行列式问题的补充 签证申请补充问题模板

现有的对行列式的计算的便于使用的特殊简化方法{一般简化方法还需要补充}有范德蒙行列式；倒数对称行列式；三角行列式；两线行列式；若行列式中有两行（或列）对应的元素成比例，则行列式的值为零；若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式的值为零.但数量不多.并且现有的行列式问题的理论中没有行列式和其他的关系，也没有破译线性组合.现将便于使用的特殊简化方法、一般简化方法和有关问题补充如下：

（由于行列式的符号两大竖无法显示，并且有些地方显得有些乱，请读者费点神）

补充一：四种似范德蒙行列式

似范德蒙行列式I ：

111…111

a₁b₁

a₂a₂b₂

……=（b₁- a₁）·（b₂-a₂）…（b_n-1- a_n-1）

a_n-2a_n-2a_n-2…a_n-2b_n-2

a_n-1a_n-1a_n-1…a_n-1a_n-1b_n-1

(空白处的元素可为任何数)

似范德蒙行列式II：

111…111

a₁b₁b₁…b₁b₁b₁

a₂b₂ …b₂b₂b₂

……=（b₁- a₁）·（b₂-a₂）…（b_n-1- a_n-1）

a_n-2b_n-2b_n-2

a_n-1b_n-1

(空白处的元素可为任何数)

似范德蒙行列式III

111…111

a₁a₁a₁…a₁a₁b₁
a₂a₂a₂…a₂b₂

……

a_n-2a_{n -2} b _n-2

a_n-1b_n-1
= （-1）[（n-1）（n-2）]/2 （b₁-a₁）·（b₂- a₂）… （b_n-1-a_n-1）{ [（n-1）（n-2）]/2是 (-1 )的指数} (空白处的元素可为任何数)

似范德蒙行列式IV：

111…111

a₁b₁

a₂b₂b₂
……

a_n-2b_n-2… b_n-2b_{n -2}b_{n -2}

a_n-1b_{n -1}b_n-1…b_n-1b_{n -1}b_n-1

= （-1）[（n-1）（n-2）]/2 （b₁- a₁）·（b₂- a₂）…( b _{n -1}-a _n-1)

{ [（n-1）（n-2）]/2是 (-1 )的指数} (空白处的元素可为任何数)

例1： 计算行列式：

1111

222-3

6632

4 7-77

解：这是似范德蒙行列式III .n= 4，a₁= 2，b₁=-3，a₂= 6，b₂= 3，a₃=4，b₃=7原式=（-1）[（4-1）（4-2）/2]·（-3-2）·（3-6）·（7-4）= - 45

补充二： 双对角行列式

所谓双对角行列式就是两条对角线上的元素可以为任何数，其它元素都为零的行列式.

当n为偶数时，行列式的值为所有四个对称元素所构成的二阶行列式的值的连乘积.

当n为奇数时，行列式的值为所有四个对称元素所构成的二阶行列式的值与中心元素的连乘积.

例2： 计算20007

0-5030

00600

040100

5000-3

解：6为中心的元素，-5，3，4，10；2，7，5，-3各为四个对称元素，所以

原式= 6 · 27 ·-5 3 =6·（-41 ）·（-62）= 5084

534 10

补充三：在n阶行列式中，如果其中有a行b列所构成的矩形中的元素都为零，并且a+b≥n+1，则行列式的值为零.

例3：试判别22 040

1 -1 324

3 30 -20

0 001 0

-3 -3 000 的值等于零还是可能为零.

解：在第一行、第三行、第四行、第五行、第三列、第五列所构成的矩形中的元素都为零，并且n= 5，a= 4，b=2，所以行列式的值等于零.（当用一般解化方法在对行列式进行变换时，对变换后的行列式进行考察一下，看是否为“补充三”的情况）.

补充四：当用现有一般简化方法对没有分数的行列式进行变换时如出现分数，则显得计算繁杂.为此，采用将一行（或列）的各元素乘以相应系数，使得各元素的绝对值相等，当然绝对值是各元素绝对值的最小公倍数，同时将行列式乘以各相应系数的乘积的倒数，再对行列式进行变换（这是一般简化方法）.

例4： 计算 34-60

7376

-4 287

5334

解.因为第一行或第四列有零，所以就将第一行或第四列化为元素都相等.元素零所在的行（或列）当然不用考虑，如取第一行（一般取各绝对值的最小公倍数）

3、4、-6的各绝对值的最小公倍数为12，所以第一列乘以4，第二 列乘以3，第三列乘以2，则

1212 -12001200

原式=1/(4·3·2)· 289146= 1/24 · 199236

-166167-22 6227

20964119154

19236

= -1/2 · -22227

11 154(第二行的第一 列、第二列的两个元素的绝对值相等，可以利用)

133 161132

原式= -1/2·1/(7·7·22) · -154154154

7710588

26529132

= 1/14 ·001= 1/14· 26529

165 178816517

= -20

补充五：对现有的“若行列式中某一行（或列）的元素是其它行（或列）对应元素的线性组合，则行列式的值为零”，反之亦然，即：若行列式的值为零，则行列式中至少有一行（或列）的元素是其它行（或列）的元素的线性组合.

如何破译线性组合？

所谓行（或列）的线性组合，就是每行（或列）的元素与相应系数乘积的代数和.

破译线性组合，就是破译线性组合中的各相应系数.

