爱华网2、生成CRC码的基本原理：任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为'0’和'1’取值的多项式一一对应。例如：代码1010111对应的多项式为x6+x4+x2+x+1，而多项式为x5+x3+x2+x+1对应的代码101111。
3、CRC码集选择的原则：若设码字长度为N，信息字段(也就是真实的数据，在计算机中为bit流)为K位，校验字段为R位(N=K+R)，则对于CRC码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g(x)，使得
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);
其中: m(x)为K次信息多项式， r(x)为R-1次校验多项式，
g(x)称为生成多项式：
g(x)=g0+g1x+ g2x2+...+g(R-1)x(R-1)+gRxR
其实A(X)和g(x)都是系数仅为0和1的多项式
发送方通过指定的g(x)产生CRC码字，接收方则通过该g(x)来验证收到的CRC码字。
4、CRC校验码软件生成方法：
借助于多项式除法，其余数为校验字段。
例如：信息字段代码为: 1011001；对应m(x)=x6+x4+x3+1
假设生成多项式为：g(x)=x4+x3+1；则对应g(x)的代码为: 11001，这里R=4
x4m(x)=x10+x8+x7+x4 对应的代码记为：10110010000，也就是信息码左移R=4位；
采用多项式除法，采用模2加减运算法则: 0+0=0, 1+1=0, 1 + 0 = 1, 1-0=1, 0-1 = 1, 1-1=0-0=0, 加法减法等价，做加法时不进位，实际上就是异或法则，做x4m(x) / g(x)的运算:
其运算过程如下：
11101|110,0000
11101
10100
11101
1001
101
得余数为: 1010 (即校验字段为：1010）
发送方：发出的传输字段为: 1 0 1 1 0 0 1 1 0 10
信息字段 校验字段
接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）如果能够除尽，则正确，
再看一个例子，这位Cheney Shue老兄写得很明白啊：
假设数据传输过程中需要发送15位的二进制信息g=101001110100001，这串二进制码可表示为代数多项式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1，其中g中第k位的值，对应g(x)中x^k的系数。将g(x)乘以x^m，既将g后加m个0，然后除以m阶多项式h(x)，得到的(m-1)阶余项r(x)对应的二进制码r就是CRC编码。
h(x)可以自由选择或者使用国际通行标准，一般按照h(x)的阶数m，将CRC算法称为CRC-m，比如CRC-32、CRC-64等。国际通行标准可以参看http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check
g(x)和h(x)的除运算，可以通过g和h做xor（异或）运算。比如将11001与10101做xor运算：
明白了xor运算法则后，举一个例子使用CRC-8算法求101001110100001的效验码。CRC-8标准的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1，既h是9位的二进制串111010101。
经过迭代运算后，最终得到的r是10001100，这就是CRC效验码。
通过示例，可以发现一些规律，依据这些规律调整算法：
1. 每次迭代，根据gk的首位决定b，b是与gk进行运算的二进制码。若gk的首位是1，则b=h；若gk的首位是0，则b=0，或者跳过此次迭代，上面的例子中就是碰到0后直接跳到后面的非零位。
2. 每次迭代，gk的首位将会被移出，所以只需考虑第2位后计算即可。这样就可以舍弃h的首位，将b取h的后m位。比如CRC-8的h是111010101，b只需是11010101。
3. 每次迭代，受到影响的是gk的前m位，所以构建一个m位的寄存器S，此寄存器储存gk的前m位。每次迭代计算前先将S的首位抛弃，将寄存器左移一位成S，，同时将g的后一位加入寄存器。若使用此种方法，计算步骤如下：
※蓝色表示寄存器S的首位，是需要移出的，b根据S的首位选择0或者h。黄色是需要移入寄存器的位。S'是经过位移后的S。
查表法
同样是上面的那个例子，将数据按每4位组成1个block，这样g就被分成6个block。
下面的表展示了4次迭代计算步骤，灰色背景的位是保存在寄存器中的。
经4次迭代，B1被移出寄存器。被移出的部分，不我们关心的，我们关心的是这4次迭代对B2和B3产生了什么影响。注意表中红色的部分，先作如下定义：
B23 = 00111010
b1 = 00000000
b2 = 01010100
b3 = 10101010
b4 = 11010101
b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4
4次迭代对B2和B3来说,实际上就是让它们与b1,b2,b3,b4做了xor计算，既：
B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4
可以证明xor运算满足交换律和结合律，于是：
B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'
b1是由B1的第1位决定的，b2是由B1迭代1次后的第2位决定（既是由B1的第1和第2位决定），同理,b3和b4都是由B1决定。通过B1就可以计算出b'。另外，B1由4位组成，其一共2^4有种可能值。于是我们就可以想到一种更快捷的算法，事先将b'所有可能的值，这实际上就是B100000000的4次运算结果，16个值可以看成一个表；这样就可以不必进行那4次迭代，而是用B1查表得到b'值，将B1移出，B3移入，与b'计算，然后是下一次迭代。
查表事实上的原理不是这样的，不过它给人的启发式：把这看成生成多项式是16位的除法，Bn都是1个字节，那么B1字节的CRC码就是第一次的b'，B2B3^b'=B2'B3', B2'=CRCB1^(B2<<8) >> 8, B2'的CRC码就是第二次的b'，以此类推每次算8位，当所有字节处理完也就得到的了最终的CRC码，这种算法的速度也很快。
可看到每次迭代，寄存器中的数据以4位为单位移入和移出，关键是通过寄存器前4位查表获得
，这样的算法可以大大提高运算速度。
上面的方法是半字节查表法，另外还有单字节和双字节查表法，原理都是一样的——事先计算出2^8或2^16个b'的可能值，迭代中使用寄存器前8位或16位查表获得b'。
反向算法
之前讨论的算法可以称为正向CRC算法，意思是将g左边的位看作是高位，右边的位看作低位。G的右边加m个0，然后迭代计算是从高位开始，逐步将低位加入到寄存器中。在实际的数据传送过程中，是一边接收数据，一边计算CRC码，正向算法将新接收的数据看作低位。
逆向算法顾名思义就是将左边的数据看作低位，右边的数据看作高位。这样的话需要在g的左边加m个0，h也要逆向，例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8，逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的选择0还是h，由寄存器中右边第1位决定，而不是左边第1位。寄存器仍旧是向左位移，就是说迭代变成从低位到高位。
