爱华网《量化投资：以MATLAB为工具》连载(12)期权定价模型的MATLAB实现(中)
《量化投资：以MATLAB为工具》简介
《量化投资：以MATLAB为工具》是由电子工业出版社（PHEI）下属旗舰级子公司——北京博文视点资讯有限公司出版的《量化投资与对冲基金丛书》之一，丛书主编为丁鹏博士，《量化投资：以MATLAB为工具》由李洋（faruto）、郑志勇（ArisZheng）编著，主要介绍MATLAB在量化投资中的具体应用。该书预计2014年10月上市，欢迎大家多多支持。在书籍上市之前，会在中国量化投资学会的各种网络平台进行系列连载介绍，方便读者提前一窥书籍概要。
《量化投资：以MATLAB为工具》连载(12)期权定价模型的MATLAB实现(中)
二叉树定价模型研究
期权定价的数值方法概述
在介绍二叉树定价模型之前，先来了解一下常用的期权定价的数值方法。
在金融市场中，只有少数的期权品种可以得到相对简单的解析式定价公式，绝大部分期权的价格无法通过解析方法求解。即使从理论上可以得到比较完整的计算模型，但通常由于计算模型过于复杂，实现起来非常困难，甚至有时是不可能实现的。所以，数值分析方法就成为解决期权定价问题的及其重要的方法之一。近年来，许多数学家、经济学家针对该问题进行了大量的研究和探讨，得出了很多有效的数值分析方法，大体可以分为三个基本类型：网格分析方法（Lattice Method）、有限差分方法（Finite Difference Method）和蒙特卡罗模拟方法（Monte Carlo Simulation Method）。下面简要介绍这些方法的基本思想与应用。
（1）网格分析方法
网格分析方法的基本原理是，在风险中性条件下，首先将期权的标的资产价格的运动过程表示为离散的形式，然后再利用动态规划的方法为期权定价，其中主要包括二叉树模型、三叉树模型等等。
1979年，Cox、Ross和Rubinstein提出了二叉树期权定价模型，也记为CRR模型，第二章中会详细介绍二叉树模型的数学过程。实证研究表明，利用CRR模型估计的期权价格，特别是美式期权价格，呈现出震荡收敛的特点，说明二叉树模型进行价格估计收敛速度较慢。今年来，很多学者针对传统的二叉树方法进行了大量的改进，改进的主要思路集中在二叉树方法的精度和计算效率两个方面。
在二叉树定价模型中，由于标的资产在一个时间段内的收益状态只有两种可能性，这使得利用这种模型计算的误差较大，为了保证计算精度，可采取的方法是把期权的有效期分为更多个时间段以期获得更多的收益状态，这种方法的弊端是导致计算量的迅速增长。因此，有学者提出将每一个时间段内的可能状态由两种增加为三种，也就是将二叉树模型扩展成三叉树模型，采用这种方法来提高计算精度。相对于二叉树方法而言，三叉树定价模型的构造更加复杂：第一，从每个节点有三个分支发出，而不再是两个；第二，对于三叉树树图上的不同部分而言，其中的分支的概率可不相同；最后，分支的变化模式可能会发生变化。上述三个特点使得该方法要比二叉树方法复杂很多，如果为同一个期权定价，三叉树模型的计算复杂度大约为，这个结果明显高于二叉树方法的计算复杂度。但对于比较复杂的期权，例如障碍期权等，三叉树定价方法求解则更具优势。
二叉树和三叉树等基本定价模型可以为欧式期权和普通的美式期权以及具有多标的变量的期权品种定价，尤其是在一维问题中得到了广泛的应用。但是，这两种模型本身也存在局限性，因此在许多情况下无法得到理想的估计效果。例如，利用传统的CRR模型对美式期权或利用普通的三叉树模型对障碍期权定价的时候，定价过程都呈现出来明显的震荡。虽然对模型的各种改进在一定程度上改善了震荡性，但都并没有从根本上解决问题。此外，这类网格定价模型在应用于高维的美式期权定价时，随着所处理问题的维数的增加，计算工作量和数据处理量都将呈现指数型增长，因此，网格定价模型对于较低维数期权的价格估计能取得较理想的效果，但解决高维问题还存在非常大的困难。
