爱华网不记得这个博客是什么时候建立的了。这一年多来，忙于恶补数学，便忘了它。先贴上一篇关于数学分析基础学习所用到的书单吧，存档并使自己有个找处。
微积分（叫数学分析也行），在今天就跟掰手指计数一样，是一种非常基本到不可或缺的知识了。先说教材——
1. Tom M. Apostol, Calculus, Vol.I & II, SecondEdition, John Wiley & Sons, 1967, 1969
如果要快速入门，这本书是一个比较好的选择。第一卷副题为：One-Variable Calculus, with anIntroduction to Linear Algebra，第二卷的副题为：Multi Variable Calculus andLinear Algebra, with Applications to Differential Equations andProbability。单变量、多变量微积分，线性代数，微分方程，概率论都有了。这个两卷本大约1300多页，不过，靠着这点东西，一般的书上所用到的数学基本就都能看明白了，从这个角度说，读这本书是很划算的。而且，即使是想要学数学，读过这本后，从哪个方面深入就都有了必要的“先修”知识了。
另外，推荐这本书还有一个很重要的原因，就是它的叙述是比较historical，这不仅对了解微积分的来龙去脉有好处，还对理解微积分的本质有帮助。用这本书做第一教科书的话，那么下一本可以略过。
2. R.Courant & F.John, Introduction to Calculusand Analysis, VI & VII/1,2, Springer(1989),世图影印版。
本书的原始版本是1927年的德文版。微积分教材成为今天这个样子，就是这本书奠定的。在此之前，微分与积分都是分开论述的，如本书前言所说，这就掩盖了微分与积分的互逆关系，我们知道，这种互逆关系是十分重要的。正是Courant使微积分成为一门统一的学问。1934年，James和McShane合作，对原著作了增订而出版了英文版，美国也随之大量印行。可以想象，活跃于20世纪数学、科学和工程界的人，有多少是从这本书启蒙的。从影响力与发行量上来说，说它是20世纪最经典的数学教材，一点都不为过。
1965年，F.John与Courant合作，出了个改写本，以适应当时的需要。本书就是这个1965版本。有不少人说它过时了，但仔细想想，我们现在的数学分析或者微积分教材基本上还是苏联1950年代的样子（何况还没抄全），凭什么说1965年的Courant就过时了呢？这本书有中文版。我还记得刚上大学的时候在图书馆见到它的中文版时的激动，可惜还回去后就再也借不回来了。应该是70年代末翻译的吧。
在我看来，这是最好的一本入门教材了。刚开始学习微积分的时候，那种写得很教条化的书是不太好用的。亲切而易于理解并直达核心，是这本书最大的特色。这里的习题从容易的到艰难的都有，能把它们都做了，基本上也就不再需要害怕传统微积分方面的习题了。稍微有点耐心的话，那么，用这本书做第一教科书是最好的。
进一步的提高，我推荐这本书——
3. H.Amann & J.Escher, Analysis, BirkhauserVerlag, 2005-2009
三卷。原著是德文，2001年才出的德文版，绝对新鲜。非常非常值得去啃啃的一本书。Courant是入门，这本书是提高到“现代化”的读物。看看今天人们是如何处理微积分的，对今后的学习是有好处的。所以我不认为读一本书就够，而列出了两本必读教材。
以上三本书，1和2可以选择一本作为第一教科书，完事以后，3是一定要读的。我觉得 Amann的这本书，比目前国内备受追捧的卓里奇要好，观点也更高。
参考书——
R1. M.Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965
