 对由命令title 生成的text 图形对象的属
性进行设置
h = title(…) 返回作为标题的text 对象句柄。
命令5 text
功能 在当前轴中创建text 对象。函数text 是创建text 图形句柄的低级函数。可用该函
数在图形中指定的位置上显示字符串。
用法 text(x,y,'string')在图形中指定的位置(x,y)上显示字符串string
text(x,y,z,'string') 在三维图形空间中的指定位置(x,y,z)上显示字符串string
text(x,y,z,’string’.'PropertyName',PropertyValue…) 对引号中的文字string 定位于用
坐标轴指定的位置，且对指定的属性进行设置。表7-6 给出文字属性名、含义及属性值。
表7-6
属性名 属性说明 属性值
定义字符串
图7-22
Editing 能否对文字进行编辑 有效值：on、off
缺省值：off
Interpretation TeX 字符是否可用 有效值：tex、none
缺省值：tex
String 字符串(包括TeX 字符串) 有效值：可见字符串
放置字符串
Extent text对象的范围（位置与大小） 有效值：[left, bottom, width, height]
HorizontalAlignment 文字水平方向的对齐方式
有效值：left(文本外框左边对齐，缺省对齐
方式)、center(文本外框中间对齐)、right(文
本外框右边对齐)
缺省值：left
Position 文字范围的位置 有效值：[x,y,z]直角坐标系
缺省值：[]（空矩阵）
Rotation 文字对象的方位角度 有效值：标量（单位为度）
缺省值：0
Units 文字范围与位置的单位
有效值： pixels ( 屏幕上的像素点) 、
normalized (把屏幕看成一个长、宽为1 的矩
形)、inches(英寸)、centimeters(厘米)、points
(图象点)、data
缺省值：data
VerticalAlignment 文字垂直方向的对齐方式
有效值：top (文本外框顶上对齐)、cap(文本
字符顶上对齐)、middle(文本外框中间对齐)、
baseline(文本字符底线齐)、bottom(文本外框
底线对齐)
缺省值：middle
指定文字字体
FontAngle 设置斜体文字模式
有效值：normal(正常字体)、italic(斜体字)、
oblique(斜角字)
缺省值：normal
FontName 设置文字字体名称
有效值：用户系统支持的字体名或者字符串
FixedWidth。
缺省值为 Helvetica
FontSize 文字字体大小 有效值：结合字体单位的数值
缺省值为：10 points
FontUnits 设置属性FontSize 的单位
有效值： points (1 点=1/72 英寸) 、
normalized(把父对象坐标轴作为一单位长
的一个整体；当改变坐标轴的尺寸时，系统
会自动改变字体的大小)、inches (英寸)、
Centimeters(厘米)、Pixels(像素)
缺省值：points
FontWeight 设置文字字体的粗细
有效值：light(细字体)、normal(正常字体)、
demi(黑体字)、Bold(黑体字)
缺省值：normal
控制文字外观
Clipping 设置坐标轴中矩形的剪辑模
式
有效值：on、off
on：当文本超出坐标轴的矩形时，超出的部
分不显示；
off：当文本超出坐标轴的矩形时，超出的部
分显示。
缺省值：off
EraseMode
设置显示与擦除文字的模式。
这些模式对生成动画系列与
改进文字的显示效果很有好
处。
有效值：normal、none、 xor、 background
缺省值：normal
SelectionHighlight 设置选中文字是否突出显示 有效值：on、off
缺省值：on
Visible 设置文字是否可见 有效值：on、off
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缺省值：on
Color 设置文字颜色 有效的颜色值：ColorSpec
控制对文字对象的访问
HandleVisibility 设置文字对象句柄对其他函
数是否可见
有效值：on、callback、off
缺省值：on
HitTest
设置文字对象能否成为当前
对象（见图形CurrentObject 属
性）
有效值：on、off
缺省值：on
文字对象的一般信息
Children 文字对象的子对象（文字对象
没有子对象） 有效值：[]（即空矩阵）
Parent 文字对象的父对象（通常为
axes 对象） 有效值：axes 的句柄
Seleted 设置文字是否显示出“选中”
状态
有效值：on、off
缺省值：off
Tag 设置用户指定的标签 有效值：任何字符串
缺省值：’’（即空字符串）
Type 设置图形对象的类型（只读类
型） 有效值：字符串’text’
UserData 设置用户指定数据 有效值：任何矩阵
缺省值：[]（即空矩阵）
控制回调例行执行程序
BusyAction 设置如何处理对文字回调过
程中断的句柄
有效值：cancel、queue
缺省值：queue
ButtonDownFcn
设置当鼠标在文字上单击时，
程序做出的反应（即执行回调
程序）
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
CreateFcn
设置当文字被创建时，程序做
出的反应（即执行的回调程
序）
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
DeleteFcn
设置当文字被删除（通过关闭
或删除操作）时，程序做出的
反应（即执行的回调程序）
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
Interruptible 设置回调过程是否可中断 有效值：on、off
缺省值：on（能中断）
UIContextMenu 设置与文字相关的菜单项 有效值：用户相关菜单句柄
h = text(…) 返回文字对象句柄的列向量，每一对象对应一句柄。该命令的其他使
用形式中，将随意地返回这个输出参量。
例7-23
>>plot(0:pi/20:2*pi,sin(0:pi/20:2*pi))
>>text(pi,0,’Zeros Point’)
>>grid on
图形结果为图7-23。
命令6 xlabel、ylabel
功能 给x、y 轴贴上标签
用法 xlabel('string')、 ylabel(‘string’) 给当前轴对象中的
x、y 轴贴标签；注意：若再次执行xlabel 或ylabel 命令，则新的标签会覆盖
旧的标签。
xlabel(fname)、ylabel(fname) 先执行函数fname，其返回一个字符串，然后在x、
y 轴旁边显示出来；
图7-23
xlabel( … ,'PropertyName',PropertyValue, … ) 、ylabel( … ,’PropertyName’,
PropertyValue)指定轴对象中的要控制的属性名和要改变的属性值，这些都是
由xlabel 或ylabel 创建的text 图形对象的成对值；
h = xlabel(…)、h = ylabel(…)返回作为标签的text 对象的句柄。
7.2 三维图形
7.2.1 三维曲线、面填色命令
命令 1 comet3
功能 三维空间中的彗星图。彗星图为一个三维的动画图像，彗星头（一个小圆圈）沿
着数据指定的轨道前进，彗星体为跟在彗星头后面的一段痕迹，彗星轨道为整个函数所画的
实曲线。注意一点的是，该彗星轨迹的显示模式EraseMode 为none，所以用户不能打印出
彗星轨迹（只能得到一个小圆圈），且若用户调整窗口大小，则彗星会消失。
用法 comet3(z) 用向量z 中的数据显示一个三维彗星
comet3(x,y,z) 显示一个彗星通过数据x，y，z 确
定的三维曲线。
comet3(x,y,z,p) 指定彗星体的长度为：p*length
（y）。
例7-24
>>t = -20*pi:pi/50:20*pi;
>>comet3((cos(2*t).^2).*sin(t),(sin(2*t).^2).*cos(t),t);
图形的结果为图7-24。
命令2 fill3
功能 用指定的颜色填充三维多边形。阴影类型为平面型和Gouraud 型。
用法 fill3(X,Y,Z,C) 填充由参数x，y 和z 确定多边形。若x，y 或z 为矩阵，fill3 生成
n 个多边形，其中n 为矩阵的列数。在必要的时候，fill3 会自动连接最后一
个节点和第一个节点。以便能形成封闭的多边形。参数c 指定颜色，这儿c
为引用当前色图的下标向量或矩阵。若c 为行向量，则c 的维数必须等于x
的列数和y 的列数，若c 为列向量，则c 的维数必须等于矩阵x 的行数和y 的
行数。
fill3(X,Y,Z,ColorSpec) 用指定的颜色ColorSpec 填充由x，y 和z 确定的多边形。
fill3(X1,Y1,Z1,C1,X2,Y2,Z2,C2,…) 对多边形的不同区域用不同的颜色进行填
充。
fill3(…,'PropertyName',PropertyValue) 允许用户对特定的patch 属性进行设置。
h = fill3(…) 返回patch 图形对象的句柄向量，每一块（patch）对应一个句柄。
运算规则：
1．若X，Y，Z 为同型的矩阵，fill3 生成X，Y，Z 中相同位置的元素确定的顶点，每
一列生成一个多边形。
图7-24
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2．若只有X，Y 或Z 为矩阵，则fill3 由列向量参数生成可用的同型矩阵。
3．若用户对填充的颜色指定为ColorSpec，则fill3 生成阴影类型为flat-shaded 的多边形，
且设置块（patch）的属性FaceColor 为RGB 颜色形式的矩阵。
4．若用户用矩阵C 指定颜色，命令fill3 通过坐标轴属性Clim 来调整C 中的元素，在
引用当前色图之前，用于指定颜色坐标轴的参数比例。
5．若参数C 为一行向量，命令fill3 生成带平面阴影（flat-shaded）的多边形，同时设
置补片对象的面颜色（FaceColor）属性为flat。向量c 中的每一元素成为每一补片对象的颜
色数据（CData）属性的值。
6．若参数C 为一矩阵，命令fill3 生成带内插颜色的多边形，同时设置多边形补片对象
的FaceColor 属性为interp。命令fill3 采用对多边形顶点色图的下标指定的颜色采用线性内
插算法，同时多边形的颜色采用对顶点颜色用内插算法得到的颜色。矩阵C 的每一列元素变
成对应补片对象的Cdata 属性值。
7．若参数C 为一列向量，命令fill3 先复制C 的元素，使之成为所需维数的矩阵，再按
上面的方法6 进行计算。
例7-25
>>X = 10*rand(4);Y=10*rand(4);Z=10*rand(4);
>>C = rand(4);
>>fill3(X,Y,Z,C)
图形结果可能为图7-25。
7.2.2 三维图形等高线
命令 1 contour
功能 曲面的等高线图
用法 contour(z) 把矩阵z 中的值作为一个二维函数的值，等高曲线是一个平面的曲
线，平面的高度v 是Matlab 自动取的；
contour(x,y,z) (x,y)是平面z=0 上点的坐标矩阵，z 为相应点的高度值矩阵。效
果同上；
contour(z,n) 画出n 条等高线；
contour(x,y,z,n) 画出n 条等高线；
contour(z,v) 在指定的高度v 上画出等高线；
contour(x,y,z,v) 同上；
[c,h] = contour(…) 返回如同contourc 命令描述的等高矩阵c 和线句柄或块句柄
列向量h，这些可作为clabel 命令的输入参量，每条线对应一个句柄，句柄
中的userdata 属性包含每条等高线的高度值；
contour(…,’linespec’) 因为等高线是以当前的色
图中的颜色画的，且是作为块对象处理的，即
等高线是一般的线条，我们可象画普通线条一
样，可以指定等高线的颜色或者线形。
例7-26
>>contour(peaks(40))
图7-25
图7-26
图形结果为图7-26。
命令2 clabel
功能 在二维等高线图中添加高度标签。在下列形式中，若有h 出现，则会对标签进行
恰当的旋转，否则标签会竖直放置，且在恰当的位置显示个一个“+”号。
用法 clabel(C,h) 把标签旋转到恰当的角度，再插入到等高线中。只有等高线之间有足
够的空间时才加入，当然这决定于等高线的尺度。
clabel(C,h,v) 在指定的高度v 上显示标签h，当然要对标签做恰当的处理。
clabel(C,h,'manual') 手动设置标签。用户用鼠标左键或空格键在最接近指定的位
置上放置标签，用键盘上的回车键结束该操作。当然会对标签做恰当的处理。
