爱华网16.李锐(1769—1817)是中国古代数学家，又名向，字尚之，号四香，江苏元和县(今属苏州市)人。
(一)少从名师
李锐先世居河南，祖父名横，父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)进士，曾任河南伊阳(今汝阳)知县，后调兵部主事。李锐生于l769年1月l5日，“幼开敏，有过人之资。从书塾中捡得《算法统宗》，心通其义，遂为九章八线之学。”
1788年，李锐为元和县生员。次年钱大听来主持紫阳书院，李锐就此受业其门下。1791年，李锐从紫阳书院肄业，开始向钱大听学习天文和数学知识。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸法，复引而进于古”。钱大听“日以翻阅群书校仇为事，遇有疑义辄与锐商榷”。例如撰成《三统术衍铃》之后，就请李锐算校并作跋，可见钱氏对这位弟子的学问相当满意。这段学徒生涯，使李锐不但学到了知识，而且熟悉了干嘉学派大师的治学方法，对此有人记道：“受业于钱辛楣宫詹(指大听)为九数学，宫詹诲之曰：‘凡为弟子者，不胜其师，不为贤弟子，吾友段若鹰(即玉裁)之于戴东原(即震)是矣，子其勉之。’先生(即李锐)于是闲门沉思五年，尽通畴人家言。”
由于钱大听的介绍，李锐开始与比他年长6岁的焦循通信。l790年，焦循以所著《群经宫室图》二部寄钱大听，后者复函称“已分一部致李生尚之，并将尊札付其阅看，伊亦深佩服，以不得握手为恨李锐也给焦循去了一信内容主要讨论行星运动问题。
(二)幕宾生涯
1795年，阮元出任浙江学政，开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州，实际上成为这一中国历史上第一部天文、数学家传记的主笔。在此期间，他常往来于苏、杭之间，得以广泛接触江南各藏书名家所收珍本秘籍，并有可能获读文澜阁四库全书中的传抄本。在此基础上，李锐对中国古代数学进行了认真的研究，他的工作与干嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》，及《九章算术》等。在天文学方面，李锐相继对三绝、四分、干象、奉元、占天、淳佑、会天、大明、大统等历法进行了疏解。并先后完成《三统术注》、《四分术注》等五部书稿。在经学方面，他曾协助阮元校勘《周易》、《谷梁》及《孟子》，其成果被载入阮元编的《十三经注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》这样的经学作品。
l798年，李锐完成了《弧矢算术细草》—书。1799年在读《宋书·律历志》时、对其中用棕转述之何承天调日法有所悟，撰成《日法朔余强弱考》—书。同年《畴人传》编竣。在此期间，李锐与焦循同居阮元节署之内。朝夕相处，“共论经史，穷天人消息之理。”、”大约此时，李锐通过焦循了解到汪莱的工作；汪、李初次见面则在l800年。
汪莱于1801年授馆扬州，同年撰成《衡斋算学》第五册，议论秦九韶，李冶开方之“可知”与“不可知”，即数字方程是否仪有—个正根。稿成后汪氏曾分送张敦仁和焦循二人求正、焦循逐将汪莱的书稿出示给李锐。李锐看毕“深叹为精善，复以两日之力作开方三例”。这是1862年9月5日的事。当时李锐丧妻不久、又逢失子，独自居住于西湖边之孤山附近，心境十分凄凉。他在为汪莱所作的跋文中说：“是卷穷幽极微，真算氏之最也”。随后给出的“三例”则是他研究方程理论的开篇之作。
l805年，李锐应扬州太守张敦仁之邀前往入幕。此时在场州的数学家还有焦循、汪莱、凌廷堪、沈钦裴等人，一时风云际会，尤以李、汪、焦(一说李、凌、焦)三人被誉为“谈天三友”。张敦仁先后撰写《缉古算经细草》，《求——算术》、《开方补记》等书，都得到李锐的鼎力相助。他觅得南宋版《九章算术》(前五章)、《孙子算经》、《张丘建算经》之后，都请李锐算校整理。大约同时，汪莱完成了《衡斋算学》第七册，把方程论的研究又向前推进了一大步。
1806年，李锐回到苏州。这一年他相继撰成《勾股算术细草》、《盘折说》、《戈戟考》等作品，又为张敦仁复校《求—算术》。1808年写成《方程新术草》，书成后即寄给北京的李潢一部抄本。当时李潢正在从事《九章算术》的研究，他后来复函李锐，对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算书细草》给予很高的评价。李锐与李潢，也被人并称为“南北二李”。
李锐生平虽曾多次参加科举考试，但是均未获成功。1801年，李锐从张敦仁在南昌的府邸出发，前往北京参加他的最后一次考试。这次顺天府的乡试又以失败告终，但他得以与李潢这位神交已久的学术知己聚首。在京期间，他们曾频繁往来，主要讨论《九章算术》中的问题。
李锐一生对中算古籍十分珍视，除了以—上提到曾多部古算书校释外，又于1800年亲自购得梅文鼎手录之明清之际数学珍本《西镜录》；此书后由焦循另抄一册，得以流传至今。在北京滞留期间，他又从李潢处读到阮元录自《永乐大典》的多部算书。1814年，李锐得到一部散乱的《杨辉算法》，遂据文义重新排列整齐。18l6年，他从张敦仁处获阅阮元早先访得并呈入四库的《四元玉鉴》，开始动手整理，可惜因体力不支未能卒业，以至阮元叹道：“惜乎李君细草未成，遂无能读是书矣。”
(三)贫病相伴
李锐虽然长年奔走于达官显贵之间，他的家庭生活却是十分清苦的。在他留下的日记中，经常可以看到“受某某银若干”的记载；有一则日记还提到李潢托请张敦仁“少分清俸，以瞻其家，俾得悉心、着书。”李锐也经常以自己的精神劳动来回报他的导师或保护人，钱大听、张敦仁、阮元、李潢等人都曾采用过他的研究成果，难怪有人说他“凡有诘者”，“悉详告无隐”。李锐嗜书如命。为此不得不节衣缩食。有时实在买不起。他就靠借书和抄书来获得所需的资料。尤为可悲的是、为了传宗延嗣．他在发妻龚氏及爱子天亡之后又相继二次娶妻，直到临终始得一子。过度的工作量和沉重的家庭负担无疑加剧了他生活的贫困，也损害了他的健康。
l814年，李锐已患重病，此时他开始向弟子黎应南讲授开方与解方程的理论，断断续续地讲了三年，其讲稿就是后来的《开方说》。l8l7年夏，李锐病情恶化，临终前嘱托黎应南务必将尚未定稿的《开方说》下卷写好。1817年8月12日，正值创造盛年的李锐咯血身亡。时年仅48岁。
李锐去世后，黎应南“谨遵先生遗命，依法推衍”。于1819年将《方程论》全部完成。
