课堂实录：认识二元一次方程组

认识二元一次方程组

——七年级青岛版数学（下）

□/张伟

导学案

预习目标：

1.了解二元一次方程（组）及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程（组）的解。

2．提高自己运用数学知识解决实际问题的能力，发展自己的观察、归纳、概括能力。体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型。

预习重点：二元一次方程（组）及其解的概念。

预习难点：检验一组数是不是某个二元一次方程组的解

（一）预习内容：

<</SPAN>一>自主探究：

任务一：探究二元一次方程（组）的概念

雄伟的长城是中华民族的象征，长城东起鸭绿江，西达嘉峪关，全长7300千米。其中东段从鸭绿江到山海关，西段从山海关到嘉峪关，西段比东段长6100千米。问长城的东、西段各长多少千米？

【思考】：1．你能列出一元一次方程求解吗？

2．已知量有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．未知量有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4．如果设长城的东段长为ｘ千米，西段长为ｙ千米，那么长城的全长为　　　　　；

西段比东段长。

5．有哪些等量关系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

可列出等式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

归纳：

1．含有未知数，并且含未知数的项都是的方程，叫做二元一次方程。

【思考】：下列方程中，哪些是二元一次方程？

①2x+y=1；②x+y+z=9； ③；④x²+y=2；⑤xy+6=7

2．像， ，这样的方程组就是方程组。

【思考】：①是二元一次方程组吗？②是二元一次方程组吗？

③你能写出一个二元一次方程组吗？

课堂实录

一．引入新课

师：著名数学家笛卡尔曾说过：“一切问题都可以转化成数学问题，一切数学问题都可以转化成代数问题，而一切代数问题都可以转化成方程。因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。”虽然有点夸大方程的作用，但却说明了方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界的一个有效数学模型。今天我们将进一步研究方程的有知识。

二．合作交流

师：请大家分组交流。

生：将超前预习的内容进行研究、讨论；分享预习的心得和体会；交流预习中的困惑；选择本组将要展示的预习模块，并进行展示分工。

师：走到学生中间倾听他们的讨论，获悉他们的困惑，适时参与讨论和指导，及时鼓励表扬。

三．阳光展示

以抢答的形式每个小组举牌决定展示权

A组：二元一次方程（组）的概念

a₁主持人：大家好，我们组向大家介绍的核心内容是“二元一次方程（组）的涵义”，现在有请我们组的a₂同学来讲解“二元一次方程的概念”。

a₂同学：二元一次方程是解决实际生活的一种工具，它所具备的特点是含有两个未知数，并且含未知数的项都是一次的方程，叫做二元一次方程（a₄同学板书在黑板上）。例如，我们有“雄伟的长城”这个实例得到的方程：x+y=7300；y-x=6100就是二元一次方程，思考中的①③小题也是二元一次方程，展示完毕。

a₁主持人：大家还有不明白的吗？请大胆提出来，我们共同解决一下。

x₁同学： a₂同学你好，我不知道 xy+6=7为什么不是二元一次方程。

a₂同学：虽然 xy+6=7含有两个未知数，但是 xy这一项不是一次项，这项的次数是x的次数与y的次数之和，是二次项。

a₁组主持人：还有疑问吗？（学生没有疑问）

师：我有个疑问，大家请看这个方程 是二元一次方程吗？

a₂同学：这个不是。因为x在分母上，大家同意我的意见吗？

生：同意。

a₁主持人：现在请我们组的a₃同学讲解“二元一次方程组的概念”。

a₃同学：我们把方程：x+y=7300；y-x=6100写成种形式就是二元一次方程组。它是由两个一次方程组成的组。

x₂同学：我有个疑问，两个一次方程组成的组，不一定是，例如就不是，应当改为：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组（a₄同学板书在黑板上）。

a₁主持人：很好，这位同学分析的非常到位。组成二元一次方程组的两个方程，共含有两个未知数，其中的一个方程可以是一元一次方程。例如：也是一个二元一次方程组。现在大家还有疑问吗？

生：无问题。

师：大家看这个方程组 是不是二元一次方程组。

生：无语，不敢确认。

师：这个是二元一次方程组。大家一定要注意，二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，书上特指“两个”，是因为它常见；此外，组成方程组的各个方程也不必都同时含有两个未知数，只要共含有两个未知数的几个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组。

a₁主持人：现在由我们组a₄同学做总结。

a₄同学：大家好，要想判别“二元一次方程”关键抓住两点“二元”和“一次”。其中一次指的是项的次数是一次，而不是未知数的次数是一次。“二元一次方程组”也是抓住两点“二元”和“一次”。其中“二元”指的是几个方程总的未知数的个数是两个，一次指的是一次方程，谢谢。

a₁主持人：我们组展示完毕。

师：谢谢A组同学给我们精彩的展示。

生：鼓掌。

师：【】大家还有什么不明白的问题吗？可以继续向A组同学请教。

生：无

B组:展示“二元一次方程（组）的解”

