初高中衔接教材 初高中衔接教材英答案

主编：xxx

前言

高中新课程改革已在我省实施了3年，经过新课程的教学，我们都有一个这样的感觉：这届学生比任何历届学生都要“笨”，都要来的“随意”，都要来的“会说”，课堂气氛很活跃，运算动不动就按计算器，心算，口算，笔算的能力相当差，这是初中新课标实施的结果．

《课标》下学生与历届学生在教师心目中的几点对比

目前，“九年制义务教育”新课改教材，其教学内容作了较大程度的压缩和删减，教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，学生掌握比较方便．虽然“九年制义务教育”课程标准倡导“不同的学生在学习上得到不同的发展”，但是家长的愿望、升学的压力，学校之间、班级之间的竞争，驱使初中数学教学普遍执行的是课程标准的基本要求，即“课程标准中明确规定的要求”，有的甚至在执行中考必考的要求．我们看到了初中新课程带来的普及性教育成果，也看到了中考“指挥棒”选拔出来的数学成绩，每个学生几乎都是三位数，校校之间、班班之间平均分差距也不大，初中数学教学谈化了为学生的升学而应做的准备．初中教学中的“讨论式”教学法，“自学式”教学法等多种体现学生自主学习、自我探索的方法的开展，导致课堂教学密度小，规范性差．

进入高中以后，“高中课程标准实验教材”内容多，课时少，例题和练习简单，习题、复习参考题，特别是B组题难度大，所谓的“新课标”辅导用书泛滥，题目偏、怪、难，直接导致了学生学习困难，学习兴趣下降，上课不专心听讲，作业不认真做，长时间不解决问题，学生成绩下滑，教师将无法继续开展有效的教学．

为了解决这些矛盾，使你顺利完成高中数学的学习，结合我们实施新课程三年的经验，我们编写了初高中衔接知识，为你学好高中数学做好过渡。

附：目前初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6.图象的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图象的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，象配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

西安高级中学高一数学备课组

目录

第一篇初高中数学的变化…………………………………………………1

第二篇数学中的思想与方法 …………………………………………………7

第三篇初高中衔接知识 ……………………………………………………15

第1讲代数式及恒等变形……………………………………………………15

第2讲函数与方程……………………………………………………22

第3讲 简单的不等式解法……………………………………………………33

第4讲平面几何的补充内容……………………………………………………37

第一篇初高中数学的变化

数学是“思维的体操，智慧的火花”，数学使人聪明，严谨。数学是“一切科学之母”，它无处不在。在高考中占150分，而且数学成绩决定你的历次考试排名。要想考上理想的大学，数学成绩起着关键的作用，高中阶段必须学好数学。

高一是数学学习的一个关键时期。许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者，进高中后数学成绩却不理想，数学学习缕受挫折，造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点，学不得法，从而造成成绩滑坡。

一、关于初高中数学成绩分化原因的分析

1．环境与心理的变化

对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、异面直线等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。以上这些因素都严重影响高一新生的学习质量。

2．教材的变化

　　首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。

　　其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。

3．课时的变化

　　在初中，由于内容少，题型简单， 课时较充足。因此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大和新工时制实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类型题也不可能讲全讲细和巩固强化。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。

4．学法的变化

　　在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。然而，刚入学的高一新生，往往继续沿用初中学法，致使学习困难较多，完成当天作业都很困难，更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。

二、高中数学与初中数学特点的变化
1、数学语言在抽象程度上突变
初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。
2、思维方法向理性层次跃迁
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
3、知识内容的整体数量剧增
高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。
4、知识的独立性大
初中知识的系统性是较严谨的，给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了，它是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合，命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。
三、如何学好高中数学

1、养成良好的学习数学习惯。
建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法
学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元法、待定系数法、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。
解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。

3、逐步形成“以我为主”的学习模式
数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。
4、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施

（1）记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
（2）建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

（3）熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

（4）经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
（5）阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

（6）及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

（7）学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

（8）经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

（9）无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

四、名人对数学的感悟

每个人心中的数学都是不一样的，因为每个人数学学习和数学研究的经历不一样。让我们一起聆听数学家、科学家、哲学家们对数学的感悟吧,或许能够指引我们高中数学的学习方向。

