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第01题 阿基米德分牛问题
【问题描述】
太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？
【历史背景】
该题是阿基米德（Archimedes前287--前212）在一封给埃拉托塞尼的信中提出，但真实性颇值得怀疑，该题大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已。阿基米德是古希腊数学家和物理学家，是历史上最伟大的数学家之一。阿基米德发现了杠杆定律和浮力定律。阿基米德有十余种数学著作，主要研究几何中的面积和体积问题。阿基米德有句名言“给我一个支点，我能撬动地球”。
【问题解答】
这是一道解方程组的问题。设白公牛数为w、黑公牛数为x、花公牛数为y、棕公牛数为z、白母牛数为p、黑母牛数为q、花母牛数为r、棕母牛数为s，根据题意，可列出以下方程组：
w-z=(1/2+1/3)x (1)
x-z=(1/4+1/5)y (2)
y-z=(1/6+1/7)w (3)
p=(1/3+1/4)(x+q) (4)
q=(1/4+1/5)(y+r) (5)
r=(1/5+1/6)(z+s) (6)
s=(1/6+1/7)(w+p) (7)
方程组有８个未知数，但只有7个方程，假定z为已知。由(1)、(2)、(3)可解得：
w=2226z/891，x=1602z/891，y=1580z/891
由于y的解不可约分，所以z应为891的倍数(牛的数目不能为分数)，令z=891m，则：
w=2226m，x=1602m，y=1580m，z=891m
把以上解代入(4)、(5)、(6)、(7)，解得：
p=7206360m/4657，q=4893246m/4657，r=3515820m/4657，s=5439213m/4657
由于4657是素数，所以m应为4657的倍数，令m=4657n，则：
w=10366482n，x=7460514n，y=7358060n，z=4149387n
p=7206360n，q=4893246n，r=3515820n，s=5439213n
本题有无数组解。
【台阶石点评】
本题是齐次不定方程组问题，通常有无数组阶。本题难度并不大，由于解题过程中出现的数比较大，容易做错。
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第101 井深问题
【问题描述】
五家合用一口井，甲家的2根井绳（等长）和乙家1根井绳总长为井深，乙家的3根井绳（等长）和丙家1根井绳总长为井深，丙家的4根井绳（等长）和丁家1根井绳总长为井深，丁家的5根井绳（等长）和戊家1根井绳总长为井深，戊家的6根井绳（等长）和甲家1根井绳总长为井深。问：井深、各家井绳各多少？
【历史背景】
该题出自《九章算术·方程》第13题。《九章算术》是我国数学的古典名著。本文摘之沈康身（1923.9.2-2009.1.14）教授的力作《数学的魅力（四）》第6页，有所改动。沈康身教授是我国著名的数学史专家。除了四卷本的《数学的魅力》外，他的《历史数学名题赏析》也大受读者欢迎。
【问题答案】
甲家井绳：x=265k，乙家井绳：191k，丙家井绳：148k，丁家井绳：129k，戊家井绳：76k，井深：721k。
【台阶石点评】
本题与第01题有若干相似性：①都属解齐次不定方程组类问题；②都有悠久的历史；③名气都很大，一个出自名人，一个出自名著。
