转载 MATLAB解微分方程 matlab 微分方程组

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关于Matlab的微分方程，直到今天才更新第2篇，实在是很惭愧的事——因为原因都在于太懒惰，而不是其他的什么。

在上一篇中，我们使用dsolve可以解决一部分能够解析求解的微分方程、微分方程组，但是对于大多数微分方程（组）而言不能得到解析解，这时数值求解也就是没有办法的办法了，好在数值解也有很多的用处。

数值分析方法中讲解了一些Eular法、 Runge-Kutta法等一些方法，在matlab中内置的ode求解器可以实现不同求解方法的相同格式的调用，而不必太关心matlab究竟是用什么算法完成的。

这一回我们来说明ode45求解器的使用方法。

1.ode45求解的上手例子：

求解方程组

Dx=y+x(1-x^2-y^2);

Dy=-x+y*(1-x^2-y^2)

初值x=0.1;y=0.2;

先说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。

[t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);

其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。

这时，函数文件可以采用如下方式定义

function dx=odefun(t,x)

对于上面的小例子，可以用如下的程序求解。

2.终值问题

tspan可以是递增序列，也可以为递减序列，若为递减则可求解终值问题。

[t,x]=ode45(@zhongzhiode,[3,0],[1;0;2]);plot(t,x)

function dx=zhongzhiode(t,x)
dx=[2*x(2)^2-2;
-x(1)+2*x(2)*x(3)-1;
-2*x(2)+2*x(3)^2-4];

结果如下

3.odeset

options = odeset('name1',value1,'name2',value2,...)

[t,x]=solver(@fun,tspan,x0,options)

通过odeset设置options

第一，通过求解选项的设置可以改善求解精度，使得原本可能不收敛的问题收敛。

options=odeset('RelTol',1e-10);

第二，求解形如M(t,x)x'=f(t,x)的方程。

例如，方程

x'=-0.2x+yz+0.3xy

y'=2xy-5yz-2y^2

x+y+z-2=0

可以变形为

[10 0][x'] [-0.2x+yz+0.3xy]

[010][y']=[2xy-5yz-2y^2 ]

[00 1][z'][x+y+z-2]

这样就可以用如下的代码求解该方程

function mydae
M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];
options=odeset('Mass',M);
x0=[1.6,0.3,0.1];
[t,x]=ode15s(@daedot,[0,1.5],x0,options);plot(t,x)

function dx=daedot(t,x)
dx=[
-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);
2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);
x(1)+x(2)+x(3)-2];

4.带附加参数的ode45

有时我们需要研究微分方程组中的参数对于解的影响，这时采用带有参数的ode45求解会使求解、配合循环使用，可以使得求解的过程更加简捷。

使用方法：只需将附加参数放在options的后面就可以传递给odefun了。

看下面的例子。

function Rossler

clear;clc
a=[0.2,0.2];
b=[0.2,0.5];
c=[5.7,10];

x0=[0 0 0];
for jj=1:2
[t,x]=ode45(@myRossler,[0,100],x0,[],a(jj),b(jj),c(jj));
figure;plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));grid on;
end

function dx=myRossler(t,x,a,b,c)

dx=[
-x(2)-x(3);
x(1)+a*x(2);
b+(x(1)-c)*x(3)];

5. 刚性方程的求解

刚性方程就是指各个自变量的变化率差异很大，会造成通常的求解方法失效。

这是matlab中自带的一个例子，使用ode15s求解，如果用ode45求解就会出现错误。

function myode15study

[t,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),'-o')

figure;plot(Y(:,1),Y(:,2))

function dy = vdp1000(t,y)
dy =zeros(2,1);

dy(1) = y(2);
dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1);

6.高阶微分方程的求解

通常的方法是进行变量替换，将原方程降阶，转换成更多变量的一阶方程组进行求解。

在这个例子里我们求解一个动力学系统里最常见的一个运动方程

,其中f=sin(t)

function myhighoder
clear;clc
x0=zeros(6,1);
[t,x]=ode45(@myhigh,[0,100],x0);
plot(t,x(:,1))

function dx=myhigh(t,x)
f=[sin(t);0;0];;
M=eye(3);
C=eye(3)*0.1;
K=eye(3)-0.5*diag(ones(2,1),1)-0.5*diag(ones(2,1),-1);
dx=[x(4:6);inv(M)*(f-C*x(4:6)-K*x(1:3))];

7.延迟微分方程

matlab提供了dde23求解非中性微分方程。dde23的调用格式如下：

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)

lags是延迟量，比如方程中包含y1(t-0.2)和y2(t-0.3)则可以使用lags=[0.2,0.3]。

这里的ddefun必须采用如下的定义方式：

dydt = ddefun(t,y,Z)

其中的Z(:,1)就是y(t-lags(1)),Z(:,2)就是y(t-lags(2)）...

