二项式定理在公务员考试资料分析中的妙用 公务员考试资料

资料分析是公务员考试的重要组成部分，其知识点较少，因此提高相对比较容易。这部分涉及的运算技巧比较多，例如首尾数法、数项拆分、差分法、乘除转化以及二项式展开定理等等，这几种技巧的应用范围不同，但都可以有效的提高运算效率。

二项式定理，主要应用在求“年均增长率”的试题中，这部分试题的计算量较大，因此有一定的难度，如果采用二项式定理，往往会大大的简化计算过程，快速得到正确答案。但是这个技巧在应用的时候，有一定的限制条件，所以一定要弄透彻二项式定理的原理以及应用的条件。

一、二项式定理的简介

二项式定理是建立在多项式运算的基础上，通过对展开式的项数、次数和系数的规律的研究，借助杨辉三角形组合数性质得到的展开式。

当b无限趋近于0时，即b²，b³，…，bⁿ无限趋近于0，此时，二项式可以简化为

在资料分析试题中，尤其是涉及到年均增长率的时候，才是a=1，b=r，而r往往是一个百分数，此时（a+b）ⁿ=（1+r）ⁿ≈1+nr。

【注】上面这个公式一般应用在r在±5%以内，当选项较大的时候，可以扩大到±10%。

此外，由于基期×（1+r）ⁿ=末期，当r在±5%以内时，基期×（1+nr）=末期，则有r=[（末期/基期）-1]/n=（末期-基期）/基期。

【注】一般这个公式应用在r在±10%以内，当选项差别较小的时候，则只能应用在±5%以内。

二、二项式定理的应用

（一）已知当前数据指标、年增长率，求 n年后数据指标

在资料分析中，尤其是文字资料中，经常给出当前数据指标以及该指标的增长率，来求几年之后该指标的情况。此类试题一般涉及到求平方数、立方数甚至是求多次方数，计算量大，经常是简单的笔算无法企及的难度，因此，这类试题的难度较高，通常是考生选择放弃的题目。但是一旦将二项式定理应用到运算中，即可产生“柳暗花明又一村”之感。

1．直接套用公式

所谓直接套用公式是指当年增长率在±5%范围内时，有（1+r）ⁿ≈1+n×r，且当r越接近于0，通过该计算式计算得到的结果越接近于精确值。

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【真题示例1】若南亚地区1992年总人口数为15亿，该地区平均人口增长率为2%，饥饿人口所占比重为22%，那么2002年南亚地区饥饿人口总量为多少亿人？

A．3.30B．3.96

C．4.02D．4.82

【答案】C

【分析】要计算南亚地区饥饿人口数量，必须知道南亚地区2002年的人口总量以及饥饿人口所占比重（22%），此时问题就转化成求取2002年南亚地区人口总量。

根据已知条件：1992年南亚人口总量为15亿，年均增长率为2%，则到2002年人口总量将达到15×（1+2%）¹⁰。由于r=2%<10%，可直接套用公式。

【解析】本题考查的是年均增长率这一知识点。

2002年，南亚地区总人口量将达到15×（1+2%）¹⁰≈15×（1+10×2%）=15×1.2=18亿人，饥饿人口数量将达到18×22%=18×（20%+2%）=18×20%+18×2%=3.6+0.36=3.96，实际值略大于3.96。故本题的正确答案为C选项。

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2．间接套用公式

假设指标A，年增长率r（90%~110%），按此增长速度，预计n年后指标A将达到A×（1+r）ⁿ。

当n≥2，r≠100%时，（1+r）ⁿ的计算量是笔算无法达到的，因此必须对其转化，即——间接套用公式。由于1+r=1+（1-r₁）=2-r₁=2×（1- r₂），此时r₂处于±5%范围内，就可以采用公式计算。

其中：r、r1、r2表示的是增长率，且有r=1-r1，r1=2×r2。

例如r=98%，那么r=1-98%=2%=r1，则r2=1%，，1+r=1+98%=2-2%=2-r1=2×（1-1%）=2×（1-r2）。

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【真题示例2】已知2004年采用IVR（交互语音应答系统）的用户为0.7万人，2005年用户数量达到1.3万人，假如以当前的增长速度，预计到2010年IVR的用户数量将达到多少万人？

