爱华网百届论坛报告会（14）
天体椭圆轨道运动瞬时速度的物理公式算法
李亚平
（辽宁.丹东118000）
摘要：在经典力学的基础上导出了椭圆轨道运动瞬时速度的关系式，从而，在初等数学范围内解决了对椭圆轨道瞬时速度的求值，摆脱了长期以来对瞬时速度求值的微积分算法。简化了对瞬时速度求值数学计算中的复杂过程，提高了计算结果的精度。确定了椭圆运动瞬时速度与圆运动匀速度之间的物理关系及变换方法，并对椭圆轨道运动瞬时速度关系式进行了自然的客观验证，为椭圆运动理论奠定了基础。
关键词：瞬时速度，椭圆运动，万有引力
中图分类号：o311文献标识码：A
1 引言
行星在环绕椭圆轨道的运动中，其速度每时每刻都处在变化中，对行星某时处于某位置上的速度求值，一直以来所采用的方法，无不是通过微积分的算法来得到。这种方法虽无不可，但一是计算过程复杂，二是微积分的方法理论上只是无穷逼近客观值，在物理上只有近似意义。三是微积分的算法只是纯数学方法而非物理公式法，因为其缺乏物理关联，例如它与质量、引力、角动量无关，更无法从经典力学理论中导出，因此缺乏物理根据没有物理意义。
然而，事实上在经典力学理论框架内，通过理论推导是能够得到瞬时速度关系式的。因此，对瞬时速度的求值是可以在初等数学范围内实现的，无须微积分的算法也可以得到行星椭圆轨道任意位置上的瞬时速度。瞬时速度公式与以往的经验公式及微积分算法的不同则在于，通过理论推导建立的瞬时速度关系式更具有理论物理意义。因此，更简单、更准确、更客观。
2 椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式
行星在椭圆轨道的瞬时速度的平方，等于引力常数与中心天体（为了简便本文以下均称为主星）质量及半焦弦的积，除以主星中心与行星中心连线距离的平方（即：椭圆轨道即时矢径的平方）。
数学表达式为：
（1）
式中为椭圆轨道的瞬时速度，G为引力常数，M为主星天体质量，d为椭圆半焦弦，r为主星中心与行星中心连线的距离，即：轨道半径（以下为了习惯及方便起见，本文中将椭圆轨道的即时矢径均称为椭圆轨道半径，以对应圆轨道半径）。
3 对瞬时速度数学表达式的理论推导
设：行星的质量为 ，行星椭圆轨道周期为 ，轨道半长轴为 ，轨道半短轴为 ，面积速度为 ，角速度为 ，为轨道半径。 为轨道速度。
理论推导如下：
根据面积速度公式
面积速度
令： 为2倍的面积速度，所以有
（2）
根据开普勒第二定律，行星在单位时间内扫过的面积是常数 ，但在周期 内，行星扫过的面积等于椭圆面积 ，所以有：
因而
即
由解析几何可知 ，（ 是椭圆的半焦弦），代入得
（3）
因为有式（2） ，代入式（3）得
根据牛顿力学导出式（详见《理论物理概论》58页，高等教育出版社1991版）
所以又有：
两边同时乘以后，并开方得
（4）
于是（5）
即（6）
由此推导出椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式，式（6）即椭圆轨道瞬时速度的数学表达式，式中 即椭圆轨道的瞬时速度。
推导完毕。
以上对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的推导充分地证明，对于行星椭圆轨道运动的瞬时速度，完全可以在初等数学范围内进行处理，从而可以摆脱对椭圆运动瞬时速度求值的微积分算法。
4 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系
4.1牛顿万有引力中速度的数学表达式
设：向心加速度为 ，F为万有引力，M为主星质量，m为行星质量，
r为轨道半径（即主星中心与行星中心连线的距离）。
根据向心加速度的公式
（8）
及牛顿第二定律
将（8）式代入得
（9）
根据牛顿万有引力
所以有
消去m和r得
两边同时开方
于是（10）
式（10）即是牛顿万有引力中速度的数学表达式。
4.2 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系
为了区别椭圆轨道运动的瞬时速度与圆运动的速度，设椭圆轨道运动的瞬时速度为 。
根据：（1）椭圆运动中瞬时速度的表达式为
(11)
（2）万有引力中的速度为
（12）
将式（11）两边同时平方得
=
因为万有引力中的速度
所以有两边同时开方后
于是（13）
式（13）即万有引力中的速度 与椭圆轨道运动中瞬时速度 的变换关系式。