clabel(C) 在从命令contour 生成的等高线结构c 的位置上添加标签。此时标签的
放置的位置是随机的。
clabel(C,v) 在给定的位置v 上显示标签
clabel(C,'manual') 允许用户通过鼠标来给等高线
贴标签
例7-27
>>[x,y] = meshgrid(-2:.2:2);
>>z = x.*y.*exp(-x.^2-y.^2);
>>[C,h] = contour(x,y,z);
>>clabel(C,h);
图形结果为图7-27。
命令3 contourc
功能 低级等高线图形计算命令。该命令计算等高线矩阵c，该矩阵可用于命令contour，
contour3 和contourf 等。矩阵z 中的数值确定平面上的等高线高度值，等高线的计算结果用
由矩阵z 维数决定的间隔的宽度。
用法 C = contourc(Z) 从矩阵z 中计算等高矩阵，其中z 的维数至少为2*2 阶，等高线
为矩阵z 中数值相等的单元。等高线的数目和相应的高度值是自动选择的。
C = contourc(Z,n) 在矩阵z 中计算出n 个高度的等高线。
C = contourc(Z,v) 在矩阵z 中计算出给定高度向量v 上计算等高线，当然向量v
的维数决定了等高线的数目。若只要计算一条高度为a 的等高线，输入：
contourc(Z,[a,a])；
C = contourc(x,y,Z) 在矩阵z 中，参量x，y 确定的坐标轴范围内计算等高线；
C = contourc(x,y,Z,n) 从矩阵Z 中，参量x 与y 确定的坐标范围内画出n 条等高线；
C = contourc(x,y,Z,v) 从矩阵Z 中，参量x 与y 确定的坐标范围内，画在v 指定的
高度上指定的等高线。
命令4 contour3
功能 三维空间等高线图。该命令生成一个定义在矩形格栅上曲面的三维等高线图。
用法 contour3(Z) 画出三维空间角度观看矩阵z 的等高线图，其中z 的元素被认为是
距离xy 平面的高度，矩阵z 至少为2*2 阶的。等高线的条数与高度是自动
选择的。若[m，n]=size（z），则x 轴的范围为[1：n]，y 轴的范围为[1：m]。
contour3(Z,n) 画出由矩阵z 确定的n 条等高线的三维图。
图7-27
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contour3(Z,v) 在参量v 指定的高度上画出三维等高线，当然等高线条数与向量v
的维数相同；若想只画一条高度为h 的等高线，输入：contour3(Z,[h,h])
contour3(X,Y,Z)、contour3(X,Y,Z,n)、contour3(X,Y,Z,v) 用X 与Y 定义x-轴与y-
轴的范围。若X 为矩阵，则X(1,:)定义x-轴的范围；若Y 为矩阵，则Y(:,1)
定义y-轴的范围；若X 与Y 同时为矩阵，则它们必须同型。不论为哪种使
用形式，所起的作用与命令surf 相同。若X 或Y 有不规则的间距，contour3
还是使用规则的间距计算等高线，然后将数据转变给X 或Y。
contour3(…,LineSpec) 用参量LineSpec 指定的线型与颜色画等高线。
[C,h] = contour3(…) 画出图形，同时返回与命令contourc中相同的等高线矩阵C，
包含所有图形对象的句柄向量h；除非没有指定LineSpec参数，contour3 将生
成patch图形对象，且当前的colormap属性与
caxis属性将控制颜色的显示。不论使用何种形
式，该命令都生成line图形对象。
例7-28
>>[X,Y] = meshgrid([-2:.25:2]);
>>Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
>>contour3(X,Y,Z,30)
图形结果为图7-28。
命令5 contourf
功能 填充二维等高线图。即先画出不同等高线，然后相邻的等高线之间用同一颜色进
行填充。填充用的颜色决定于当前的色图颜色。
用法 contourf(Z) 矩阵z 的等高线图，其中z 理解成距平面的高度。Z 至少为2*2 阶的。
等高线的条数与高度是自动选择的。
contourf(Z,n) 画出矩阵z 的n 条高度不同的等高线。
contourf(Z,v) 画出矩阵z 的、由v 指定的高度的等高线图。
contourf(X,Y,Z)、contourf(X,Y,Z,n)、contourf(X,Y,Z,v) 画出矩阵z 的等高线图，
其中X 与Y 用于指定x-轴与y-轴的范围。若X 与Y 为矩阵，则必须与Z
同型。若X 或Y 有不规则的间距，contour3 还是使用规则的间距计算等高
线，然后将数据转变给X 或Y。
[C,h,CF] = contourf(…)画出图形，同时返回与命令contourc 中相同的等高线矩阵
C，C 也可被命令clabel 使用；返回包含patch 图形对象的句柄向量h；返回
一用于填充用的矩阵CF。
例7-29
>>contourf(peaks(30),20);
>>colormap gray
图形结果为图7-29。
命令6 pie3
功能 三维饼形图
用法 pie3(X) 用x 中的数据画一个三维饼形图。X
中的每一个元素代表三维饼形图中的一部分。
图7-28
图7-29
pie3(X,explode) x 中的某一部分可以从三维饼形图中分离出来。explode 是一个与
x 同型的向量或矩阵，explode 中非零的元素对应x 中从饼形图中分离出来的
分量。
h = pie3(…) 返回一个分量为patch，surface 和text 图形句柄对象的向量。即每一
块对应一个句柄。
注意：命令pie3 将x 的每一个元素在所有元素的总和中所占的比例表达出来。若x 中
的分量和小于1（则所有元素小于1），则认为x 中的值指明三维饼形图的每一部分的大小。
例7-30
>>x = [1 3 0.5 2.5 2]
>>ex = [0 1 0 0 0]
>>pie3(x,ex)
图形结果为图7-30。
7.2.3 曲面与网格图命令
命令 1 mesh
功能 生成由X，Y 和Z 指定的网线面，由C 指定的颜色的三维网格图。网格图是作
为视点由view（3）设定的surface 图形对象。曲面的颜色与背景颜色相同（当要动画显示不
透明曲面时，这时可用命令hidden 控制），或者当画一个标准的可透视的网线图时，曲面的
颜色就没有（命令shading 控制渲染模式）。当前的色图决定线的颜色。
用法 mesh(X,Y,Z) 画出颜色由c 指定的三维网格图，所以和曲面的高度相匹配，
1．若X 与Y 均为向量，length（X）=n，length（Y）=m，而[m，n]=size
（Z），空间中的点 (X(j),Y(I),Z(I,j)) 为所画曲面网线的交点，分别地，
X 对应于z 的列，Y 对应于z 的行。
2．若X 与Y 均为矩阵，则空间中的点 (X(I,j),Y(I,j),Z(I,j))为所画曲面的
网线的交点。
mesh(Z) 由[n，m] = size（Z）得，X =1：n 与Y=1：m，其中z 为定义在矩形划
分区域上的单值函数。
mesh(…,C) 用由矩阵c 指定的颜色画网线网格图。Matlab 对矩阵c 中的数据进行
线性处理，以便从当前色图中获得有用的颜色。
mesh(…,PropertyName’,PropertyValue, …) 对指定的属性PropertyName 设置属性
值PropertyValue,可以在同一语句中对多个属性进行设置。
h = mesh(…) 返回surface 图形对象句柄。
运算规则：
1．数据X，Y 和z 的范围，或者是对当前轴的XLimMode，YLimMode 和ZLimMode
属性的设置决定坐标轴的范围。命令aXis 可对这些属性进行设置。
2．参量c 的范围，或者是对当前轴的Clim 和ClimMode 属性的设置（可用命令caxis
进行设置），决定颜色的刻度化程度。刻度化颜色值作为引
用当前色图的下标。
3．网格图显示命令生成由于把z 的数据值用当前色图
图7-30
图7-31
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表现出来的颜色值。Matlab 会自动用最大值与最小值计算颜色的范围（可用命令caxis auto
进行设置），最小值用色图中的第一个颜色表现，最大值用色图中的最后一个颜色表现。
Matlab 会对数据的中间值执行一个线性变换，使数据能在当前的范围内显示出来。
例7-31
>>[X,Y] = meshgrid(-3:.125:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>mesh(X,Y,Z);
图形结果为图7-31。
命令2 surf
功能 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图。
用法 surf(Z) 生成一个由矩阵z 确定的三维带阴影的曲面图，其中 [m，n] = size（Z），
而X = 1：n，Y = 1：m。高度z 为定义在一个几何矩形区域内的单值函数，
z 同时指定曲面高度数据的颜色，所以颜色对于曲面高度是恰当的。
surf(X,Y,Z) 数据z 同时为曲面高度，也是颜色数据。X 和Y 为定义X 坐标轴和
Y 坐标轴的曲面数据。若X 与Y 均为向量，length（X）=n，length（Y）=m，
而[m,n]=size（Z），在这种情况下，空间曲面上的节点为（X(I),Y(j),Z(I,j)）。
surf(X,Y,Z,C) 用指定的颜色c 画出三维网格图。Matlab 会自动对矩阵c 中的数据
进行线性变换，以获得当前色图中可用的颜色。
surf(…,’PropertyName’,PropertyValue) 对指定的属性PropertyName 设置为属性值
PropertyValue
h = surf(…) 返回一个surface 图形对象句柄给变量h。
运算规则：
1．严格地讲，一个参数曲面是由两个独立的变量I、j 来定义的，它们在一个矩形区
域上连续变化。例如，a<=I<=b,c<=j<=d，三个变量X，Y，Z 确定了曲面。曲面颜色由第
四参数矩阵C 确定。
2．矩形定义域上的点有如下关系：
A(I-1,j)
|
B(I,j-1) ---- C(I,j) ---- D(I,j+1)
|
E(I+1,j)
这个矩形坐标方格对应于曲面上的有四条边的块，在空间的点的坐标为[X(?,Y(?,Z)，
每个矩形内部的点根据矩形的下标和相邻的四个点连接；曲面上的点只有相邻的三个点，曲
面上四个角上的点只有两个相邻点，上面这些定义了一个四边形的网格图。
3．曲面颜色可以有两种方法来指定：指定每个节点的颜色或者是每一块的中心点颜色。
在这种一般的设置中，曲面不一定为变量X 和Y 的单值函数，进一步而言，有四边的曲面
块不一定为平面的，而可以用极坐标，柱面坐标和球面坐标定义曲面。
4．命令shading 设置阴影模式。若模式为interp，C 必须与X，Y，Z 同型；它指定了每
个节点的颜色，曲面块内的颜色由附近几个点的颜色用双线性函数计算出来的。若模式为
facted（缺省模式）或flat，c(I,j)指定曲面块中的颜色：
A(I,j)----------- B (I,j+1)
| C(I,j) |
C(I+1,j) --------- D(I+1,j)
在这种情形下，C 可以与X，Y，和Z 同型，且它的最后一行和最后一列将被忽略，换
句话说，就是C 的行数和列数可以比X，Y，Z 少1。
5．命令surf 将指定图形视角为view（3）。
6．数据X，Y，Z 的范围或者通过对坐标轴的属性XlimMode，YlimMode 和ZlimMode
的当前设置（可以通过命令axis 来设置），将决定坐标轴的标签。
7．参数C 的范围或者通过对坐标轴的属性Clim 和
ClimMode 的设置（可以通过命令caxis 来设置），将决定颜色刻
度化。刻度化的颜色值将作为引用当前色图的下标。
例7-32
>>[X,Y,Z] = peaks(30);
>>surf(X,Y,Z)
>>colormap hsv
结果图形为图7-32。
命令3 surfc
功能 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图，且在曲面下面画出等高线。
用法 surfc(Z)、surfc(X,Y,Z)、 surfc(X,Y,Z,C)、
surfc(…,’PropertyName’,PropertyValue)、
surfc(…)、 h = surfc(…)
上面各个使用形式的曲面效果与命令surf 的相
同，只不过是在曲面下面增加了曲面的等高
线而已。
例7-33
>>[X,Y,Z] = peaks(30);
>>surfc(X,Y,Z)
>>colormap hsv
图形结果为图7-33。
命令4 surfl
功能 画带光照模式的三维曲面图。该命令显示一个带阴影的曲面，结合了周围的，散
射的和镜面反射的光照模式。想获得较平滑的颜色过度，要使用有线性强度变化的色图（如：
gray，copper，bone，pink 等）。参数X，Y，Z 确定的点定义了参数曲面的“里面”和“外
