Hartshorne代数几何概型部分学习指南

在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中,有这样一段话“对于代数几何来说,毋庸置疑,概型的引入是一种革命,给代数几何带来了巨大的进步。但是,跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱,例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”,同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见,使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏,下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。 约定:本文中的环指含有单位元1的交换环,k表示特征为零的域,必要时就作为基域。
首先,我们遇到的第一个障碍就是层(sheaf),实际上层这个概念并不难理解,但很多书都在预层与层之间做技术性讨论,就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑,自然会让初学者感觉一头雾水。实际上,层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群(或其他良好代数对象)的映射,可以视为拓扑流形上连续函数的公理化,后者不但说明了层这个概念的直观来源,同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的, 代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间(ringed space).所谓环层空间,就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X),其中O_X就是X上的结构层。假若O_X在各个茎上是局部环,那么它就称为局部环层空间。给定一个交换环R,其局部环层空间就是取X=SpecR,其环层由交换环R的素谱Spec R上给定,在各个茎上由环的局部化给出,这样对应的(Spec R,O_SpecR)又称为仿射概型,它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。 X是概型,就是指局部环层空间,即对任何x∈X,存在X的邻域U,使得(U,O_U)同构于仿射概型。概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射f:(X,O_X)→(Y,O_Y)则是包含着两个要求:首先f:X→Y是环同态;其次是环层映射f#:O_Y→f*O_X,它满足对任何x∈X,y=f(x),则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x:(O_(Y,y),M_y)→(O_(X,x),M_x).
下面我们看概型的若干性质,它们大都来自于环的代数或(Krull)拓扑。来自于代数的概念有:概型(X,O_X)是既约的(或整的),若对X的任何开集U,O_X(U)是既约环(或整环);来自于拓扑的概念有:概型(X,O_X)是不可约的,若X是不可约的。我们有概型是整的iff 它是约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为:无零因子 iff 无aa=0型因子且无ab=0型因子。 拓扑空间是Noether的,若它满足闭集的降链条件,它使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型(X,O_X)是Noether的,若它由有限个仿射开集U_i=SpecA_i组成的开覆盖,其中各A_i是Noether环。仿射概型X=Spec R是Noether的 iffR是Noether的,这正好是Noether概型的降链条件与Noether环的升链条件之间的转化。 一般情况下,Noether概型的底拓扑空间是Noether的,但反之不然,非Noether环也可能有Noether的仿射概型。典型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…)的仿射概型只有一点极大理想(x_1,x_2,…),但它却不是Noether环,这里的非Noether性是通过根基引入的。此外,在赋值维数>1的赋值环都不是Noether的,但由于赋值环的谱是全序的,它所对应的仿射概型一定是Noether的。约定:下文中的概型若无特殊声明,均为Noether概型。
