爱华网2012年高考数学湖南卷试卷评析
2012年高考数学湖南卷体现了普通高中数学课程标准的理念, 符合《普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《普通高等学校统一考试湖南卷考试说明》（以下简称《考试说明》）的各项要求. 试卷全面考查了中学数学基础知识、基本技能和基本方法, 强调通性通法. 试卷深化能力立意, 注意在知识网络的交汇处设计试题, 突出对应用意识、创新意识和作为数学核心能力的思维能力的考查, 注重考查考生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力. 试卷结构稳中有变, 并充分考虑了文、理科考生的不同学习要求.试卷难度合理,有较高的效度和较好的区分度, 有利于高校选拔新生和推进中学数学教学改革.
1．注重基础，强化主干，从学科整体意义上设计试题
考查考生对基础知识、基本技能的掌握程度, 是数学科高考的重要目标之一. 今年文科卷第1～6题, 第10～14题；理科卷第1～5题, 第9～14题等试题一般只涉及1～2个知识点, 考查考生对基本概念、基本公式、基本性质的掌握程度.
高中数学课程的主干知识包括函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率与统计等内容, 它们贯穿高中数学课程的始终,构成高中数学的基本脉络．今年的试题延续了前两年的风格, 对主干知识的考查保持了较高比例,并达到必要的深度,构成数学试题的主体. 如：
例1 （文9）设定义在上的函数是最小正周期为 的偶函数, 是
的导函数．当 时, ；当 且 时,
．则函数在 上的零点个数为
A．B．C．D．
本题涉及到函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、函数的零点、导函数和正弦函数等知识, 较好地考查了考生对函数知识的理解、辨析, 对函数关系的领悟与分析推理能力．考生若能依据题中所给条件在同一坐标系中画出函数 与 在 上的草图,则易知与 的图象只在 上有两个交点,而在 上没有交点,即 在 上有两个零点，因而函数 在 上有 个零点．
例2 （理15）函数的导函数 的部分图象如下图所示,其中, 为图象与轴的交点,为图象与轴的两个交点,为图象的最低点．
（1）若, 点 的坐标为 ,则 ；
（2）若在曲线段与 轴所围成的区域内随机取一点, 则该点在 内的概率
为．
本题以正弦型函数为载体, 给出了它的导函数的部分图象,较好地考查了三角函数的图象与性质、几何概型、导数、定积分应用等基础知识和利用数形结合、化归与转化的思想分析问题解决问题的能力, 突出了对图象的把握和对运算的领悟．合理利用图象特点和函数性质是解决问题的关键．
正弦型函数是函数学习的重点内容,微积分基本定理是微积分的核心,这样的考题,能引导数学教学高度重视对函数、运算、图形等数学基础知识的理解, 从而关注数学的本质．
例3 （理21）在直角坐标系中, 曲线 上的点均在圆 外, 且对 上任意一点 , 到直线的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 为圆 外一点, 过 作圆 的两条切线, 分别与曲线 相交于点 , 和, ．证明：当在直线 上运动时, 四点 , , , 的纵坐标之积为定值．
本题以直线和圆、抛物线的位置关系为载体, 着重考查了抛物线的定义、直线和圆相切等知识, 方程的思想和化归与转化的思想以及推理论证、运算求解能力．试题因所设切线方程不同, 消元不同, 导致运算的繁简性有差异．
