爱华网1.学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略
2.重点
（1）特殊元素优先安排的策略：
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。
3.难点
综合运用解题策略解决问题。
4.学习过程:
(1)知识梳理
1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有 种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 表示.
5．排列数公式：
特别提醒：
（1）规定0! = 1
（2）含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于 .
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数 .
6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
7．组合数公式：
8．两个公式：① ②
特别提醒：排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
(2)典型例题
考点一:排列问题
例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.
考点二:组合问题
例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
考点三:综合问题
例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
当堂测试
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种
2.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种
3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A.48 B.12 C.180 D.162
4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A.6 B.12 C.30 D.36
6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324 B.328 C.360 D.648
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）
A.18 B.24 C.30 D.30
9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）
A.360 B.288 C.216 D.96
参考答案：
例1 解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：
方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有 种站法，然后中间4人有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：
方法三：若对甲没有限制条件共有 种站法，甲在两端共有 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：
（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有 种站法，再把甲、乙进行全排列，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有
方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有 种方法，最后让甲、乙全排列，有 种方法，共有
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有 种站法，故共有站法为
也可用“间接法”，6个人全排列有 种站法，由（2）知甲、乙相邻有 种站法，所以不相邻的站法有 .
（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有 种，故共有 站法.
方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有 种方法，最后对甲、乙进行排列，有 种方法，故共有 站法.
（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 种，再让其他4人在中间位置作全排列，有 种，根据分步乘法计数原理，共有 站法.
方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有 种站法，由分步乘法计数原理共有 站法.
（6）方法一：甲在左端的站法有 种，乙在右端的站法有 种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 种，共有 站法.
方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有 种，故共有 站法.
例2 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法.
第二步：选2名女运动员，有 种选法.
共有 种选法.
（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
.
方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.
所以“至少有1名女运动员”的选法为 .
（3）方法一：可分类求解：
“只有男队长”的选法为 ；
“只有女队长”的选法为 ；
“男、女队长都入选”的选法为 ；
所以共有 种选法. 9分
方法二：间接法：
从10人中任选5人有 种选法.
其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长”的选法为 种. 9分
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有 种.
例3 解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.
（3）确定2个空盒有 种方法.
4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有 种方法；第二类有序均匀分组有 种方法.
故共有 种.
当堂检测答案
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）
A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种
解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有 =70种，
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
2.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种
解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有 种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有 种方法。
共有24+12=36种选法。
解题策略：1.特殊元素优先安排的策略。
2.合理分类与准确分步的策略。
3.排列、组合混合问题先选后排的策略。
3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）
A.48 B.12 C.180 D.162
解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个， 种方法，2.从3个奇数中选两个，有 种方法；3.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有 种方法；4.其他的3个数字进行全排列，有 种排法，根据乘法原理共 种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，4 ；奇数有 种不同的选法，然后把4个元素全排列，共 种排法，不含0 的排法有 种。根据加法原理把两部分加一块得
解题策略：1.特殊元素优先安排的策略。
2.合理分类与准确分步的策略。
3.排列、组合混合问题先选后排的策略。
4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 种选法。
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A.6 B.12 C.30 D.36
解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有 种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 种选法，然后乙从剩余的两门选，有 种不同的选法，全不相同的选法是 种方法，所以至少有一门不相同的选法为 种不同的选法。
解题策略：正难则反，等价转化的策略。
6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A.324 B.328 C.360 D.648
解析： 第一类个位是零， 共 种不同的排法。
第二类个位不是零， 共 种不同的解法。
解题策略：合理分类与准确分步的策略.
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
解析：合理分类，甲乙全被选中，有 种 选 法，甲乙有一个被选中，有 种不同的选法，共 +=49种不同的选法。
解题策略：
（1）特殊元素优先安排的策略，
（2）合理分类与准确分步的策略.
8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）
A.18 B.24 C.30 D.30
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有 种不同的分法，然后三组进行全排列共 种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 种不同的排法。所以总的排法为 种
注意:
这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。
这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。
解题策略：
1.正难则反、等价转化的策略
2.相邻问题捆绑处理的策略
3.排列、组合混合问题先选后排的策略；
9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.360 B.288 C.216 D.96
解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有 中不同的排法，
然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有 种不同的排法，共有 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。
甲可能站左端，也可能是右端，有 种不同的方法，然后其他两个男生排列有 种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有 种不同的排法。共 种不同的排法， 故总的排法为 种不同的方法。
本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：
（1）特殊元素优先安排的策略：
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。
解排列组合的应用题要注意以下几点：
仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。
深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。
对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。
由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复。