（2）有限差分方法
期权定价的有限差分方法主要原理是：首先将期权满足的微分方程按照一定方式转化为许多个差分方程，接着再利用逐步迭代法求出这些差分方程的解。该方法主要包括内含差分方法和外推差分方法两大类。
有限差分方法能够处理欧式期权、美式期权，但在处理多标的变量的期权定价时也会出现“维数灾难”问题。
（3）蒙特卡罗模拟方法
蒙特卡罗模拟方法的基本原理是：在风险中性条件下，首先模拟出标的资产在期权的有效期内价格变化的一系列样本路径，再对每一条路径上的收益进行贴现，最后对每一条路径上的贴现收益求平均值，由此即可得该期权价格的估计值。
相对于网格分析和有限差分方法而言，蒙特卡罗模拟方法具有两个优点：一是比较灵活易于实现；二是能更好地解决高维的期权定价问题。蒙特卡罗模拟法的缺点是对一些复杂的期权来说，需要通过多次模拟的方式来增加估计精度，因而将产生较大的估计方差。针对这一问题专家学者们提出了很多有效的改进措施，主要有以下三个方面：一是方差减少技术，主要包括控制变量技术、对偶变量技术、矩匹配方法、重要性抽样技术、分层抽样技术和条件蒙特卡罗模拟等；二是在低偏差率序列的基础之上提出的拟蒙特卡罗模拟；三是引入了动态规划理论及图论原理的美式期权定价的蒙特卡罗模拟。这些技术提高了蒙特卡罗模拟方法的估计效率，进一步扩大了其应用范围。
（4）小结
不同的数值方法针对不同的期权定价，在计算精度和计算效率上各有利弊，本章重点介绍二叉树模型，介绍二叉树模型的数学过程，以及在二叉树模型下相应希腊字母的估计，并给出二叉树模型与Black-Scholes模型的对比测试、欧式期权与美式期权的相关性质的对比测试等等。
由于二叉树模型过程比较清晰明了，所以很容易编程实现，MATLAB内置函数binprice可以直接实现二叉树模型（CRR模型）。
下图给出了二叉树模型的一个树形结构图形展示，其中每个红色框内，左边数值为每个节点的标的资产价格，右边数值为每个节点的期权价格，横轴为二叉树模型步数，纵轴为标的资产价格。
图9- 27：CRR定价模型树形结构展示
通过变动二叉树模型的步长数，可以测试二叉树模型的精度和收敛方式，由于Black-Scholes定价模型可以给出欧式期权的精确解，故这里以Black-Scholes模型给出的欧式看涨期权为对比标准价格，步长设置为1到100步，如下图
图9- 28：二叉树模型收敛方式测试
通过上图可以看到二叉树模型对于实值期权和虚值期权的收敛方式并不与平值一样具备明显趋势性，但整体上当步数足够大时，都是以震荡的方式收敛于对比标准价格。
更多内容参见《量化投资：以MATLAB为工具》。
该书预计2014年10月上市。
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作者简介
李洋（faruto），中国量化投资学会专家委员会成员，MATLAB技术论坛（www.matlabsky.com）联合创始人，北京师范大学应用数学硕士，先后就职于私募、期货公司、保险公司，从事量化投资相关工作。十年MATLAB编程经验，对机器学习、量化投资等相关领域有深入研究，已出版《MATLAB神经网络30个案例分析》和《MATLAB神经网络43个案例分析》等书籍。
邮箱：farutoliyang@foxmail.com
微博：http://weibo.com/faruto
郑志勇（Ariszheng），中国量化投资学会专家委员会成员，方正富邦基金产品总监，北京理工大学运筹学与控制论硕士，先后就职于中国银河证券、银华基金、方正富邦基金，从事金融产品研究与设计工作。十余年MATLAB编程经验，专注于产品设计、量化投资等相关领域的研究，尤其对于各种结构化产品、分级基金产品有着深入的研究，已出版《运筹学与最优化MATLAB编程》和《金融数量分析：基于MATLAB编程》等书籍。
邮箱：ariszheng@gmail.com
微博：http://weibo.com/ariszheng
