爱华网太初改历与《历术甲子篇》
引言
历法是中国古代天文学中最重要的一项。中国古代历法不仅记载年月和判别节气，还包含了丰富的天文学内容。比如推算日月食，五星运动等。历法是古代天文学知识的体现，并且由于是皇家之学，历来由天子颁布，因此被赋予了政治意义，成为一种皇权的象征。每当改朝换代之时，定要商议改历事宜。而改开新历也往往是古代帝王们为自己的统治寻求一种政治合法性的手段。
1.西汉早期的改历之议
西汉初年汉高祖刘邦建立西汉帝国，建国伊始便召集群臣商讨历法的颁行问题。高祖麾下擅长历算的张苍是当时历法问题的权威。他对古六历（注：黄帝历、颛顼历、夏历、殷历、周历以及鲁历合成古六历。这六家历法皆是以365又1/4为回归年长度的四分历，但在月首和历元起算点上有所不同）经过比较研究后主张采用秦所用的颛顼历。张苍的理由一是颛顼历相比其他五历更为准确“用颛顼历，比于六历，疏阔中最为微近”，完全从实用角度出发。二是根据当时流行的五德始终论，秦属水德，而刘邦也自认为自己得了水德的祥瑞，故“袭秦之正朔服色”便不必说了。不过，刘邦又出新说，想起自己斩白蛇起义，杀白蛇者赤弟子也，那么汉就应该是火德。但这样就明显不合五德始终论。为了处理这种情况，张苍想出了一个“色外黑内赤”的说法，总算让高祖满意。
汉初颁行颛顼历，虽然有五德始终论的因素在内，但张苍用历法精密程度来定夺一部历法也是很重要的思想。
到了汉文帝前元十四年，鲁人公公孙臣再兴改历之议。但他的理由则纯粹是以五德始终论出发的。他认为既然秦是水德，汉 灭秦，土克水，那汉应该是土德才对。而且还预言会有黄龙出现，带来祥瑞。此时张苍仍在位，对黄龙的预言不以为然。结果次年真有黄龙出现于成纪地区，张苍也只得不再坚持。当时还有个方士新垣平，经常在汉文帝面前装神弄鬼，居然很得文帝宠信，也说应当改历改服色。于是汉文帝便同意了。不过，没过多久新垣平便被张苍等人暗地里监视抓到他欺君作乱的罪证，最终被诛杀三族，改历之事也就不了了之。至于前面黄龙出现一事，多半是公孙臣，新垣平等人利用一些自然现象进行附会以达到所谓精准预言的目的。
改历之事就此搁浅。这期间汉朝历法一直沿用秦颛顼历，除了文帝时期对置闰规则的一些改变外，基本没有变化。又过了五十余年，直到汉武帝元封年间才又兴起改历之议。这次改历也就是历史上著名的太初改历。
2.太初改历与“不能为算”
颛顼历颁行一百多年后，已经积累了比较明显的误差。“朔晦月见，弦望满亏多非是。”于是太史令司马迁等人便上书：“历纪废坏，宜改正朔”，改历刻不容缓。历法不准确自然是这次改历的最重要原因，再加上前文所说，古代帝王常常利用改历来证明或加强自己的政治合法性，于是又有御史大夫儿宽向武帝进言道：“帝王必改正朔，易服色，所以明受命于天也。”也就是说，通过改历来宣扬“天赋君权”。而且巧合的是，按照汉颛顼历推算，元封七年的十一月甲子日的夜半正好是冬至日也是日月合朔，这在古代被认为是理想的历元，故借此机会改历再好不过。于是汉武帝便同意了改历之事，并且亲自下诏定元封七年为太初元年，年名焉逢摄提格，月名毕聚。
改历的第一步就是造仪器，做测算。当时参与最初改历的有太史令司马迁，大中大夫公孙卿，壶遂，大典星谢姓等人。这些人利用日晷，漏壶等仪器重新测定了二十八宿距星的距度。不过改历似乎很快便遇到挫折。工作一段时间后，有一些人上了奏折，竟说“不能为算”，并建议继续招募历法人才，以便筛选最好的历法以造汉太初历。
“不能为算”确实是件很奇怪的事情。无论司马迁还是大典星谢姓等人都是当时的天文工作者，并非外行平庸之辈，一定是遇到一些特别难解的困难让这个改历团队产生分歧。
根据现代学者的研究推测，困难之一很可能是在改历活动中，进行大规模观测时发现了一些传统观念上无法接受的现象。比如古代一直认为冬至点的位置是在牵牛初度，这个位置是不变的。可实际上由于岁差的存在，冬至点每年都要有微小的西移变动，到了汉武帝年代冬至点已经移到斗宿去了。可当时的人们并不知道岁差这个概念，在古代中国这是直到东晋才由虞喜发现并测量的。因此，汉武帝时期的人们一时无法接受冬至点会改变这个事实是很有可能的。
另外一个可能的困难则在于新历的历元名——焉逢摄提格。按照这个历元名应该是在甲寅年，可按照当时的纪年法，那一年应该是丙子年（年名游兆困敦），两者相差三十八年，造成纪年不连续。可这个历元名是汉武帝亲自下诏颁布的，这些天文历算家们要求皇帝改回和以往连续的丙子年显然不太可能，于是这就成了一个两难的问题。
