爱华网朱世杰，字汉卿，自号松庭，籍贯在燕京一带。如赵、莫、祖等人序文都提到“燕山松庭朱君”、“燕山朱汉卿先生”，《四元玉鉴》卷首也注明“寓燕松庭朱世杰汉卿编述”等语可证。
朱世杰生活及从事学术研究的年代大约在13世纪末到14世纪初。如莫若序中说：“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学。为书三卷……名曰《四元玉鉴》。”祖颐后序中也说：“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。”莫、祖二序写于《四元玉鉴》付刻的1303年左右，那么序中所言朱世杰“周游湖海二十余年”，大概在13世纪的最后二、三十年间，并且不仅从事数学研究，而且还从事数学教学工作。
元初由于世祖忽必烈重视汉文化，提倡科学技术，所以在我国南北方普遍重视数学的普及与研究的基础上，形成了南北两个不同侧重的系统，各具风采。朱世杰吸收借鉴了南北各自之精华长处，著成《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
《算学启蒙》3卷，20门，259问。它包括了乘除、面积、体积、垛积、盈不足、差分、方程、开方、天元术等当时数学的各个方面，形成了一个较完整体系，是一部很好的入门书。其卷首列一“总括”，包括乘除口诀及常用数据18条，是为入门知识。正文分上中下3卷。
上卷8门、113问。其中①纵横因法门（8问），即乘数为一位数的乘法；②身外加法门（11问），即乘数首位数字是1的乘法；③留头乘法门（20问），即多位乘法；④身外减法门（11问），即除数首位是1的除法；⑤九归除法门（29问），即多位除法；⑥异乘同除门（8问），即比例问题；⑦库务解税门（11问），即利息问题和税收问题；⑧折变互差门（15问），即较复杂的比例问题中卷共7门71问。其中①田亩形段门（16问），即各种形状的田亩面积；②仓囤积粟门（9问），即粮仓容积计算；③双据互换门（6问），即复比例问题；④求差分和门（9问），即和差问题；⑤差分均配门（10问），即比例配分问题；⑥商功修筑门（13问），即土建工程中各种土方的计算；⑦贵贱反率门（8问）。
下卷共5门，75问。其中①之分齐同门（9问），即各种分数计算；②堆积还元门（14问），即各种垛积问题；③盈不足术门（9问）；④方程正负门（9问）；⑤开方释锁门（34问），系统他讲解了利用天元术来解决各种问题的算法。
从上述所列目录来看，《算学启蒙》主要是介绍论述实用算术的启蒙书，同时也包括了当时数学发展的最高成就“天元术”，形成了一套完整的体系。所以清人罗士琳说《算学启蒙》一书，“似浅实深”，并说《算学启蒙》与《四元玉鉴》两书“相为表里”。
《算学启蒙》由于它的实用性与系统性，不仅在我国广为流传，而且还流传到了朝鲜和日本。在朝鲜李朝时，《算学启蒙》被作为教科书，与《详明算法》、《杨辉算法》一道作为选拔算官的基本书籍。在日本，自土师道云于1658年刊行了《算学启蒙训点》后，有多种注释新编本刊印流行。
《算学启蒙》现流行的版本除清人罗士琳扬州刻本外，尚有清光绪八年（1882年）醉六堂本和测海山房中西算学丛刻本等。
《四元玉鉴》是朱世杰论垛积术与四元术的杰出著作。全书3卷，24门，288问。其中上卷共7门，75问 ；中卷共10门，103问；下卷共8门，110问。但总括全书，所有的问题都和方程式或方程组有关，其解法也都需立天元一，或立二元、三元乃至四元。如全书288问，其中四元方程组7问，三元方程组13问，二元方程组36问，一元方程组232问。
《四元玉鉴》最重要的内容和最突出的成就，一是“四元消法”，即高次方程组消去法问题；二是关于高阶等差级数的有限项求和问题。此二项在中国数学史上占有极重要地位，同时比国外的同类成果也要早几百年。
《四元玉鉴》在15、16世纪虽有一定流传，但此时学界对其中的天元术和四元术还不甚了了，直到清道光年间（19世纪初）此书重新刊刻，才又引起重视与研究。其中以罗士琳与沈钦裴最为著名。罗士琳参考各种本子，对《四元玉鉴》提出了130余处校改，并对每一问题给出了详草。1834年罗氏著《四元玉鉴细草》出版后，成为探讨《四元玉鉴》的必读书籍。沈钦裴也有关于《四元玉鉴》的细草钞本。本世纪初日人三上义夫还曾将《四元玉鉴》介绍到了日本国，其后康南兹也作过英文介绍。
