爱华网勾股定理——勾股数探究报告
我们已经初步接触勾股定理，我们都知道勾股定理是a2+b2=c2，既直角三角形两直角边的平方的和等于斜边平方。书中也为我们介绍了几种证明方法，我想进一步的探究勾股定理，便先从勾股数入手。
3.4.5；6.8.10；8.15.17；10.24.26......都是常见的勾股数。这些数有什么特点或规律吗？我仔细看后发现每一组勾股数中至少会有一个偶数，我有继续写了几组，还依然有这个特点。这是为什么呢？我在心中打了一个大大的问号。我想了想，明白了。假设三个勾股数都为奇数，则a2，b2都为奇数，c2也是奇数，两个奇数相加必定得偶数，不满足a2+b2=c2。如果三个勾股数中有两个奇数一个偶数，设直角边中一边为偶数，则a2为偶数，b2，c2为奇数，一奇一偶相加会得奇数，满足条件；再设斜边为偶数，则a2，b2为奇数，c2为偶数，两奇数相加一定会得偶数，也满足条件；假设三个勾股数都为偶数，a2，b2，c2都是偶数，偶暑加偶数一定会得偶数，也满足条件，所以勾股数组中至少会有一个偶数。
看完了勾股数组的特点，再找一下勾股数的规律。
如下表中给了三个数a、b、c，并满足a小于b小于c，而且a都为偶数2n
a（2n） | b | c |
6  | 8 | 10 |
8 | 15 | 17 |
10 | 24 | 26 |
12 | 35 | 37 |
... | ... | ... |
2n | b | c |
由上表观观察发现
1.a2+b2=c2
2.C-b=2
由“a2+b2=c2”我们可知a2+b2=c2
a2=c2-b2
a2=（c+b）（c-b）
3.我们再把“C-b=2”代入“a2=（c+b）（c-b）”，并用代数式表示b、c。a2=（c+b）（c-b）a2=（c+b）（c-b）
a2=2（cb）a2=2（cb）
1/4a2=1/2c+1/2b1/4a2=1/2c+1/2b
1/4a2-1/2c+1/2b=b1/4a2+1/2c-1/2b=c
1/4a2-1=b1/4a2+1=c
a为偶数（2n）。当a=2n时，b=n2-1；c=n2+1
规律当a为偶数2n时，b为n2-1，c为n2+1。
如下表又给了三个数，a、b、c，并满足a小于b小于c，而且a为奇数（2n+1）
a（2n+1） | b | c | |
3 | 4 | 5 | |
5 | 12 | 13 | |
7 | 24 | 25 | |
... | ... | ... | |
2n+1 | b | c | |
由上边观察发现
1.a2+b2=c2
2.c-b=1
把“c-b=1”代入“a2+b2=c2”并用代数式表示b。
.a2+b2=c2
a2=c2-b2
a2=（c+b）（c-b）
a2=c+b
1/2a2=1/2c+1/2b
1/2a2+1/2c-1/2b=b
1/2a2-0.5=b
再把“b=1/2a2-0.5”代入“c-b=1”，并用代数式表示c。
c-b=1
c-1/2a2-0.5=1
c-1/2a2=1.5
1/2a2-c=-1.5
1/2a2+1.5=c
a为奇数（2n+1），当a=2n+1时，b=2n2+2n；c=2n2+2n+2
规律：当a为奇数（2n+1）是b为2n2+2n；c为2n2+2n+2。
勾股数中还有很多奥秘等待着我们去探索！