【复习备考启示】在数学复习备考中, 首先应高度重视对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握．高考中, 基础知识方面不扎实正是考生失分的关键, 不少考生数学概念不清, 公式、定理记忆有误, 方法掌握不牢, 解题一开始便出错；还有不少考生由于运算求解、推理论证等基本技能没过关导致解题不能进一步深入．如解答例2的第（1）问时, 部分考生看不懂题中图象, 弄不清正弦型复合函数的导函数, 记不准特殊角的三角函数值, 导致求 出错, 解答第（2）问时, 不知将所求概率转化为面积之比, 还有不少考生求出概率大于 ；解答文科卷第题时, 考生运用等比数列前和公式出错,如 ；解答例3时, 出现由化简得 的错误, 导致后续作答既费时又无效．
其次, 应把握住知识脉络和主线, 建立好知识网络, 建构起良好的数学认知结构, 从学科的整体意义上研究试题．
最后, 应加强对《考试说明》的理解和把握．考生应熟悉《考试说明》中对数学知识的考查要求, 以减少复习的盲目性, 提高复习的针对性和效率．高考复习时, 许多教师和考生关注的是试卷的布局, 尤其是六道解答题的布列规律, 使复习备考出现了模式化倾向, 当试卷面貌发生一些变化时, 特别是考查的主干知识交汇的角度比较新颖时, 考生普遍感到“想不到”．如理19（下文例4）, 以数列的基础知识为载体, 并有机结合逻辑知识进行考查, 取代了以往常规的三角题, 考生对此很不适应, 尤其是第（Ⅱ）问, 涉及到“充要条件”的证明, 以上的考生选择了放弃, 以上的考生只进行了单向证明．其实在年的《考试说明》“数列”部分就明确提出：“数列是考查数学思维能力和数学思想方法的好素材”,“常用逻辑用语”部分重点提出：“高考中, 结合其他数学知识, 重点考查命题的必要条件, 充分条件与充要条件, 要求考生会对所给命题进行等价转化．” 可见, 教师、考生认真学习和深刻理解《考试说明》很有必要．
2．原创求新，着眼思维，突出考查数学能力
数学学习虽须记住较多的知识,但记住知识的目的在于运用,在于将它作为思维的载体．高考并不突出考查数学记忆, 而是考数学思维,这种数学思维能力正是考生进入社会或高校进一步学习所需要的．考生面对新情境、新问题, 只有充分调动已有的知识去灵活解决问题才能显示其数学思维能力．在具体能力考查方面，今年的试卷明显加大了推理论证能力的考查力度．如：
例4 （理19）已知数列 的各项均为正数, 记,
, , ．
（Ⅰ）若 , 且对任意 , 三个数 组成等差数列, 求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ,
三个数 组成公比为 的等比数列．
本题的知识载体是等差、等比数列的概念和通项公式, 充分必要条件等基础知识．一般来说, 考生并不缺少这些知识, 但通过正项数列 的部分项之和构造出的新数列 , 却很有新意, 并且新数列是等差还是等比数列与 是等差还是等比数列互为充要条件．第（Ⅰ）问设计成求通项公式, 简单明了, 第（Ⅱ）问设计成证充要条件, 提升了对数学推理论证能力的考查要求, 两问难易层次分明, 较好地区分了考生的思维水平．
尽管每年高考数学试卷考查的主干内容是基本一致的, 但在同一内容的考查上, 今年的部分试题呈现了新的面貌．如：
例5 （理18）如图, 在四棱锥中, 平面, , ,
, , 是的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角和 与平面所成的角相等, 求四棱锥
的体积．
本题的设问形式是常规的“一证一求”形式, 考查的是立体几何中线线垂直、线面垂直、线面角、锥体体积等主干内容, 但创设的“两个线面角相等”的情境, 以新面目示人, 较好地考查了空间想象能力以及处理图形中各元素关系的思维能力．
【复习备考启示】面对以能力立意的高考试题, 考生的数学思维水平决定了得分的高低．如证明例4第（Ⅱ）问的充分性时, 多数考生不会合理变换与转化, 中间步骤混乱, 随意拼凑结论, 即使推得 后,也不会运用特殊与一般的数学思想说明关键点：“由有 , 即 ”, 表现为思维紊乱和思维不灵活；解答例5的第（Ⅰ）问时, 本应利用勾股定理求得 , 说明 是等腰三角形, 再利用等腰三角形性质说明 , 但部分考生却由 是 的中点直接推得 , 表现为思维不深刻；解答文科卷第22题时, 相当多的考生选择“以图代证”不等式“ ”, 通过作两个函数 ,的图象来直观断言, 不仅不严密,而且无根据排除 与 的情形, 表现为思维不严谨．所以, 数学教学中, 应注重学生数学思维的深刻性、灵活性、严谨性的训练．
