复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法 java实现复数加减法
1. 形如 ( )的数叫做复数,其中 是虚数单位, 。把复数 的形式叫做复数的代数形式。记作 ( )。当且仅当 时, 为实数;当且仅当 时, ;当 时, 叫做虚数;当 ,且 时, 叫纯虚数; 与 分别叫做复数 的实部和虚部。
2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等 这两个复数相等。即如果 ,那么 ,
3. , ,则有:
4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设 , ( )
加减法:
乘法:
除法:
5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律,实数的正整数指数幂也能推广到复数集中,即
,
( )
6.(1)
其中
(2)常用 的性质解题。
; ; , ,则
( ), ( )
【典型例题】
[例1] 实数 分别取什么数值时,复数 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应点在 轴上方?(5)对应点在直线 上。
解:
(1)由 ,得知 或 时, 为实数
(2)由 ,得知 且 时, 为虚数
(3)由 得知 时, 为纯虚数
(4)由 ,得知 或 时, 的对应点在 轴上方
(5)由 ,得知 或
的对应点在直线 上。
[例2] 已知关于 的方程组
有实数解,求实数 的值。
解:由(1)得 解得
代入方程(2),得
∵ ∴ 解得
[例3] 已知复数 ( )满足 或 ,求 的值(或范围)。
解:∵ 或 ∴ 为纯虚数
由纯虚数概念知 解得
∴ 满足条件的 的值为2
[例4] 设 ,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
(1) (2)
解:
(1)复数 的模等于4,就是说,向量 的模等于4,所以满足条件 =4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆。
(2)不等式 ,可化为不等式组 不等式 的集合是圆 内部的所有的点组成的集合,不等式 的解集是圆 外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就是满足条件 的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心,以2与4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界。
[例5] 若 ,且 ,求 的最小值。
解法一:∵ 即 的几何图形是以C( )为圆心,以1为半径的圆。 是圆C上的一点P到点A(2,2)的距离,如下图所示,连接AC交圆右侧于P
则 的距离最小
∴ 最小值是3
解法二:代数法,设 ( )
∴
即
又 ∵
而 ,即
∴ 在 时, 取最小值3
[例6] 已知关于 的方程 ( )有实数根
(1)求实数 的值;
(2)若复数 满足 ,求 为何值时, 有最小值,并写出 的值。
解:
(1)∵ 是方程 ( )的实根
∴
故 解得
(2)设 ,由 ,得
即 ∴ Z点的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆
如下图所示,当Z点在 的连线上时, 有最大值或最小值
∵ ,半径
∴ 当 时,最小值
[例7] 设复数 ,若 ,求 的值。
解:设
由 ,得
∴ ∴ 或
∴
∵ ∴
即
∴
[例8] 复数 满足 ,求 。
解:设 ,则
整理得
解 得
∴
[例9] 设 , ,当 时,求 的取值范围。
解:
∴
又 ∵
∴
由二次函数的性质知
[例10] 设复数 满足 ,且 ,求 与 。
解:由题意有 ,得
又 ,故可得
所以 的实部等于 的实部等于
又 ,故 的虚部为 ,
于是
所以 或
所以 或
【模拟试题】
一. 选择题
1. 方程 的根是( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
2. 的值是( )
A. B. C. D.
3. 等于( )
A. B. C. D.
4. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
5. 在复数集C内分解因式 等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 的值为( )
A. 0 B. 1024 C. D.
7. 等于( )
A. B. C. D. 2
8. 满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是( )
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
二. 解答题
1. (1)计算 ;(2)求 的展开式中所有奇数项的和。
2. 已知 , , ,且 为纯虚数,求 。
3. 复数 且 , 对应的点在第一象限,若复数0, 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数 的值。
【试题答案】
一. 选择题
1. C 解析: , ∴ 或
2. A
3. B 解析:
4. D
5. B
6. A 解析:
7. D 解析:
8. C 解析:可设 转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。
法一:设 ,则原方程变为 ,即
∴ Z点的轨迹是以(0,1)为圆心,以5为半径的圆
法二:原方程即为
由复数几何意义知,它表示(0,1)为圆心,5为半径的圆,故选C。
二. 解答题
1.
思路点拔:按复数乘法与除法的法则展开运算,这种基本运算要熟练掌握,同时注意一些运算技巧。
解:(1)原式
(2)∵
∴ 的展开式中奇数项之和为复数 的实部
又
∴ 的展开式中各奇数项的和为
2.
解:设 ,由 ,得 ①
∵ 为纯虚数
∴ ②
由①②得 或
∴ 或
3.
解:
由 ,得 ①
∵ 复数0, 对应的点构成正三角形 ∴
把 代入化简并结合①得,得 ②
又∵ 点在第一象限 ∴ ,
由①②得 ,故所求值为 ,
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