A．25.6B．26.1C．26.7D．28.7

【答案】D

【分析】题目中给出了2004年、2005年IVR用户的数量，要求2010年IVR的用户数量，首先必须计算出2005年IVR用户的同比增长速度，即（1.3-0.7）/0.7>10%也就是说不能单纯的套用公式，必须经过变形。

【解析】本题考查的是年均增长率这一知识点。

根据材料，与2004年相比，2005年采用IVR的用户增长（1.3-0.7）/0.7=6/7，则到2010年用户将达到1.3×（1+6/7）⁵。

此时对计算式进行变形有：1.3×（2-1/7）⁵=1.3×2^5×（1-1/14）⁵≈1.3×32×（1-5/14）≈32×0.9=32-3.2=28.6，结合选项，选择D选项。

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（二）已知当前数据指标、n年后数据指标，求年均增长率

假设当前数据指标为A，n年后数据指标为B，年均增长率r，则有A×（1+r）ⁿ=B，（1+r）ⁿ=B/A。

当r在±10%以内的时候，有（1+r）ⁿ=1+nr，此时1+nr=B/A，即r=（B/A-1）/n。

【注】当r在±10%以内的时候可以采用此种方法，但是当选项差距很小的时候，就要分析是否能采用二项式定理。

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【真题示例3】2008年全国就业人数为77480万人，其中城镇就业人数为30210万人，而在2004年同期，全国就业人数为75200万人，其中城镇就业人数为26476万人。

118．2004~2008年，全国城镇就业人数年平均增长率为（）。

A．14.1%B．6.18%

C．3.35%D．2.82%

【答案】C

【解析】本题考查的是年均增长率这一知识点。

根据材料，2008年全国城镇就业人数是2004年的30210/26476，由于265=250×（1+6%），所以计算式可以化为0.3×4×（1-6%）=1.2-0.072=1.128；

由于2004~2008年一共间隔4年，所以年均增长率必然小于10%，则年均增长率约为（1.128-1）/4=3.2%，结合选项，选择C选项。

【补充说明】由于在计算的时候采用了放缩的方法，所以最后应该找出与计算的数值最接近的选项。

【真题示例4】2007年全国在校学生人数达到32187万人，学校数达到66万所，而在1996年同期，在校学生人数为30401万人，学校数则是155万所。

例：1996~2007年，我国在校学生人数的年均增长率是（）。

A．5.9‰B．6.8‰

C．5.2‰D．6.5‰

【答案】C

【解析】本题考查的是增长率这一知识点。

根据选项可知，年均增长率很小，所以我们可以放心的采用二项式进行估算。

2007年全国在校学生人数是1996年的32187/30401=1+1786/30401，依据二项式定理可知，年均增长率为1786/（30401×11）≈162/30401，口算该值要略小于5.5‰，结合选项，选择C选项。

【补充说明】由于年均增长率很小，所以误差很小，计算出来的结果就是实际的结果。

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【试题演练1】

2009年1~8月我国出口额情况

假设以当前出口额的环比增长速度，预计2009年6月份我国出口额将达到（）亿美元。

A．919.2B．939.6

C．954.4D．976.3

答案：C

【试题演练2】2006年底，全国广告经营额达1573亿元，比上年增长156.7亿元，增长率达11.1%，增幅比上年下降了0.9个百分点。

假设以当前的发展速度，预计到2010年底，全国广告经营额将达到（）亿元。

A．2179B．2240

C．2260 D．2396

答案：D

【试题演练3】前三季度，煤炭产量21.4亿吨，同比增长10.3%，比上半年加快1.6个百分点；煤炭出口1685万吨，下降52.8%；进口8573万吨，增长1.7倍。9月份，煤炭产量2.6亿吨，同比增长12.7%。9月份煤炭价格上涨加快，秦皇岛5500大卡标准煤价连续四周上涨，月末涨至603元/吨，比上月末上涨28元。9月末，统调电厂存煤5189万吨，可用17天。

假设9月份以四个周来计算，则秦皇岛5500大卡标准煤的价格的平均周增长率为（）。

A．1.2%B．2.4%C．3.6%D．4.8%

答案：A

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