好像也有中文版的。这本书的特色就如其副题所说：A Modern Approach to Classical Theorems ofAdvancedCalculus.也就是说，它的方法很现代，但内容却是经典的。这本书一定要看看，而且它不难读，还只有一百多页。另外，这本书里的一些题似乎是有意在引导读者去学习如何做一个题目，技巧上不难，但要做得像个数学家的样子就不是一件容易的事了。从这个意义上说，读这本书是一个训练自己工作能力的机会。作者还有更厉害的大部头著作：AComprehensive Introduction to DifferentialGeometry。五卷，其中第一卷就是讲微分流形的，做题的时候可以参考一下。这本书可以在读完 Courant之后就读一下，也可以边读这个，边开始Amann。虽然流形上的微积分其他书都会讲到，但集中地在本科水平上讲这个主题，这本书是比较合适的。
注意，不要以为读过这本书就真正懂得流形上的微积分了。从单变量到高维，还涉及一个观念的大改变。仅仅认为这只是一个推广，那是不行的，而是要反过来把古典微积分视为现代微积分的一个特例，例如微分就是微分形式的特例（具体的就不在这里举例了）。当然，我们可能没有足够的能力一开始就学现代微积分然后再回头看古典的，所以循序渐进还是必要的也是不得已的，但是，从这本书开始，我们就需要准备让观念转型了。这也是我为什么建议在读完Courant 后就先把这本书读掉的原因。这样，在读 Amann 的时候，就会对一些“新鲜”（相对于 Courant来说）的东西多加点注意，也许能思考到比较深入的地方去。当然，要了解现代微分学，还得看 Henri Cartan的书（高教近年出的法兰西数学精品译丛中有他的一本《微分学》。如果有兴趣，可以找原文或者英译本来读读看，都非常值得读。）不过，在现在这个阶段，可能还没有足够的知识来支持自己去读这本书。所以，我给出下面这一本——
R2. L.H.Loomis & S.Sternberg,高等微积分（修订版），王元等译，高教。
这本书要求的预备知识不多，学过单变量微积分就够了。此书前半部分讲赋范空间里的微积分，后半部分处理微分流形上的微积分。与大多兼顾古典与现代的微积分教材（例如这里列出的其他那些冠以数学分析名头的书）不同，这本书是真正现代观点的。更为可取的是，它在开头一小部分给出了精确的数学证明的范例（甚至比一般以形式化自夸的书更加形式化和谨慎）后，就转而用起了数学口语，而这种不那么形式化的表达正是数学家思考问题或者讨论时使用的语言。虽然是作为参考书列出来的，但一定要好好读通它。这也是在这个系列里唯一一次进入到现代数学的机会，以后读分析，都应该记得这里给你的观点。不过，这本书（其实整套书都是）的翻译和编辑印刷问题多多，最好是找原文来看。
R3. 迪厄多内，现代分析基础，第一、二卷。
没有Amann的话，简直就想把它当做教科书。这通常不会用来做教科书的，但很多人在学数学分析的时候，从这本书里受益匪浅。套用克莱因的一个书名，可以叫它“高观点下的数学分析”，而且，与Amann不同的是，迪厄多内专注于提供观点。
R4. Tom M. Apostol, 数学分析（原书第2版），邢富冲等译，机械工业出版社，2009，华章数学译丛
有空的话看看这本也是有益的。这本书在美国算是“标准”的数学分析教科书了，从中可以知道美国人现在都在教些什么。不过最后一章可以不看，那是属于解析函数论的东西了。前16章反映了现代数学分析的“经典”内容。在读过Courant + Amann 后，读这本书就是小菜一碟了，只是为了知道一下行情而已。其实，有后面的 baby Rudin也就差不多了。
R5. G.H.Hardy, 纯数学教程（纪念版），张明尧译，人民邮电出版社，2009，图灵数学统计学丛书
为什么要提出这本百岁老书？它对微积分或者说数学分析的内容讲得很不完整（用今天的眼光看，哪怕是用 Courant的眼光看），但是，Hardy在书里给出了很多细节以及处理它们的技巧，这在今天的教科书里往往是不太受重视的，而数学恰恰就是由这些东西建立起来的，从中可以感受到做数学是怎么回事。所以，我的建议是，此书必读，而且，尽量独立把它的杂例做出来。另外，可以玩玩他与Littlewood 和 Polya 合著的Inequalities。
R6. 菲赫金哥尔茨，微积分学教程，高教，俄罗斯数学教材选译。
在这本书里看不到今天数学分析教材中那些实变、泛函的援助之手，甚至连集合符号都不用，老土，然而绝对经典，堪称以古典方式处理数学分析的最高成就。中国过去的数学分析教科书大多是从这本书里剪贴来的，所以，读这本就可以把国产的数学分析教材都丢开了，这就是我在这里完全没有考虑国产教材的原因。如果真想学好数学，这是一个训练严格的数学工作方式的机会：把这本书里例题当习题做一遍，并把所有定理的证明全都自己推一遍。按这个要求，这本书会耗去我们不少时间，所以什么时候完成，就不必管它了，可以慢慢来的，如果做腻味了，也可以把它丢开的，因为这只是一次经历而已。如果还想知道现在的俄国人对本科数学分析有什么要求的话，那么可以参考一下阿黑波夫的《数学分析讲义》，也是高教近几年出的。那就是他们的大纲。不过，阿黑波夫不需要细读。