面”，若用户想曲面的“里面”有光照模式，只要使用：
surfl(X’,Y’,Z’)
用法 surfl(Z) 以向量z 的元素生成一个三维的带阴影的曲面，其中阴影模式中的光源
的方位、光照系数为缺省值（见下面）。
surfl(X,Y,Z) 以矩阵X，Y，Z 生成的一个三维的带阴影的曲面，其中阴影模式中
的光源的方位、光照系数为缺省值（见下面）。
surfl(…,’light’) 用一个matlab 光照对象（light object）生成一个带颜色、带光照
的曲面，这与用缺省光照模式产生的效果不同。
surfl(…,’cdata’) 改变曲面颜色数据（color data），使曲面成为可反光的曲面。
surfl(…,s) 指定光源与曲面之间的方位s，其中s 为一个二维向量[azimuth，
图7-32
图7-33
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elevation]，或者三维向量[sx，sy，sz]。缺省光源方位为从当前视角开始，
逆时针45℉（度）。
surfl(X,Y,Z,s,k) 指定反射常系数k，其中k 为一个定义环境光（ambient light）系
数（0<=ka<=1）、漫反射(diffuse reflection)系数（0〈=kb〈=1〉、镜面反射(specular
reflection)系数（0〈=ks〈=1〉与镜面反射亮度（以相素为单位）等的四维向
量[ka，kd，ks，shine]，缺省值为k=[0.55 0.6 0.4 10]。
h = surfl(…) 返回一个曲面图形句柄向量h。
例7-34
>>[X,Y] = meshgrid(-3:1/8:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>surfl(X,Y,Z);
>>shading interp
>>colormap(gray);
图形结果为图7-34。
命令5 waterfall
功能 瀑布图
用法 waterfall(X,Y,Z) 用所给参数X、Y 与Z 的数据画一“瀑布”效果图。若X 与Y
都是向量，则X 与Z 的列相对应，Y 与Z 的行相对应，即length(X)=Z 的列
数，length(Y)=Z 的行数。参数X 与Y 定义了x-轴与y-轴，Z 定义了z-轴的
高度，Z 同时确定了颜色，所以颜色能恰当地反映曲面的高度。若想研究数
据的列，可以输入：waterfall(Z’)或waterfall(X’,Y’,Z’)
waterfall(Z) 画出一瀑布图，其中缺省地有：X=1:Z 的行数，Y=1:Z 的行数，且Z
同时确定颜色，所以颜色能恰当地反映曲面高度。
waterfall(…,C) 用比例化的颜色值从当前色图中获得颜色，参量C 决定颜色的比
例，为此，必须与Z 同型。系统使用一线性变换，从当前色图中获得颜色。
h = waterfall(…) 返回patch 图形对象的句柄h，可用于画出图形。
例7-35
>>[X,Y,Z] = peaks(30);
>>waterfall(X,Y,Z)
图形结果为图7-35。
命令6 cylinder
功能 生成圆柱图形。该命令生成一单位圆柱体的
x-，y-，z-轴的坐标值。用户可以用命令surf 或命令mesh
画出圆柱形对象，或者用没有输出参量的形式而立即画出
图形。
用法 [X,Y,Z] = cylinder 返回一半径为1、高度为1 的圆柱体的x-，y-，z-轴的坐标值，
圆柱体的圆周有20 个距离相同的点。
[X,Y,Z] = cylinder® 返回一半径为r、高度为1 的圆柱体的x-，y-，z-轴的坐标值，
圆柱体的圆周有20 个距离相同的点。
图7-34
图7-35
[X,Y,Z] = cylinder(r,n) 返回一半径为r、高度为1 的圆柱体的x-，y-，z-轴的坐标
值，圆柱体的圆周有指定的n 个距离相同的点。
cylinder(…) 没有任何的输出参量，直接画出圆柱
体。
例7-36
>>t = 0:pi/10:2*pi;
>>[X,Y,Z] = cylinder(2+(cos(t)).^2);
>>surf(X,Y,Z); axis square
图形结果为图7-36。
命令7 sphere
功能 生成球体
用法 sphere 生成三维直角坐标系中的单位球体。该单位球体由20*20 个面。
sphere(n) 在当前坐标系中画出有n*n 个面的球体
[X,Y,Z] = sphere(n) 返回三个阶数为
(n+1)*(n+1)的，直角坐标系中的坐标矩
阵。该命令没有画图，只是返回矩阵。
用户可以用命令surf（X，Y，Z）或mesh
（X，Y，Z）画出球体。
例7-37
>>[X,Y,Z]=sphere;
>>mesh(X,Y,Z)
>>hidden off
图形结果为图7-37。
7.2.4 三维数据的其他表现形式命令
命令 1 pcolor
功能 伪彩色图。该图为一矩形单元的、由参数c 定义了颜色的阵列，系统通过c 中的
每相邻的四点定义的曲面补片而生成一伪彩色图。是从上面向下观看的“平面”曲面图。若
用户使用命令shading faceted 或shading flat，则每一单元的固定颜色是与之相连的角的颜色
有关的。所以，C(i,j)定义了单元的地i 行与地j 列的颜色。C 中的最后一行与最后一列都没
有用上。若用户使用命令shading interp，则每一单元的颜色是对它的四个顶点的颜色进行一
双线性插值后的颜色，这时c 的所有元素都参加了运算。
用法 pcolor(C) 画一伪彩色图。C 中的元素都线性地映射于当前色图下标。从C 映射
到当前的色图是由命令colormap 和caxis 定义的。
pcolor(X,Y,C) 在参数x 和y 指定的位置上画一由C 确定的为彩色图。该图为一
逻辑上为矩形、带二维格栅的、顶点在[X(i,j),Y(i,j)]的图形（若X 和Y 为矩
阵时）。参量X 与Y 为指定格栅线的向量或矩阵。若X 与Y 为向量，则X
对应于C 的列，而y 对应于C 的行；若X 与Y
同为矩阵，则必须为同型矩阵。该命令等价于命
令：surf(X,Y,0,C)，观察角度为：view([0,90])。
h = pcolor(…) 返回一surface 图形对象句柄于h
图7-36
图7-37
图7-38
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例7-38
>>pcolor(magic(20))
>>colormap(gray(2))
>>axis ij;axis square
图形结果为图7-38。
命令2 quiver
功能 矢量图或速度图
用法 quiver(U,V) 在范围为x =1:n 和y =1:m 的坐标系中显示由U 和V 定义的向量，
而[m,n]=size(U)=size(V)，这种形式是在一个几何矩形中画出U 和V 的，
quiver 命令本身会自动地画出这些向量，使之不会重叠。
quiver(X,Y,U,V) 由向量X 和Y 中的分量的任意组合而成的向量与。若X 与Y 都
是向量length（X）=n，而length（Y）=m，而[m，n]=size（U）=size（V），
向量X 对应于矩阵U、V 的列向量，而向量Y 对应于矩阵U、V 的行向量。
quiver(…,scale) 自动对向量的长度进行处理。使之不会重叠，当然可以对scale
进行取值，若scale=2，则向量长度伸长2 倍，若scale=0，则如实画出向量
图。
quiver(…,LineSpec) 可以指定画矢量图用的线型，符号，颜色，quiver 命令会在
原来的向量图上画出记号。
quiver(…,LineSpec,'filled') 对用LineSpec 指定的记
号进行填充
h = quiver(…) 返回每个向量图的句柄
例7-39
>>[z,x,y]=peaks(30);
>>[Dx,Dy]=gradient(z,0.1,0.1);
>>quiver(x,y,Dx,Dy)
图形结果为图7-39。
命令3 slice
功能 立体切片图。该命令显示通过立体图形的矩形切片图。
用法 slice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz) 显示三元函数V=V(X,Y,Z)确定的超立体形在x-轴、y-轴与
z-轴方向上的若干点（对应若干平面。即若函数V=V(X,Y,Z)中有一变量如X
取一定值X0，则函数V=V(X0,Y,Z)变成一立体曲面（只不过是将该曲面通
过颜色表示高度V,从而显示于一平面而已。）的切片图，各点的坐标由参量
向量sx、sy 与sz 指定。参量X、参量Y 与参量Z 为三维数组，用于指定立
方体V 的坐标。参量X、Y 与Z 必须有单调的、正交的间隔（如同用命令
meshgrid 生成的一样）。在每一点上的颜色由对超立体 V 的三维内插值确
定。
slice(V,sx,sy,sz) 显示三元函数V=V(X,Y,Z)确定的超立体形在x-轴、y-轴与z-轴方
向上的若干点（对应若干平面）的切片图，各点的坐标由数量向量sx、sy
与sz 指定。其中V 为三维数组（阶数为m*n*p），缺省地有：X = 1:m、Y =
1:n、Z = 1:p。
图7-39
slice(V,XI,YI,ZI) 显示参量矩阵XI、YI 与ZI 确定的、超立体图形的切面图。参
量XI、YI 与ZI 定义了一曲面，同时会在曲面的点上计算超立体V 的值。
参量XI、YI 与ZI 必须为同型矩阵。
slice(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) 沿着由矩阵XI、YI 与ZI 定义的曲面画穿过超立体图形V
的切片。
slice(…,'method') 指定内插值的方法。‘method’为如下方法之一：‘linear’、
‘cubic’、‘nearest’：
‘linear’——指定使用三次线性内插值法（该状态为缺省的）；
‘cubic’—— 指定使用三次立方内插值法；
‘nearest’——指定使用最近点内插值法。
h = slice(…) 返回一曲面图形对象的句柄向量h。
命令4 axis
功能 坐标轴的刻度与外在显示
用法 axis([xmin xmax ymin ymax]) 设置当前坐标轴的x-轴与y-轴的范围。
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax]) 设置当前坐标轴的x-轴、y-
轴与z-轴的范围，当前颜色刻度范围。该命令也同时设置当前坐标轴的属性
Xlim、Ylim 与Zlim 为所给参数列表中的最大值和最小值。另外，坐标轴属
性XlimMode、YlimMode 与ZlimMode 设置为‘manual’。
v = axis 返回一包含x-轴、y-轴与z-轴的刻度因子的行向量，其中v 为一四维或
六维向量，这取决于当前坐标为二维还是三维的。返回的值包含当前坐标轴
的XLim、Ylim 与Zlim 属性值。
axis auto 设置系统到它的缺省动作——自动计算当前轴的范围，这取决于输入参
量x，y 与z 的数据中的最大值与最小值。同时将当前坐标轴的属性
XlimMode、YlimMode 与ZlimMode 设置为‘auto’用户可以指定对某一坐
标轴进行自动操作。例如：
axis ’auto x’ 将自动计算x-轴的范围；
axis ’auto yz’ 将自动计算y-轴与z-轴的范围。
axis manual 、axis(axis) 把坐标固定在当前的范围，这样，若保持状态(hold)为
on，后面的图形仍用相同界限。该命令设置了属性XLimMode、属性
YLimMode 与属性ZlimMode 为manual。
axis tight 把坐标轴的范围定为数据的范围，即坐标轴中没有多余的部分。
axis fill 该命令用于将坐标轴的取值范围分别设置为绘图所用数据在相应方向上
的最大、最小值。
axis ij 使用矩阵坐标系：坐标原点在左上角、横坐标（j-轴）的值从左到右增加，
纵坐标（i-轴）的值从上到下增加。
axis xy 使用笛卡儿坐标系（缺省）：坐标原点在左下角、横坐标（x-轴）的值从
左到右增加，纵坐标（y-轴）的值从下到上增加。
axis equal 设置坐标轴的纵横比，使在每个方向的数据单位都相同。其中x-轴、
y-轴与z-轴将根据所给数据在各个方向的数据单位自动调整其纵横比。
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axis image 效果与命令axis equal 相同，只是图形区域刚好紧紧包围图象数据。
axis square 设置当前图形为正方形（或立方体形），系统将调整x-轴、y-轴与z-
轴，使它们有相同的长度，同时相应地自动调整数据单位之间的增加量。
axis normal 自动调整坐标轴的纵横比，还有用于填充图形区域的、显示于坐标
轴上的数据单位的纵横比。
表7-7 显示由上面三个命令设置的坐标轴属性。
表7-7
命令
坐标轴属性 axis equal axis normal axis square axis tightequal