其实当初推算的元封七年的十一月甲子日夜半冬至日月合朔就很有可能是不对的。本身颛顼历就已经有了很大的误差，用旧历推算的结果自然靠不住。[1]根据现代研究可知，元封七年十一月冬至是公元前105年12月23日下午8时；合朔发生在公元前105年12月24日9时8分。甲子日是12月25日2]也就是说，这个历元的冬至日与合朔日根本不在一起，而是差了半天。
因此，综合上述几个困难：冬至点不在牵牛初度，历元名造成纪年不连续，历元并非冬至夜半日月合朔。这些造成当时的改历团队觉得无法继续下去是很有可能的。
汉武帝同意另募新人，召集了民间著名天文学家方士唐都、巴落下闳、邓平等二十余人进行测算造历。当时共收集了十八家历法，由宦官谆于陵渠主持验历，根据推算晦、朔、弦、望的状况认为邓平的“八十一分历”最为准确。再加上邓平的历法在历元选取上还包含了“日月合璧，五星连珠”的特点，故最终决定采用邓平的历法，并命名为太初历，邓平本人也由民间天文学家被提拔成为太史丞。
至于其他十七家历法则全部被淘汰，这其中就包括太史公司马迁所献上的历法。
太史公司马迁显然对这个结果不忿，再加上他虽主张改历，但基本算法上他仍然支持使用四分历。而邓平、落下闳所提出的“八十一分法”与四分历有较大区别。司马迁在自己的著作《史记·历书》篇中附上一部名为《历术甲子篇》的四分历法，代表了他自己的历法理论。这也使得这部历法得以保存完整，成为研究古代四分历法的重要文献。反倒是太初历未能完整保存，只能在东汉刘歆所著《三统历》中窥得概貌。而根据司马迁的记载，可以得到《甲子篇》的完整算法体系。
3.《历术甲子篇》的算法结构
《历术甲子篇》给出了每年年首的一组数据，一共76年。
如第一年太初元年：正北十二无大余，无小余；无大余，无小余；焉逢摄提格太初元年
再如第二十年则是：正西十二大余39，小余705；大余39，小余二十四；尚章作噩二年
这是什么意思呢？
首先每个年首数据包含的信息有：该年是平年十二个月还是闰年十三个月，每年年首的朔日干支（前大余），日月合朔的时刻（前小余），每年冬至日的干支（后大余），冬至日的时刻（后小余）。
前后两个大余不难理解。中国一直采用60年一循环的干支纪日法，从甲子开始至癸亥结束。如果把甲子日编号为0，乙丑日是1，一直到癸亥日是59，每个数字都相当于一个干支日的代码。前后大余正是给出了年首和冬至的干支日代码，从而能够得知那一年年首和冬至的干支日。
关于前后两个小余，不仅表示时刻，更是指代方位。古人以十二地支配四方，子属正北，卯属正东，午属正南，酉属正西。《历术甲子篇》中在第1、20、39、58年都注有北西南东四个方位。考察这四年的前后小余分别是：前小余0、705、470、235；后小余：0、24、16、8。这几个数字分别指代北西南东四个方位。
所以太初元年的数据就是说：太初元年是十二个月的平年，这一年年首干支日是甲子日，冬至干支日也是甲子日夜半，同时太阳和月亮也于甲子日夜半时分在正北方向合朔。年名焉逢摄提格。
再如第二十年：该年为十二个月的平年，这一年年首是辛丑日，冬至日也在辛丑日，太阳月亮于酉时在正西合朔。年名尚章作噩二年。
那么这些数据是如何得到的呢？
首先历术甲子篇有两个基础数据作为算法基础：一个是回归年长度365又1/4，一个是十九年七闰的置闰规则。这两个基础数据都是长期观测和调整得来的。
回归年日数的分母是4，闰周是19，它们的最小公倍数是76年。（古代也称76为一蔀）76年中含有闰月28个，平常月份912个，共940个月。又根据一蔀76×365又1/4=27759日。那么就可得出一个朔望月的平均长度为27759/940=29又499／940。
再根据朔望月平均长度算得一个12个月的平年有12×29又499／940=354又348/940日。
一个13个月的闰年有13×29又499／940=383又847／940日。
有了平年闰年的平均年长这两个数据，接下来就是根据周期规律取余数。根据干支纪日60年一循环，以及平年年长每940年才得一个整数的规则。取60与940的余数得到两个辅助条件。
辅助条件一：平年前后大小余。一个平年年的余数为354/60=54，得到前大余的余数。而分数部分则余348，得到前小余。后大小余是回归年常数作为基本数据，将回归年长写成365又8／32日，取60与32的余数得到后大余5，后小余8。
辅助条件二：闰年前后大小余。闰年的计算方法同理。383又847／940日．取60与940的余数得到前大余23前小余847。而回归年是一个常数，故后大余5，后小余8。
