爱华网体育是同学们最喜欢的课程之一，体育课中进行各种各样的竞技活动，每一项都渗透着许多物理知识。体育与物理形同兄弟般亲密。下面介绍推铅球用到物理学原理的抛体知识。
学生上完体育课，追着我问：熊老师，今天体育老师教我们推铅球，铅球出手的速度与水平方向的夹角小于45度时，铅球推得最远。在斜抛运动中，你不是推导出抛射角等于45度最远吗？
不错，如图，所有教材都是根据铅球水平方向作匀速直线运动，竖直方向作竖直上抛运动，由于对称性， 列方程后即可求出最值。
清去t有： 。
当时，水平射程取最大值。
可能是考虑空气阻力的缘故吧，另一个同学在旁边喃喃自语。
其实，最主要的原因是抛出点离落地点有一个高度差，我向他们解释，不同的高度和不同的初速度都会影响落地点到抛出点的距离，如图所示。
我们将问题简化，以抛出点为坐标原点建立坐标，设抛出点距离地面的高度为h，铅球抛出时的初速度为 ，与水平方向的夹角是，落地时铅球的速度为 ，与水平方向夹角为 。为研究问题的方便，忽略阻力。
由抛体运动规律：
那么，当y取-h时，x的值即为水平飞行距离。方程组中消去时间t，水平位移可表示为：
上式也可以写成
水平距离x是关于变量h、 、 的函数。对于同一个人而言，h、 基本上是确定的，我们只需讨论为何值时，抛得最远。
上式庞大，求最大值繁杂，用求导数的方法求极值也不是那么简单！我曾试过求导，不寒而栗，这或许是常见资料中缺少这么一个常规问题讨论的重要原因。根据平时的积累和阅读，我现在提供两种较为简洁的、高中学生容易接受的方法进行处理。
上式化为
平方后整理：，变成了一个关于变量 的二次方程。要使 有解，那么判别式
即：，即x存在最大值。
当x取最大值时， 。所以，抛出角 时才能抛得最远。当只有一个变量变化时，分析，发现要使铅球扔得最远，必须满足以下条件：
1．v0一定时，抛出点h越高，抛出角度 越小。
2．h一定时，抛出速度 越大，抛出角度 越大，越接近45度。
设铅球抛出的速度为10m/s，抛出点距离地面的高度为1.8m，那么，此时的抛出角度： ， 。
下面再提供一种别致的解法①：
由于抛体运动都具有水平方向做匀速直线运动的特征，将落地时的速度和初速度移到共点，绘成如图所示的矢量图，则由图可知：
设t1为铅球达到最高点时间，t2是从最高点落到地面的时间，则：
通过比较发现，AB和BC的长度分别与时间t1和t2成正比，则可以说AC的长度与总飞行的时间t成正比：
另一方面，水平射程可以表示为：
突然发现，水平射程x正比于OB与AC长度的积。由于OB与AC相互垂直，那么x正比于△AOC的面积。
问题可以转化为：如何使 的面积最大？
三角形面积可以表示成另外一种形式： ，则初速度与末速度垂直时（ ），面积最大，根据对称关系， 。
根据机械能守恒有： ，再根据图中几何关系： ，易知： ，与第一种方法的结论相同。
结论： 时抛得最远。
这时角度随铅球初速度的增大而增大，随出手高度的增大而减小，当出手高度为1.7-2.0m，初速度为8-14m/s②，此时，抛射角的最佳值为38-42度。
对于其它投掷类体育运动，由于空气阻力的影响各不相同，因此，要抛得最远，各有不同的抛射角。例如，铁饼为30-35度，标枪为28-33度，链球为42-44度。
此外，抛物线与抛体运动有千丝万缕的联系，下面我们找出数学中抛物线焦点、准线、对称轴、顶点、切线等名词深刻的物理意义。
抛体的轨迹参数方程： ，如果我们消去参数t，并与抛物线的一般方程比较有： ，对比系数，发现：
， ， 。
如图建立的坐标，抛物线过原点，方程可表示为 ，将此方程表示成标准形式（其中a<0，b>0，），基本参数分别为：
对称轴： ，即
顶点坐标：（ ），即
准线： ，即
焦点坐标：（ ），即
速度方向： ，参数方程求导
综上所求，准线即以v0竖直上抛时能上升的高度，无论怎样改变抛射角，物体不可能达超过准线高度。准线为一条基准线。
焦点，即这点和抛出点的连线与初速度方向夹角等于初速度方向与竖直方向的夹角。
焦点处于x轴的上方、x轴上、x轴下方时，抛射角分别大于、等于、小于45度。
如果以顶点为原点，那么物体做平抛运动，在顶点位置开始计时，那么方程就可以变为 ，消去参数t后有： ，对比抛物线的标准方程有 。
抛物线最高点与一个虚拟圆相切，那么这个圆的半径就是抛物线在这点的曲率半径。曲率半径r的物理求法是：重力刚好提供向心力，整理有 。
曲率半径的数学求法，也能算出抛物线 最高点的曲率半径
r=p。
抛体在任意瞬间与焦点的距离均为 ，换一种说法就是任意位置抛体的瞬时速度等于其由准线平面自由下落该处获得的速度。
任意点速度的方向即抛物线在这点切线的方向，速度大小即这一点切线的斜率，可用物理的方法求抛物线的切线方程。
如果改变抛射的角度，那么形成一簇抛物线，将能达到与原点最远的地方的点连接起来，我们称为安全包络，可以证明，这个安全包络也是一条抛物线，我们称为安全抛物线。安全抛物线是抛物线族中任意两条无限靠近的抛物线交点的集合。
推导：，令 ， ，上式可写成：
，方程对s求导:
上面两式消去参数，得到抛物线族的包络线方程： 。
安全抛物线在现实生活中是很有用的，例如可以用其估计定向爆破的安全范围和防空炮火的防御区域，可以帮助投掷运动员选择最佳的出手角度等等。
当然，我们还可以求最值，求出当 时，径迹与边界围成的面积最大。当 时，抛物线的径迹最长，
围成的面积可以表示为： ，
水平距离，代入后上式的积分结果为 。上式当 时取最值，那么面积的最大值为 。
计算弧长的公式是，抛物线参数方程是 。
那么弧长计算公式可以表示为 ，对上式求极值有：当 时，抛物线的弧长最长。
注
①在华南师范大学读教育硕士期间，在一本美国杂志“Amerian Journalofphysics”1985.7期，发现作者S．K．Bose有一个精妙的解法，现与大家一起分享。
②一些估算题都是源于生活中的常识，物理学习者应该知晓这些数据的大概值，如正常人的举手高度，人的体重，步行速度，一个鸡蛋的质量等。而这一类估算题得分率往往都不高。如2011年江苏卷第4题提供了一名杂技演员抛鸡蛋的情景图，要估算对鸡蛋做的功的选择题，选项不在一个数量级内，我认为是好题。但有教师竟然说这是不是在考物理？他们的理由是：物理考生要不要知道一个鸡蛋的大约质量？