例5：已知234

4 68= 0，请破译其中一行的线性组合

-123

解：先破译第三行是不是第一行、第二行的线性组合

第一行的相应系数为x₁ 第二行的相应系数为x₂

那么，所列方程组（过量方程组）为：

2x₁+4x₂ = -1

3x₁+6x₂= 2

4x₁+8x₂ =3解得无解，说明第三行不是第一行，第二行的线性组合，根据“至少有一行是其它行的线性组合”，继续破译第一行、第二行.如破译第二行是不是第一行、第三行的线性组合（因为第三行不是第一行、第二行的线性组合，所以可断定第三行的相应系数为零.所以在破译其它行时，就不用考虑第三行了）

设第一行的相应系数为x，则所列方程组为：

2x = 4

3x = 6

4x =8解得x = 2

已破译出第二行是第 一行、第三行的线性组合.

如果解的结果为无穷多个解，当然是线性组合.

补充六：若行列式的每一行（或列）的元素相加之和都相等，则可以用若干个这相等元素替换原行列式中的一列（或 行）.

例6：计算3-116

4 6-38

- 2 45-2

2 -24-5

解：因为每一列的元素相加之和都为7，所 以可用四个7替换原行列式中的任何一行，如替换第二行（一般可替代绝对值较大的行）

3-116

原式=777 7

- 245 -2

2 -24-5{可用第1列乘以（-1）分别与第2列、第3列、第4列相加，也就是用第2列、第3列、第4列分别减去第一列}

3-4-23-4-23

=7000= -7 · 670

-2 670-42-7

2 -42-7

[这种方法容易判别每一行（或列）的元素之和是否相等（即使不都相等或都不相等也费不了多少笔墨），更容易变换，又能使变换后的低一阶的行列式中的元素的绝对值从总体上比常规方法缩小，当然对没有分数的无数个行列式，当一次变换完时绝不会出现分数，下面的例子可能出现分数，但当提到行列式外，行列式内就没有分数了].

原式= -7·232 = -1624

补充七：（对补充六的扩展）：若行列式的每一行（或列）的相应元素的线性组合的结果都相等，可以用某一列（或行）的相应系数去除这相等的结果，再用若干个这样的商替换这一列（或行）.

例7：计算-14 13

-12 -24

22-4（已知第一列的相应系数为2，第二列的相应系

数为3，第三列的相应系数为5）

解： 如用2 乘第一列，3 乘第二列，5 乘第三列，则各行相加之和就为（-10），

那么就有如下三种方法求行列式的值。

如对第一列，则用2去除（-10）得（-5）则：

-513-513

原式=-5 -24= 0-31 =-5· -31

-52-401-71 -1

=-5·20 = -100

如对第二列，则用3去除（-10）得（-10/3），则：

-14 -10/33-14-10/33

原式=-12 -10/34=201=3/10 · 21

2-10/3-4160-716-7

= 10/3·(-30)= -100

如对第三列，则用5去除（-10）得（-2）则

-14 1-2-141-2

原式= -12-2-2= 2-30= -2· 2 -3 =-2·50 =-100

22-216 10161

实际做题时可任选一种，但问题是不好判别相应系数，但只要知道相应系数，在求解上就比常规方法容易些.

下面的计算可以替换各行（列）的各商的方法就只当游戏看.

例8：还是求例7的行列式的可以替换各列的各商.

解：设第一列相应系数为x₁，第二列相应系数为x₂，第三列相应系数为x₃，线性组合后各行都相等的结果为M，对

-14x₁+x₂+3x₃=M

-12x₁- 2x₂+4x₃= M

2x₁+2x₂- 4x₃= M

这种不定方程组由于常数相等，可先消去常数，得：

2x₁-3x₂+x₃=0

14x₁+4x₂-8x₃= 0

解得：

x₁= 2/5 x₃

x₂= 3/5 x₃

代入有M的方程 中得：x₃=-1/2 M

所以x₁= -1/5 M

x₂= -3/10 M

x₃= -1/2 M

（这种方法称为消常 法，优点是各元之间的关系从函数观点看都是正比例函数，便于计算各元的值.如常数不相等，则可先化为相等）

用x₁去除M得可以替换第一列的商为（-5），用 x₂去除M得可以替换第二列的商为（-3/10），用x₃去除M得可以替换第三列的商为（-2），这与例7用具体数所求的可以替换的各商一致.

补充八： 对于线性方程组的系数行列式

x₁y₁z₁

x₂y₂z₂

x₃y₃z₃

如果将三行作为空间 求平面方程的三点坐标，那么，方程组的唯一解和确定的平面方程都不存在的条件是：

（x₃-x_2）/(x₂–x₁)=（y₃-y₂)/(y₂–y₁) =（z₃-z₂)/(z₂–z₁)[将0/0 =c（常数）0/0=c/0看作成立，但c=c/0（c不等于0）不成立]中的三个等式都成立（这也是空间三点共线的条件）.

例9： 对线性方程组的系数行列式： 32 -1

52 0

922如果将（3，2，-1） （5，2，0）

（9，2，2）作为空间求平面方程的三点坐标，求证：线性方程组的唯一解和确定的平面方程都不存在.

证明：x₁ = 3y₁ = 2 z₁ = -1x₂ = 5 y₂ =2 z₂ =0x₃ = 9 y₃ =2 z₃ =2根据（x₃ – x₂）/（x₂ –x₁）=（y₃ – y₂）/（y₂ –y₁）=（z₃ – z₂）/（z₂ –z₁）

得（9-5）/（5-3）=（2-2）/（2-2）=（2-0）/[0- (-1)]

即2=0/0=2 而三个等式2=0/0，2=2，0/0=2 都成立，所以，线性方程组的唯一解和确定的平面方程都不存在（具体算一算知：行列式的值为零，平面的 法矢量也为零）.

046204 中国山西省襄垣县潞安集团机关

李 功 儒

2010年1月30日

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