爱华网为什么在哪儿都找不到牛顿万有引力计算公式的完整推导过程？
马海飞
(http://blog.sina.com.cn/gfis2013年2月9日)
今天几乎所有的教科书、文献和相关网站都把“牛顿万有引力定律”及其计算公式的建立过程全部归功于牛顿。
例如，在高中的物理教科书中就有这样的描述：“牛顿在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨道是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律。”“下面让我们来看一下牛顿是怎样发现万有引力定律的……。”“牛顿在研究了这许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。……。用公式表示为：F=Gm1m2/r2。”
《维基百科》和《百度百科》则是这样介绍的：“万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。”然后介绍了万有引力定律的定义和数学表达公式。
其他文献上的介绍也大同小异。
看了这些介绍之后，不能不给人这样的感觉：今天教科书上讲的那个“牛顿万有引力定律”和“牛顿引力计算公式”都是“牛顿在前人研究成果的基础上按照科学观察结果和严格的数学方法一步一步推导出来的”。至少，在很长一段时间里我本人就是这样认为的。而且几乎完全没有怀疑过。
但是，随着我对引力现象和相关理论研究的不断深入，越来越感到有必要去了解牛顿当年是如何推导出万有引力公式的。于是，我就开始到处查找。因为担心看不懂牛顿的原著，因此就希望能够先从教科书和文献上找出推导的全过程来。可是，找到的推导过程都不能让人满意。例如在高中教材中大体是这样介绍的：1）为了方便说明问题，把椭圆轨道简化为圆形轨道。2）圆周运动的向心力计算公式是：F=mv2/r。3）引力就是向心力。4）把圆周运动中的周期T 与速度v的关系式v=2π r/T代入上式就得到：F=4π2(r2/T2)m/r2。5）因为（r2/T2)是个常数，因此得到的结论就是：太阳与行星之间的引力与行星的质量成正比，与二者之间距离的二次方成反比。6）牛顿根据第三定律认为：既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比，因此就有F∝m1m2/r2这样的关系式。写成等式形式就是F=Gm1m2/r2。
这样的推导过程实在让人无法接受，感觉有些“糊弄人”的味道。F=4π2(r2/T2)m/r2这个公式的确是推导出来的没错，但从F=4π2(r2/T2)m/r2到F=Gm1m2/r2之间却没有了数学推导的过程，而使用的是逻辑推理的方法。逻辑推理与数学推导是完全不同的方法。在推理过程中可以按照自己的意愿加入个人的主观观念，而在数学推导过程中是无法加入个人观念的。例如，牛顿认为“引力大小与两个物体质量的乘积成正比”，为什么就不认为“与两个物体质量的和成正比”呢？既然F=4 π2(r2/T2)m/r2已经是一个力的计算公式了，为什么还要再加上一个物体的质量把它变成F=Gm1m2/r2呢？很显然，F=Gm1m2/r2这个等式是从F∝m1m2/r2这个关系式得到的。而F∝m1m2/r2这个关系式是从各种现象的推理中拼凑起来得到的。所以，可以肯定地说，教科书中介绍的过程完全不能算是一个完整的数学推导过程。因此，把教科书上的推导过程说成是万有引力定律公式的推导过程是非常不恰当的。
那么牛顿本人是如何推导万有引力公式的呢？从网上的讨论中得知，牛顿是用微积分的方法推导出万有引力计算公式的。这些人一般都要加上这样一句话：“万有引力公式的推导过程涉及到复杂的数学运算，很难讲清楚”。这几乎成了所有讲不清楚万有引力公式推导过程的人所共同使用的一个借口。