下面再给出几本科普性质的书。不过，毕竟还是真正的数学书，不能指望没点点数学能力就可以读通它们。
R7. E.Hairer & G.Wanner, Analysis by ItsHistory, Springer, 2008
很有意思的一本书。对历史的了解有助于更好地理解微积分。当然，为了对理论有个方便的描述，这本书也不是一个完全的历史书。
R8. F.E.Burk, A Garden of Integrals, 2007 by The MathematicalAssociation of America
比较齐全地介绍了积分的发展过程。
R9. Jost, Postmodern Analysis, Third Edition, Springer,2005
讲法完全不同的微积分。不过，不要被书名吓到，后现代也就是一点点微积分加一点点实分析。当科普吧，至少从中可以了解一下时尚。
参考书是个无底洞，随机应变吧。
最后说说习题。数学是算出来的，这句话是老生常谈了，我也认为题是一定要做的。不过，著名的吉米多维奇的习题集不必去做。那是我读大学时流行的，流行的原因大概是因为当时也没什么可选择的余地。现在对吉米普遍的看法是它不合适数学系的学生。支持吉米的则认为学微积分首先就要会计算，然而，我觉得计算功底看的是快和准，而不是难度，因此，与其做吉米，不如去做《托马斯微积分》上的题。
E1. W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rdEdition
这就是著名的babyRudin，是本非常精炼的教科书，而且美国“标准”的数学分析内容它也基本上都讲到了。但我不把它当教科书用，而是说，去做它上面的每一个题，解答它已经解答了的每一个例题，证明它已经证明过的每一个定理。要独立地推出一部数学分析来，当然是有点难度的，所以会参考很多其他的书。如此推敲一遍，不仅锻炼了能力，同时也相当于背下来一本数学分析字典。这本书也的确是被很多人当做字典用的，建议在开始读第一教科书的同时就同时阅读这一本，这个时候也许不需要做上面所说的那种练题功课，但请把它读一遍。比如跟Courant 同时读吧，那是一件很有意思的事，两个时代，两种风格，而且，我的经验是，baby Rudin 有时候还真的能帮我理解一些Courant 里的概念。
E2. 林源渠、方企勤等编，数学分析习题集。
这是国内公认最好的习题集，的确不错。配套的还有习题课教材，当然也会有数学分析教科书。不过，那两本都没必要去读，而且还是最好不要读。不是说它们写得不好，而是读了反而会影响解决问题的思维，完全独立地把习题集上的题目做出来更好些。这本习题集最好在读完Courant 和 baby Rudin后，集中起来做一遍，用来考验自己的能力以及对学过的东西的掌握程度。这也是我很少随着教科书而推荐它配套的习题集的原因。教科书上本身的习题对帮助我们理解与巩固知识已经足够了，习题集是用来考自 己的。
E.3 George Polya and Gabor Szego, Problems and Theorems inAnalysis
有中文版。严格来说，这其实可以算一部教科书了，是以习题方式来讲数学的书。好好地做做这本书，对数学能力的提高有非同寻常的帮助。不过，只学到数学分析的这个份上，大约只能做做它的第一和第二部分。这是真正的难题，千万不要因为怕难而去挑题目，那样很可能一个题目也做不了。想办法去解决问题吧，哪怕是抄，也比看到难题绕道而行要好。
也许还应该补充几句。数学分析，或者微积分，在通常被数学分析的课程中是不容易真正学懂的，尤其是现代分析对此还有一点点颠覆。在多元函数微积分上，特别是涉及到外微分的时候，这里的书并不足够解决所有的疑惑。如果想解决那些困惑，我想，后来的实变和泛函是一定要学的。或者，试着看看Cartan的微分学，如果能懂，那就算了，如果不是太明白，那就乖乖地学一下实变和泛函的课程吧，那时候，回头来看微积分，很多东西就变得简单、严格而优美了。