下面是个使用dde23求解延迟微分方程的例子。

function mydde23study
%The differential equations
%
%y'_1(t) = y_1(t-1)

%y'_2(t) = y_1(t-1)+y_2(t-0.2)
%y'_3(t) = y_2(t)
%
%are solved on [0, 5] with history y_1(t) = 1, y_2(t) = 1, y_3(t) =1 for
% t<= 0.
clear;clc
lags=[1,0.2];
history=[1;1;1];
tspan=[0,5];
sol = dde23(@myddefun,lags,history,tspan)
plot(sol.x,sol.y)

function dy = myddefun(t,y,Z)
dy=[
Z(1,1);
Z(1)+Z(2,2);
y(2)];

8.ode15i求解隐式微分方程

[T,Y] = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0)

yp0为y'的初值。

odefun的格式如下 dy =odefun(t,y,yp),yp表示y'，而方程中应该使得f(t,y,y')=0

function myodeIMP
%The problem is
%
%y(1)' = -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
%y(2)' = 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) -3e7*y(2)^2
%y(3)' = 3e7*y(2)^2
%
%It is to be solved with initial conditions y(1) = 1, y(2) = 0, y(3)= 0
%to steady state.
clear;clc
y0=[1;0;0];
fixed_y0=[1;1;1];
yp0=[0 0 0];
fixed_yp0=[];

[y0mod,yp0mod]=decic(@myodefunimp,0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0);
tspan=[0, logspace(-6,6)];
[t,y] = ode15i(@myodefunimp,tspan,y0mod,yp0mod);
y(:,2)=1e4*y(:,2);
semilogx(t,y)
function res=myodefunimp(t,y,yp)
res=[
-yp(1)-0.04*y(1)+1e4*y(2)*y(3);
-yp(2)+0.04*y(1)-1e4*y(2)*y(3)-3e7*y(2)^2;
-yp(3)+3e7*y(2)^2;
];

这次要接触一个新的求解ode的方法，就是使用simulink的积分器求解。

1.还是做我们研究过的一个例子（在初识matlab微分方程(2)中采用的）。

Dx=y+x(1-x^2-y^2);

Dy=-x+y*(1-x^2-y^2)

初值x=0.1;y=0.2;

积分器中设置初始条件；f(u)中指定Dx,Dy的计算公式。

运行这个仿真，scope中可以看到两个变量的时程如下：

在WorkSpace里可以得到tout和yout，执行plot(yout(:,1),yout(:,1))得到与ode45求解相似的结果如下

2.这部分解决一个使用ode求解器dde23没法求解的一类延迟微分方程(中性微分方程)。

形如x'(t)=f(x'(t-t1),x(t),x(t-t2),x(t-t3))这类方程。dde23是无法求解的，但是可以借助simulink仿真求解。

看下面的这个例子。

x'(t)=A1*x(t-t1)+A2*x'(t-t2)+B*u(t)

t1=0.15;t2=0.5

A1=[-123-3]A2=[0.0200]B=[0]

[106-11662][00.030][1]

[207-207113][000.04][2]

在continuous里找到transport Delay,就可以实现对于信号的延迟，因此可以建立如下仿真模型

从而在scope中可以得到如下仿真结果

OK~初识微分方程到了这里我想应该可以做个终结，因为我想作为零基础的材料来看，到这里也就可以了。以后还可能再有微分方程的内容，还请感兴趣的朋友多捧场吧。

最后，大力推荐一本书薛定宇老师的《高等应用数学问题的Matlab求解》，确实很经典。学习Matlab的时间也不算短了，可是每次翻看这本书总是能让我有温故而知新的感觉，是我目前见过的最好的Matlab书。强烈推荐!（对于从来没有接触过matlab的人来说或许有点儿难，但是如果你以后要用matlab的话买一本绝对不会后悔的。）

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