李锐的科学著作，主要的都被收集在《李氏遗书》之中。该书初刊于嘉庆年间，共11种18卷，其子目为：《召浩曰名考》、《三统术注》、《四分术注》、《干象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强弱考》、《方程新术革》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开方说》。此外，他还着有《测圆海镜细草》、《缉古算经细草》、《补宋金六家术》；《回回历元考》等书。
李锐在其学术活动中集继承与创造于—身。他对数学的贡献，主要有以下四个方面：
(一)编纂《畴人传》
《畴人传》是一部以历法沿革为主线，以人物为核心的大型天文、数学家传记，共收录自远古至清初的中外历算家3l6人。每一人物均由“传”、“论”两部分组成：“传”主要是原始文献的荟萃、“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件，是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。
作为该书名义上主编的阮元，提到其编辑过程时自云“供职内外，公事频繁”，而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话在他为罗士林《续畴人传》写的序言和应李锐子可玖写的传记中都一再重复。阮元以地方长官的身份办学刻书，先后冠其名出版的《经籍纂诂》，《十三经注疏》、《皇清经解》等大部头经学著作无不出自其幕宾之手，此情自可推论到《畴人传》上。阮自称“本昧于天算”，又认定李锐“深于天算术。江以南第一人也”，因而将《畴人传》的具体工作交李锐来于是十分可能的。
从该书的具体内容来看，“张寿王”、“刘洪”、“马显”、“昭素”、“周踪”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”传都与李锐有关著作中的文字完全相同；“虞刘”、“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样，因而早就有人说：“(人传)正传成于阮氏，实乃元和李氏之笔”。
(二)整理古算书
乾隆年间编纂《四库全书》，一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日，戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名著。然而这些古书历经辗传抄或翻刻，讹文夺字迭出，所用术语又往往与当时的不同，而校勘和注释的任务是相当艰巨的。
《九章算术》是中国古代数学的代表作，现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前，李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书，书成后都曾送李潢过目，有李潢的信为证：
“读大着《方程新术草》一卷，正负相当各率，一？自然，正从前传刻之误，阐古人未发之覆，愉快弥日。《股(算术)细草》，前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。
惠一本，条段各图，细入毫芒，真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的·说明，不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同，尤其·是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于．“方程新术”的解释，基本上也是因袭李锐的著作。
李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世，李锐曾为之算校并作跋，有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本，而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。
李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。
(三)疏解调日法和求一术
调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟，罔识古义，竞天知其说者。”李锐在读《宋书·律历志》的时候，注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”的意义，他解释道：何氏以26/49和19/17为上、下限，将朔望月的奇零部分表示为(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值，这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余，分母叫作日法。
以此为契机，李锐对51家古代历法进行了考察．试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式，并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这—古代分数近似法重新受到重视，被人称为“尤为抉尽间奥，皆必传之作，不但与秦氏书为羽翼也。”
但是从现代数学的观点来看，位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式，因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复，古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难．他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法，其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法，x和y分别表示强、弱二数，李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法，从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。
(四)研究代数方程论
