爱华网研究世界伊斯兰教历史，免不了要对以回历所记载的历史事实换算为公历，或将所载的公历换算为回历。《回历纲要》、《历法丛谈》、《万年历谱》以及《回回天文学史研究》[1--4]等专著都载有自回历换算为公历的算式，并称两历因闰年的时间不同，故换算结果常有一日之差，惟均未讨论一日之差的简易订正方法。1998年《北京大学学报》（自然科学版）载文讨论了中国农历与公历、回历的换算问题[5]。惟笔者依上列著作中所列算式推算结果；发现与实际所载日期误差常大于一日，最高可达十日之多。因此有必要对计算中误差的来源及计算公式的改进进行探讨，特撰此文。
一、国历换算为公历
1．换算公式的导出
公历每年365．242 199074075 日 （简化为365．2422日），而回历每年为354．367074375日（简化为354．36707日），所以回历一年只相当354．36707/365.2422=0.970223或0．970224个公历年。又回历元年元旦定在公元622年7月16日，由于当时历法在推算上的误差，致当时的7月16日，按现代的公历应改为7月19日，自公元某年元旦至该年7月19日已达200日．相200/365.2422=0.5476公历年；又因到回历二年元旦才达到0．970224个公历年，故自回历纪年元旦换算为公历的算式即为：
（回历纪年一1）× 0．970224＋622．5476年
＝所求公历年月日……………………………………………………………………………（1）
或 回历纪年 × 0．970224＋621．5774年
＝所求公历年月日……………………………………………………………………………（2）
式中621．5774来自622．5476－0．970224。
如所求某一历史事实不在回历元旦时，可将事实经过本年的总日数化为回历年，加人回历纪年总数中即可。
然而上列公历一年的总日数，实际上是一回归年的实测数，因现用公历每年的日数实为365．2425日，它与一回归年的日数只能是基本相符，到公元四千多年后会再出现一日之差。
实际上在明万历十年九月十八日，回历990年9月16日，公元1582年10月4日前（包括4日）的公历称儒略历，儒略历每年365．25日，它每年与一回归年的差值远大于格列高利历即现代的公历，大约历128年就需多闰去一日，至万历十年已经多闰出十日了。因此，对于儒略历时期的回、公两历换算，不能仍采用（l）、（2）两式，而需依儒略历的年实际日数将上列二式略加修正即可，结果如下：
（回历纪年一l）× 0．9702＋622．5393
= 所求公历年月日……………………………………………………………………………（3）
回历纪年 × 0．9702＋621．5691
= 所求公历年月日…………………………………………………………………………（4）
式中0．9702为354．36707／365．25所得结果，而0．5393则系公历某年元旦至其7月16日的总日数197被365．25日除之所得，622．5393－0．9702= 621．5691。
现将两种算式自回历第52年起，每隔百年所算得的公历年月日列人下表：
国历换算为公历
自表列计算结果得知，历法不同不能用同一算式，否则误差大大。万历十年前即已发现儒略历的春分所在日期与实测结果相差较大，至万历十年已差十日，因此格列高利第十三就决心修改儒略历，改革内容有两点，其一，将公历1582年10月4日之后一日原应为10月5日而改为10月15日，而星期序数不变，即该年10月4日为星期四，10月15日理应为星期一，实为星期五；其二，儒略历每四年有一个闰年，四百年有百闰，格列高利历仍保持儒历四年一闰的传统，但每四百年仅安排九十七个闰年，四百年中逢百年不闰，到第四百年加一个闰年[6]。儒历与格历的岁实分别为：
儒历（365 ×300＋366 ×00）÷ 400年＝365．25日/年