DataAspectRatioMode [1 1 1] 没有设置 没有设置 [1 1 1]
PlotBoxAspectRatio manual auto auto Manual
PlotBoxAspectRatioMode [3 4 4] 没有设置 [1 1 1] Auto
Stretch-to-fill 禁止 可行 禁止 禁止
axis vis3d 该命令将冻结坐标系此时的状态，以便进行旋转。
axis off 关闭所用坐标轴上的标记、格栅和单位标记。但保留由text 和gtext 设置
的对象。
axis on 显示坐标轴上的标记、单位和格栅。
[mode,visibility,direction] = axis('state') 返回表明当前坐标轴的设置属性的三个字
符串，见表7-8。
表7-8
输出参量 返回字符串 说明
Mode ‘’auto’或
’manual’
若XLimMode、YlimMode 与ZlimMode 都设置为auto，则mode
为auto；若XLimMode、YlimMode 或者ZlimMode 都设置为
manual，则mode 为manual
Visibility ‘’on’或’off’
Direction ‘’xy’或’ij’
例7-40
>>x = 0:.025:pi/2;
>>plot(x,exp(x).*sin(2*x),'-m<')
>>axis([0 pi/2 0 5])
图形结果为图7-40。
命令5 hidden
功能 在一网格图中显示隐含线条。隐含线条的显示，实
际上是显示那些从观察角度观看没有被其他物体遮住的线条。
用法 hidden on 对当前图形打开隐含线条的显示状态，
使网格图后面的线条被前面的线条遮住。设置曲面图形对象的属性FaceColor
为坐标轴背景颜色。这是系统的缺省操作。
hidden off 对当前图形关闭隐含线条的显示
hidden 在两种状态on 与off 之间切换
例7-41
>>mesh(peaks)
>>hidden off
图7-40
图7-41
图形结果为图7-41。
命令6 shading
功能 设置颜色色调属性。该命令控制曲面与补片等的图形对象的颜色色调。同时设置
当前坐标轴中的所有曲面与补片图形对象的属性EdgeColor 与FaceColor。命令shading 设置
恰当的属性值，这取决于曲面或补片对象是表现网格图或实曲面。
用法 shading flat 使网格图上的每一线段与每一小面有一相同颜色，该颜色由线段的
末端的端点颜色确定；或由小面的、有小型的下标或索引的四个角的颜色确定。
shading faceted 带重叠的黑色网格线的平面色调模式。这是缺省的色调模式。
shading interp 在每一线段与曲面上显示不同的颜色，该颜色为通过在每一线段
两边的、或者为不同小曲面之间的色图的索引或真颜色进行内插值得到的颜色。
例7-42
>>sphere(16)
>>axis square
>>shading flat
>>title('Flat Shading')
图形结果为图7-42。
命令7 caxis
功能 颜色坐标轴刻度。命令caxis 控制着对应色图的数据值的
映射图。它影响下面对象之一的、用带索引的颜色数据（CData）与
颜色数据映射（CDataMapping）控制的刻度的图形对象surface、patches 与images；它没有
影响带用颜色数据（CData）或颜色数据映射（CDataMapping）直接设置的颜色的图形对象
surface、images 或patches。该命令还改变坐标轴图形对象的属性Clim 与ClimMode。
用法 caxis([cmin cmax]) 用指定的最大值与最小值设置颜色范围。数据值中小于cmin
或大于cmax 的，将分别地映射于cmin 与cmax；处于cmin 与cmax 之间的
数据将线性地映射于当前色图。
caxis auto 让系统自动地计算数据的最大值与最小值对应的颜色范围。这是系统
的缺省动作。数据中的正无穷大（Inf）对应于最大颜色值；负无穷大（-Inf）
对应于最小颜色值；带颜色值设置为NaN 的面或者边界将不显示。
caxis manual、caxis(caxis) 冻结当前颜色坐标轴的刻度范围。这样，当hold 设置
为on 时，可使后面的图形命令使用相同的颜色范围。
v = caxis 返回一包含当前正在使用的颜色范围的二维向量v=[cmin cmax]。
caxis(axes_handle,…) 使由参量axis_handle 指定的坐标轴，而非当前坐标轴。
颜色坐标轴刻度工作原理：
使用带索引的颜色数据(Cdata)与颜色数据映射(CdataMapping)的图形对
象surface、patch 与image 将设置成刻度化的，在每次图形渲染时，将映射
颜色数据值为当前图形的颜色。当颜色数据值等于或小于cmin 时，将它映
射为当前色图中的第一个颜色；当颜色数据值等于或大于cmax 时，将它映
射为当前色图中的最后一个颜色；对于处于
cmin 与cmax 之间的颜色数据（例如c），系
统将执行下列线性转换，以获得对应当前色图
图7-42
图7-43
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（它的长度为m）中的颜色的索引（当前色图的行指标index）：
index = fix((C-min)/(cmax-cmin)*m)+1
例7-43
>>[X,Y,Z] = sphere;
>>C = Z;surf(X,Y,Z,C)
>>caxis([-1 3])
图形结果为图7-43。
命令8 view
功能 指定立体图形的观察点。观察者（观察点）的位置决定了坐标轴的方向。用户可
以用方位角（azimuth）和仰角（elevation）一起，或者用空间中的一点来确定观察点的位置。
用法 view(az,el)、view([az,el]) 给三维空间图形设置观察点的方位角。方位角az 与仰
角el 为这两个旋转角度：做一通过视点与z-轴的平面，与xy 平面有一交线，
该交线与y-轴的反方向的、按逆时针方向（从z-轴的方向观察）计算的、单
位为度的夹角，就是观察点的方位角az。若角度为负值，则按顺时针方向计
算；在通过视点与z-轴的平面上，用一直线连接视点与坐标原点，该直线与
xy 平面的夹角就是观察点的仰角el。若仰角为负值，则观察点转移到曲面
下面。
view([x,y,z]) 在笛卡儿坐标系中于点（x,y,z）设置视点。注意：输入参量只能是
方括号的向量形式，而非数学中的点的形式。
view(2) 设置缺省的二维形式视点。其中az=0，el=90，即从z-轴上方观看。
view(3) 设置缺省的三维形式视点。其中az=-37.5，el=30。
view(T) 根据转换矩阵T 设置视点。其中T 为4*4 阶的矩阵，如同用命令viewmtx
生成的透视转换矩阵一样。
[az,el] = view 返回当前的方位角az 与仰角el。
T = view 返回当前的4*4 阶的转换矩阵T。
例7-44
>>peaks;
>>az = 0;el = 90;
>>view(az, el)
图形结果为图7-44。
命令9 viewmtx
功能 视点转换矩阵。计算一个4*4 阶的正交的或透视的转换矩阵，该矩阵将一四维的、
齐次的向量转换到一个二维的视平面上（如计算机平面上）。
用法 T = viewmtx(az,el) 返回一与视点的方位角az 与仰角el（单位都为度）对应的正
交矩阵，并没有改变当前视点。
T = viewmtx(az,el,phi) 返回一透视的转换矩阵，其中参量phi 是单位为度的透视
角度，为标准化立方体（单位为度）的对像视角角度与透视扭曲程度。
表7-9
Phi 的值 说明
0 度 正交投影
图7-44
10 度 类似以远距离投影
25 度 类似以普通投影
60 度 类似以广角投影
用户可以通过使用返回的矩阵，用命令view(T)改变视点的位置。该4*4 阶的矩阵将变
换四维的、同次的向量成形式为(x,y,z,w)的非标准化的向量，其中w 不等于1。正交化的x-
元素与y-元素组成的向量(x/w,y/w,z/w,1)为我们所需的二维向量。（注：一四维同次向量为在
对应的三维向量后面增加一个1。例如：[x,y,z,1]为对应于三维空间中的点[x,y,z]的四维向量。）
T = viewmtx(az,el,phi,xc) 返回以在标准化的图形立方体中的点xc 为目标点的透
视矩阵（就像相机正对着点xc 一样），目标点xc 为视角的中心点。用户可
以用一三维向量xc=[xc,yc,zc]指定该中心点，每一分量都在区间[0，1]上。
缺省值为xc=[0 0 0]。
命令10 surfnorm
功能 计算与显示三维曲面的法线。该命令计算用户命令surf 中的曲面法线。
用法 surfnorm(Z)、surfnorm(X,Y,Z) 画出一曲面与它的法线图。其中矩阵Z 用于指定
曲面的高度值；X 与Y 为向量或矩阵，用于定义曲面的x 与y 部分。
[Nx,Ny,Nz] = surform(…) 返回组成曲面的法线在三个坐标轴上的投影分量
Nx,Ny 与Nz。
例7-45
>>[x,y,z] = cylinder(1:10);
>>surfnorm(y,x,z)
>>axis([-12 12 -12 12 -0.1 1])
图形结果为图7-45。
图7-45 曲面法线图
7.3 通用图形函数命令
7.3.1 图形对象句柄命令
命令 1 figure
功能 创建一个新的图形对象。图形对象为在屏幕上单独的窗口，在窗口中可以输出图
形。
用法 figure 用缺省的属性值创建一个新的图形对象。
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figure('PropertyName',PropertyValue,…) 对指定的属性PropertyName 用指定的属
性值PropertyValue（属性名与属性值成对出现）创建一个新的图形窗口，对
于那些没有指定的属性，则用缺省值。属性名与有效的属性值见下表。
figure(h) 1. 若h 为一个已经存在的图形的句柄，则figure(h)使由h 标记的图形成
为当前图形，使它可见，且在屏幕上把它显示到所有图形之前。当前
图形为图像输出的地方。
2. 若h 不是已经存在图形的句柄，但是为一整数，则该命令生成一图
形窗口，同时把该窗口的句柄赋值为h；若h 不是一图形窗口的句柄，
也不是一整数，则返回一错误信息。
h = figure(…) 返回图形窗口对象的句柄给h。
表7-10
属性名 属性说明 有效属性值
窗口位置
Position 图形窗口的位置与大
小
有效值：四维向量[left,bottom,
width,height]
缺省值：决定于显示
Units 用于解释属性Position
的单位
有效值：inches(英寸)
centimeters(厘米)
normalized(标准化单位，认为窗口为一长宽都是1)
points(点)
pixels(像素)
characters(字符)
缺省值：pixels
指定类型与外在显示
Color 窗口的背景颜色 有效值：ColorSpec（有效的颜色 参数）
缺省值：取决于颜色表(参见命令colordef)
Menubar 转换图形窗口菜单条
的“开”与“关”
有效值：none、figure
缺省值：figure
Name 显示图形窗口的标题 有效值：任意字符串
缺省值：‘’（空字符串）
NumberTitle
标题栏中是否显
示’Figure No. n’,其中n
为图形窗口的编号
有效值：on、off
缺省值：on
Resize 指定图形窗口是否可
以通过鼠标改变大小
有效值：on、off
缺省值：on
SelectionHighlight 当图形窗口被选中时，
是否突出显示
有效值：on、off
缺省值：on
Visible 确定图形窗口是否可
见
有效值：on、off
缺省值：on
WindowStyle 指定窗口为标准窗口
还是典型窗口
有效值：normal（标准窗口）、
modal（典型窗口）
缺省值：normal
控制色图
Colormap 图形窗口的色图 有效值：m*3 阶的RGB 颜色矩阵
缺省值：jet 色图
Dithermap 用于真颜色数据以伪
颜色显示的色图
有效值：m*3 阶的RGB 颜色矩阵
缺省值：有所有颜色的色图
DithermapMode 是否使用系统生成的有效值：auto、manual
抖动色图 缺省值：manual
FixedColors 不是从色图中获得的
颜色
有效值：m*3 阶的RGB 颜色矩阵
缺省值：无（只读模式）
MinColormap 系统颜色表中能使用
的最少颜色数
有效值：任一标量
缺省值：64
ShareColors 允许MATLAB 共享系
统颜色表中的颜色
有效值：on、off
缺省值：on
指定透明度
Alphamap 图形窗口的α色图，用
于设定透明度。
有效值：m*1 维向量，每一分量在[0 1]之间
缺省值：64*1 维向量
指定渲染模式
BackingStore 打开或关闭屏幕像素
缓冲区
有效值：on、off
缺省值：on
DoubleBuffer 对于简单的动画渲染
是否使用快速缓冲