李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家著作的整理与研习，但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中，他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则，其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根；它们与l6世纪意大利数学家卡当(G·CarJano)提出的两个命题十分相似。
在《开方说》中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正、下负，可开四数或二数”；推而广之，他的意思相当于说：(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿(R．Descartes)于l637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。
除了关于方程正根个数的判定法则之外，《开方说》中还有许多其它的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念；他又将方程的非正数解称为“无数”，并声称“凡无数必两，无一无数者”，这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件，创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”，还对末元算书中所包含的各种方程变形法，如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形，逐一进行了解释并加以完善。
所有这些内容，标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。
17.李善兰(公元1811年～1882年)
十九世纪六十至九十年代，一批近代科学家脱颖而出，浙江海宁人李善兰就是其中的佼佼者。
李善兰字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，出生与一个书香门第，少年时代便喜欢数学。十岁那年，李善兰在读家塾时，从书架上“窃取”中国古代数学名著——《九章算术》“阅之”，仅靠书中的注解，竟将全书426个数字应用题全部解出，自此，李善兰对数学的兴趣更为浓酣。十五岁时，李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》，尽通其义，可惜徐、利二人没有译出后面更艰深的几卷，李善兰深以为憾，常幻想有“好事者或航海译归”，使自己得窥全豹。咸丰二年，他到了上海，结识了英国传教士伟烈亚力与艾约瑟，他们对李善兰的才能颇为欣赏，遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。墨海书院为英国传教士麦都斯所创立。此书馆原为传教而设，其后译书工作从宗教书刊扩张到西方科技领域，郭嵩焘出使英法前路经上海，曾到墨海书院参观，并在日记中写到：
次至墨海书院，有麦都思者，西洋传教人也，自号墨海老人。所居前为礼拜祠，后厅置书 甚多，东西窗下各设一球，右为天球，左为地球。麦君着书甚勤，其向相与校定者，一为海盐李壬叔（即李善兰），……李君淹博，习勾股之学。
李善兰到墨海书院之后，率先与伟烈亚力合作，翻译《几何原本》后九卷，以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书，在西方各国亦多为全译，英国虽有一部从希腊文译为英文的完本，但因翻译和校勘粗疏，伪误层见叠出。“毫厘千里所失非轻”。连伟烈亚力自己也承认，“余愧翦陋，虽生长泰西，而此术未深，不敢妄为勘定”。只能就英译本照本宣科，口译为汉语，而谬误之处全凭李善兰从深广的数学知识加以匡正审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力，《几何原本》译本终成完璧，西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体，第一次传入我国。
《几何原本》的全译是一项艰苦的工作，在《几何原本后九卷续译序》中，李善兰语重心长地说：“后之读者勿以为书全本入中国为等闲事也”。其间包容了经历过万般艰辛后的无限感叹。在全书的翻译过程中，李善兰用力甚巨，伟烈亚力曾不无谦逊地说：“删芜正讹，反复详审，伸其无有疵病，则李君之力居多，余得以借手先成矣”。他同时宣称：“异日西士欲求是书善本，当反求诸中国矣”。可见对译书的质量十分满意。
在《几何原本》后九卷的翻译过程中，艾约瑟又邀请李善兰同译英国人胡威力所著《重学》。所谓“重学”即力学。于是，李善兰“朝译几何，暮译重学”，李善兰所译的《重学》虽然只是原文书的中间部分，但译出的部分已较为详细地介绍了力学的一般知识。书中的牛顿力学三大定律则是第一次介绍入中国。
除了《几何原本》后九卷与《重学》外，李善兰还与伟烈亚力合译了另一本重要的科学理论著作，这就是《谈天》。《谈天》是一本天文学著作，原名《天文学纲要》，其作者是英国著名天文学家约翰·赫歇尔。该书对太阳系的结构和行星运动有比较详细的叙述，其中涉万有引力定律、太阳黑子理论、行星摄动理论、彗星轨道理论等方面的介绍。
同治七年（1868年），李善兰因郭嵩涛推荐，到北京任同文馆天文算学馆总教习，天文算学馆相当于现在的大学数学系,李善兰可以称得上我国数学史上第一位数学教授，他在天文学馆执教十余年，先后课徒百余人，一直工作到病逝。
在中国近代史上，李善兰以卓越的数学研究引人瞩目。善兰数学造诣颇深，“其精到之处自谓不让西人，抑且近代罕匹”。他编辑刊刻的《则古昔斋算学》中包括数学著作13种，李善兰早期研究的数学课题，主要是我国明清以来的传统数学。比较突出的是他对“尖锥术”的独立研究。他在中国传统数学垛积术的极限方法基础上，发明了尖锥术，创立了各种三角函数和对数函数的幂级数展开式，以及几个重要积分公式的雏形，李善兰在创造“尖锥术”的时候，还没有接触到微积分，但他实际上具有解析几何思想和微积分思想，“则以一端，即可闻名于世”。由此可见，即使没有西方传入的微积分，中国数学也将回通过自己的特殊途径，运用独特的思想方式达到微积分，从而完成由初等数学到高等数学的转变
18.李冶(公元1192年～1279年)
李冶(1192-1279)是中国古代数学家，原名李治，字仁卿，号敬斋，金代真定府栾城县(今河北省栾城县)人。