3．重视阅读，注重理解，强调解题策略
阅读理解能力是学习能力的重要方面．今年的试卷注重了对阅读理解能力的考查, 包括对文字语言、图形语言、符号语言、图表语言等数学语言的理解及其相互转化．如：
例6 （理16）设, 将 个数 依次放入编号为
的 个位置, 得到排列 ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出, 并按原顺序依次放入对应的前和后 个位置, 得到排列 ,将此操作称为 变换．将 分成两段, 每段 个数, 并对每段作 变换, 得到 ；当时, 将 分成 段, 每段 个数, 并对每段作 变换, 得到 ．例如, 当 时, , 此时 位于 中的第 个位置．
（1）当时, 位于中的第个位置；
（2）当时, 位于中的第个位置．
解答本题时,需要考生通过阅读,理解新概念“C变换”及, , , …之间的关系,才能有效解题．
在解题时,也要求考生在理解题意的基础上, 依据题设条件,选择合适的解题策略,设计解题途径．如：
例7 （文10）在极坐标系中, 曲线 与曲线 的一个交点在极轴上,则 =．
解答此题可以有两个途径,一是采用转化策略,将极坐标方程化成一般方程,然后画图求出 的值, 这种方法计算复杂,费时较多,容易出错；而较好的策略是直接求解, 因为 与 有交点, 可将 的方程代入的方程, 又因 与 的交点在极轴上, 所以 , 于是可看出 ．
例8 （理10）不等式的解集为．
解答此题有较多途径,如果考生领会了绝对值的本质是表示距离, 可采用数形结合的策略．将不等式变形为, 此不等式表示数轴上点 到点 的距离比到点1的距离大, 而到两点 ,1等距离的点是, 所以 为不等式的解．
总之, 策略的选择源于对题意的理解．解题时, 理解到位,策略正确,准确性高,费时少；反之,费时又易出错, 还影响后续题的解答．特别是今年高考的六道解答题，都可以一题多解, 对考查考生选择策略的能力都有不同程度的要求．
【复习备考启示】高考试卷注意考查数学学习能力, 而阅读理解不到位已成为考生的解题障碍之一, 绝大多数考生害怕题干较长、情境较新的试题, 不愿在理解题意上多花时间．如例6第一空, 绝对难度不大,考生只要理解新定义便可获解,但许多考生选择了放弃；解答理科卷第题时, 有 %的考生因不明题意列不出生产任务、生产时间和人数的简单关系式而得分；解答文科卷第 题时, 考生只要读懂题意便可求出 及 与 的关系, 但有 %的考生得分．所以数学教学时,教师要重视创设机会并让学生亲身经历阅读理解、观察分析、概括整理、探究发现等基本学习过程, 使学生养成良好的学习习惯,从而逐步提升其学习水平层次．但往往在日常教学中, 为了节约时间,教师的讲解代替了本该由学生完成的阅读与分析；为了多讲几道题, 教师省略了运算过程；为了使学生多做几道练习题, 教师忽略了解题方向和策略的研究, 忽视了解题后的反思环节．这些看似高效的教学措施, 却实实在在地剥夺了学生亲历学习过程的机会, 使学生的学习比较被动,不深入, 学生只能寄希望于教师的题型训练和猜题．
4．贴近生活，强调应用，注重考查解决实际问题的能力
学会用数学知识解决现实生活中的实际问题, 发展学生的数学应用意识是新课标的基本理念之一．今年的试卷保持了注重考查应用意识的传统, 六道解答题中设置了两道紧密联系生活实际的应用题．如：
例9 （理20）某企业接到生产台某产品的 , , 三种部件的订单, 每台产品需要这三种部件的数量分别为 （单位：件）．已知每个工人每天可生产部件 件, 或 部件 件, 或 部件 件．该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件, 生产 部件的人数与生产 部件的人数成正比, 比例系数为 （ 为正整数）．
