一阶线性非齐次微分方程——常数变易法 非齐次线性微分方程

在我写的《RC正弦交变电路上电流公式（非稳态）》、《RL正弦交变电路上电流公式（非稳态）》两篇文章中，为了解决电流问题，都遇到了微分方程。而且，都是形如P(x)*y'+Q(x)*y=R(x)形式的微分方程（其中y'是指y对x的导数dy/dx）。这样的方程可以用除法使y'前的系数化为1。因此：

形如y'+P(x)*y=Q(x)的微分方程，称为一阶线性非齐次微分方程。

求这种微分方程通解的方法，在这两篇文章中已经可以大体明白。这里给出一个总结性的说法。

首先，方程y'+P(x)*y=Q(x)与y'+P(x)*y=0（dy/dx+P(x)*y=0微分方程称为一阶线性齐次微分方程）具有结构类似的通解。所以先解这个一阶线性齐次微分方程。

y'+P(x)*y=0

dy/dx+P(x)*y=0

dy/dx=-P(x)*y

dy/y=-P(x)*dx

准备两侧进行不定积分操作。这里必须说明的是，这里的积分变量（暂时记为C'）不是一个普通的常数，它是一个真正的变量，它是自变量x的函数。

∫dy/y=∫-P(x)*dx

lny=-∫P(x)*dx+C'(x)

y=e^{-∫P(x)*dx+C'(x)}

为方便记录，令e^C'(x)=C，这里的C也是x的函数。

y=C(x)*e^-∫P(x)*dx

则

dy/dx=y'

=[C(x)*e^-∫P(x)*dx]'

=C'(x)*e^-∫P(x)*dx+C(x)*[e^-∫P(x)*dx]'

=C'(x)*e^-∫P(x)*dx+C(x)*e^-∫P(x)*dx*[-∫P(x)*dx]'

=C'(x)*e^-∫P(x)*dx-C(x)*e^-∫P(x)*dx*P(x)

将y=C(x)*e^-∫P(x)*dx与dy/dx=C'(x)*e^-∫P(x)*dx-C(x)*e^-∫P(x)*dx*P(x)代入原方程dy/dx+P(x)*y=Q(x)，得

C'(x)*e^-∫P(x)*dx-C(x)*e^-∫P(x)*dx*P(x)+P(x)*C(x)*e^-∫P(x)*dx=Q(x)

C'(x)*e^-∫P(x)*dx=Q(x)

C'(x)=Q(x)*e^∫P(x)*dx

C(x)=∫Q(x)*e^∫P(x)*dx*dx

y=e^-∫P(x)*dx*∫Q(x)*e^∫P(x)*dx*dx

这就是一阶线性非齐次微分方程的通解。

其中用函数C(x)来代替常数C，故此法称为“常数变易法”。

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