拓扑空间X的Krull维数指使得X的不同不可约闭子集链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n的最大的n.概型(X,O_X)的维数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言,它是维数就是对应环的Krull维数。遗憾的是,概型维数的良好性质在一般只在域上的有限整概型中得到保持,超过这个范围就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k的DVR,其极大理想m=(u),那么在概型X=SpecR[t]内就存在开集U=Spec R[t]_(u),使得2=dim X≠dim U=1,这里的维数损失源于交换环的局部化。 从概型的拓扑空间,我们可以得到开子概型与闭子概型的概念。开子概型相对比较简单,就是把概型的拓扑空间与结构层限制在开集上。而概型Y是概型X的闭子概型,要求拓扑空间Y是X的闭子集,同时自然包含映射i:Y→X在X上的层诱导映射i#:O_X→i*O_Y是满的。若f:Y→X诱导出Y与X上闭子概型的同构,则f称为闭浸没。对X=Spec(R),I是R的理想,我们知道Spec(R/I)与包含I的素理想集V(I)一一对应,它可以由商映射R→R/I诱导,同时使得Spec(R/I)是Spec(R)的闭子概型。 比开与闭子概型更一般的结构,就是所谓概型上的概型。给定概型S,那么概型X与态射X→S称为S上的概型。若X→S与Y→S都是S上的概型,那么我们有X与Y在范畴意义下的纤维积X×_(S)Y→S。在仿射的情形下,纤维积对应于环的张量积,即若X=SpecA,Y=Spex B,S=SpecR,则X×_(S)Y=Spec(A⊙_(R)B).概型的态射f:Y→S称为闭的,若f(Y)在S内的闭的。若对任何基态射X→S,对应的纤维积映射X×_(S)Y→S都是闭的,则f称为万有闭的。 显然,万有闭态射一定是闭的,但反之不然,我们有著名的“双曲线反例”,就是说A^1映到一点{x}的态射是闭但不是万有闭的,这是因为投影A^1×_(k)A^1→{x}×A^1≌A^1就不是闭的,其闭集xy=1的像不是闭集。后面我们还会看到,这个例子实际上说明了有限型分离态射可以不是本征态射(propermorphism)。 下面我们看概型之间的态射,很多不同态射都有类似的典型性质,对此我们可以做一个系统的总结。由此出发,我们定义P是概型的好态射,若它满足: 1)闭浸没满足P 2)P在复合下稳定 3)P在基替换下稳定在[2]的习题4.8说明了,好性质P还满足: 4)P在纤维积之下稳定 5)设f:X→Y,g:Y→Z是态射,其中g是分离的,若f·g满足P,则f满足P. 6)若f:X→Y有性质P,则对应约化概型的约化态射f_red:X_red→Y_red也有性质P. 典型的好态射家族包括有限态射、分离态射、本征态射和射影态射,其基本关系可见下图:
首先就是有限态射,概型的态射f:(X,O_X)→(Y,O_Y)称为有限型的,若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖,使得对任何i,f^(-1)(U_i)有有限个X的仿射开子集{SpecB_ij}覆盖,其中B_ij是有限生成的A_i-代数。概型的态射f:(X,O_X)→(Y,O_Y)称为有限的,若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖,使得对任何i,f^(-1)(U_i)=Spec B_i是仿射的,其中各B_i是有限A_i-模。 显然,概型的有限态射一定是有限型态射,但反之未必。设k是域,则自然包含k→k[X_1,…,X_n]诱导的概型态射A^n(k)→Speck对n≥1就是有限型的,但不是有限的。这个例子是非常典型的,它通过“维数平移”来破坏有限性条件,但可以最大限度的保持其他性质,同时它还说明了一般由多项式的零点定义出来的概型都是有限型的,有的书(比如[3])上干脆就把有限性的概型称为代数概型。要找非有限型的例子,可以把视野拓展到有理函数域内,比如自然包含k[t]→k(t)所诱导的概型态射就不是有限型的,这是因为有理函数域k(t)在k[t]上不是有限生成的。 概型的态射X→S称为分离的,若对角态射X→X×_(S)X是闭浸没。这个定义的基础是点集拓扑中的一个结论,X是Hausdorff空间iff 对角映射X→X×X的闭的。分离态射有个相当重要的性质,若f:X→SpecA的分离态射,其中A是某交换环,则对X的任何仿射开子集U与V,U∩V是仿射的。 与分离态射相关的概念是分离概型,若有概型的分离态射X→S,就称X在S上分离,当S=SpecZ时,就称X是分离概型。非分离态射的典型例子可以通过“双原点(仿射)直线”来构造。所谓双原点直线,就是把概型X=Y=A^1沿开集U=V=A^1-{P}的粘合,其中P是与极大理想对应的点。 概型的态射f:(X,O_X)→(Y,O_Y)称为仿射的,若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖,使得对任何i,f^(-1)(U_i)是仿射的。显然,有限态射一定是仿射的,而仿射态射一定是分离的,因此有限态射也是分离的。我们容易得到,当X是k上的双原点仿射直线时,X→k就不是分离态射,但它却是仿射的。