（Ⅰ）设生产部件的人数为, 分别写出完成 , , 三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数 的值, 使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案．
本题考查了函数的基础知识, 分类整合、化归与转化的数学思想以及应用意识．第（Ⅰ）问只需考生清楚地理解题意便可求解；第（Ⅱ）问本质上是比较生产三种部件所需时间的问题．解答时, 为了将三个函数值的大小比较问题转化为两个函数值的大小比较问题,需要根据的取值情况进行分类讨论．
本题的背景贴近生活, 所用的知识、方法也为考生熟悉．考生能否得到高分, 取决于他们数学的思维品质、表达能力以及运用数学知识分析、解决问题的能力．
【复习备考启示】日常教学中, 教师需注重对学生有效理解题意的训练, 即使耽误时间也要培养学生静心阅读、细心理解的习惯；其次, 要有针对性的培养学生依据现实生活背景, 提炼相关数量关系, 建立数学模型的能力；最后, 要归纳几类典型模型的求解策略．
5．注重整体，讲究结构，试卷难度适当坡度好
2012年《考试说明》中指出：文科、理科整卷难度分别控制在0.45～0.5, 0.5～0.55比较合适, 这种难度水平的试卷具有较为理想的选拔功能．今年试卷的相对难度虽比 , 年有所上升, 但其整卷难度值位于上述难度区间内（今年文科、理科整卷难度分别为
0.456, 0.524）．
今年的试卷注意了整体设计, 讲究结构效应．布局上在保持前两年由易到难、层次分明的特点的基础上, 每种题型增加了中档难度题, 使得难度坡度更好, 区分功能更强．这种试卷的设计, 一方面有利于考生稳定情绪, 较快地进入到状态, 且使不同水平的考生都能轻易入手, 体现了以人为本的课程理念；另一方面, 有利于区分不同水平的考生, 从而较好地为高校选拔人才．如：
例10 （见例5）
从考后统计数据分析, 本题有℅的考生得分在 分以下, ℅的考生得分位于～ 分, ℅的考生得分位于 ～ 分．这说明, 大部分考生都能得到一定的基本分, 且有较多考生能得较高分数, 从而有利于稳定考生情绪, 增强其解决后续较难题的信心．
例11 （理22）已知函数, 其中 ．
（Ⅰ）若对一切 , 恒成立, 求 的取值集合；
（Ⅱ）在函数的图象上取定两点 , , 记
直线 的斜率为 ．问：是否存在, 使 成立？若存在, 求 的取值范围；若不存在, 请说明理由．
本题为湖南卷最后一题, 从考后统计数据分析, 总分在0~30分的考生中, 所有考生得分在分以下, 其中有94.8℅的考生得分；总分在91~120分的考生中, 有5.4℅的考生得分, 有78.9℅的考生得1～3分, 15.7℅的考生得～ 分．这表明, 考生解决把关题时, 数学能力较弱者较难得分, 数学能力较强者能得一定的分数, 并且不同思维层级的考生可以深入到不同层次, 获取不同分数．
【复习备考启示】高考试卷中基础性试题的分值大约占总分的50℅, 所有考生只要依据《考试说明》, 夯实基础, 便能得到一定的基本分．所以, 日常教学中, 那种绝大多数考生陪少数几个考生攻难题学数学的做法, 得不偿失；那种用名校考优秀学生的试卷标准来要求普通学校学生的做法, 也非明智之举．
由于学生学习数学的能力及目标各不一样, 所以对数学学习的要求有差异．数学教学中,
根据不同层级学生的数学能力现状, 应有意识地设计一定数量的较难题, 以激发学生学习兴趣, 培养其思维能力；随着复习的深入, 对解题训练的难度可以逐步加大, 但必须控制在学生可接受的能力范围内, 只有那种“跳一跳，摘得到”的难度, 才是最适合学生的发展和提升的．
（执笔：昌国良，湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，中学数学教育方向专业负责人、学科带头人、硕士研究生导师，全国数学教育研究会常务理事，曾28次参与高考数学评卷工作。）