格历（365 × 303＋366×97）÷ 400年＝365．2425日／年而《明史·历志》所载的回回宫分历（太阳历），一百二十八年闰三十一日，其岁实：
（128 × 365＋31）日÷ 128年＝ 365．2421875日/年
可见共置闰精度远高于现代的公历。
2．换算中一日误差之订正
《历法丛谈》以回历1387年为例，求算合公历之年月日。
解1：1387 × 0．970224＋621．5774＝1967．278088年
0．278088年 × 365．2422日＝101．569日公历累计日数为101．57日可视为4月11日或4月12日。究竟是哪一日，当依两历在公历4月11日或12日间所具有同一的星期序数以订正。
依回历岁首星期序数计算公式：
[（138－1）×131＋164] ÷30＝6057，余20
6057÷7＝865，余 2
故回历1387年元旦为星期2。（表）
按公历自1583年元旦（星期六）至1967年4月11日，共历：
1967－1583＝384年，在这384年中依格列高利历四年一闰，百年不闰，四百年加一闰日的规则共历93个闰日，又1967年元旦后一日起至4月11日又需加 100日，则
（384 × 365＋93＋100＋6）÷ 7＝140359＋7＝2001，余 2余2即星期2，故回历1387年元旦在公历1967年4月11日。
因公历计算星期日数采用数据较多，计算时难免有所遗漏，现引人公历日期与星期推算表阿），供参考。
应用此表查找公元1967年4月11日星期序数步骤如下：
先在本表年份表前二位数字栏目中，查到19二字所在的位置；
再在年份表后二位数字栏目中查到67二字所在位置，自19二字处平行右移，67二字处垂直下移，二者在英文大写字母栏目中相交于字母G处；
再自月份表栏目中查到4月，自4月所在位置平行左移，查到G在4月栏目所在位置；
自日期栏目查到11日所在位置，自此位置平行右移，使与4月份栏目G在星期表相交处知为星期
结果与回历计算所得相同。故知回历 1387年元旦确为公历1967年4月11日，而不是12日。
在换算中所得公历日数常多于31日，甚至常在200—300日或更多，需要将此数化为该年的月日时，可用下列两表。
表3 公历月份及其累计日数
二 公历换算为回历
将回历换算为公历的算式移项，整理，即可得到公历换算为国历的算式
（公历纪年一621．5691）÷0．9702＝回历年月日（儒略历）……………………………………………（5）
（公历纪年一621．5774）÷0．970224＝回历年月日（格氏历）…………………………………………（6）
无论回历换算为公历或相反，大体都有一日之差，以星期序数订正时，回历换算为公历，以回历的星期序数为准；相反，以公历的星期序数为准。
三 国历或公历换算为中国农历
1．回历换算为农历
仅管中国农历各年在年内月数日数都不是一个相对的稳定值，给回历与公历换算为农历上带来较多的困难，但仍然可以换算。中国农历为阴阳合历，在月份上与回历同属太阴历，惟回历每月以见新月为一月之始，其日约迟于农历合朔（初一日）1—2日乃至3日，因此只要查清二者在月份上关系，便可将回历换算为中国农历。马以愚先生称：“回教纪年及斋戒之月，均依太阴历。中国昔用夏正（即农历），有闰之年，年为十三月。故斋戒之月，遇闰则连退。如今岁斋戒值夏正之九月，岁逢闰，改岁当以八月为斋。”[8]故若求得积年及所历大阴历的月数，即可依农历十九年而有七个闰月的规律，将农历换算为回历，其日当有l——2日之差。
计算举例：已知西域鲁穆马依泽公于宋太祖建隆二年（961）应召人华编修《应天历》，并将伊斯兰天文传人中国，他的事迹已收人《中国伊斯兰百科全书》[9]与《中国回族大词典》[10]等，被列为伊斯兰与中国回族之大事。据《怀宁马氏宗谱》记载，依泽公应召人华时年已四十，生于回历勒比阿立勿里月（拉比尔·奥沃勒月，即回历三月）第二十日，故于宋真宗景德二年（1005）五月初十日。宋太祖乾德四年（966）八月十三日奉旨授世袭候爵兼司天监。求依泽公生于公历与农历的年月日。