事实上万有引力中的速度就是圆周运动中的速度，这是毫无疑问的，因此，牛顿万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的变换关系，也就是圆周运动中的速度与椭圆运动中的瞬时速度的变换关系。
5 对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的客观验证
下面将具体的运用瞬时速度关系式，仅对地球、火星的近日点、远日点位置上的瞬时速度进行客观验证，同时给出万有引力中速度的计算结果并加以对比。由此可证明，瞬时速度的关系式完全符合椭圆运动规律。
设： 为太阳的质量， 为引力常数， 为椭圆半焦弦。
已知：
验证一 地球在轨道近日点位置上的瞬时速度
设：地球近日距为
已知： 1.47098074 m
求：地球在轨道近日点位置上的瞬时速度 。
解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：
得地球在轨道近日点位置上的瞬时速度
实际瞬时速度为
实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。
（2）根据万有引力中的速度公式：
应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后
得
比较实际值可见两者差距很大相去甚远。
验证二 地球在轨道远日点位置上的瞬时速度
设：地球远日距为
已知
求：地球在轨道远日点位置上的瞬时速度 。
解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：
得地球在轨道远日点位置上的瞬时速度
实际瞬时速度为
实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。
（2）根据万有引力中的速度公式：
应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后
得
比较实际值可见两者差距仍然是很大。
验证三 火星在轨道近日点位置上的瞬时速度
设：火星近日距为
已知：
求：火星在轨道近日点位置上的瞬时速度 。
解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后
得火星在轨道近日点位置上的瞬时速度
实际瞬时速度（非精确值）为
可见计算结果与实际值两者完全吻合。
（2）根据前面牛顿万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后
得
比较实际值可见差距同样是非常之大。
验证四 火星在轨道远日点位置上的瞬时速度
设：火星远日距为
已知：
求：火星在轨道远日点位置上的瞬时速度 。
解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后
得火星在轨道远日点位置上的瞬时速度
实际瞬时速度值（非精确值）为
可见计算结果与实际值两者完全吻合。
（2）根据万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后
得
比较实际值两者同样是存在误差问题。
由此可见，以万有引力导出的速度公式得到的速度值，与客观实际值两者相去甚远。这就充分说明，牛顿的万有引力是基于理想化条件下的圆运动建立的，其基础核心是圆运动的匀速度，而椭圆轨道运动是变速度，两者有着本质的区别，所以，万有引力不适用于椭圆轨道运动。因此，椭圆轨道的瞬时速度只能通过瞬时速度的关系式来解决。事实证明瞬时速度关系式完全符合椭圆运动规律。
必须指出的是，对于瞬时速度的求值，微积分的算法仅仅是一种数学方法，其对物理而言，更像是数学化了的物理“代用品”只有数学意义没有物理意义。而瞬时速度关系式则是根据经典力学导出的，因此是基于物理关系的纯粹的物理公式法，更是椭圆运动理论的基础。
最后，关于验证中的各物理参数，由于长期以来关于太阳系行星的各物理参数并没有一个统一的标准精确值，各种版本的参数互不一致，为此本人采用了维客网上的资料，本节客观验证中的轨道参数及实际速度参数均取自维客网上的资料，个人认为比较精确。
全篇结束。
由于本人并非理论物理专业人士，文中难免疏漏不当，还望体谅、批评、赐教 ，本人在此一并感谢。
李亚平
2009年5月16日 于辽宁.宽甸
学术动态№5813北京相对论研究联谊会学术委员会主办 |
主编：吴水清2008/10/10p. 19115-19119 |