b₁主持人：很荣幸站到这里给大家展示我们预习的成果，希望大家多多支持，多多配合。请b₂同学展示二元一次方程的解。

b₂同学：大家好，哪个同学能起来回答什么是方程的解呢？

x₃同学：代入方程后能成立的值。

b₂同学：刚才这位同学回答的非常正确，但表达得不够具体，谁可以更具体地说一下？

x₄同学：使方程两边相等的未知数的值。

b₂同学：你的补充使问题的答案更加完整、条理。你能举个例子吗？

x₄同学：x＝2是方程x+3=5的解。

b₂同学：很好，哪位同学能够给二元一次方程的解下个定义。

x₅同学：能够使二元一次方程两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

b₂同学：非常好，例如我们把x=1，y=2代入方程x+y=3的左边，发现左边＝3＝右边，那么，x=1，y=2是这个二元一次方程的解。但是写法要注意写成这种形式。大家有什么疑问吗？

x₆同学：我们组认为应当叫做二元一次方程x+y=3的一组解，它有无数组解。

b₂同学：大家赞同x₆同学的说法吗？

生：赞同。

b₁主持人：大家还有需要补充的吗？

生：无。

b₁主持人：现在由请b₃同学代表我们组来分享“二元一次方程组的解”的预习成果。

b₃同学：既然是组的解，所以未知数的值代入组后能够使每一个方程的左右两边都相等，才是二元一次方程组的解。例如把代入 不符合第②个方程的解，所以不是这个方程组的解；把代入后能使①②方程的左右两边都相等，所以它是方程组的解。我的展示完毕。

b₁主持人：大家还有补充吗？可以来发表一下自己的观点。

x₇同学：我们组认为检验是不是方程组的解，要注意两点。其一，如果代入后发现不满足其中一个方程，无需继续检验，说明它不是方程组的解；其二，如果满足其中一个方程时，还要继续检验，只有满足所有方程时，才能说明它是这个方程组的解。

b₁主持人：这位同学说的非常好，指明了检验的方法和步骤。现在请b₄同学总结。

b₄同学：检验一组未知数的值是不是二元一次方程（组）的解，就是代入所有的方程，如果左边等于右边，那么，就是二元一次方程（组）的解。

b₁主持人：我们组展示完毕。

师：同学回答、展示的很突出，对知识掌握得很好。你们个个俨然就是小先生，有提问，有解释，分析的很到位，希望你们能够再接再厉。大家送给他们掌声。

生：鼓掌

C组：展示任务三

c₁主持人：上几个小组展示很棒，我们一定向他们学习。大家请看c₂同学列的方程组对不对。

c₂同学：板书列方程的方程组

生：对

c₂同学：我认为列二元一次方程组解应用题关键要分析透题意，找到等量关系。然后设出未知数，列出方程组。

c₃同学：板书列的一元一次方程3x+（9－x－2）＝17，解得：x=5.所以胜了5场，平了2场。

c₁主持人：大家请看c₃同学列的方程组对不对。

生：对

c₄同学：大家想一想，如果把胜的场次和平的场次代入二元一次方程组看一看是否成立。

生：成立。

c₁主持人：说明我们列的方程组是正确的。谢谢大家，我们展示完毕。

师：其实，这个题揭示了二元一次方程和一元一次方程之间的内在联系，后面几节课我们将进一步研究。C组的同学展示的也非常精彩，我们把掌声送给他们。

D组：展示预习诊断

生：第1，3题主要考查的是二元一次方程（组）解的理解；第2小题是对二元一次方程组概念的理解；第4小题是二元一次方程组的应用。

四．拓展延伸

1.已知方程2x^{|a |-1}+(a－2)y=0是二元一次方程，你能求出a的值吗？

师：哪个小组能够求出a的值？

生：我们小组认为既然是二元一次方程，那么它应当满足其条件，即|a |-1＝1，a－2≠0，我们求得a＝－2。

师：很好，这组的同学考虑的很周全，对二元一次方程掌握的较好。

2.小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组，第①个方程y的系数遮住，第②个方程x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？

师：大家思考，解决此题的关键是什么呢？

生：求出第一个方程中y的系数，第二个方程x的系数即可。

师：谁能求出来呢？

生：无语

师：我们可以设出第一个方程中y的系数为m，第二个方程x的系数为n。再思考二元一次方程组的解有什么意义？

师：现在小组内交流。

生：可以把 代入方程组分别得到含有m和n的两个一元一次方程，即可求出m，n的值。

师：利用二元一次方程组的解求字母系数的值是一种典型的题目，其实很简单。谁能说一说这类题的做法。

生：把方程组的解代入每一个方程得到一个关于字母系数的新方程，解方程即可得到字母的值。

师：分析的非常好，大家把掌声送给他。

教学反思：