爱华网第一个无理数
上一次讲到了“万物皆数”理论的破灭，也就是第一次数学危机，讲到了毕达格拉斯，今天我就继续具体的说一说。先从“第一个无理数”开始说吧。
毕达格拉斯在欧洲是第一个发现了勾股定理并给出了证明的人。据说，他在观察地板上的方形图案时，发现以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积，恰好是以这个直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积之和，于是受到启发，进一步找出了一般证明。
根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根2。毕达格拉斯的门徒希帕苏斯发现，根2 既不是自然数，也不是分数。因为，如果有两个自然数m和n使根2 =n/m(n/m最简)(1.1), 则两端平方后可得2m2 = n2 (1.2)。由于2m2 是偶数，所以n必为偶数.又因为n/m 最简,所以m是奇数。于是（1.2）左端不能被4整除，右端可以被4整除，矛盾。
这个事实的发现，是毕达格拉斯学派的一大成就。因为它不能从经验与观察得出，只能靠抽象的思考证明，它标志着人类的思维有了更高的抽象能力。
关于勾股定理，在中国、巴比伦，有的数学 家比毕达格拉斯知道的早得多。但是东方数学家始终没有发现 不能表示为分数这一矛盾。这也许与东方数学仅着重于解决实际问题，忽视抽象思维有关。这一现象颇有趣。也许数学史与哲学史的研究者能从社会、政治、文化的角度做更好的说明。
然而，这一发现使毕达格拉斯学派大伤脑筋，因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比——分数。万物皆数，就是万物皆可以用自然数或分数来表示，如今发现边长为1的的正方形的对角线竟不能用“数”来表示，岂不证明自己学派的信条不是真理吗？
毕达格拉斯学派千方百计封锁，不让这一发现传出去，甚至把泄露了这一秘密的希帕苏斯抛入大海。但是真理是锁不住的，这个发现最终还是被传播开来。
当时研究数学的希腊学者们，虽然不一定赞同“万物皆数”的观点，却仍然认为在数学当中，算数比几何更基本、更重要。现在知道了有些几何线段不能用数来表示，他们便对数的重要性产生了怀疑，转而把几何看成更基本的数学了。于是，几何学的研究便繁荣昌盛起来。直到非欧几何被发现，几何在数学中的基础地位才又让位于算术。