解：马依泽于宋建隆二年五月后来到中国时年已四句，已知建隆二年二月初三日为回历310年元旦。由此可知马依泽公生于回历310年3月20日，合公历
310×0．9702＋621．5691＝922．3311年
0．3311 ×365．25＝120．934275日回历 310年元月1日合公历922年5月1日，再加 78日为回历3月20日，公历7月18日。
又据农历19年而有7个闰月，并依斋戒之月遇闰则递退一月的规则，求算出回历310年元旦约合农历之月份为：
（922－622）＝300年
300 ÷19 ×7＝15．7895 ×7＝110．53个月又每闰12个月为一年除去不算
110．53÷12＝9余2．53，即后退2月自武德五年六月初三日退后 2月为四月，即依泽公生于梁龙德二年四月二日再加 78日合六月二十一日或二十日。
2．公历换算为农历
张家骥称：“《泷冈阡表》中最末一段：‘（宋）熙宁三年，岁次庚戌四月辛酉朔，十有五日乙亥，男修表’。试算为阳历日期”。
他又说：“已知二十四节气在黄道上的位置是固定的，但各年有平年和闰年之分，就使得回归年天数与实际天数不等，每年在日历上可差一天。这样可以将阴历经过任意整回归年在现在的日历上查到阳历（阳历一年相当阴历的月数为 365．2422/29．530588＝12．36827个月）。例如，可先在1995年的日历上查得与（该年）阴历对应的阳历日期，这样就找到了临时落脚点，也就是找到了阴阳互换的关键。例如，可先以阴历四月初一（日）为引数，在1995年日历上查到对应的阳历为4月30日。由于已经计算出经过的月数，将经过的月数的尾数（小数）化为日，加在4月30日上，就得到经过（1995－1070）整年数的阳历日期，也就是起始阴历日期对应的阳历日期，即得到了待查的日期为4月30日加上0．64957×29．530588得到（1070年）5月19．1821840日。这样就得到了所给例子的阴阳历日期换算结果……”。
0．64957月的由来，
（1995－1070）×12．36827＝11440．64957月
已知依泽公生于梁龙德二年（922）六月二十一日，依下表提供的2099年各月初一日的公历月日数，可以算出龙德二年六月二十一日的公历月日数
表5 公元2099年农历各月初一日的公历月日
（2099－922）× 12．36827＝1455．45379月
余数为 0．45379月 × 29．530588日＝13．4O日
因2099年五月初一日（包括该年闯二月）在公历6月19日，加上计算所得的13日为龙德二年六月初一日的公历月日，即该年7月2日，则该年农历六月二十一日为该年7月22日。
公元1995年六月初一日合公历该年6月28日，代人以上计算程序亦得到上列相同或相近的结果。计算中发现农历因闰月关系，其正月（如 1996年）常在该年公历2月，此时可换用下表的公历月日
表6 公元2100年农历各月初一日与公历的月日
3．计算结果的订正
实际上上列公历换算为农历时常有较大的误差，如熙宁三年四月初一日为公历1070年5月13日，而不是5月19日。通过中国历法所用的于支记日法求算所用两历的干支，对所求结果加以订正。
如，马依泽公生于回历310年3月20日，自回历历元起算共历日数为：
自回历元旦至其3月20日，共历79日。
自回历元年元旦至309年元旦，共历113个闰年196个平年。又回历历元在公历622年7月16日，已知该日的干支序数为50，癸丑日，减1（因自甲子起算），余49应加入下列算式中，
（309 × 354＋113＋79＋49）÷60＝1827．116667
0．116667 ×60＝7
干支序数为7，即庚午日。
求公历922年7月18日的干支，儒略历900年的干支序数为：
900 ×365．25÷60＝5478．75
余数为，0．75 ×60＝45；
22年的于支序数为，