对于概型的分离态射,我们有专门的赋值判别法:设f:X→S是态射,其中X是Noether的,则f是分离的 iff对任何商环为K的赋值环R与态射h:Spec R→S与任何态射g:Spec K→X,使得f·g=h·i,其中i:Spec X→SpecR由自然包含诱导,则存在最多一个g的扩张态射g~:Spec R→X,使得g~提升g.这样的分离性判别法主要是为了避免出现类似“双原点直线”的情形。 下面我们自然要问,什么时候这样的提升唯一存在呢?由此可以引入本征态射的概念,它被定义为分离的有限型万有闭态射。综合前面的讨论,可以得到有限态射一定是本征的。在上面分离态射赋值判别的基础上,假若f还是有限型的,则f是本征的iff 这样的提升g~唯一存在。 利用这个本征态射赋值判别法,可以得到f:P^n(A)→Spec A是本征态射,其中P^n(A)可以理解为P^n(SpecA),它是射影空间P^n与仿射概型Spec A在Spec Z上的纤维积,称为概型SpecA(或环A)上的射影n-空间。一般而言,概型S上的射影n-空间P^n(S),定义为射影空间P^n与概型S在SpecZ上的纤维积。态射f:X→S是射影的,若存在闭嵌入i:X→P^n(S),使得f=p·i,其中p:P^n(S)→S由自然包含诱导。值得注意的是,若X→Speck上的射影态射,那么X就是通常意义上的射影概型,我们也用类似的方法定义本征概型。 显然,射影态射一定是本征态射,同时我们有所谓是周引理:令Noether概型X在S上的本征的,则存在概型Y与态射g:Y→X,使得Y在S上的射影的且X上存在稠密开集U,满足g:g^(-1)(U)→U是同构。在这说明了本征态射可以在一定意义下逼近射影态射,要找到一个非本征的射影态射,一般要深入到曲线曲面的理论之中,详见[2]的第二章注4.10.2. 观察前面的“双曲线反例”,我们会发现本征性与仿射性似乎有所抵触,事实上,态射是本征且仿射的 iff它是有限的。由此可以构造本征的非有限态射,实际上只要找自然的射影态射P^n(Z)→Z就可以了,其非有限性除了可以从非仿射性中得到之外,还可以从维数上面直接看出来。
Hartshorne代数几何概型部分学习指南
下面我们简单看一下平坦态射,它主要是从几何意义上来考虑的。态射f:X→Y是平坦的,是指它在局部环上的诱导映射f_x:O_Y,y→O_X,x的平坦的,这里y=f(x),x取遍整个X。平坦态射加上有限条件,我们就可以得到相当良好的维数结论。设f:X→Y是Noether概型之间的有限性平坦态射,对任何x∈X,y=f(x),有dim(X_y)=dim(X_x)-dim(Y_y).从本质上来说,这是因为Noether环上的平坦映射使得going down成立。 比平坦性更高的条件是光滑性,f:X→Y是相对维数n的光滑态射,除了要求它是平坦态射,并且在不可约分支上保持维数差是n之外,还要求dim_k(x)(Ω(X/Y)⊙k(x))=n,其中Ω(X/Y)是X/Y的Kahler微分。对于Kahler微分的若干性质,本文就不再详细讨论了,这里只点明这个Kahler微分的条件实际上就是微分拓扑中Jacobi行列式的秩条件的代数版。 我们再看概型X上的模层结构,0_X-模层F称为自由的,若它同构于0_X的直和,其同构于0_X的个数称为模层的秩,记作rank(F);称为局部自由的,若有X的开覆盖{U_i},使得F|U_i在O_(U_i)上的自由的。定义局部自由层F上的秩函数为r(P)=rank0_(X,P)(F_P),它是局部常值的。秩为1的局部自由层就称为可逆层。可逆层的意义就在于,若L是概型X上的可逆层,则存在X上的另一个可逆层L^(-1),使得L⊙L^(-1)=O_X,实际上我们可以就取L^(-1)=Hom(L,O_X),即L的对偶层。 对任何R-模M,可以定义概型X=SpecR上M伴随的O_X-模层M~,其各个茎由模的局部化给出。概型X上的O_X-模层F是拟凝聚的,若存在X的仿射开覆盖U_i=SpecR_i与R_i模M,使得存在O_U_i模的同构F|U_i=M_i~,若各M_i都可取为有限生成A_i-模,则F称为凝聚的。一般而言,我们只在Noether概型的条件下讨论凝聚层。实际上,M→M~给出了X=SpecR上的拟凝聚O_X-模范畴与R-模范畴的等价;若R是Noether的,那么它给出的是凝聚O_X-模范畴与有限生成R-模范畴的等价。这样一来,只要找一个Noether环上的非有限生成模,就可以得到非凝聚层的拟凝聚层的例子。 在仿射概型上,拟凝聚层就是由模结构自然诱导的层,假若我们的层由其他方法构造,那就能够得到非拟凝聚层,这样的方法有零扩张层、摩天大楼层等等。