有了这两个辅助条件，以后依次各年都可用“余数相加超出部分减周期再进位”的方式推算出每年的前后大小余。即，前小余满940即进位到前大余，后小余满32即进位到后大余。上一年与辅助条件的两个大余相加如果结果大于60则要减去一个60的周期来得到正确的干支数。
下面以实际推算来说明：
第一年太初元年是平年12个月，余数是刚才算出的54——348，5——8。又因为这年是甲子夜半合朔冬至，前后大小余都是零。因此第二年的数据可通过第一年的前后大小余数+辅助条件一得到：0+54=54，0+348=348，0+5=5，0+8=8。54——348，5——8。即第二年的前后大小余数。
第三年则用第二年数据+辅助条件一：54+54=108，348+348=696，5+5=10，8+8=16。由于干支日超过60，因此需要用108-60=48得到正确的干支日数。这样得到第三年数据就是48——696，10——16。注意的是，第三年是闰年，所以接下来求第四年数据就需要用到辅助条件二。
第四年是第三年数据+辅助条件二：48+23=71，696+847=1543，10+5=15，16+8=24。岁首干支日超过60，且前小余超过940，除了各自减去60和940外，前小余还必须进一位给前大余。这样得到71-60+1=12，1543-940=600。故第四年数据便是12——600，15——24。
以上推算结果与《历术甲子篇》给出的完全一致。《历术甲子篇》给出了76年一个周期的数据，但实际上《历术甲子篇》的大小余数字周期不止76年。不难推出，经20×76=1520年方可重复，即每隔1520年发生一次甲子夜半合朔冬至．同时，60年周期的年名，经76年也不再重复(周期为15×76=1140年)．同时考虑两者可得，《历术甲子篇》的重复周期为60×76=4560年，即每隔4560年发生一次焉逢摄提格岁，日得甲子，夜半合朔冬至。[3]
通过实际推算可以看出，司马迁的《历术甲子篇》是一种相当简洁的四分历算法。基本思路就是通过数字周期取余数来定出各年月数，年首，冬至日的干支数等基本信息。这种算法刘次沅老师称为“不可约数的进位整除法”。
4.太初改历之后
太初历与上述《历术甲子篇》的算法有所不同，它并不是以回归年长为基本数据的四分历，它的基本数据是设定每月长度为29又43/81，所谓“八十一分历”。通过月长来得到回归年长度为365又385/1539，换算成小数不难看出，这两个数据实际上都不如司马迁的《历术甲子篇》精确。
事实上，邓平所用的朔望月长度分母81是来自于汉代一种叫做黄钟自乘的数字神秘主义。也就是将一些数字人为附会上一些神秘的含义，这样一来便使得自己的历法有一种天意使然的意味。但由于这个数据不是来自于天文实测，这样一来必然会使得一些天文数据的精确性大打折扣，以至于还不如四分历准确。
再加上邓平、落下闳等人在造历时一样遇到了先前历法团队所遇到的那些“不能为算”的困难，必然要想办法去解决。邓平创“借半日法”多半便是为了解决历元的冬至日与合朔日差半天这个问题。
在太初历颁行27年之后，当时的太史令张寿发起对太初历的批评，还认为当时发生的水灾就是改历的过错，主张用黄帝调历来代替太初历。张寿的提议遭到了朝中很多人的反对，但实际上当时不仅张寿一人提出改历方案，另有十家提出了各自历法。可见自从太初改历起，西汉对于历法的研究依然热情高涨。于是汉昭帝便命鲜于妄人等校验各家历法，经过三年的实测发现还是太初历比较准确，于是继续施用。
最后，尽管太初历本身存在一些问题，以至于颁行之后还引争议。但从整个太初改历的过程来看，确立了将是否符合天象作为验历的基本原则，这就保证了历法的科学性。并且在测算观测过程中，对于天文仪器的发展也起到促进作用（如落下闳很可能便是在这次改历用使用了浑仪），诞生了重要的理论，这些对于后世天文学的影响意义深远更甚太初历本身。
注1：根据张培瑜编著《中国天文学史大系--中国古代历法》一书第四章所写，元封七年的历元最初是按照颛顼历推算出来的，并不是实测。
注2：张培瑜编著《中国天文学史大系--中国古代历法》中国科学技术出版社2008.3.1
注3：刘次沅〈史记－历术甲子篇〉探讨天文学报1996.03.30
参考文献：
中国天文学史整理研究小组编《中国天文学史》科学出版社1981.05
陈美东《中国科学技术史天文学卷》科学出版社2003
张培瑜《中国天文学史大系--中国古代历法》中国科学技术出版社2008.3.1
刘次沅〈史记－历术甲子篇〉探讨天文学报1996.03.30
刘次沅史记<历术甲子篇>历谱及其与<<FONTface=宋体>太初历>的比较陕西天文台台刊1997.06.15