有效值：on、off
缺省值：off
Renderer 用于屏幕和图片的渲
染模式
有效值：painters、zbuffer、OpenGL
缺省值：系统自动选择
关于图形窗口的一般信息
Children 显示于图形窗口中的
任意对象句柄
有效值：句柄向量
FileName 命令guide 使用的文件
名 有效值：字符串
Parent 图形窗口的父对象：根
屏幕 有效值：总是0（即根屏幕）
Selected 是否显示窗口的“选
中”状态
有效值：on、off
缺省值：on
Tag 用户指定的图形窗口
标签
有效值：任意字符串
缺省值：' '（空字符串）
Type 图形对象的类型（只读
类型） 有效值：'figure'
UserData 用户指定的数据 有效值：任一矩阵
缺省值：[]（空矩阵）
RendererMode 缺省的或用户指定的
渲染程序
有效值：auto、manual
缺省值：auto
关于当前状态的信息
CurrentAxes 在图形窗口中的当前
坐标轴的句柄 有效值：坐标轴句柄
CurrentCharacter 在图形窗口中最后一
个输入的字符 有效值：单个字符
CurrentOject 图形窗口中的当前对
象的句柄 有效值：图形对象句柄
CurrentPoint 图形窗口中最后单击
的按钮的位置
有效值：二维向量[x-coord，
y-coord]
SelectionType 鼠标选取类型 有效值：normal、extended、alt、open
回调程序的执行
BusyAction 指定如何处理中断调
用程序
有效值：cancel、queue
缺省值：queue
ButtonDownFcn
当在窗口中空闲点按
下鼠标按钮时，执行的
回调程序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
CloseRequestFcn 当执行命令关闭时，定
义一回调程序
有效值：字符串
缺省值：closereq
CreateFcn 当打开一图形窗口时，
定义一回调程序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
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DeleteFcn 当删除一图形窗口时，
定义一回调程序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
Interruptible 定义一回调程序是否
可中断
有效值：on、off
缺省值：on（可以中断）
KeyPressFcn
当在图形窗口中按下
一键时，定义一回调程
序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
ResizeFcn 当图形窗口改变大小
时，定义一回调程序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
UIContextMenu 定义与图形窗口相关
的菜单 有效值：属性UIContrextmenu 的句柄
WindowButtonDownFcn
当在图形窗口中按下
鼠标时，定义一回调程
序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
WindowButtonMotionFcn
当将鼠标移进图形窗
口中时，定义一回调程
序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
WindowButtonUpFcn
当在图形窗口中松开
按钮时，定义一回调程
序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
访问对象的控制
IntegerHandle 指定使用整数或非整
数图形句柄
有效值：on、off
缺省值：on（整数句柄）
HandleVisiblity 指定图形窗口句柄是
否可见
有效值：on、callback、off
缺省值：on
HitTest
定义图形窗口是否能
变成当前对象(参见图
形窗口属性
CurrentObject)
有效值：on、off
缺省值：on
NextPlot 在图形窗口中定义如
何显示另外的图形
有效值：replacechildren、add、replace
缺省值：add
定义鼠标指针
Pointer 选取鼠标记号
有效值：crosshair、arrow、topr、watch、topl、botl、
botr、circle、cross、fleur、left、right、top、fullcrosshair、
bottom 、ibeam、custom
缺省值：arrow
PointerShapeCData 定义鼠标外形的数据 有效值：16*16 阶矩阵
缺省值：将鼠标设置为'custom'且可见
PointerShapeHotSpot 设置鼠标活跃的点 有效值：二维向量[row，column]
缺省值：[1 1]
例7-46
>>scrsz = get(0,'ScreenSize');
>>figure('Position',[1 scrsz(4)/2 scrsz(3)/2 scrsz(4)/2])
执行上面的语句，会在屏幕的左上角生成一没有任何符号的窗口。
命令2 line
功能 生成线（line）对象。命令line 在当前坐标轴中生成一个线对象。用户可以指定
线的颜色，宽度，类型和标记符号等其他特性。
命令line 有两种形式：
1．自动循环使用颜色和类型。当用户用非正式语法来指定矩阵坐标数据：line(X,Y,Z)，
Matlab 将循环使用由坐标轴ColorOrder 和LineStyle 指定的颜色顺序和类型顺序。
2．纯粹低级操作。当用户用属性名和属性值调用命令line：
line(‘XData’,x,’YData’,y,’ZData’,z)
Matlab 将在当前用缺省的颜色（参见命令colordef 的使用）画出线对象。注意一点的是，
用户不能在命令line 的低级形式中使用矩阵数据。
用法 line(X,Y) 在当前的坐标轴中画出由向量x 和y 定义的线条。若x 与y 为同型的
矩阵，则对于x，y 的每一列画出一线条。
line(X,Y,Z) 在三维空间中画出由x，y，z 定义的线条。
line(X,Y,Z,'PropertyName',PropertyValue,…) 画出由参数x，y，z 确定的线条，其
中对指定属性PropertyName 设置为PropertyValue，其他没有指定属性用缺
省值。属性LineStyle 和Marker 参见命令plot。
line('PropertyName',PropertyValue,…) 对属性用相应的输入参数来设置而画出线
条。这是命令line 的低级使用形式，此时不接受矩阵参数。除了该情形，其
他形式都接受矩阵参数。
h = line(…) 返回每一条线的线对象对应的句柄向量。
表7-11
属性名 说明 有效属性值
定义对象的数据
Xdata 定义线条的x-轴坐标参量 有效值：向量或矩阵
缺省值：[0 1]
Ydata 定义线条的y-轴坐标参量 有效值：向量或矩阵
缺省值：[0 1]
Zdata 定义线条的z-轴坐标参量 有效值：向量或矩阵
缺省值：[0 1]
定义线型与数据点标记符
LineStyle 定义线条的类型 有效值：-、--、：、、-.、 none
缺省值：-（实线）
LineWidth 定义线条的宽度（以磅为单位） 有效值：一标量
缺省值：0.5 磅
Marker 定义标记数据点的标记符号 有效值：13 种类型之一
缺省值：none
MarkerEdgeColor 定义标记颜色或可填充标记的边
界颜色
有效值： auto、none、 ColorSpec
缺省值：auto
MarkerFaceColor 定义封闭形标记的填充颜色
MarkerSize 定义标记大小 有效值：标量（磅）
缺省值：６（磅）
控制线条的显示
Clipping 坐标轴矩形区域是否可剪辑 有效值：on、off
缺省值：on
EraseMode 定义显示与擦除线条的方法（对于
动画显示）
有效值：normal、none、
xor、background
缺省值：normal
SelectionHighlight 当线条被选中时，是否突出显示 有效值：on、off
缺省值：on
Visible 定义线条是否可见 有效值：on、off
缺省值：on
Color 定义线条颜色 有效值：ColorSpec
对象访问的控制
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HandleVisibility 定义线条句柄对其他函数是否可
见
有效值：on、off、callback
缺省值：on
HitTest 定义线条能否成为当前对象 有效值：on、off
缺省值：on
关于线条的一般信息
Children 线条没有子对象 有效值：［］（空矩阵）
Parent 线条对象的父对象为坐标轴对象 有效值：坐标轴句柄
Selected 是否显示线条的“选中”状态 有效值：on、off
缺省值：on
Tag 用户定义的标签 有效值：任一字符串
缺省值：’’（空字符串）
Type 图形对象的类型（只读类型） 有效值：'line'
UserData 用户定义的数据 有效值：任一矩阵
缺省值：［］（空矩阵）
与回调程序执行有关的属性
BusyAction 定义如何处理回调中断程序 有效值：cancel、queue
缺省值：queue
ButtonDownFcn 当在线条上按下鼠标时，定义一回
调程序
有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
CreateFcn 当生成线条时，定义一回调程序 有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
DeleteFcn 当删除线条时，定义一回调程序 有效值：字符串
缺省值：' '（空字符串）
Interruptible 定义回调程序是否可中断 有效值：on、off
缺省值：on（可中断）
UIContextMenu 定义与线条相关的菜单 有效值：UIContextMenu 的句柄
例7-47
>>t = 0:pi/20:2*pi;
>>hline1 = plot(t,exp(t).*sin(t),'k');
>>hline2 = line(t+.06,exp(t).*sin(t),'LineWidth',4,'Color',[.8 .8 .8]);
>>set(gca,'Children',[hline1 hline2])
生成图形为图7-46。
图7-46 命令line 画的函数图
例7-48
生成随机直线图：
>>line(rand(4,2),rand(4,2),rand(4,1))
>>line(rand(1,4),rand(1,4),rand(1,4))
>>line(rand(4,1),rand(4,1),rand(4,1))
>>line(rand(2,4),rand(2,4),rand(1,4))
>>line(rand(4,2),rand(4,2),rand(4,1))
图7-47 随机直线图
生成图形为图7-47。
命令3 patch
功能 生成补片图形对象。该命令为生成补片图形对象的低级图形函数。补片为一个或
多个多边形，多边形的顶点为坐标中的点。用户可以指定补片的颜色与光照模式。
用法 patch(X,Y,C) 在当前坐标轴中增加二维带填充模式的补片。参量X,Y 确定顶点的
位置。若X,Y 为矩阵（同型或不同型），系统按列生成多个多边形。若x，y
没有定义一封闭的多边形，则命令自动地将多边形封闭。参量x 与y 可以定
义凹的或自身交叉的多边形。可是，一个不可分隔的补片的边界自身交叉，
则不能完整填充。在这种情况下，最好是将多边形分解成几个小的、自身没
有交叉的多边形。参量c 指定每一补片的颜色，它可以为简单的ColorSpec，
每面一颜色或每一顶点一颜色。若c 为三维列向量，它将被认为是一直接指
定的RGB 颜色。
patch(X,Y,Z,C) 生成三维的补片对象。
patch(FV) 用结构FV 生成一补片。结构FV 包含这些域名vertices，faces 和可选
的facevertecdata，这些域名对应于补片的Vertices 属性、Faces 属性、
FaceVertexCData 属性。
patch(…,C,'PropertyName',PropertyValue…) 在二维(X,Y)或三维(X,Y,Z)空间中对
补片指定的属性PropertyName 设置为PropertyValue。
patch('PropertyName',PropertyValue…) 对所有指定的多个属性PropertyName 设置
为相应的值PropertyValue。该命令形式可以使用户免除颜色的指定，因为系
统将使用缺省的面颜色和边界颜色，除非用户准确地对属性FaceColor 与
EdgeColor 进行设置。该命令形式也允许用户通过对属性Faces 与Vertices
的设置来代替x-，y-与z-轴的输入。