比如取X=Spec(k[t]),0∈X对应极大理想(t),考虑U=X{0}的零扩张,就有理想层I(U)=O_X(U),若0∉U;I(U)=0,若0∈U.我们有I(X)=0,但I≠0,因此它不是拟凝聚层。 若F与G都是(拟)凝聚的,则F⊙G是(拟)凝聚的,若F是凝聚的,G是(拟)凝聚的,则Hom(F,G)是(拟)凝聚的。但一般F,G为拟凝聚时,Hom(F,G)未必是拟凝聚的。假若Hom(F,G)是拟凝聚的,注意到Hom函子在层上的定义为(Hom_O(X)(F,G))(U)=Hom_O(X)(U)(F(U),G(U)),我们有S^(-1)Hom_O(X)(F,G)=Hom_S^(-1)O(X)(S^(-1)F,S^(-1)G),可实际上Hom函子与局部化是不可交换的,典型例子就是Hom_Z(Q,Z)对Z的局部化。这个现象说明了要处理上同调运算的吧,拟凝聚层的概念还是不够的,我们还要再定义凝聚层。 设X是Noether概型,f:X→Y是概型的态射,若X上的层F是拟凝聚的,则顺像f_*F也是拟凝聚的。但对凝聚层而言,若F为凝聚的,则f_*F未必是凝聚的。我们可以最简单的维数平移反例,比如X=A^2,Y=A^1,f:X→Y是投影,模层F=O_X,则顺像f_*F的截面k[x,y]不是有限k[x]-模,因此它不是凝聚的。要保证凝聚层的顺像f*F是凝聚的,一般要求态射f是有限的或者是有限型的射影态射(见[2]的第二章系5.20)。 接着我们讨论Noether环上的射影概型,为此先看分次环的射影谱上的伴随层,它可以视为凝聚模的另一个典型例子。对于分次环R=R_0+R_1+…上的分次模M,也有射影谱ProjR上的伴随层M~,其各茎由分次局部化给出。M~作为O_Proj(R)-模是拟凝聚的,若R是Noether的且M是有限生成的,则M~是凝聚模。事实上,仿射概型SpecR上的射影概型均同构于射影谱Proj S,其中S_0=A,S是由S_1有限生成的S_0-代数。 在分次模上,可定义如下的扭结构:令M(n)_d=M_(n+d),O_ProjR(n)=R(n)~,对任何O_Proj(R)-模F,可定义F(n)=F⊙O_Proj(R)(n).在这样的定义下,我们有M(n)~=M~(n).O_Proj(R)(1)是秩为1的局部自由层,因此是可逆层,而O_Proj(R)(n)=O_Proj(R)(1)^(⊙n). 对于凝聚层而言,有Serre的一个重要定理:设X是Noether环A上的射影概型,F是凝聚O_X-模层,则存在整数k,使得n≥k时,F(n)由整体截面生成,这个定理的意思就是说Noether环A上射影概型X的极强层(veryample sheaf)必是强层(ample sheaf)。 X上的可逆层相对于Y是极强的,指对某个r,存在浸没i:X→P^r(Y),这里浸没的意思就是说X与P^r(Y)的某个闭子概型的开子概型同构。利用极强层的概念,我们也可以区分射影与本征概型。Y上的概型X是射影的iff 它是本征的且有相对于Y极强的层,其中相对于Y的极强的层就是i^*O(1)X上的可逆层L是强的,是指对X上的每个拟凝聚层F,存在整数(依赖于F)k>0,使得n≥k时,F⊙L^n由整体截面生成。仿射概型上任何可逆层都是强的,这是因为仿射概型上的拟凝聚层均可由整体截面生成。强层是概型上绝对概念,但极强层却是关于概型态射的相对概念。对Noether环A上的有限型概型X而言,X上的层L是强的iff 存在m>0,L^m在SpecA上的极强的。关于强层但非极强层的例子,也要涉及到曲线除子的概念,详情请看[2]的第二章例7.6.3. 最后简单看一点概型上层的上同调,我们主要是通过Cech上同调来计算的。对Noether环上的分离概型而言,任何拟凝聚层F上的上同调群H^i(X,F)都自然同构于对应的Cech上同调群H^i(U,F),其中U是X的仿射开子概型覆盖。这里的分离性条件相当重要,主要是为了保证仿射概型的交还是仿射的。 关于概型上的上同调,我们有两个比较重要的结论: 1)对于Noether仿射概型而言,其任何拟凝聚层均为上同调平凡的(即所有正整数阶上同调为零)。有趣的是,这个条件的逆命题也是真的,对于Noether概型X而言,只要凝聚理想层的一阶上同调平凡,我们就可以判定X是仿射的([2]第三章定理3.7)。 2)设X是Noether环上的本征概型,则X上的可逆层L是强层 iff对X上的任何凝聚层F,均有k>0,使得对任何n≥k,F⊙L^n在X上是上同调平凡的。 对射影空间上同调的一般结论,可参见[2]的第三章定理5.1
