复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法 java实现复数加减法

二. 本周教学重、难点:

1. 形如  (  )的数叫做复数,其中  是虚数单位,  。把复数  的形式叫做复数的代数形式。记作  (  )。当且仅当  时,  为实数;当且仅当  时,  ;当  时,  叫做虚数;当  ,且  时,  叫纯虚数;  与  分别叫做复数  的实部和虚部。

2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等  这两个复数相等。即如果  ,那么  ,

3.  ,  ,则有:



4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设  ,  (  )

加减法:

乘法:

除法:  

5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律,实数的正整数指数幂也能推广到复数集中,即

  ,

  (  )

6.(1)

其中

(2)常用  的性质解题。

  ;  ;    ,      ,则

  (  ),  (  )

【典型例题】

[例1] 实数  分别取什么数值时,复数    是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应点在  轴上方?(5)对应点在直线  上。

解:

(1)由  ,得知  或  时,  为实数

(2)由  ,得知  且  时,  为虚数

(3)由  得知  时,  为纯虚数

(4)由  ,得知  或  时,  的对应点在  轴上方

(5)由  ,得知  或



  的对应点在直线  上。

[例2] 已知关于  的方程组

  有实数解,求实数  的值。

解:由(1)得  解得

代入方程(2),得

∵  ∴  解得

[例3] 已知复数  (  )满足  或  ,求  的值(或范围)。

解:∵  或  ∴  为纯虚数

由纯虚数概念知  解得

∴ 满足条件的  的值为2

[例4] 设  ,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?

(1)  (2)

解:

(1)复数  的模等于4,就是说,向量  的模等于4,所以满足条件  =4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆。

(2)不等式  ,可化为不等式组  不等式  的集合是圆  内部的所有的点组成的集合,不等式  的解集是圆  外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就是满足条件    的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心,以2与4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界。

[例5] 若  ,且  ,求  的最小值。

解法一:∵  即  的几何图形是以C(  )为圆心,以1为半径的圆。  是圆C上的一点P到点A(2,2)的距离,如下图所示,连接AC交圆右侧于P



则  的距离最小

∴ 最小值是3

解法二:代数法,设  (  )





又 ∵

而  ,即

∴ 在  时,  取最小值3

[例6] 已知关于  的方程  (  )有实数根

(1)求实数  的值;

(2)若复数  满足  ,求  为何值时,  有最小值,并写出  的值。

解:

(1)∵  是方程  (  )的实根



故  解得

(2)设  ,由  ,得

即  ∴ Z点的轨迹是以  为圆心,  为半径的圆

如下图所示,当Z点在  的连线上时,  有最大值或最小值

∵  ,半径

∴ 当  时,最小值



[例7] 设复数  ,若  ,求  的值。

解:设

由  ,得

∴  ∴  或



∵  ∴







[例8] 复数  满足  ,求  。

解:设  ,则

整理得

解  得



[例9] 设  ,  ,当  时,求  的取值范围。

解:





又 ∵



由二次函数的性质知

[例10] 设复数  满足  ,且  ,求  与  。

解:由题意有  ,得

又  ,故可得

所以  的实部等于  的实部等于

又  ,故  的虚部为  ,



于是

所以  或

所以  或

【模拟试题】

一. 选择题

1. 方程  的根是( )

A.  B.  C.  或  D. 以上都不对

2.  的值是( )

A.  B.  C.  D.

3.  等于( )

A.  B.  C.  D.

4. 计算  的结果是( )

A.  B.  C.  D.

5. 在复数集C内分解因式  等于( )

A.

B.

C.

D.

6.  的值为( )

A. 0 B. 1024 C.  D.

7.  等于( )

A.  B.  C.  D. 2

8. 满足条件  的复数  在复平面上对应点的轨迹是( )

A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆

二. 解答题

1. (1)计算  ;(2)求  的展开式中所有奇数项的和。

2. 已知  ,  ,  ,且  为纯虚数,求  。

3. 复数  且  ,  对应的点在第一象限,若复数0,  对应的点是正三角形的三个顶点,求实数  的值。



【试题答案】

一. 选择题

1. C 解析:  ,  ∴  或

2. A

3. B 解析:

4. D

5. B

6. A 解析:

7. D 解析:

8. C 解析:可设  转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。

法一:设  ,则原方程变为  ,即

∴ Z点的轨迹是以(0,1)为圆心,以5为半径的圆

法二:原方程即为

由复数几何意义知,它表示(0,1)为圆心,5为半径的圆,故选C。

二. 解答题

1.

思路点拔:按复数乘法与除法的法则展开运算,这种基本运算要熟练掌握,同时注意一些运算技巧。

解:(1)原式  



(2)∵  

∴  的展开式中奇数项之和为复数  的实部

又    

∴  的展开式中各奇数项的和为

2.

解:设  ,由  ,得  ①

∵    为纯虚数

∴  ②

由①②得  或
复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法 java实现复数加减法

∴  或

3.

解:  

由  ,得  ①

∵ 复数0,  对应的点构成正三角形 ∴

把  代入化简并结合①得,得  ②

又∵  点在第一象限 ∴  ,

由①②得  ,故所求值为  ,

  

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