在3×3(三行三列)的正方形方格中,既不重复又不遗漏地填上1~9这9个连续的自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等,通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4(四行四列)的方格中进行填数,就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数,并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等,这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏,它不仅限于三阶、四阶,还有五阶,六阶,……,直到任意阶。
一般地,在n×n(n行n列)的方格里,既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数(注意,这n×n个连续自然数不一定非要从1开始),每个数占1格,并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等,我们把这个相等的和叫做幻和,n叫做阶,这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1~9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数!
雪帆提示:先求总和,看看有几个幻和,常把中间数填入中间
先用a,b,c,…,i分别填入图1的九个空格内,以代表应填的数,如图2。
(1)审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数,因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算,结果都等于幻和;其次是三阶幻方中四个角上的数:a,c,g,i,它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后,其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
(2)求幻和
幻和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3
=45÷3
=15
(3)选择解题突破口
突破口显然是e,在图2中,
因为a+e+i=b+e+h=c+e+g=d+e+f=15,
所以(a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)
=15+15+15+15=60,
也就是:(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3×e=60。
因为a+b+c+d+e+f+g+h+i=45,
所以45+3×e=60
所以3×e=60-45
e=5
也就是说,图1中的中心方格中应填5,请注意,这个数正好是1~9这九个数中正中间的数。
(4)四个角上的数a,c,g,i的特点
先从a开始讨论:a是奇数还是偶数。
如果a为奇数,因为a+i=10,所以i也是奇数。因为a+d+g=15,所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况:
①当d、g都是奇数时,因为d+e+f=15,g+h+i=15,其中e,i都是奇数,所以f,h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a,d,e,f,g,h,i这七个奇数,而1~9这九个数中只有五个奇数,矛盾。说明d,g不可能为奇数。
②当d,g为偶数时,因为d+f=10,g+h+i=15,c+g=10,因为i为奇数,所以f,h,c只能是偶数,这样就有c,d,f,g,h五个偶数,而1~9这九个数中只有四个偶数,矛盾。说明d,g都是偶数也不行。
所以a不能是奇数,那么只能是偶数,于是由a+i=10知,i也是偶数。
用同样的方法可以得到c,g也只能是偶数。也就是说,图1中四个角上的数都应填偶数。
(5)试验填数排出幻方
因为e=5,a,c,g,i是偶数,所以a的范围有2,4,6,8四个数,根据幻和等于15进行试验:
当a=2时,i=8,c可填4,6。若c=4,则有g=6,b=9,d=7,f=3,h=1;若c=6,则有g=4,b=7,d=9,f=1,h=3,这样填出两个三阶幻方。
当a=4,6,8时,请同学们自己用上面的方法进行试验填数,作为练习。
用1~9这九个数编排的三阶幻方有八个,如图3所示。
说明:在上面图形中给出的用1~9这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个,都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转,从而得到其余七个图形。因此,我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。
例2如下图的3×3的阵列中填入了1~9的自然数,构成了大家熟知的三阶幻方。现在另有一个3×3的阵列,请选择九个不同的自然数填入九个方格中,使得其中最大者为20,最小者大于5,且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
分析与解所给的三阶幻方中填入的是1~9这九个不同的自然数,其中最大的为9,最小的为1,要使新编制的幻方中最大数为20,而9+11=20,因此,如果在所给幻方中各数都增加11,就能构成一个新幻方,并且满足最大数为20,最小数大于5。
例3请编出一个三阶幻方,使其幻和为24。
分析与解根据题意,要使三阶幻方的幻和为24,所以中心数必为24÷3=8。那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。
1+15=16 2+14=163+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16
按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方,其幻和为24(如图7)。
例4在图8中的A,B,C,D处填上适当的数,使其成为一个三阶幻方。
分析与解从第一行和对角线可得,
A+7+D=A+10+6
7+D=16
D=9
这样幻和=9+15+6=30
从第一行中可求出
A=30-(7+9)=14;
从第二行中可求出B=30-(10+15)=5;
从第三行中可求出C=30-(11+6)=13。
例5在3×3的阵列中,第一行第三列的位置上填5,第二行第一列的位置上填6,如图9。请你在其他方格中填上适当的数,使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。
分析与解为了叙述方便,我们将其余格内的数用字母表示,如图10。
因为幻和为36,所以可求出中心数为:
36÷3=12,即C=12。
从第二行中可求出D=36-(6+12)=18;
从对角线中可求出E=36-(5+12)=19;
从第一列中可求出A=36-(6+19)=11;
从第一行中可求出B=36-(11+5)=20;
从第二列中可求出F=36-(20+12)=4;
从第三列中可求出G=36-(5+18)=13。
得到的三阶幻方如图11。
从上面的例题我们不难看出:要填出一个三阶幻方,中心数起着至关重要的作用。利用幻和=中心数×3这个关系式,在已知幻和的情况下,可先求出中心数;在已知中心数的情况下,可求出幻和,以便其他数的求出。