以上就是对Hartshorne代数几何概型部分的内容小结,基本上侧重于概型本身的理论,对除子、线束、纤维束等几何对象并未多加探讨,后者似乎更适合用复几何的方法来处理,两者之间的过渡桥梁自然就是Serre的GAGA原理,其基本思想就是代数簇上的整体解析对象是代数的,它的一般版本就是对于复数域C上的本征代数概型而言,其上的凝聚层范畴与对应紧空间上的解析凝聚层范畴等价,由此可以推出所谓的周定理:复射影空间内的解析闭子空间是代数的。 为什么Hartshorne的《代数几何》是如此的难学呢?原因大概有两点:一是起点要求比较高,一般是需要比较扎实的交换代数基础,可实际上还要相当于[4]的第一卷的关于代数簇的代数几何知识。尽管此书第一章也讲代数簇理论,但那只是一个很简短的精要小结,用来学习的话信息量是不太够的。二就是此书本身有问题,个人感觉就是严重超载,尽管有些地方也包含了启发性的点评,但无奈要放的东西实在太多,结果反而是乱糟糟的一团。 实际上,Hartshorne的《代数几何》并不是一个完成品。传说当年Hartshorne是想要把Grothendieck的EGA改写成教科书,等写完后给Grothendieck看了几次,结果却是每次都被改得面目全非,后来实在是没有精力再去完善了,于是就出现了这样一本瑕瑜互见的代数几何教科书。无奈的是,可能在相当长的历史时期,这个硬骨头仿佛还是找不到替代品,要学代数几何的概型理论,就必须去啃它,甚至硬刷习题的催熟现象。 但就现在而言,我们有更好的方案来代数几何中的概型理论,大致有如下的三条道路: 1)直接读Grothendieck的EGA([1]).其实,EGA的叙述要比Hartshorne的[2]清晰,只是作为数学专著而言,有些地方的讨论过于细致,需要初学者能够主动取舍。此外,EGA是典型的Bourbaki风格,就是以理论为主,缺少实际的例子,读者正好可以把找例子做为习题来做。 2)读Hartshorne的[2]同时用其他书来补充。这里我推荐的是[3],正好可以与[2]互补,填补了[2]里面的很多空白,反过来[3]的一些没有证明的高深结论,也可以在[2]中得到补充。 3)直接读其他的代数几何教科书。还没有明确方向的可以先读[3],假若已经有明显方向了,那么一般复几何、曲线曲面方向的可以读[4],算术代数几何方向的则需要读[5]. 当然,现在网上还有一些名校教授的讲义,假若比较成系统的话,用来参考也是相当不错的。此外,[6]的附录D是精炼的综述,不管是用来指导学习,还是用来复习回顾,都是很不错的参考材料。 最后,感谢mathoverflew、mathstackexchange上的作者们提供了不少关于概型的精彩例子,还有AlgebraicGeometry by Robin Hartshorne solutions的作者,你们所提供的习题解答也让我受益匪浅。 扩展阅读: [1] EGA A. Grothendiecket J. Dieudonné[J]. Eléments de géométrie algébrique, I, II, III,IV.(就是神书EGA,前两卷有中译本的电子版) [2] Hartshorne R.Algebraic geometry[M]. Springer, 1977.(有冯克勤等人的中译本) [3] Ueno K. AlgebraicGeometry 1, From Algebraic Varieties to Schemes, Translations ofMathematical Monographs[J]. American Mathematical Society,Providence, 1999. Ueno K. AlgebraicGeometry 2, Sheaves and Cohomology, Translations of MathematicalMonographs, 197[J]. American Mathematical Society, Providence, RI,2001. Ueno K. Algebraicgeometry. 3, volume 218 of Translations of MathematicalMonographs[J]. American Mathematical Society, Providence, RI,2003. [4] Shafarevich I R.Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space.1994[J]. Shafarevich I R. Basicalgebraic geometry. 2. Schemes and complex manifolds.1994[J]. [5] Liu Q. Algebraicgeometry and arithmetic curves[M]. Oxford: Oxford university press,2002. [6] Srinivas V.Algebraic K-theory[M]. Boston-Basel-Berlin: Birkhäuser, 1991.(附录D是代数几何概型部分的精要小结)
初学代数几何的话可以先学点线性代数群,请看博文:谈谈线性代数群的基本结构

  

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