handle = patch(…) 返回命令patch 生成的补片对象句柄。
说明 函数patch 不象其他的高级的区域生成函数，例如函数fill 或area，它没有检测
图形窗口与坐标轴的属性NextPlot 的设置情形。它只是简单地在当前坐标轴中添加补片对象
而已。
有两种指定颜色的补片属性名：
（1）Cdata——当指定x-，y-与z-轴坐标(XData,YData,ZData)时使用；
（2）FaceVertexCData——当指定多边形的顶点与连接矩阵时使用。
以上两个属性接受颜色数据作为索引颜色或者是真颜色(RGB)。其中索引颜色数据 能
代表当前色图的直接索引或者代表映射到整个色图的线性数据的比例数值。
命令4 surface
功能 生成面对象。该命令是生成面图形对象的低级函数。面对象为由矩阵元素的A（I，
j）所在的行下标I 为x-坐标，所在的列下标j 为y-坐标，元素值为z-坐标确定的点生成的空
间多边形。
用法 surface(Z) 画出由矩阵z 确定的曲面，其中z 为定义在一几何矩形区域上的单值
函数。
surface(Z,C) 画出颜色由c 指定的、面由z 指定的空间曲面。
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surface(X,Y,Z) 曲面由参数x，y，z 确定，颜色参数c=z，因此颜色能恰当地反映
曲面的高度。
surface(X,Y,Z,C) 曲面由参数x，y，z 确定，颜色由参数c 确定。
Surface(x,y,Z) 参数x 与y 为向量，若[m,n]=size(z)，则要求length(x)=n，
length(y)=m，面上的点由(x(j),y(i),z(I,j))确定。
Surface(x,y,Z,C) 曲面确定如上情形，颜色由参数c 确定。
surface(…'PropertyName',PropertyValue,…) 对指定的曲面属性PropertyName 指定
为PropertyValue，对曲面进行细微控制。
h = surface(…) 返回生成面对象的句柄。
命令5 image
功能 显示图片对象。该命令通过对矩阵c 中每一个元素（每一元素作为引用图形色图
下标或直接给出RGB 值）的解释而生成一个图片对象。Image 命令有两种使用格式：
1．一个调用命令newplot 的高级函数，可以确定在何处放置图片与坐标轴的范围为刚
好围住图片；使刚生成的图片放置在坐标轴的刻度线与格栅线之上；属性Ydir 设置为rervse；
属性View 为[0 90]。
2．一个增加图片到当前坐标轴的低级命令，而没有调用命令newplot，在低级使用形式
中，只能对指定属性进行设置操作。
用户在命令的输入参量中可以输入属性名/属性值，结构数组，细胞数组等。
用法 image(C) 把C 作为一图片进行显示。C 中的每一个元素指定了一个“图片”矩
形中的相应部分的颜色。
image(x,y,C) 在(x,y)确定的位置上画C 的元素。其中x，y 都为2 维矩阵，分别
指定x 轴与y 轴的范围，其效果与image(C)相同，只不过是进行了恰当的比
例缩放。
image(x,y,C,'PropertyName',PropertyValue,…) 该形式为指定属性名/属性值的高级
使用形式，在执行该命令之前，先执行命令newplot。
image('PropertyName',PropertyValue,…) 该形式为低级使用形式，它只接受属性名
/属性值的输入。
handle = image(…) 返回刚生成的图片对象的句
柄。用户可以从上面的任何形式的调用后获得
图片句柄。
例7-49
>>load clown
>>image(X,'CDataMapping','scaled')
>>colormap(map)
图形结果为图7-48。
命令6 uicontrol
功能 生成用户控制图形对象（用户界面控制）。也通过该命令运行图形用户界面。当
对象被选中时，一般会执行相应的操作。系统支持多种控件，每一种都有不同的作用：
?? 校验框——当单击检验框时，会执行一操作。该组件对于提供用户多个独立的选择
图7-48
是很有用的。要激活一校验框，只需用鼠标单击该组件即可，且选中的状态在组件
上显示出来。
?? 可编辑文本框——允许用户输入与修改文本文字的区域。当用户想把文字作为
输入时，可使用该组件。若一可编辑文本框有焦点，则单击文本框的菜单栏不会执
行任何操作。因此，在单击菜单条后，语句get(edit_handle,’String’)并没有返回当前
编辑框中的内容。因为系统必须执行回调函数来改变属性 string 的值，即使屏幕上
显示的文字已经改变。
?? 框架——该组件为一封闭的、可见的、图形窗口区域。框架能使一用户图形界面中
相关的控制组件能容易理解。框架没有相关的回调程序。只有控制组件能在框架中
显示。框架不是透明的，因此用户定义的组件先后顺序决定了组件是否被框架遮住
或可见。属性Stacking order 决定了控制组件的显示顺序：第一个定义的组件最先
显示，后面定义的控制组件则覆盖已经存在的组件。若用户要用一框架包围一些组
件，则必须第一个定义框架。
?? 列表框——显示一些项目的列表（用命令 string 设置），且允许用户选择一个或多
个项目。属性Min 与Max 控制着选择的模式。属性Value 显示可选择的项目与包
含着字符串列表中项目的索引；对于选择了多个项目则用向量表示。在任何的能改
变属性Value 值的、鼠标松开的操作之后，系统MATLAB 将马上执行列表框的回
调函数。因此，用户有必要增加一“Done”按钮，用于推迟当要多次选择项目时的
操作。在执行列表框回调函数Callback 属性之前，列表框中项目的选择有单击或双
击之分，对应于将图形窗口属性SelectionType 设置为normal 或open。
?? 弹出菜单——当组件被按下时，打开且显示一选择列表（用命令 string 设置）。当
没有打开时，该组件显示当前的选择项。该组件对于用户想给其他用户提供一系列
的互斥的选择项，又不想占用太多的区域。
?? 普通按钮——当该组件被按下时，将执行一操作。要激活一按钮，只需在按钮上按
下鼠标按钮。
?? 单选按钮——该组件与校验框相类似，但它包含几个互斥的、而且相关的选项（例
如在任意时刻，只能选择一个状态）。要激活某一单选按钮，只需在该组件上按下
鼠标即可。被选中的组件同时显示出来。
?? 滑块——该组件允许用户通过移动某一范围之内的滑块来输入一指定的数值。用户
要移动一滑块，只需在滑块上按下鼠标不放，且在滑块方向上移动；或者是在滑槽
内单击鼠标；或者是单击滑块条上的箭头。当松开鼠标后，滑块所在位置将与一数
值对应。用户可以设置滑块的最大值、最小值与当前值等。
?? 静态文本框——显示文本行。静态文本经常作为其他控制对象标签，以提供其他用
户相关信息，或者是显示一滑块的数值。其他用户不能交互地改变静态文本，因此
对于静态文本，没有相关的回调函数。
?? 触发按钮——当该组件被单击且显示出它们的状态（on 或者off）时，控制是否执
行回调函数。
用法 handle = uicontrol(parent) 在父对象parent 上生成一用户图形控制界面。用户界面
控制对象都是图形窗口的子对象，所以当窗口中没有坐标轴时，同样可以放
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置控制组件于图形窗口中。
handle = uicontrol(…,'PropertyName',PropertyValue,…) 参量PropertyName 为属性
名，参量PropertyValue 可为结构数组或者为单元数组，同时随意地返回刚
生成的对象的句柄。当然用户可以通过命令set 与get 来设置与询问生成对
象的属性值。
附：表7-12 列出所有的用于命令uicontrol 对象的属性名。每一属性名当作一描述该属
性的链接。
表7-12
属性名 属性名含义 属性值
控制控件类型与显示
BackgroundColor 对象的背景颜色 有效值：ColorSpec
缺省值：与系统有关
Cdata 显示于对象之上的真颜色图片 有效值：矩阵
ForegroundColor 文本字体的颜色 有效值：ColorSpec
缺省值：[0 0 0]（黑色）
SelectionHighlight 当对象被选中时突出显示 有效值：on、off
缺省值：on
String 用户控制界面的标签，也是列表框与
弹出菜单中的项目 有效值：任意有效的字符串
Visible 用户界面控制是否可见 有效值：on、off
缺省值：on
关于控件对象的一般信息
Children 用户界面控制界面没有子对象
Enable 用户界面控制是否可用 有效值：on、inactive、off
缺省值：on
Parent 用户界面控制对象的父对象 有效值：图形窗口标量句柄
Selected 对象是否为选中状态 有效值：on、off
缺省值：off
SliderStep 滑块步长尺度 有效值：二维向量
缺省值：[0.001 0.1]
Style 用户界面控制对象的类型
有效值：pushbutton、edit、togglebutton、
slider、text、radiobutton、popupmenu 、
listbox、frame
缺省值：pushbutton
Tag 由用户指定的对象的标记符 有效值：任意有效字符串
TooltipString 对象的工具提示 有效值：任意有效字符串
Type 图形对象的类型 有效值：字符串（只读）
缺省值：uicontrol
UserData 用户指定的数据 有效值：矩阵
控制控件对象的位置
Position 用户界面控制对象的大小与位置 有效值：位置矩形
缺省值：[20 20 60 20]
Units 解释属性position 向量的单位
有效值：pixels、inches、character、
normalized、points、centimeters
缺省值：pixels
控制字体与标签
FontAngle 字符的倾斜度 有效值：normal、italic、oblique
缺省值：normal
FontName 字体系列名称 有效值：字符串
缺省值：与系统有关
FontSize 字体大小 有效值：一标量
缺省值：与系统有关
FontUnits 字体大小单位
有效值：pixels、normalized 、inches、
centimeters、points
缺省值：points
FontWeight 文本字体的磅值 有效值：light、normal、demi、bold
缺省值：normal
HorizontalAlignment 标签字符串的对齐方式 有效值：left、center、left
缺省值：决定于用户界面控制的对象
String 用户控制界面的标签，也是列表框与
弹出菜单中的项目 有效值：字符串
控制回调函数的执行
BusyAction 回调函数中断方式 有效值：cancel、queue
缺省值：queue
ButtonDownFcn 当按钮按下时执行的回调函数 有效值：字符串
Callback 控制操作 有效值：字符串
CreateFcn 在对象生成过程中执行的回调函数 有效值：字符串
DeleteFcn 在对象删除过程中执行的回调函数 有效值：字符串
Interruptible 回调函数中断的模式 有效值：on、off
缺省值：on
UIContextMenu 与界面控制中的对象相关的菜单（如
按下鼠标右键） 有效值：句柄
关于当前状态的一般信息
ListboxTop 第一个显示于列表框中的项目的索
引
有效值：标量
缺省值：［１］
Max 最大值（与用户界面控制对象有关）
有效值：标量
缺省值：与系统有关
Min 最小值（与用户界面控制对象有关）
有效值：标量
缺省值：与系统有关
Value 用户界面控制对象的当前值 有效值：标量或向量
缺省值：与系统有关
控制组件的访问
HandleVisibility 句柄是否可从命令窗口中与GUIs 中
访问
有效值：on、callback、off
缺省值：on
HitTest 组件是否可由鼠标单击选中 有效值：on、off
缺省值：on
命令7 uimenu
功能 生成图形窗口的菜单中的层次的菜单与下一级子菜单。即增加新的菜单于已经存
在的菜单后面，当一菜单项被选中时，该菜单项与它的下一级菜单也将显示。也可用该命令
生成与组件相关的菜单。
用法 handle = uimenu('PropertyName',PropertyValue,…) 在当前图形窗口菜单条上用指
定的属性PropertyName 与相应的属性值PropertyValue 创建一菜单，同时将该
菜单的句柄赋给handle。其中两个输入参量可以是结构数组或者是单元数组。
用户界面菜单的回调函数属性定义了当用户激活菜单项时，进行的响应操作。
uimenu('PropertyName',PropertyValue,…) 效果同上，但不返回句柄值。
handle = uimenu(parent,'PropertyName',PropertyValue,…) 生成一父菜单的子菜单，
或者是生成由parent 指定的相关菜单中的菜单项目。若parent 不是另外的用户