李冶生于大兴(今北京市大兴县)，父亲李通为大兴府推官。李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县(今河北省元氏县)求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公(指李冶)幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州(今河南禹县)知事，为官清廉、正直。1232年，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难。
经过一段时间的颠沛流离之后，李冶定居于崞山(今山西崞县)之桐川。1234年初，金朝终于为蒙古所灭。金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著--《测圆海镜》。他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以着书为乐，从不间断自己的 写作。据《真定府志》记载，李冶“聚书环堵，人所不堪”，但却“处之裕如也”。他的学生焦养直说他：“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”。经过多年的艰苦奋斗，李冶的《测圆海镜》终于在l248年完搞。它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作。
1251年，李冶的经济情况有所好转，他结束了在山西的避难生活，回元氏县封龙山定居，并收徒讲学。1257年在开平(今内蒙古正蓝旗)接受忽必烈召见，提出一些进步的政治建议。l259年在封龙山写成另一部数学著作-一《益古演段》。1265年应忽必烈之聘，去燕京(今北京)担任翰林学士知制洁同修国史官职，因感到在翰林院思想不自由，第二年辞耿还乡。李冶是一位多才多艺的学者，除数学外，在文史等方面也深有造诣。他晚年完成的《敬斋古今注》与《泛说》是两部内容丰富的著作，是他积多年笔记而成的。《泛说》一书已失传，仅存数条于《敬斋古今注》附录。他还着有《文集》四十卷与《壁书丛制》十二卷，已佚。1279年，李冶病逝于元氏。李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。他的《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》则是一本普及天元术的著作。
所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的。在中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。到唐代，王孝通已经能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱。但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐。例如李冶在东平(今山东省东平县)得到的一本讲天元术的算书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂，它“以十九字识其上下层，曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。”这就是说，以“人”字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂(最高为九次)，入以下九字表示未知数的各负数次幂(最低也是九次)，其运算之繁可见一斑。从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看，天元术的作用还十分有限。李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。当时，北方出了不少算书，除《铃经》外，还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件。特别值得一提的是，他在桐川得到了洞渊的一部算书，内有九客之说，专讲勾股容圆问题。此书对他启发甚大。为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理(或公式)，这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程(最高为六次)，给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂。而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性。他在结束避难生活、回元氏县定居以后，许多人跟他学数学，促使他写一本深入浅出、便于教学的书，《益古演段》便是在这种情况下写成的。《测困海镜》的研究对象是离生活较远而自成系统的圆城图式，《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方、圆面积。李冶大概认识到，天元术是从几何中产生的。因此，为了使人们理解天元术，就需回顾它与几何的关系，给代数以几何解释，而对二次方程进行几何解释是最方便的，于是便选择了以二次方程为主要内容的《益古集》(11世纪蒋周撰)。正如《四库全书·益古演段提要》所说：“此法(指天元术)虽为诸法之根，然神明变化，不可端倪，学者骤欲通之，茫无门径之可入。惟因方圆幂积以明之，其理尤届易见。”李冶是很乐于作这种普及工作的，他在序言中说：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！”
《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新首先，李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。其次，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。
19.刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了'割圆术'，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的'割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣'，这可视为中国古代极限观念的佳作．
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．