（22 × 365．25＋7）÷ 60＝134，余2．5按3计，式中的7，为儒略历元年元旦的干支序数；
又7月 1日自该年元旦起算共历182日，干支序数为2，再加17日为7月18日
（45＋3＋2＋17）÷60＝1，余7，
结果与回历计算所得相符，即依泽公生于回历310年3月20日，中历庚戌日。
4 求首朔干支[11]
以上计算所得的中历干支应为所求月内的几日，如对所求月首（即月初一日）的干支尚不清楚，则求得的干支不能算出它在月内的日数。
首朔是指农历每年冬至（平冬至）后第一个朔日，冬至都在农历年前的十一月，故首朔就是所求该年前的十二月初一日的干支。（历象考成后编》以雍正元年（172）冬至起算，其干支系数为32．12253，干支为丙申，而冬至后的 15．12633日为首朔，干支为壬子（33＋15．12633）。自此可求算出 922年 7月即农历六月初一日的干支，以确定本文四·3节中所求的干支为该年六月第几日。求算过程如下：
先以1722减921所得之数称积年，积年乘岁实之积为经此积年所历日数，所历日数减32．12254之差被o后的余数再为o所减，所得之差就是922年冬至的干支（计算中向上推算或上考往古要用60减）。所历总日数减0．12254，再加上922年冬至之余数将所历总日数化为整数后，加上15．12633日所得之和用29．530588除之，除之所得余数，再加上龙德二年冬至干支，得首朔干支，首朔干支再加上 6 × 29．530588后，累减60而得的余数，为龙德二年六月初一日的干支，六月一日与月内干支差即为六月内的日数。计算过程如下：[（1722－921）× 365．2423442－32．12254]÷60＝4875．449784
0．44784 ×60＝33．01269，干支序数已过33。当为34，丁西日，经与《中西回史日历》对照无误。再求922年首朔干支，
292 59．1O99一0．12254十0．01269＝292559
（292559＋15．12633）÷ 29．530588＝990．4948
0．49498 ×29．530588＝14．1510，再加34，合49，干支为壬子，所得与史书所载相同。[12]因首朔再过六个月方是龙德二年六月初一日，故
（49＋6 ×29．530588）÷60＝3，余46月83528，干支序数41为庚戌日，为六月初一日干支，再过二十日为六月二十一日，即马依泽公出生之日，
（47＋20）÷60＝1，余7，庚午日结果与回历、公历推算所得相同，即马依泽公出生于回历 310年 3月20日，农历梁龙德二年六月二十一日，公历922年7月18日。
计算中没有采用定朔与定气，可能有数时之差。
因将回历，公历换算成农历时需用干支以订正，特将于支次序列表如下：
表7 干支次序表
参考文献
[1] 马坚：《回历纲要》，中华书局，1955年版。
[2] 郑天杰：《历法丛谈》，台湾华同出版社，1977年版。
[3] 鞠德源：《万年历谱》，山西人民出版社，1989年版。
[4] 陈久金：《回回天文学史研究》，广西科技出版社，1996年版。
[5] 张家骥：“阴阳历日期互换的计算”，《北京大学学报》（自然科学版），1998年第 4期。
[6] 马以愚：《回回历》，商务印书馆，1947年版；《历法考证》手稿，1956年。
[7] 唐汉良：《历法问答》，陕西科技出版社，1980年版。
[8] 马以愚：《中国回教史鉴》，商务印书馆，1947年版。
[9] 宛耀宾、杨克礼等：《中国伊斯兰百科全书》，四川辞书出版社，1994年版。
[10]邱树森：《中国回族大词典》，江苏古籍出版社，1992年版。
[11]乐吾氏：《历算须知》，1935年编印，马以愚先生抄录；钦定《历象考成后编》，文渊阁《四库全书》， 台湾商务印书馆重印。
[12]陈 垣：《二十史朔问表》，中华书局，1926年版。
「收稿日期」1999－10－13
「作者简介」马肇曾 北京科技大学化学系。北京100083
