爱华网对数是数学史上一个重要的发明，有着划时代的意义，对数函数在信息学竞赛中也同样有着非常重要的应用，很多时候，合理使用对数函数会简化我们的程序，降低时间复杂度和编程复杂度。
注：为了使描述方便，以下均用log(a)N的形式表示一个普通对数（非常用对数和自然对数），其中a为底数，N为真数；用logn表示log(2)n。
例1：求一个十进制数的位数。
解析：我们以这道很简单的题目作为一个小小的引子。这一题当然有很朴素的O(lgn)的算法，应当说这已经很好了，但是我们应该考虑一下，是否有更简单的方法。注意看朴素算法的时间复杂度，lgn，我们知道朴素算法的实现是不停的div10，分离出它的每一位，所以我们是否可以猜想n的位数是lgn。结论是显然的，所以这一题的答案就是Trunc(lgn+1)，因为pascal中没有常用对数，只有自然对数，利用换底公式我们得到Trunc(ln(n)/ln(10))+1。
对数的应用远远不止于此，利用对数，我们可以将乘除运算化为加减运算，将幂运算化为乘除运算，从而提高我们程序的效率。下面我们再看一个例子。
例2：求a^b。
解析：这样的题目我们有O(n)的朴素算法，也有O(logn)的快速幂算法，但是由上一题的启示我们是否可以利用对数在O(1)的时间内算出a^b。2^k显然是可以的，因为有shl和shr的位运算(2^k=shl(1,k))。那么一般的呢？答案是仍然可以在O(1)的时间内算出。我们知道a^(log(a)N)=N，所以a^(log(a)(N^M))=N^M，由对数的性质我们可以知道a^(M*log(a)N)=a^(log(a)(N^M))=N^M（注意，幂运算已经化为乘法运算了），换句话说，e^(b*ln(a))=a^b，而pascal中是提供e的指数函数（exp）和对数函数（ln）的，于是我们得到：
a^b=Trunc(exp(ln(a)*b))
需要注意的事，由对数定义可知，这里a不能为0。
应用：麦森数（Noip2003普及组复赛第4题）
【问题描述】形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
【输入格式】
文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
【输出格式】
第一行：十进制高精度数2P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2P-1与P是否为素数。
【输入样例】
1279
【输出样例】
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
解析：
我们撇开高精度运算，这不是本文的重点，在这里，我们关注的是第一问，也就是十进制高精度数2P-1的位数，这一问是可以在高精度运算结束后统计出的，但是例1与例2可以帮助我们在做高精度之前算出这个值的。
首先我们要明确一点，不可能先算出2P-1，再求它的位数，所以需要对例1例2的公式加以组合变形。又因为2P不可能为10的整数次幂，也就是说2P-1和2P位数必然相等，于是问题转化为求2P的位数。
将2和p代入例2的公式则有2P=trunc(exp(ln(2)*p))，将右边整体代入到例1的公式中，则有2P的位数=
Trunc(ln(2)*p/ln(10))+1
至此问题圆满解决。
笔者以上列出的只是对数函数在信息学竞赛中几点小小的应用，但是我们可以由此看到，合理使用对数函数对我们的程序是有很大帮助的，随着我们不断探索，对数函数的应用也会越来越广泛。