为了搞清楚万有引力公式到底是如何推导出来的这个问题，我最近终于鼓起勇气把牛顿的《自然哲学的数学原理》（简称《原理》）一书找来查阅了一番。实在让人失望。这本书里根本就没有“万有引力定律”这个“定律”，更没有“引力计算公式”的影子。而与此形成鲜明对比的是，牛顿的“三大运动定律”则在书中写得清清楚楚。可见，牛顿并没有把他对万有引力现象的认识作为一个“定律”对待。虽然牛顿在《原理》中对万有引力现象中的一些规律做了描述，但这些描述都分散在书中不同的章节里。首先，牛顿研究的主要对象集中在圆周运动中的“向心力”上。他从数学上证明了向心力的大小与距离的二次方成反比关系。因为在他那个时代，已经普遍认为在重力现象中，地球与地球表面物体之间存在“引力”关系，因此，在研究了向心力的基础上，牛顿认为，在重力现象中的引力就是圆周运动中的向心力。由此推理得出结论：引力的大小与距离二次方成反比。这一点不难理解。至于引力与两个物体质量的正比关系，牛顿的推论是：“一个球相对于另一个球的运动吸引，或二者间的相对重量，在相同的球心距离处，共同正比于吸引的与被吸引的球，即正比于这两个球的乘积。”（《原理》第十二章命题76定理36，推论3）。这一点就不太好理解了。因为这个结论没有数学推导过程的支持。紧接下来的推论4是：“在不同的距离处，正比于该乘积，反比于二球心之间距离的平方。”（这些都是后人用来建立引力公式的理论基础。）有关“重力的万有性”，牛顿是这样解释的：“如果实验和天文观测普遍发现，地球附近的物体都被吸引向地球，吸引力正比于物体所各自包含的物质；月球也根据其物质量被吸引向地球；而另一方面，我们的海洋被月球吸引向月球；所有的行星相互吸引；彗星以类似方式被吸引向太阳；则我们必须沿用本规则赋予一切物体以普遍相互吸引的原理。（《原理》第三篇，哲学中的推理规则规则3）。
显然，“万有引力定律”并不是牛顿在《原理》中建立并提出来的，但万有引力定律所涉及到的现象和规律与牛顿的《原理》这本书确实密切相关。首先，牛顿对万有引力定律的最大贡献就是“重力现象（gravity）的万有性”。在他之前，人们已经知道地面上有“重力现象”（gravity），但不知道天体之间也存在同样的“重力现象”。是牛顿发现了它们之间的统一性，也就是“重力现象的万有性”。这一点完全是牛顿的功劳。牛顿的另一个贡献是他从推理中得出的“引力大小与两个物体的质量的乘积成正比”这个结论。虽然牛顿不能对此结论给出更确切的解释，更没有数学推导过程，但这个结论并没错（尽管不完善）。引力定律中的另一个要素是“引力与距离二次方的反比关系”。这个反比的关系似乎在当时并不是只有牛顿一人看出来的。只不过，从数学运算上证明这个关系成立的人只有牛顿一人而已。虽然这些内容对万有引力定律的建立都十分重要，但牛顿本人却没有把它们组装起来构建一个完整的“万有引力定律”和“引力计算公式”。牛顿本人对《原理》一书修订过两次。最后一次是1726年。在修订版的《原理》中也没有出现“万有引力定律”这个定律。好像只有在书最后的“总释”倒数第二段的结尾处以“thelaws of motion and ofgravitation”的形式算是直接提及到了这个定律。但这里的law所指的更像是“规律”而不是“定律”。而在一年后的1727年牛顿就与世长辞了。可见牛顿并不知道世界上还有我们今天从教科书上学到的那个完整的“万有引力定律”及其计算式公式。
实际上，我们今天所见到的“牛顿万有引力定律”是后人根据牛顿发现的那些规律组装起来的一个定律。“引力计算公式”也是根据万有引力定律的理论“组装”而成的，并不是用数学方法推导出来的。首先根据牛顿的“论述”建立了F∝m1m2/r2这个关系式，然后在这个关系式的基础上把它完善成了F=Gm1m2/r2这个等式。其实，对这个等式的最后确立做出功不可没贡献的人是卡文迪许。因为他用扭称确定了引力常数G的数值。在这个数值确定之前，F∝m1m2/r2和F=Gm1m2/r2都没有任何实用价值。卡文迪许是1797年完成他的实验的。距离牛顿去世整整过去了70年。从此以后，万有引力定律才真正成为一个物理学定律，并确立了它在科学理论研究和实际应用上的重要地位。
虽然引力定律的计算公式从卡文迪许至今已经应用了二百多年，但实际上引力公式的数学推导过程依旧还是一个谜。尽管今天偶尔可以看到有一些人试图用微积分等复杂的数学方法去推导牛顿的万有引力公式，但是结果都是把人给“推晕了”。根本看不懂他们是怎么推导的。就像如果一个人说出来的话别人听不懂就跟没说的道理一样，如果一个推导过程是别人无法看懂的话，那个推导是没有任何意义的。