1．数学是科学之王。——高斯

2．数学是符号加逻辑。——罗素

3．数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。——恩格斯

4．数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。——克莱因

5．概念的思考是数学的特色。严密性对于数学的净化起着决定性的作用。——波士顿

6．在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。——康托尔

7．别把数学想象为硬梆梆的、胡搅蛮缠的、令人讨厌的、有悖于常识的东西，它只不过是赋予常识以灵性的东西。——开尔文

8．数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏地极深。——高斯

9．宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚

10．一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思

11．在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯

12．历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。——弗兰西斯·培根

13．数学知识有三个不同于其它知识的主要特征：其一是数学知识比其它知识更清晰地使其结果具有真理性；其二是数学知识乃是获得其它正确知识地必经的第一步；其三是数学知识的获得并不依赖于其它知识。——舒伯特

14．数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。

——爱因斯坦

15．真正的数学家，其本质是一个热情洋溢的人，没有热情就没有数学。一个不擅于计算的人，有可能成为一个第一流的数学家，而一个没有丝毫数学观念的人，充其量只能成为一个大计算家。——哈登伯格

16．一个国家只有数学蓬勃地发展，才能展现它国力的强大。数学的发展与完善和国家的繁荣昌盛密切相关。——拿破仑

第二篇数学中的思想与方法

一、配方法

1、知识要点：

2、典型例题解析：

【例1】求函数 的最大值与最小值．

练习1：求函数的最小值．

【例2】已知 ，求 的值．

练习2：已知，则 =_______________．

练习3：已知实数满足 ，求 的值．

【例3】已知实数 满足 ，求证： ．

二、换元法

1、知识要点：

2、典型例题解析：

【例4】求值 ．

【例5】解方程组

练习4：解方程组

【例6】若 ，求函数 的最小值．

练习5：分解因式：

三、反证法

1、知识要点：

2、典型例题解析：

【例7】求证：直径是圆中最长的弦．

【例8】证明 是无理数．

练习6：求证：的三个内角中，至少有一个内角不大于 ．

练习7：30个饺子用5个碗装，只许逢单不逢双，请问应该如何装？

练习8：当时，试证方程 和 中，至少有一个方程有实根．

四、待定系数法

1、知识要点：

2、典型例题解析：

【例9】分解因式：．

练习9：若，求A，B，C的值．

【例10】已知二次函数的对称轴为 ，该函数的最大值为15，二次函数的图象与轴的交点为 ，且 ．求这个二次函数的解析式．

练习10：已知二次函数的对称轴为，且它的最小值为-9，又该二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式．

五、函数与方程的思想

1、知识要点：

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关．而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数，就可以看作关于、的二元方程．可以说，函数的研究离不开方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的．

2、典型例题解析：

【例11】某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）．

练习11 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于()

【例12】不等式对满足的一切实数的取值都成立．求 的取值范围．

【例13】若,求证： ．

【例14】非负实数满足：，求的最小值．

六、数形结合的思想

1、知识要点：

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何．

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一．华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．

2、典型例题解析：

【例15】求函数的最小值．

【例16】就参数 讨论方程 的解的情况．

【例17】用表示 三个数中的最小值．

设 ，求的最大值．

练习12：如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．

七、分类讨论的思想

1、知识要点：

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中学数学中占有重要的位置．

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况．这种分类讨论题型可以称为概念型．

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况．这种分类讨论题型可以称为性质型．

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论．这称为含参型．

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不漏不重”．

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．

2、典型例题解析：

【例18】已知函数，则不等式 的解集是（）

A．B．

C．D．

【例19】解不等式(为常数，)

练习13：（1）非零实数 、 、 ，则 的可能取值是________________．

（2）圆柱侧面展开图是一边长为4和8的矩形，则此圆柱的体积为（）

（A）（B）（C）或 （D）或 或

八、等价转化的思想

1、知识要点：

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”．数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程．

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化．按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力．

2、典型例题解析：

【例20】已知 ，求代数式 的值．

【例21】设 ，解关于 的不等式 ．

练习14：已知都是正数，且 ，求 的值．

九、特殊化思想

【例22】两人做一个游戏，规则如下：有一个半径为0.5m的圆盘，有充分多的一元硬币，两人各拿一枚硬币，轮流放到圆盘面上，最后放到圆盘面上的获胜．请问：是先放的获胜，还是后放的获胜？

练习14：（1）若 是一个完全平方式，则 等于（）

（A） （B） （C） （D）

（2）不论 ， 为何实数， 的值（）

（A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

（3） 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状．

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