界面菜单对象或用户界面相关菜单对象，而是一图形窗口，则系统将生成该图
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形窗口菜单条上的新的菜单。同时将生成的菜单赋值给句柄handle。
uimenu(parent,'PropertyName',PropertyValue,…) 效果同上，但不返回菜单的句柄。
附：表7-13 列出了所有对uimenu 对象有用的属性，分别按功能进行了分类。每一属性
名作为该属性描述的索引。
表7-13
属性名 属性名描述 属性值
控制控件类型与显示
Checked 菜单检查记号 有效值：on、off
缺省值：off
ForegroundColor 文本的颜色 有效值：ColorSpec
缺省值：黑色[0 0 0]
Label 菜单标签 有效值：任何字符串
Separator 分隔线模式 有效值：on、off
缺省值：off
SelectionHighlight 对象选中时是否突出显示 有效值：on、off
缺省值：on
Visible 用户界面菜单是否可见 有效值：on、off
缺省值：on
关于对象的一般信息
Acceleratro 键盘等价字符 有效值：任何的字符
Children 子菜单的句柄 有效值：句柄向量
Enable 用户界面菜单是否可用 有效值：on、off
缺省值：on
Parent 用户界面菜单的父对象 有效值：句柄
Tag 用户指定的对象标记符 有效值：任何字符串
Type 图形对象类型 有效值：字符串read-only
缺省值：uimenu
UserData 用户指定数据 有效值：任何矩阵
控制对象的位置
Position 用户界面菜单的相对位置 有效值：标量
缺省值：[1]
控制回调程序的执行
BusyAction 回调程序的中断 有效值：cancel、queue
缺省值：queue
ButtoDownFcn 按钮按下回调程序 有效值：字符串
Callback 控制操作 有效值：字符串
CreateFcn 在对象生成期间执行的回调程序 有效值：字符串
DeleteFcn 在对象删除期间执行的回调程序 有效值：字符串
Interruptible 回调程序中断模式 有效值：on、off
缺省值：on
控制对象的访问
HandleVisibility 是否可从命令行上访问图形用户
界面
有效值：on、callback、off
缺省值：on
HitTest 是否可用鼠标选择 有效值：on、off
缺省值：on
7.3.2 轴的产生和控制命令
命令 1 axes
功能 创建坐标轴图形对象。该命令是创建坐标轴图形对象的低级函数命令。
用法 axes 在当前图形窗口中用缺省的属性值创建一坐标轴图形对象。
axes('PropertyName',PropertyValue,…) 用参量'PropertyName'指定的属性名与用参
量PropertyValue 指定的属性值创建一坐标轴。对于没有指定的属性名，系
统则使用缺省的属性值。
axes(h) 使已经存在的坐标轴h 成为当前的坐标轴。同时使坐标轴h 为图形窗口
中的所有子对象属性（Children property）的第一坐标轴，也使图形窗口的
CurrentAxes 属性为h。当前坐标轴是图形函数image、line、patch、surface
与text 等命令输出图形对象的目的地。
h = axes(…) 返回已经创建的坐标轴对象的句柄。
命令2 cla
功能 清除当前坐标轴。该命令在命令窗口中执行与在回调程序中执行效果是一样的，
即它不能区别由callback 设置的属性HandleVisibility，也就是说，当它从一回调程序中执行
时，命令cla 仅仅删除属性HandleVisibility 为on 的图形对象。
用法 cla 清除当前坐标轴中所有句柄为不隐藏（例如，图形对象属性HandleVisibility
设置为on）的图形对象。
cla reset 无条件地清除当前坐标轴中所有图形对象，且重新设置坐标轴的属性，
（除了属性Position 和Units）。
命令3 gca
功能 获取当前坐标轴句柄。
用法 h=gca 返回当前图形窗口中的坐标轴句柄。若坐标轴不存在，系统则生成一坐标
轴同时返回它的句柄。用户不想得到上面的结果，可以输入get(gcf,’CurrentAxes’)。
当前坐标轴为用户创建坐标轴以下子对象的目的地。有许多图形命令可以在当前坐标轴
中画出图形对象，如：plot，text，surf 等。改变了当前窗口，相应地改变了当前坐标轴。
7.3.3 图形句柄操作命令
命令 1 gco
功能 返回当前对象的句柄。“当前对象”为最后用鼠标单击的对象，除了命令uimenus
之外。若鼠标没有单击到一图形对象之下的子对象，则该图形对象为“当前对象”。系统会
把当前图形对象的句柄存放于图形的属性CurrentObject 之中。当前图形窗口中的当前对象
并非总是那些它们的回调函数，而是正在执行的对象。其他函数的回调中断函数可以改变当
前对象或者甚至是当前图形窗口。一些回调函数，如生成命令CreateFcn、删除命令DeleteFcn
与用户界面菜单命令Callback 等就没有改变当前图形窗口或者当前对象。
用法 h = gco 返回当前对象的句柄给h。
h = gco(figure_handle) 返回指定窗口figure_handle 中的当前对象的值。
命令2 get
功能 获取对象属性。
用法 get(h) 返回由句柄h 指定的图形对象的所有属性与相应的当前属性值；
get(h,'PropertyName') 返回由句柄h 指定的图形对象的指定属性PropertyName 的
属性值。
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<m-by-n value cell array> = get(H,<property cell array>) 返回由m 个图形对象的n
个属性值组成的m*n 阶的细胞数组，其中m=length(H)，且n 为指定的属性
细胞数组<property cell of array>中包含的属性名个数。
a = get(h) 返回一结构，其中该结构的域名为该对象的属性名，结构的域名值为
相应属性的当前值。H 必须为标量。若用户没有指定输出参量，则系统将信
息显示于屏幕之上。
a = get(0,'Factory') 返回所有能由用户设置的属性的缺省定义值。输出参量a 为一
结构数组，该结构的域名为对象的属性名，域名值为相应属性的当前值。若
用户没有指定输出参量，则系统将信息显示于屏幕之上。
a = get(0,'FactoryObjectTypePropertyName') 返回指定对象类型的指定的属性的缺
省属性值。输入参量FactoryObjectTypePropertyName 为一关键字，由字符
Factory 与对象类型（ 如： Figure ） 还有属性名( 如： Color) 组成：
FactoryFigureColor
a = get(h,'Default') 返回由句柄h 指定的对象的所有缺省属性值。输出参量a 为一
结构，该结构的域名为缺省值对应的属性名。若用户没有指定输出参量，则
系统将该结构信息显示于屏幕。
a = get(h,'DefaultObjectTypePropertyName') 返回对象类型的指定属性的缺省属性
值。输入参量DefaultObjectTypePropertyName 为一关键字，该字由字符
Default 与对象类型名（例如：Figure）还有具体的属性名（例如：Color）组
成：DefaultFigureColor
例7-50
若想获得定义于屏幕之上的图形对象属性LineWidth 的缺省属性值， 输入：
get(0,'DefaultLineLineWidth')
命令3 set
功能 设置对象的属性。
用法 set(H,'PropertyName',PropertyValue,…) 用属性值'PropertyValue'设置关于用参量H
标志的对象（一个或多个）的属性名'PropertyName'（一个或多个）。H 可以
为一句柄的向量。在这种情形下，命令set 可以设置所有对象的属性值。
set(H,a) 用指定的属性值设置由H 标志的对象的属性。其中a 为一结构数组，该
结构数组的域名为对象的属性名，域名值为相应属性名的属性值。
set(H,pn,pv…) 对由H 指定的所有对象中指定的细胞数组属性名pn 设置为相应
的细胞数组属性值pv。
set(H,pn,<m-by-n cell array>) 对于每m 个图形对象设置n 个属性值，其中
m=length(H)，n 为包含属性名的细胞数组pn 中包含的属性名个数。即允许
用户对每一对象的指定的属性设置不同的属性值。
a= set(h) 返回句柄h 中允许用户设置的属性名与可能的属性值。输出参量a 为一
结构数组，其域名为对象的属性名，域名值为相应的属性名对应的属性值。
若没有指定输出参量a，则系统自动将信息显示于屏幕，h 必须为标量。
a= set(0,'Factory') 返回那些用户可以设置缺省值的所有对象的属性名，同时显示
可能的属性值，输出参量a 为一结构数组，其域名为对象的属性名，域名值
为相应的属性名对应的属性值，若没有指定输出参量a，则系统自动将信息
显示于屏幕。
a= set(0,'FactoryObjectTypePropertyName')返回指定根对象（0）类型中指定的属性
名ObjectTypePropertyName 的所有可能的属性值。输入参量是由固定的关键
字Factory、对象类型（如axes）与属性名（如position 等）组成。
a= set(h,'Default') 返回由h 标记的对象上缺省设置的值，其中h 必须是标量。
a= set(h,'DefaultObjectTypePropertyName') 返回指定对象h 的类型中指定的属性
名ObjectTypePropertyName 的所有可能的属性值。输入参量是由固定的关键
字Factory、对象类型（如axes）与属性名（如position 等）组成。
命令4 reset
功能 重新设置图形对象的属性为它们的缺省值。
用法 reset(h) 重新设置由句柄h 指定的图形对象的属性为系统为它们设置的初始值。
若h 为一图形figure，该命令不能重新设置属性Position，Units，PaperPosition 和PaperUnits；
若h 为一坐标轴axes，该命令不能重新设置属性Position 和Units。
例7-51
reset(gca) %重新设置当前坐标轴的属性。
reset(gcf) %重新设置当前图形的属性。
命令5 delete
功能 删除文件或图形对象。作为一可供选择的函数，用户可从当前目录浏览器(Current
Directory browser)中删除文件。要打开该浏览器，从MATLAB 桌面上的View 菜单中选择
Current Directory 命令。
用法 delete filename 从磁盘上删除指定的文件filename。参量filename 可以是绝对路
径或与当前路径相关的路径名。其中可以包括通配符（*）。
delete(h) 删除由句柄h 指定的图形对象。该命令无条件地、直接地删除对象，甚
至是图形窗口。
delete('filename') 这是第一种情形的函数形式。当文件名包含于字符串filename
中时，使用函数形式。
例：
delete(‘D:MATLABR12work*.m’) % 将删除指定目录上的所有.m 文件。
命令6 findobj
功能 定位图形对象且返回它们的句柄。用户可用特定的属性值与沿着指定的层次分支
来限定搜索条件。
用法 h = findobj 返回根对象与它的所有的子孙对象句柄。
h = findobj('PropertyName',PropertyValue,…) 返回属性名PropertyName 具有属性
值PropertyValue 的所有图形对象。用户可指定一对或多对PN 与PV 值，对
此，findobj 返回满足所有条件的那些对象。
h = findobj(objhandles,…) 限定搜索的对象为列表于objhandles 中的对象与它们
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子孙对象。
h = findobj(objhandles,'flat','PropertyName',PropertyValue, … ) 限定搜索对象为
objhandles 中列出的对象，而不包含它们的子孙对象。
7.3.4 图形窗口的控制命令
命令 1 subplot
功能 生成与控制多个坐标轴。把当前图形窗口分隔成几个矩形部分，不同的部分是按
行方向以数字进行标号的。每一部分有一坐标轴，后面的图形输出于当前的部分中。
用法 subplot(m,n,p) 将一图形窗口分成m*n 个小窗口，在第p 个小窗口中创建一坐标
轴。则新的坐标轴成为当前坐标轴。若p 为一向量，则创建一坐标轴，包含
所有罗列在p 中的小窗口。
subplot(h) 使句柄h 对应的坐标轴称为当前的，用于后面图形的输出显示。