我在2009年因为发现“质量场”而建立了一个物理学模型，并根据这个模型用“质量场”理论推导出了万有引力计算公式[1]。因为当时对上述这些真相不太了解，因此并没有意识到我建立的推导过程的科学意义有多大。现在了解了真相以后才知道，我建立的推导过程竟然是有史以来唯一的一个可以推导出牛顿引力公式的完整的数学推导过程。其意义之重大远远超出了我当时的想象。
由于牛顿引力定律的公式不是推导出来，因此，无法知道公式中的“平方反比定律”和“引力常数”的物理意义是什么。而且，长久以来，人们一直以为引力常数G是一个实验数值，只能通过测量获得，不能通过计算获得。人们更无法从牛顿引力公式中获得引力来源的信息。
相比之下，因为我的推导过程简单完整，因此可以从推导过程中解决所有与引力现象以及引力公式有关的问题。例如对上述问题的答案是：平方反比定律来自质量场密度：D=M/4πr2。引力常数的物理意义在于4πG=g/D这个等式中。也就是说，它是一个引力加速度与质量场密度之间的比例常数（转换系数）。同时也就可以知道，引力常数G是完全可以通过g和D计算出来的。不仅如此，从质量场密度推导出来的引力加速度计算公式是：g=GmD。这个公式从直观上就告诉我们，引力加速度是由质量场密度决定的。说明引力加速度来自质量场。又因为引力来自引力加速度与第二个物体的质量：F=mg，所以，从F=mGmD这个新的引力计算公式中就直接显示出了“引力的来源就是物质的基本属性（质量和质量场）”这个事实，具体说就是第二个物体的质量和第一个物体的质量场密度D。
由此可见，一个物理学公式的推导过程对了解一个物理学理论是多么地重要了。众所周知，今天在物理学基础理论上，关于万有引力仍然存在非常多的问题，从某种意义上看，这些问题得不到解决的原因可以说是因为找不到牛顿万有引力公式的推导过程导致的。所以，找出牛顿引力公式的推导过程万分重要。既然物理学家们都认为，所有的物理现象都可以用数学的方法表现出来，他们就应该相信牛顿的万有引力公式也完全应该是可以用数学方法推导出来的。然而，据我所知，到目前为止，除了我的方法以外，竟然没有任何人可以用数学方法推导出牛顿万有引力公式。因此，我认为我对万有引力现象的理解和解释都是正确的。当然，假如还有其他人能够从不同途径更简单地推导出这个公式的话，我将参考他的推导过程重新考虑我的解释。
总之很明显，今天在任何正式出版物上都找不到牛顿引力公式推导的详细数学过程。其原因就是因为牛顿的万有引力公式并不是用数学的方法推导出来的，而是根据牛顿的推论组装起来的缘故。但因为这个公式在使用过程中证明是对的，因此它一定会有一个可以通过数学方法推导出来的简单和完整的过程。而对诸多有关“万有引力”理论问题的答案，可以说很大程度上都取决于万有引力公式的推导过程。只要知道了这个公式具体完整的推导过程，理论问题就有可能随之得到解决。幸运的是，我们现在至少已经有了一个可以用数学方法推导万有引力公式的过程。
从万有引力定律的建立过程上可以看出一些值得注意的问题。首先，牛顿的研究方法是否正确值得怀疑。他的方法用他自己的话讲就是：实验哲学（experimentalphilosophy）。牛顿在《原理》结尾的“总释”中这样写到：“在（实验）哲学中，特定命题是根据现象推断出来的，然后才用归纳方法做出推广。（In [experimental] philosophy particularpropositions are inferred from the phenomena and afterwardsrendered general by induction.）”这个方法的危险性在于：如果分不清“现象”与“假象”的话，推断出来的命题就可能是错误的。因为“假象”也是“现象”。所以牛顿“根据现象做出推断”的方法是不可靠的。在重力现象（gravity）中的确存在“相互吸引的现象”，然而，这个“相互吸引的现象”真的是因为有“引力的作用”才出现的吗？它难道不会是一个假象吗？就像太阳从东方升起在西方落下的自然现象的那种假象一样。所以，在没有搞清楚gravity中的“相互吸引作用”到底是不是假象之前就冒然把它说成是“引力”的做法
