爱华网2012年安徽省高考理科数学第21题浅析
2012年安徽省高考理科数学第21题：数列 满足
（1）证明： 是递减数列的充分必要条件是 ；
（2）求 的取值范围，使 是递增数列.
笔者认为，这道试题的题型新颖别致，内涵深刻丰富，是一道匠心独具、十分难得的好题，对我们的教学和复习工作可以起到良好的导向作用，值得认真地研究和探讨.
1.溯源
这道试题的面孔并不陌生，它正是2009年安徽省高考理科数学第21题“首项为正数的数列 满足 .（1）证明：若为奇数，这对一切都是奇数；（2）若对一切 都有，求的取值范围.”的源题.命题者通过改变递推关系式、设问方式、知识网络交汇点等手段，将源题改编为现在的形式，既让我们感到似曾相识，又觉得耳目一新，不落俗套.
2.探奥
这道试题寻求知识的重新组合与有机渗透，充分体现了“出活题、考基础、考能力”的命题方向，熔基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方法的运用以及分析问题、解决问题的能力等方面的考查于一炉，独出心裁，别具一格.
2.1对基础知识的考查
这道试题考查的知识点十分丰富，有数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的判定，数列与函数的关系，指数函数及二次函数的性质，因式分解，数学归纳法等.只有熟练地把握住上述各个知识点，解答本题才能有章可循、得心应手.
2.2对数学思想方法的考查
2.2.1特殊化思想
运用特殊化思想方法，解答试题的第（1）小题的必要性：若 是递减数列，则由 ，可得 ；第（2）小题对的范围瘦身：假设是递增数列.由 ，得 .由 ，得 .何等干净利落，简洁明快！
2.2.2迭代思想及全面思想
求解递推数列的有关问题，迭代是一种重要的思想方法，求解的取值范围，全面是一种重要的思考方法，试题的第（2）小题，运用迭代思想和全面思想解答如下：由知，对任意 都有 ，①注意到 ，② 由①式和②式可得 ，即 .由②式和 还可得，对任意 都有 .③ 反复运用③式（即迭代），得 .将和 两式相加，知 对任意都成立.根据指数函数 的性质，得 .故 .下面需证明：若 ，则是递增数列.否则造成解题不全面而被扣分.
2.2.3函数分析法及数学归纳法
在证明：“若 ，则 是递增数列”时需要使用函数分析法及数学归纳法，解答如下：即证当 时， 对任意 成立.
（1）当 时， ，结论成立.
（2）假设当 时结论成立，即： .因为函数 在区间 内单调递增，所以 ，这就是说当 时，结论也成立.因此，，即是递增数列.
2.2.4放缩法
借助平方式非负的性质进行放缩，以实现不等式的证明. 解答试题的第（1）小题的充分性：若 ，由于 ，故 是递减数列.
2.3对分析问题，解决问题的能力的考查
这道试题的立意、情景创设以及设问的角度、方式新颖、灵活，有独到之处.要想迅速完整、准确地解答它，仅靠记题型、背套路、利用固定的思维方式是远远不够的，考生必须具有良好的数学素质.能够综合运用所学的知识分析问题、解决问题.因此，它有效地达到了考查能力的目的，真正起到了压轴的作用.
3.启示
（1）二次函数、因式分解是初中数学中的内容，但是，它在高中数学中有着十分广泛的应用，也是高考命题的一个热点.由于九年制义务教育，初中数学降低了对二次函数、因式分解（特别是十字相乘法不作要求）的教学要求，导致许多学生对二次函数、因式分解的知识理解不深刻，掌握不牢固，不能灵活地运用.因此，在高中数学教学中，必须做好衔接工作，补好这一课，真正发挥它的工具作用，提高学生灵活运用二次函数、因式分解的知识解题的能力.
（2）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的热点，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对数列推理能力的培养.
（3）尽管在《考试说明》中，对用递推关系给出数列的要求不高，但对于通过数学归纳法或者转化为特殊数列的要求并没有降低，利用递推考查数学归纳法和逻辑推理能力依然在《考试说明》的要求之内，应引起师生的关注,但不要盲目拔高.
（4）高考复习要在全面提高学生的数学素质上下功夫，做文章.通过典型习题，引导学生多角度思考、多方位探讨，去梳理基础知识，训练思想方法，强化解题技能，正是帮助学生全面提高数学素质的有效途径，应引起我们足够的重视.书山有路趣为径，学海无涯乐作舟.
