斯特瓦尔特(stewart)定理 角平分线定理

斯特瓦尔特(stewart)定理  设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有  AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。

斯特瓦尔特定理的证明

  证明:在图2-6中,作AH⊥BC于H。为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理有  AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH,(1)   AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 (2)  用BD乘(1)式两边得   AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD,①   用DC乘(2)式两边得  AB^2·DC=AD^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。②   由 ① + ② 得到  AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC   =AD^2·BC+BD·DC·BC。  ∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。   或者根据余弦定理得  AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos∠APB   AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos∠APC  两边同时除以PB·PA·PC得   AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB  化简即可(注:图中2-7A点为P点,BDC点依次为ABC)   斯特瓦尔特定理的逆定理成立

斯特瓦尔特定理的推论

  斯特瓦尔特定理还有如下推论   (1)若AB=AC,则AP^2=AB^2-BP· PC  (2)若AP为BC中线,则AP^2=1/2(AB^2+AC^2)-1/4*BC^2  (3)若AP为∠A内角平分线,则AP^2=AB·AC﹣BP·PC  (4)若AP为∠A外角平分线,则AP^2=﹣AB·AC+BP·PC  (5)若BP/BC=λ,则AP^2=λ·﹙λ﹣1﹚·BC^2+﹙1﹣λ﹚·AB^2+λ·AC^2  斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化

斯特瓦尔特定理的常见应用方式

  ①用于得到线段倍份关系   ②用于求解三角形问题   (诀窍是选则适当的三角形及其边上的点;灵活运用推论)

斯特瓦尔特(stewart)定理 角平分线定理

  

爱华网本文地址 » http://www.aihuau.com/a/25101014/234100.html

更多阅读

古巴英雄-菲德尔·卡斯特罗 袖菲德尔.卡斯特罗

菲德尔·亚历杭德罗·卡斯特罗·鲁斯(Fidel Alejandro Castro Ruz,1926年8月13日-),古巴前国务委员会主席和部长会议主席,古巴共产党第一书记。2011年4月19日,古巴前领导人菲德尔·卡斯特罗在一份刊发的报纸中撰文证实,自己已经辞去古巴共产

从麦克里斯特尔的"折戟"说开去 石油精神 从心说开去

从麦克里斯特尔的“折戟”说开去麦克里斯特尔,何许人也?堂堂美军驻阿最高指挥官,四星上将。曾因指挥参与活捉萨达姆、协助推翻塔利班政权而名噪一时。如此要职高官为何轻易“折戟”?说来理由也很简单:因其在最新一期《滚石》杂志的人物

声明:《斯特瓦尔特(stewart)定理 角平分线定理》为网友噌俓與伱儚分享!如侵犯到您的合法权益请联系我们删除