subplot('Position',[left bottom width height]) 在由4 个元素指定的位置上创建一坐
标轴。位置元素的单位为归一化单位。
h = subplot(…) 返回一新坐标的句柄于h。
命令2 hold
功能 保持当前图形窗口中的图形。该命令是决定是否在当前坐标轴中只能增加新的图
形对象还是覆盖原有图形对象。测试保持状态命令为ishold。该命令可以设置当前坐标轴与
当前图形的属性NextPlot。若一图形窗口中有多个坐标轴，则每个坐标轴有自己的保持状态。
用法 hold on 保留当前图形与当前坐标轴的属性值，后面的图形命令只能在当前存在
的坐标轴中增加图形，即设置当前坐标轴属性NextPlot 为add。当必要的时
候，坐标轴的一些属性在增加新图时还是要进行相应的改变。例如，当新图
形的数据范围超出了当前坐标轴的范围，则命令会自动地改变坐标轴的范
围，使能显示新图形。
hold off 在画新图形之前，重新设置坐标轴的属性为缺省值。off 是命令hold 命
令的缺省值。设置当前坐标轴的属性NextPlot 为replace。
hold 在on 与off 之间转换。即在增加图形与覆盖图形之间切换。当坐标轴不存
在时，则生成一坐标轴。同时使当前坐标轴属性NextPlot 在add 与replace
之间切换。
命令3 gcf
功能 获得当前图形窗口的句柄。
用法 h = gcf 返回当前图形窗口的句柄。当前窗口为由命令plot、title 与surf 等得到的
结果。若不存在图形窗口，则系统自动地生成一个，并返回它的句柄。若用户想当图形窗口
不存在时，也不创建新的，则输入：get(0,'CurrentFigure')
命令4 clf
功能 清除当前图形窗口。该命令在命令窗口中执行与在回调程序中执行效果是一样
的，即它不能区别由callback 设置的属性HandleVisibility，也就是说，当它从一回调程序中
执行时，命令clf 仅仅删除属性HandleVisibility 为on 的图形对象。
用法 clf 清除所有当前图形窗口与窗口中的所有那些句柄为不隐藏（例如它们的属性
HandleVisibility 为on）的图形对象。
clf reset 无条件地清除当前图形窗口中所有的图形对象，且重新设置所有图形窗
口属性为缺省值，除了属性Position，Units，PaperPosition，PaperUnits。
命令5 close
功能 删除指定的图形窗口。
用法 close 删除当前的图形窗口。
close(h) 删除由句柄h 指定的图形窗口。若h 为一向量或矩阵，则close 全部删
除其中每一分量指定的图形句柄。
close name 删除指定名字name 的窗口。
close all 删除所有没有隐藏的图形。
close all hidden 删除所有具有隐藏的图形。
status = close(…) 若成功地删除了指定的对象则返回status=1，否则返回0。
命令6 newplot
功能 做好开始画新图形对象的准备。在高级图形m-文件的开始使用该命令，用于确
定在哪一个图形窗口与坐标轴中输出图形。调用命令newplot 能改变当前窗口与坐标轴。基
本上，当要在已经存在的窗口与坐标轴中画图，有三个选项可选：
1．没有改变任何属性与删除任何对象，直接在当前坐标轴中增加新的图形对象；
2．在画图形的对象之前，删除所有存在于当前坐标轴中的，句柄为非隐藏的对象；
3．在画图形的对象之前，无条件删除所有的存在于当前坐标轴中的对象（不管句柄是
否为隐藏），同时设置大部分的属性为缺省值；
4．首先，newplot 读取当前图形的属性NextPlot 的属性值（关于该属性的含义参见figure
或axes 的属性表），再执行相应的动作；
5．然后，newplot 确定在哪一个窗口中画图，它读取当前图形的属性NextPlot 的属性值，
执行相应的操作。
用法 newplot 画好图形窗口与坐标轴，后面的图形命令就可以在该坐标轴内画图。
h = newplot 效果如上，且返回当前坐标轴的句柄给h。
7.4 颜色与光照模式命令
7.4.1 颜色控制命令
命令 1 colormap
功能 设置或获取当前色图。色图为一个m*3 的、元素在0 到1 之间的实数的矩阵，
每一行为定义一个颜色的RGB 向量。色图矩阵的第k 行定义了第k 个颜色，其中
map(k,:)=[r(k) g(k) b(k)]指定了组成该颜色中红色、绿色、兰色的强度。
用法 colormap(map) 通过矩阵map 设置色图。若矩阵map 中的元素不在[0 1]区间之内，
则返回一个错误。在目录color 中的m-文件能够生成许多色图，每一个m-文件能够接受颜
色数作为函数参数，例如命令colormap(hsv(64))生成了有64 种颜色的hsv 色图。若用户没有
指定颜色数，例如命令colormap(hsv)，生成与当前色图中颜色数相同的hsv 色图。MATLAB
支持的色图见表7-14。
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表7-14
色图名称 包含的颜色范围
Cool 青蓝和洋红的色度
Bone 带一点蓝色的灰度
Flag 交替为红色、白色、蓝色和黑色
Jet Hsv的一种变形（以兰色开始和结束）
Copper 线性铜色度
Hsv 色彩饱和值（以红色开始和结束）
Hot 从黑色到黄色到白色
Gray 线性灰度
Pink 粉红的彩色度
Prim 三棱镜。交替为红色、橘黄色、黄色、绿色和天蓝色
Lines 线性色图
White 全白色图
Colorcube 增强立方色图
Autumn 红色黄色阴影色图
Spring 洋红黄色阴影色图
Summer 绿色黄色阴影色图
Winter 兰色绿色阴影色图
例7-52
colormap('default') 设置当前色图为缺省色图。
cmap = colormap 获取当前色图矩阵。
命令2 bone
功能 生成带淡兰色的灰度刻度化的色图。
用法 bone(m) 返回个一个阶数为m*3 的包含“bone”的色图。
bone 返回一个与当前色图行数相同的色图。
命令3 cool
功能 生成带阴影的青色和品红的色图。
用法 cool(m) 返回一个阶数为m*3 的包含“cool”的色图。
cool 返回一个与当前色图行数相同的色图。
命令4 copper
功能 生成线性铜色色图。
用法 copper（m）返回一个阶数为m*3 的包含“copper”的色图。
copper 返回一个与当前色图行数相同的色图。
命令5 flag
功能 生成一个颜色顺序为红、白、兰、黑的色图。
用法 flag（m）返回一个阶数为m*3 的包含“flag”的色图。增加m 的值，会增加色
图的颗粒程度。
flag 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令6 gray
功能 生成一个线性灰度化的色图。
用法 gray（m）返回个一个阶数为m*3 的包含灰度化的的色图。
gray 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令7 hot
功能 生成一个颜色顺序为黑、红、黄、白的色图。
用法 hot（m）返回个一个阶数为m*3 的包含“hot”的色图。
hot 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令8 hsv
功能 生成一个包含色度-饱和度值的色图。一个hsv 色图包含各种饱和色度颜色的色
度的成分。其颜色从红色到黄色、绿色、青色、蓝色、品红，最后返回红色。该色图对于显
示周期函数很有用处。
用法 hsv（m）返回个一个阶数为m*3 的包含hsv 的色图。
hsv 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令9 jet
功能 不同于hsv 色图的另外一种色图。
用法 jet（m）返回个一个阶数为m*3 的，与hsv（m）不同的色图，用于显示NCSA
流体激光图片。
jet 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令10 pink
功能 生成一个带柔和阴影粉红色图。
用法 pink（m）返回一个阶数为m*3 的包含“pink”的色图。
pink 返回一个与当前色图函数相同的色图。
命令11 prism
功能：生成一个三棱镜色图。如同hsv 色图一样，prism 色图中的颜色使用顺序是一样
的，不同的是，命令prism 重复使用它的六中颜色，而命令hsv 是连续地变换它的颜色。
用法 prism（m）返回一个阶数为m*3 的包含六种循环使用的颜色：红色、橙色、黄
色、绿色、蓝色、紫色。
prism 这种没有任何输入输出参量的形式，改变当前坐标轴中的线对象的颜色为
三棱镜中的颜色。
7.4.2 色图控制命令
命令 1 brighten
功能 增亮或变暗色图。
用法 brighten(beta) 增亮或变暗当前的色图。若0<beta<1，则增亮色图；若-1<beta<0，
则变暗色图。改变的色图将代替原来的色图，但本质上是相同的颜色。
brighten(h,beta) 对指定的句柄对象h 中的子对象进行操作。
newmap = brighten(beta) 该命令没有改变当前图形的亮度，而是返回变化后的色
图给newmap。
newmap = brighten(cmap,beta) 该命令没有改变指定色图cmap 的亮度，而是返回
变化后的色图给newmap。
命令2 colorbar
功能 显示能指定颜色刻度的颜色条。且调整当前坐标轴，以适应当前的颜色条。
用法 colorbar 更新最近生成的颜色条。或若当前坐标轴没有一颜色条，则在右边显示
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一垂直的颜色条。
colorbar('vert') 增加一垂直的颜色条到当前的坐标轴。
colorbar('horiz') 增加一水平的颜色条到当前的坐标轴。
colorbar(h) 用坐标轴h 来生成一颜色条。若坐标轴的宽度大于高度，则颜色条是
水平放置的。
h = colorbar(…)返回一颜色条句柄h，该句柄是一坐标轴对象。
colorbar(…,'peer',axes_handle) 生成一与坐标轴axes-handle 有关的颜色条，代替
当前的坐标轴。
命令3 contrast
功能 提高灰度色图的对比度。该命令可以增强图像的对比度。
用法 cmap = contrast(X) 返回一灰度色图，该色图与当前色图有相同的维数。参量cmap
为生成的灰度色图。
cmap = contrast(X,m) 返回维数为m*3 的灰度色图cmap。
例7-53
>>load clown;
>>cmap = contrast(X);
>>image(X);
>>colormap(cmap);
命令4 rgbplot
功能 画出色图。
用法 rgbplot(cmap) 画出维数为m*3 的色图矩阵cmap 的每一列，矩阵的第一列为红色
强度，第二列为绿色强度，第三列为蓝色强度。
命令5 diffuse
功能 漫反射率。
用法 R = diffuse(Nx,Ny,Nz,S) 返回曲面的漫反射率向量[Nx,Ny,Nz]，S 为一三维向量，
用于定义光源的方向；S 也可以为球面坐标系中的二维向量[Theta,Phi]。
Lambert 定律：R = cos(PST)，其中PST 为曲面法线与光源方向之间夹角。
命令6 specular
功能 镜面反射率。
用法 R = specular(Nx,Ny,Nz,S,V,spread) 返回一曲面的镜面反射率向量[Nx,Ny,Nz]，向
量参量S 与V分别用于指定光源位置与观察点的位置。它们可以为三维直角坐标系向量[x,y,z]
或者为二维球面向量[Theta,Phi]。当标准向量的方向为(S+V)/2，则镜面的高光效果最强。第
六个参量spread 为镜面反射扩散系数。
命令7 surfl
功能 三维带光照模式的阴影图。图形的色泽取决于曲面的漫反射、镜面反射与环境光
照模式。
用法 surfl(…)效果与命令surf(…)基本上一样，除了它受光源影响的曲面之外。
surfl(Z)、surfl(X,Y,Z)、surfl(Z,S)、surfl(X,Y,Z,S)、surfl(X,Y,Z,S,K) 这些都是有效
的使用形式。若参数中有S，则为一三维向量[Sx,Sy,Sz]，用于指定光源的方
向。S 也可视为点坐标系下的二维向量[AZ,EL]。S 的缺省值为从当前观察方
向逆时针旋转45 度。使用命令组cla；hold on；view(AZ,EL)；surfl(…)；hold
off 等可画出视角方向为(AZ,EL)的带光照模式的曲面图。第五参数
K=[ka,kd,ks,
spread]指定环境光、漫反射光、镜面反射光、扩散系数等的强弱。
surfl(…,'light') 用LIGHT 对象生成一带颜色的、带光照模式的曲面。该命令可以
生成与用缺省光照模式不同效果的曲面。
surfl(…,'cdata') 指定的曲面的反射光的颜色为cdata。
H = surfl(…) 返回曲面与光源的句柄。
