爱华网相信学过数学分析的朋友都有这样的经验，讲到实数系基本定理的时候，只看到若干定理相互推导，好像谁都可以来充当公理，结果就被搞得一头雾水，根本不知道它想要干什么。其实，实数系并不是讨论这些问题的理想舞台，这些内容得到点集拓扑与泛函分析中才能够讲清楚，现在勉强放到实数当中，只会导致很多无谓的技术负担。
实际上，实数系基本定理主要就是讨论它的完备性与局部紧致性，与完备性有关的定理有确界原理、单调有界定理和Cauchy收敛原理，涉及紧致性的定理则有区间套定理、致密性定理与有限覆盖定理。
关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。
对于完备性的刻画，通常是以Cauchy收敛原理作为定义的模板。它的意思就是说如果数列本身已经满足了必须收敛的良好条件（Cauchy列），假若它竟然还不收敛，那唯一的可能性就是相应的背景是有“洞”，最后的极限不幸掉到了“洞”里，因此我们看不见了。而Cauchy收敛原理就是说，在实数中不会出现这样奇怪的情况。假若我们故意在实数上挖一个洞{0}，那么在R*=R{0}考虑的话，数列{1/n}尽管也是Cauchy列，但它却是不收敛的（尽管我们可以从“洞”重新挖出极限点0，但是却发现它并不在我们所设定的舞台R*上）。
对于这个问题，确界原理是从整体上进行考虑的，不知不觉就把“洞”排挤到了边缘处，保证不能让最后的上确界（或下确界）掉进“洞”里。而单调有界定理则是从局部考虑，先在边缘处把一头堵住，然后在不断逼近的过程中保证数列最后无“洞”可逃。比如在上面的R*中，非空集（0,1）的下确界就不幸掉进洞里了，而数列{1/n}尽管递减有下界，但是其极限却也是逃到了洞里。请读者自己考虑有理数Q的情形，它上面的“洞”可以R*多得多啊！
下面我们来看紧致性，它是比完备性更强的概念，不仅要求没有洞，而且还需要一定的有限性。事实上，在泛函分析中有这样一个结论：度量空间的紧致性等价于完备性与完全有界性，而在有限维空间中完全有界性就是有界性（反之考虑可分Hilbert空间的标准正交基），因此实数上的完备性其实就是局部的紧致性。而实数系伤问题往往带着有界（特别是Cauchy）之类条件，因此总是可以在局部转化为紧致的形式。
紧致性的模板就是有限覆盖定理，对此可以从闭区间不相交更加严格这个角度来理解，举例来说就是(0,1)与（1,2）可以不交，但换成它们的闭包（相应的闭区间）就必须相交了，因此就必须拉开距离，正是这个距离导致了最后覆盖的有限性。事实上，这个定理就是沟通有限与无限的主要工具，在拓扑学和几何学中要大用特用，只是在直线上谈覆盖实在是太勉为其难了！
紧致性的一个具体表现就是致密性定理（或者说更一般的聚点定理），本质就是要保证有界数列（无限点集）的极限点的存在性。直观上看，由于紧致的高度压缩，而点又没有“洞”可以逃避，因此极限总是必然存在的。实际上，拓扑学中紧性与相应极限的存在性是等价的，只是不过那里的极限是网的极限，幸好实数满足第一可数公理，因此就可以用序列极限来代替。
对于紧致性的有限覆盖刻画，我们可以取其补集形式，也就是有限交非空的闭集族的交非空，要是再加上实数的局部性考虑，就可以划归为连通的有界闭邻域，也就是大家熟悉的闭区间了，因此就自然导出了区间套定理。实际上，我倒是觉得区间套定理是说明实数无“洞”的最形象的表现，比如还是在R*上来看，区间列{[-1/n,1/n]}就没有能够套住任何点，因此R*不是完备的！在拓扑学中，这样类似区间套式的结构被称为滤子，它与网一样都是极限在（不一定满足第一可数公理的）拓扑空间中的推广，因此致密性定理与区间套定理实际上就是网与滤子收敛的等价性在实数上的具体表现。
对于初学者而言，只要对实数系基本定理了解个大致框架，对完备性与紧致性有个直观印象，能够比较一些有洞与无洞具体例子，基本上也就足够了。至于这些形式化的证明推导，则是大可不必过于深究，正如文章中所提到的那样，详细的内容会在点集拓扑与泛函分析中研究，到时候这些看似麻烦的大定理实际上就只是一些平凡的推论而已。
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